高中2025北京東城高一（下）期末數(shù)學2025.7本試卷共6頁，滿分150分.考試時長120分鐘.考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.設復數(shù)滿足，則（）A. B.2 C. D.42.已知，則（）A. B. C.1 D.33.已知向量，，且，則（）A. B. C.1 D.44.甲、乙兩個袋子中分別裝有標號為1，2，3，4的4個球，這些球除標號不同外沒有其他差別.分別從兩個袋子中隨機摸出一個球，則摸出的兩個小球的標號相同的概率是（）A. B. C. D.5.在中，若，，，則的大小為（）A. B. C. D.或6.已知直線和平面，若，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.不充分不必要7.已知函數(shù)，則（）A.是奇函數(shù) B.在上單調(diào)遞增C.的最大值為2 D.在內(nèi)有5個零點8.在正方體中，，為側面上一動點．若，則的長的最大值為（）A. B. C. D.9.如圖，四棱臺的兩底面是正方形，側面是全等的等腰梯形.若該棱臺的側棱，下底面的邊長為5，下底面所在平面與側面所在平面的夾角的正弦值為，則上底面的邊長為（）A.15 B. C.25 D.10.在矩形中，，，，交于點，，分別為邊，邊上的點，且關于點中心對稱.為矩形所在平面內(nèi)的動點，滿足，則的取值范圍是（）A. B. C. D.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.某校從參加語言測試的學生中隨機抽取了100名，記錄了他們的分數(shù)，將數(shù)據(jù)分成6組：，，，，，，并整理得到如下頻率分布直方圖.若樣本中分數(shù)低于60分的有15人，則圖中數(shù)據(jù)_____.12.將函數(shù)圖象上的所有點的橫坐標擴大到原來的2倍，縱坐標不變，再把所得函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則_____13.已知向量，，若，，向量與的夾角為，則向量與的夾角為_____.14.在銳角中，若，則_____；的取值范圍是_____.15.如圖，正方體的棱長為6，動點在棱上，為棱上一點，，點在線段上，且滿足，（i）當為中點時，異面直線與所成角的大小為_____；（ii）的長的最小值是_____.三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.已知函數(shù)，，其圖象相鄰的兩個對稱中心間的距離為.（1）求，的值；（2）若在區(qū)間上有且只有一個零點，求的取值范圍.17.某校學生會制定了本學期學生活動計劃.為了解該校學生對活動計劃是否支持，按照高一、高二、高三三個年級進行分層隨機抽樣，獲得數(shù)據(jù)如下表（單位：人）：年級支持不支持高一7020高二6030高三20100假設所有學生對活動計劃是否支持相互獨立.用頻率估計概率.（1）分別估計該校高一年級學生支持活動計劃的概率、該校學生支持活動計劃的概率；（2）從該校高一全體學生、高二全體學生、高三全體學生中各隨機抽取1人，估計這3人都支持活動計劃的概率；（3）已知該校高一（1）班至少有一半的學生支持活動計劃.將該校學生支持活動計劃的概率估計值記為，除高一（1）班學生外該校其他學生支持活動計劃的概率估計值記為.比較與的大小.（結論不要求證明）18.如圖1，在中，，，，分別為，，的中點，將沿翻折到的位置，如圖2.（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）在棱上是否存在點，使得平面平面？請說明理由.19.已知的面積為，.（1）求；（2）再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一確定，求邊上中線的長.條件①：；條件②：；條件③：.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.20.如圖，正四棱柱中，底面邊長為1，側棱長為2.為棱上一動點，平面截正四棱柱所得截面交棱于點.（1）求證：；（2）求四棱錐的體積；（3）寫出當?shù)拈L為何值時，四邊形的周長最小，并求此時平面與平面的夾角的正切值.21.已知為給定的正整數(shù)，平面向量組A由個平面向量構成，即A：，其中，，，.若，均為非負實數(shù)，則稱為非負平面向量組.記：，；，，.若等于在軸上的投影向量或等于在軸上的投影向量，等于在軸上的投影向量或等于在軸上的投影向量，，等于在軸上的投影向量或等于在軸上的投影向量，稱平面向量組B：為的一個投影向量組.（1）若，，寫出，，和的值.（2）當時，對于任意非負平面向量組，若，求證：存在的一個投影向量組，使得，.（3）當時，對于任意非負平面向量組，若，求證：存在的一個投影向量組，使得，.

參考答案第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.設復數(shù)滿足，則（）A. B.2 C. D.4【答案】A【分析】應用復數(shù)除法的幾何意義及模長的定義求復數(shù)的模長.【詳解】由題設，則.故選：A2.已知，則（）A. B. C.1 D.3【答案】D【分析】，再利用兩角差的正切公式，即可得到結論．【詳解】，，故選：D．3.已知向量，，且，則（）A. B. C.1 D.4【答案】A【分析】根據(jù)向量平行的坐標表示可解.【詳解】，.故選：A.4.甲、乙兩個袋子中分別裝有標號為1，2，3，4的4個球，這些球除標號不同外沒有其他差別.分別從兩個袋子中隨機摸出一個球，則摸出的兩個小球的標號相同的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【分析】根據(jù)古典概型概率計算方法，求出事件概率.【詳解】分別從兩個袋子中隨機摸出一個球，共有16種情況，小球標號相同的有4種，則摸出的兩個小球的標號相同的概率是.故選：B.5.在中，若，，，則的大小為（）A. B. C. D.或【答案】B【分析】根據(jù)正弦定理可得，由即可得到角，根據(jù)條件進行取舍.【詳解】在中，由正弦定理得，，即，又，所以或，又時，不合題意舍去，所以.故選：B.6.已知直線和平面，若，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.不充分不必要【答案】B【分析】由線面關系可知，不能確定與平面的關系，若一定可得，即可求出答案.【詳解】,不能確定還是，，當時，存在，，由又可得，所以“”是“”的必要不充分條件，故選：B【點睛】本題主要考查了必要不充分條件，線面垂直，線線垂直的判定，屬于中檔題.7.已知函數(shù)，則（）A.是奇函數(shù) B.在上單調(diào)遞增C.的最大值為2 D.在內(nèi)有5個零點【答案】B【分析】先將的解析式進行化簡，再利用函數(shù)奇偶性的定義判斷A選項；利用整體代入法求出的單調(diào)遞增區(qū)間判斷B選項；根據(jù)解析式求出最大值判斷C選項；利用的范圍求出的范圍，再觀察余弦函數(shù)的圖象即可判斷D選項.【詳解】，對于A選項，的定義域為，，所以為偶函數(shù)，故A錯誤；對于B選項，令，則，當時，，所以在上單調(diào)遞增，故B正確；對于C選項，的最大值為，故C錯誤；對于D選項，當時，，此時余弦函數(shù)的圖象與軸有個交點，即在內(nèi)有個零點，故D錯誤.故選：B.8.在正方體中，，為側面上一動點．若，則的長的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【分析】根據(jù)，確定出點的運動軌跡為線段即可求解．【詳解】在正方體中，，連接，設，連接，如下圖：為側面上一動點，要使得，∵為的中點，∴，又∵，，平面，∴平面，∵平面，∴，又∵平面，平面，∴，又∵平面，∴平面，又∵平面，∴，反之，當時，，∴點的運動軌跡為線段.當點與重合時，的長取得最大值為：，故選：C．9.如圖，四棱臺的兩底面是正方形，側面是全等的等腰梯形.若該棱臺的側棱，下底面的邊長為5，下底面所在平面與側面所在平面的夾角的正弦值為，則上底面的邊長為（）A.15 B. C.25 D.【答案】C【分析】由題可知四棱臺為正棱臺，設上底邊長為，在側面中可得斜高，再由正四棱臺的特性可知就是下底面所在平面與側面所在平面夾角的平面角，得到，解方程即可得到上底邊長.【詳解】根據(jù)題意，四棱臺為正棱臺，設中點為，上底邊長為，在側面中，為斜高，又，所以，在正棱臺中，，所以就是下底面所在平面與側面所在平面夾角的平面角，在四邊形中，，則，過作交于，所以，解得，即上底邊長為25.故選：C.10.在矩形中，，，，交于點，，分別為邊，邊上的點，且關于點中心對稱.為矩形所在平面內(nèi)的動點，滿足，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【分析】建立坐標系，設點P坐標為,表示出點Q、、、的坐標，得到關于的關系式，分析他的值域，作答.【詳解】建立如圖所示坐標系，由題意得：，，，,,則，設，則，，，，，，，對于，的最小值是0，最小值是，對于，的最小值是，最大值是0，所以值域為.故選：A第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.某校從參加語言測試的學生中隨機抽取了100名，記錄了他們的分數(shù)，將數(shù)據(jù)分成6組：，，，，，，并整理得到如下頻率分布直方圖.若樣本中分數(shù)低于60分的有15人，則圖中數(shù)據(jù)_____.【答案】【分析】根據(jù)題干先確定分數(shù)低于60分的頻率，涉及的區(qū)間包括兩個部分，通過觀察直方圖列方程組，即可求解.【詳解】樣本中分數(shù)低于60分的有15人，屬于區(qū)間，，由于學生中隨機抽取了100名，因此分數(shù)在，的頻數(shù)為，因此這兩個區(qū)間內(nèi)的頻率和為，設區(qū)間的頻率為，則，解得.故答案為：.12.將函數(shù)圖象上的所有點的橫坐標擴大到原來的2倍，縱坐標不變，再把所得函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則_____【答案】【分析】根據(jù)伸縮變換和平移變換得到函數(shù)解析式.【詳解】圖象上的所有點的橫坐標擴大到原來的2倍，縱坐標不變，得到，再把所得函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù).故答案為：13.已知向量，，若，，向量與的夾角為，則向量與的夾角為_____.【答案】或【分析】根據(jù)向量與的夾角得到方程，得到，并計算出，設，從而得到方程，求出答案.【詳解】由題意得，即，，，故，其中，設，則，解得或，當時，向量與的夾角為，當時，，故向量與的夾角為，綜上，向量與的夾角為或.故答案為：或14.在銳角中，若，則_____；的取值范圍是_____.【答案】①.②.【分析】由正弦定理可得，利用為銳角三角形可得，再根據(jù)正弦定理可得，利用為銳角三角形確定的范圍即可求解.【詳解】因為，所以由正弦定理得，因為所以，又為銳角三角形，所以，，因為為銳角三角形，所以，則，得，所以，所以，綜上，，的取值范圍是.故答案為：；15.如圖，正方體的棱長為6，動點在棱上，為棱上一點，，點在線段上，且滿足，（i）當為中點時，異面直線與所成角的大小為_____；（ii）的長的最小值是_____.【答案】①.；②..【分析】第一空，取CD中點為N，連接，與交于S，再取DN中點為T，連接ST，可得異面直線與所成角為或補角，然后有題目數(shù)據(jù)結合余弦定理可得答案;第二空，如圖連接，交于E，由題可得點P軌跡為以G圓心，半徑為的圓弧，然后做QF，可得，據(jù)此可得答案.【詳解】第一空，取CD中點為N，因，則.又連接，與交于S，則S為中點，再取DN中點為T，連接ST，則，從而異面直線與所成角為與所成角，即為或補角.由題可得，，，，則，從而.又，，.則由余弦定理可得,異面直線與所成角的大小為；第二空，如圖連接，交于E，則，又由題可得，平面，，則平面，又平面，則PC.因，平面，，則平面，又平面，則.取EC中點為G，則點P軌跡為以G圓心，半徑為的圓弧.做QF，易得平面，則，則當最小時，最小.設點P軌跡與交于，由圖易得.因，則，因，則.則，又，則，又.則的長的最小值是.故答案為：，三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.已知函數(shù)，，其圖象相鄰的兩個對稱中心間的距離為.（1）求，的值；（2）若在區(qū)間上有且只有一個零點，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)正弦和差公式化簡，由可得，根據(jù)相鄰的兩個對稱中心間的距離為可求.（2）由（1）知，再利用整體法及零點個數(shù)可確定的范圍.【小問1詳解】，又，，所以，又圖象相鄰的兩個對稱中心間的距離為，所以，綜上，【小問2詳解】由（1）知，，在區(qū)間上有且只有一個零點，所以，解得.17.某校學生會制定了本學期學生活動計劃.為了解該校學生對活動計劃是否支持，按照高一、高二、高三三個年級進行分層隨機抽樣，獲得數(shù)據(jù)如下表（單位：人）：年級支持不支持高一7020高二6030高三20100假設所有學生對活動計劃是否支持相互獨立.用頻率估計概率.（1）分別估計該校高一年級學生支持活動計劃的概率、該校學生支持活動計劃的概率；（2）從該校高一全體學生、高二全體學生、高三全體學生中各隨機抽取1人，估計這3人都支持活動計劃的概率；（3）已知該校高一（1）班至少有一半的學生支持活動計劃.將該校學生支持活動計劃的概率估計值記為，除高一（1）班學生外該校其他學生支持活動計劃的概率估計值記為.比較與的大小.（結論不要求證明）【答案】（1）；（2）（3），理由見詳解【分析】（1）根據(jù)題意可直接計算對應概率；（2）先計算每個年級抽到學生支持活動計劃的概率，再由分步乘法計數(shù)原理可求；（3）設該校共有學生人，高一（1）班共有人，設高一（1）班學生支持活動計劃概率為，利用分層抽樣均值的計算可得，然后分析即可.【小問1詳解】由題可知估計該校高一年級學生支持活動計劃的概率為，該校學生支持活動計劃的概率為.【小問2詳解】根據(jù)題意估計高一、高二、高三支持活動的概率分別為，所以估計這3人都支持活動計劃的概率.【小問3詳解】，理由如下，設該校共有學生人，高一（1）班共有人，設高一（1）班學生支持活動計劃概率為，所以，即，又由（1）知，，所以，即.18.如圖1，在中，，，，分別為，，的中點，將沿翻折到的位置，如圖2.（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）在棱上是否存在點，使得平面平面？請說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）存在點為棱的中點時，滿足平面平面，理由見解析.【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理證明即可；（2）根據(jù)線面垂直的判定定理證明即可；（3）取棱的中點，根據(jù)兩平面平行的判定定理，證明平面平面，在用兩平面垂直的判定定理，證明即可.小問1詳解】因為在中，分別為，的中點，所以，所以，因為平面，平面，所以平面.【小問2詳解】因為在中，分別為，的中點，所以，因為，所以，所以，因為是由沿翻折到得到的，所以，，因為，平面，平面，所以平面.【小問3詳解】存在點為棱的中點時，滿足平面平面.如圖，取棱的中點，連接，，在中，因為為的中點，所以，因為平面，平面，所以平面,又平面，，平面，平面，所以平面平面，因為平面，，所以平面，所以平面，因為平面，所以平面平面.19.已知的面積為，.（1）求；（2）再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一確定，求邊上中線的長.條件①：；條件②：；條件③：.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】（1）.（2）選擇條件①②時不能滿足存在且唯一確定，故選擇條件③，此時邊上中線長為：.【分析】（1）利用三角形面積公式，代入已知條件即可求的值.（2）分析給定的條件，條件①可能因為角A的雙值性導致多解，需要結合邊長限制求唯一解；條件②可能因角C的雙值性導致多解；條件③可通過代數(shù)變形確定角C,結合面積確定邊長b,用余弦定理確定邊長c，最終可利用中線公式計算中線長度.【小問1詳解】由題可知：,，代入面積公式，則，解得.【小問2詳解】由條件③可知：即.根據(jù)余弦定理可知：，聯(lián)立可得：，又,所以.代入面積公式：，有，解得.根據(jù)余弦定理：，解得，又；所以.設D為邊上的中點，則為邊上的中線.根據(jù)中線公式可得：,又,.所以邊上中線長為：.選條件②：由（1）知，已知，則有，解得，因為，，，根據(jù)大邊對大角，則,因為c無任何已知限制條件，，可得或，無法確定唯一的三角形，即條件②不能滿足存在且唯一確定，故無法求解.選條件①：由（1）知，，則；由正弦定理可知：，又有,,因為不唯一，無法確定固定的邊和角，即條件①不能滿足存在且唯一確定，不符合題干要求，無法求解.綜上，選擇條件①②時，不能滿足存在且唯一確定，所以選擇條件③，此時邊上中線長為：.20.如圖，正四棱柱中，底面邊長為1，側棱長為2.為棱上一動點，平面截正四棱柱所得截面交棱于點.（1）求證：；（2）求四棱錐的體積；（3）寫出當?shù)拈L為何值時，四邊形的周長最小，并求此時平面與平面的夾角的正切值.【答案】（1）證明見詳解（2）（3）【分析】根據(jù)正四棱柱性質(zhì)得出對面平行及面面平行的性質(zhì)推出線線平行．通過轉換頂點，將四棱錐轉換成兩個三棱錐之和求解即．將側面展開，根據(jù)兩點之間線段最短求出的值，然后建立空間直角坐標系求出面面夾角正切值．【小問1詳解】證明：在正四棱柱中，平面∥平面．且平面平面，且平面平面．．【小問2詳解】連接．正四棱柱中，底面邊長為1．．．．；．．【小問3詳解】將平面與面展開在同一平面上，如圖所示．且．四邊形為平行四邊形．四邊形的周長.若使四邊形的周長最小，即三點共線時有最小值．即當為中點時，，四邊形的周長最?。詾樵c，分別以所在直線為軸，如圖所示建立空間直角坐標系．則．.設面的法向量．．令，則；面的法向量．平面的法向量為．設