湖南省平高教育集團2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.集合的元素個數(shù)為（）A.2 B.3 C.6 D.18【答案】B【解析】由題意有：，又，所以，所以或或，所以，所以中的元素個數(shù)為3個，故選：B.2.已知，復(fù)數(shù)的實部是虛部的3倍，則（）A. B.2 C.1 D.【答案】B【解析】易知復(fù)數(shù)的實部為，虛部為；所以，解得.故選：B3.已知直線，，則“”的充要條件是（）．A. B.C.或 D.或4【答案】A【解析】因為，所以，即.解得或．當(dāng)時，，，此時兩直線重合，舍去；當(dāng)時，，，此時．故“”的充要條件是“”．故選：A.4.已知向量，，若，則（）A. B. C. D.3【答案】D【解析】若，則，因此可得，解得.故選：D.5.已知正數(shù)，滿足，則的最小值為（）A.2 B.4 C.3 D.6【答案】C【解析】因為正數(shù)，滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故選：C．6.若圓與圓外切，則（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，由兩圓外切，可得，解得，故.故選：C.7.已知是平面內(nèi)一點，是平面外一點，且平面的一個法向量為，則點Q到平面的距離為（）．A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】因為，，則，又平面的一個法向量為，所以點Q到平面的距離為．故選：A．8.已知函數(shù)，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】，定義域為，令，則，則，即關(guān)于中心對稱，當(dāng)時，由解析式可知單調(diào)遞增，對稱性得：當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以在上是增函數(shù)，又在上是增函數(shù)，所以在上是增函數(shù)，，所以則，即，由單調(diào)性可得：，解得：，所以不等式的解集為，故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為B.將函數(shù)圖象的向左平移個單位長度，得到的圖象關(guān)于原點對稱C.圖象的一個對稱中心為點D.的單調(diào)遞增區(qū)間為【答案】ACD【解析】由，最小正周期為，A正確，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到的圖象的函數(shù)表達(dá)式為：，不是奇函數(shù)，B錯誤，因為，所以圖象的一個對稱中心為點，C正確，由，得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，D正確，故選：ACD.10.已知為橢圓：上一動點，的左、右焦點分別為，，定點，則下列選項正確的是（）A.的周長為定值10B.面積的最大值為C.的最大值為D.若直線與橢圓交于，兩點，且的中點為，則的斜率為【答案】ABC【解析】∵橢圓C方程為：，的周長為，∴A正確；∴面積的最大值為，此時位于短軸的端點，∴B正確；對C，由橢圓，所以，又，所以，所以，當(dāng)三點共線取最大值，故C正確；對于D：直線與橢圓交于，兩點，設(shè)，且的中點為，因為，所以，則，，所以，則的斜率為，D選項錯誤.故選：ABC.11.如圖，正方體的棱長為2，，分別是棱，上的動點（不含端點），且，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.三棱錐體積的最大值為C.當(dāng)∥平面時，二面角的余弦值為D.若二面角的大小為，則的最小值為【答案】ACD【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：設(shè)，，則，對于A項，，得，則，即，故A項正確；對于B項，三棱錐體積為：，等號成立時，，即，則三棱錐體積的最大值為，故B項錯誤；對于C項，當(dāng)平面時，而平面，平面平面，得，由相似三角形的性質(zhì)，得，得，解得，則為的中位線，取的中點，連接，則,得為二面角的平面角，由，得，，則，故C項正確；對于D項，記點到直線的距離為，由二面角的大小為，則，由，則，得，得，而，等號成立時，，即，則，得，則的最小值為，故D正確．故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知是平面的一個法向量，點，均在平面內(nèi)，則________．【答案】【解析】由，，得，由題意，解得：.故答案為：.13.已知雙曲線：的右焦點為，則點到的一條漸近線的距離為____．【答案】2【解析】雙曲線：的右焦點為，漸近線為，則點到的一條漸近線的距離為．故答案為：2.14.對于兩個空間向量與，定義它們之間的曼哈頓距離為．如圖，在棱長為2的正方體中，若點P在上底面內(nèi)（含邊界）運動，且，設(shè)的最大值為M，最小值為N，則______．【答案】【解析】易知，，．因為P在上底面內(nèi)（含邊界）運動，且，所以，，即P在上底面內(nèi)，點P在以為圓心，1為半徑的圓周上，可設(shè)，，，所以，．因為，所以，則，從而．故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.從某校學(xué)生中隨機抽出50名學(xué)生參加消防安全知識競賽，根據(jù)競賽成績得到如圖所示的頻率分布直方圖．?dāng)?shù)據(jù)的分組依次為，，，，，．（1）求圖中的值，并估計這50名學(xué)生的平均成績（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）．（2）若成績在前25%的學(xué)生可獲得“消防達(dá)人”的稱號，則成績至少要達(dá)到多少分才可以被評為“消防達(dá)人”？（3）從低于60分的學(xué)生中隨機抽取2名學(xué)生，求這2名學(xué)生成績不在同一分組的概率．解：（1）由，得，平均數(shù)為.（2）前4個矩形面積為：，前5個矩形面積為：，所以若成績在前25%的學(xué)生可獲得“消防達(dá)人”的稱號，則成績至少要達(dá)到.（3）區(qū)間有人，區(qū)間有人，設(shè)內(nèi)兩人為，內(nèi)3人為，則隨機抽取2名學(xué)生共有：，來自不同組的有，所以這2名學(xué)生成績不在同一分組的概率為.16.已知點，，，圓是外接圓．（1）分別求直線，的斜率；（2）求圓的方程；（3）若直線：與圓相交于，兩點，求的最小值．解：（1）因為，，，所以，.（2）設(shè)圓的方程為，由題意可得：，解得：，滿足,所以圓的方程為.（3）由，可得，由得，即直線過定點，當(dāng)時，最小，由圓方程為，可得,半徑為，，所以，即的最小值為.17.已知為坐標(biāo)原點，拋物線：的焦點為，點在拋物線上，且．（1）求拋物線的方程；（2）若經(jīng)過點的直線與拋物線交于點，，且，求．解：（1）由點在拋物線上，得，由，可得，得，所以拋物線的方程.（2）當(dāng)斜率不存在時，方程為：，此時，則，，不符合題意，當(dāng)斜率不存在時，設(shè)直線方程為：，聯(lián)立拋物線方程消去可得：，設(shè)，又，則，代入，可得：代入，得：化簡可得：，即或，當(dāng)時，直線方程為，過坐標(biāo)原點，不符合題意舍去，當(dāng)，直線方程為，所以.由弦長公式得：.18.如圖1，在平面四邊形中，，．將沿著翻折至，連接，得到如圖2所示的三棱錐．（1）證明：；（2）當(dāng)點到平面的距離最大時，求三棱錐外接球的表面積；（3）當(dāng)時，求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：依題意，折疊后，，，，所以,延長，過作，交的延長線于，連接，則，由于平面，所以平面，由于平面，所以.（2）解：當(dāng)點到平面的距離最大時，平面平面，由于平面平面，平面，，所以平面，由于平面，所以，.設(shè)是的中點，是三角形的外心，是三角形的外心，是三棱錐外接球的球心.連接，則，連接，則平面，平面，由于，所以四邊形是正方形.設(shè)外接球的半徑為，由正弦定理得，則，所以，則，所以三棱錐外接球半徑，所以外接球的表面積為.（3）解：當(dāng)時，，所以，在內(nèi)，過作，交于，則是平面與平面的夾角（或其補角）在中，，，則.在中，,所以，所以，在中，，所以平面與平面夾角的余弦值為.19.已知雙曲線：（，）過點，且離心率為．（1）求雙曲線的方程；（2）已知，分別是雙曲線的左、右頂點，，分別是其左、右焦點.①若是雙曲線上異于，的一點，且，證明：的面積小于；②過右焦點的直線與的右支交于，兩點，若直線與交于點，證明：點在定直線上．（1）解：因為雙曲線的離心率為，所以，所以，所以雙曲線方程為，又因為雙曲線過點，所以，解得，所以雙曲線方程為（2）①證明：由題意可知，，，，因為，又因為，即又因為,,在中，由余弦定理可得