河南省商丘市商師聯(lián)盟2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A.0 B. C. D.【答案】D【解析】直線與軸平行，所以傾斜角為.故選：D.2.雙曲線的漸近線方程是（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】令，解得，所以雙曲線的漸近線方程是．故選：B．3.已知向量，，若，則（）A. B. C.2 D.6【答案】B【解析】由題意，∵，，且，∴，解得，，∴．故選：B．4.若直線與圓相切，則（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】A【解析】圓即圓，所以，且圓的圓心為，半徑為，若直線與圓相切，則，解得.故選：A.5.若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量不共面的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】D【解析】對(duì)于A，因?yàn)椋?，，共面；?duì)于B，因?yàn)?，所以，，共面；?duì)于C，因?yàn)?，所以，，共面；?duì)于D，假設(shè)三個(gè)向量共面，則存在實(shí)數(shù)，使得成立，則方程組無(wú)解，所以，，不共面；故選：D.6.已知，分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由橢圓的方程，得，，因?yàn)?，所以，又在橢圓上，所以，解得，即，，所以．故選：A．7.如圖，在棱長(zhǎng)為6的正四面體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，則異面直線，所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】作平面，垂足為，連接，則為的中心，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，分別為軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，，設(shè)，所成的角為，所以.故選：A.8.已知點(diǎn)，若圓上存在不同的兩點(diǎn)，，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得，設(shè)，，則，即，，又，在圓上，所以，，即.所以圓與圓有公共點(diǎn)，因此，解得.又由且，不同，知點(diǎn)在圓外，故，故.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.方程表示的曲線中，可以是（）A.雙曲線 B.橢圓 C.圓 D.直線【答案】AB【解析】當(dāng)，且，即時(shí)，方程表示橢圓，當(dāng)即時(shí)，方程表示雙曲線，故AB正確；要想表示圓，則無(wú)解，故C錯(cuò)誤；直線為一次曲線，故D錯(cuò)誤.故選：AB.10.圓上恰有四個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1，則的值可能是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】ABC【解析】圓上恰有四個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1，則圓心到直線距離等于，則，解得.顯然.故選：ABC.11.已知，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線交C的右支于A，B兩點(diǎn)，若，，則（）．A.C的離心率為2 B.C.的面積為4 D.的周長(zhǎng)為18【答案】ABD【解析】如圖所示，不妨設(shè)A在第一象限，則，由于，得，，由于，所以∽，故，可得，故，而，故，由，得，對(duì)于A，C的離心率，故A正確；對(duì)于B，由以上分析可知，故B正確；對(duì)于C，在中，，，，故，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，的周長(zhǎng)為，故D正確.故選：ABD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知直線和直線垂直，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)______．【答案】或【解析】因?yàn)橹本€和直線垂直，所以，解得.故答案為：.13.已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，若，則的離心率的取值范圍是__________.【答案】【解析】依題意，，而，則，又，因此，解得，即，所以的離心率的取值范圍是.故答案為：.14.已知正方體的棱長(zhǎng)為4，空間中的一點(diǎn)滿足，則的取值范圍是________.【答案】【解析】設(shè)的中點(diǎn)，易得，所以，所以，即在以為球心，為半徑的球面上，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，所以，所以，，即的取值范圍是.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知直線的方程為（1）若與直線平行，求的值；（2）若在軸，軸上的截距相等，求的方程.解：（1）因?yàn)榕c直線平行，所以且，解得：.（2）當(dāng)時(shí)，：，不滿足題意.當(dāng)時(shí)，與軸，軸的交點(diǎn)分別為，因?yàn)樵谳S，軸上的截距相等，所以，解得.故的方程為或.16.已知離心率為的雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求的方程；（2）已知，是上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，直線，的斜率分別為，，求證：為定值.（1）解：由題意可得，解得，所以的方程為.（2）證明：設(shè)，，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，即，所以，所以為定值.17.已知線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)是，端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，是線段的中點(diǎn)．（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）記（1）中所求軌跡為曲線，過(guò)定點(diǎn)的直線與曲線交于、兩點(diǎn)，并且，求直線的方程．解：（1）設(shè)點(diǎn)、，因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，則，即，化簡(jiǎn)得，故點(diǎn)的軌跡方程為.（2）由（1）可知，曲線是以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓，由勾股定理可知，圓心到直線的距離為.若軸，直線的方程為，此時(shí)圓心到直線的距離為，符合題意；若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，即，由題意可得，解得，此時(shí)直線的方程為，即.綜上所述，直線的方程為或.18.如圖，在直四棱柱中，四邊形是矩形，，，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離；（3）求二面角的正弦值.（1）證明：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，又，，所以令，解得，所以平面的一個(gè)法向量為，又，所以，又平面，所以平面.（2）解：由（1）知，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以令，解得，，所以平面的一個(gè)法向量為，所以點(diǎn)到平面的距離，即點(diǎn)到平面的距離為.（3）解：由（1）知平面的一個(gè)法向量為，由（2）知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)二面角的大小為，又，所以，即二面角的正弦值為.19.已知點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若上的點(diǎn)與點(diǎn)距離的最大值為3，最小值為1，過(guò)點(diǎn)作的兩條互相垂直的弦，.（1）求的方程；（2）求證：的值為定值；（3）設(shè)，的中點(diǎn)分別為，，求證：直線過(guò)定點(diǎn).（1）解：設(shè)橢圓的焦距為，則由題意得，解得.所以，所以的方程為.（2）證明：由（1）得，若直線與直線斜率一個(gè)為0，另一個(gè)不存在時(shí)，，（或，），此時(shí).若直線與直線的斜率都存在時(shí)，如圖：設(shè)直線的方程為，，，