第第頁浙江省杭州市某校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期第四次月考數(shù)學(xué)（實(shí)驗(yàn)班）試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．定義集合A?B={x|x∈A且x?B}，若A={1,3,5,7}，B={2,3,5}，則A?B的子集個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．42．復(fù)數(shù)z滿足z=5i?2A．1 B．2 C．5 D．53．使x>y成立的一個(gè)充分不必要條件是（）A．x13>C．lnx2>2lny4．一個(gè)正方體表面積與一個(gè)球表面積相等，那么它們的體積比是()A．6π6 B．π2 C．2π25．設(shè)a，b，c是三個(gè)非零向量，且a與b不共線，若關(guān)于x的方程ax2+bx+A．x1>xC．x1<x2 D．6．在三棱錐D?ABC中，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，若AD為三棱錐D?ABC的外接球直徑，且AC與BD所成角的余弦值為217A．193π B．283π C．7．若函數(shù)y=sin2(x+A．3 B．?3 C．33 8．高斯，德國(guó)著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家，是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”之稱.函數(shù)y=x稱為高斯函數(shù)，其中x表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，如1.2=1，?2=?2.設(shè)函數(shù)f(x)=x2A．0 B．14 C．12二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知a,b均為大于0的實(shí)數(shù)，下列不等式中恒成立的是（）A．a(chǎn)+b1a+C．b+1a+b+1>b10．(多選題)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N，Q分別是棱D1C1，A1D1，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BD1上且BP＝23BD1A．MN∥平面APC B．C1Q∥平面APCC．A，P，M三點(diǎn)共線 D．平面MNQ∥平面APC11．已知定義在(0,+∞)的函數(shù)f(x)滿足：當(dāng)x1A．3f(4)>4f(3)B．函數(shù)y=f(x)x在區(qū)間C．函數(shù)y=xf(x)在區(qū)間(0,+∞D(zhuǎn)．f三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．校運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式上舉行升旗儀式，旗桿正好處在坡度為15°的看臺(tái)的某一列的正前方，從這一列的第一排和最后一排測(cè)得旗桿頂部的仰角分別為60°和30°，第一排和最后一排的距離為106m(如圖所示)，旗桿底部與第一排在一個(gè)水平面上，若國(guó)歌時(shí)長(zhǎng)為50s，升旗手應(yīng)以13．已知x，y為正實(shí)數(shù)，且x2+xy+4y2?z=0，當(dāng)z14．已知冪函數(shù)fx=xm?3m∈N*的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且fx在四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．設(shè)AD是半徑為5的半圓O的直徑(如圖)，B,C是半圓上兩點(diǎn)，已知AB=BC=10（1）求cos∠AOC（2）求DC?16．在底面是菱形的四棱錐P?ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=2a，點(diǎn)E在PD上，且PE:ED＝2:1，平面（1）證明：l//CD；（2）在棱PC上是否存在一點(diǎn)F，使BF//平面AEC？證明你的結(jié)論．17．若圖，在△ABC中，∠B=45°，點(diǎn)D在邊AB上，（1）若△BCD的面積為22，求A（2）若AC=2，求∠A18．已知f(x)=ax+bax?b（a>0（1）求f(x)的解析式；（2）把區(qū)間(0,2)等分成2n份，記等分點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為xi,?i=1,2,3,?,2n?1，g(x)=5（3）函數(shù)f(x)在區(qū)間[m,n](m<n)上的值域是k2m,19．對(duì)于一個(gè)四元整數(shù)集A=a,b,c,d，如果它能劃分成兩個(gè)不相交的二元子集a,b和c,d，滿足ab?cd=1（1）寫出集合1,2,3,4,5,6,7,8的一個(gè)“有趣的”四元子集：（2）證明：集合1,2,3,4,5,6,7,8不能劃分成兩個(gè)不相交的“有趣的”四元子集：（3）證明：對(duì)任意正整數(shù)nn≥2，集合1,2,3,?,4n不能劃分成n

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：由題意，設(shè)A?B={1,7}，

則A?B的子集個(gè)數(shù)為22故答案為：D.【分析】根據(jù)集合定義的新運(yùn)算，從而確定集合A?B，再利用子集的定義，從而得出集合A?B的子集個(gè)數(shù).2．【答案】C【解析】【解答】解：方法一：因?yàn)閦=5所以z=方法二：z=故答案為：C.【分析】利用兩種方法求解.

方法一：利用復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則求出復(fù)數(shù)z，再根據(jù)復(fù)數(shù)求模公式得出z的值.

方法二：利用復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算法則和復(fù)數(shù)的模的求解方法，從二得出復(fù)數(shù)z的模.3．【答案】B【解析】【解答】解：因?yàn)閤1當(dāng)x?y+1x?y>2時(shí)，x?y+1x?y?2>0，

得x?y2?2x?y+1x?y>0，

則x?y?12x?y>0當(dāng)x=2,y=1時(shí)，x?y+1x?y=2，

所以x?y+當(dāng)x=?2,y=1時(shí)，lnx2>2當(dāng)0<a<1時(shí)，由ax?y>1=a0，得故答案為：B.

【分析】利用冪函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式求最值的方法、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合充分條件和必要條件的判斷方法，從而逐項(xiàng)判斷找出使x>y成立的一個(gè)充分不必要條件.4．【答案】A【解析】【解答】解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，球的半徑為R，由6a2＝4πR2，得aR＝2π3，

所以故答案為：A．

【分析】利用正方體的表面積公式和球的表面積公式以及已知條件，從而得出正方體的棱長(zhǎng)和球的半徑之比，再結(jié)合正方體的體積公式和球的體積公式，從而得出正方體和球的體積之比.5．【答案】B【解析】【解答】解：因?yàn)殛P(guān)于x的方程ax2+bx+所以ax12+bx1+c=0因?yàn)閍，b，c是三個(gè)非零向量，且a與b不共線，所以x1+x2a故答案為：B.【分析】將兩根分別代入方程作差，從而化簡(jiǎn)為x1?x6．【答案】A【解析】【解答】解：設(shè)球心為O，取AB中點(diǎn)為E、BC中點(diǎn)為F，連接OE、顯然AC與BD所成角為∠OEF，設(shè)外接球半徑為r，在Rt△OEB中，OE=r2?1，BD=2OE=2r2?1，在△ABC中，EF//AC，EF=12AC=1，在所以cos∠OEF=12EFOE故答案為：A.【分析】做輔助線，先找到找到異面直線夾角∠OEF，易得OE=OF=r2?1，EF=1，由cos7．【答案】D【解析】【解答】解：因?yàn)閥=sin令2x+π3=k所以，函數(shù)y=sin2(x+則函數(shù)y=sin令2x+θ=nπ+π所以，函數(shù)y=sin2x+acos因?yàn)閮珊瘮?shù)的對(duì)稱軸相同，此時(shí)π4解得θ=5π6-sπ,s∈Z故答案為：D.

【分析】先利用二倍角的余弦公式，則對(duì)函數(shù)y=sin2(x+π68．【答案】C【解析】【解答】解：因?yàn)閒(x)=x2?xx，f(x)?2ax當(dāng)x=0時(shí)，不等式成立；當(dāng)x>0時(shí)，a≥121?xx，0<xx當(dāng)x<0時(shí)，a≥121?xx，xx≥1綜上所述：a≥1故答案為：C.【分析】考慮x=0，x>0，x<0三種情況，再利用已知條件和函數(shù)的性質(zhì)，從而得出函數(shù)的最值，再結(jié)合不等式恒成立問題求解方法，從而得出使不等式f(x)?2ax2≤09．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：因?yàn)閍>0,b>0.對(duì)于A，因?yàn)閍+b1當(dāng)且僅當(dāng)ba=a對(duì)于B，因?yàn)閍+又因?yàn)閍(a+3)?(a+1)(a+2)=?3<0，所以a(a+3)<所以a+對(duì)于C，因?yàn)閎+1a+b+1所以b+1a+b+1對(duì)于D，因?yàn)閍2設(shè)t=a+1a≥2a?1所以a2則當(dāng)t=2時(shí)，a2所以a2+1a2故答案為：ACD.

【分析】利用基本不等式求最值的方法，則判斷出選項(xiàng)A；利用作差比較大小的方法，則判斷出選項(xiàng)B、選項(xiàng)C和選項(xiàng)D，從而找出不等式恒成立的選項(xiàng).10．【答案】B,C【解析】【解答】解：對(duì)于A，如圖，連接MN，AC，則MN∥AC，

連接AM，CN，設(shè)AM，CN交于點(diǎn)I，

由MIAI=NICI=D1P對(duì)于B，由選項(xiàng)A知M，N在平面APC內(nèi)，

由題意知AN∥C1Q，且AN?平面APC，C1Q?平面APC，

所以C1Q∥平面APC，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，由選項(xiàng)A知，A，P，M三點(diǎn)共線，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，由選項(xiàng)A知MN?平面APC，又因?yàn)镸N?平面MNQ，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故答案為：BC.

【分析】連接MN，AC，則MN∥AC，由MIAI=NICI=D11．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：依題意，當(dāng)x1≠x令x1=4,x則3f4?4f3>0，不妨設(shè)0<x1<則gx因?yàn)?<x1<x2所以gx所以gx在(0,+設(shè)hx=xfx所以y=xfx由上述判斷可知，函數(shù)gx=f所以g3x1+x所以f3同理可得gx1+3x2所以fx所以f3x1故答案為：ABD.

【分析】利用賦值法，令x1=4,x2=3，則可判斷選項(xiàng)A；不妨設(shè)0<x1<x2，再設(shè)gx=f12．【答案】0.6【解析】【解答】解：因?yàn)椤螦EC=30°+15°=45°，∠ACE=180°?60°?15°=105°，

所以∠EAC=30°，根據(jù)正弦定理，得：ACsin∠AEC=ECsin∠EAC，所以AB=32AC=32故答案為：0.6.【分析】利用角之間的關(guān)系和三角形內(nèi)角和定理，從而計(jì)算出∠EAC和∠AEC的值，再根據(jù)正弦定理得到AC的長(zhǎng)和AB=313．【答案】?【解析】【解答】解：因?yàn)閤2所以zxy當(dāng)且僅當(dāng)xy=4yx時(shí)，即當(dāng)x=2y時(shí)，取“=”，此時(shí)z=5xy=10y當(dāng)x=2y=910時(shí)，取“=”，

所以，z?4x?y的最小值為故答案為：?8140.

【分析】先變形得到zxy=1+xy+4yx14．【答案】2【解析】【解答】解：因?yàn)閮绾瘮?shù)fx=xm?3m∈N*的圖象關(guān)于y若m?3<0，則m=1,2，

當(dāng)m=2時(shí)，fx當(dāng)m=1時(shí)，fx=x根據(jù)函數(shù)fx圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且fx在可得fx在?由fx=x?2可知定義域?yàn)閤|x≠0，f(a+1?m)<f(3?2a?m)，所以a>所以a2>(2?2a)22?2a≠0，

故答案為：23,1∪1,2.

【分析】根據(jù)冪函數(shù)的圖象的對(duì)稱性確定m的值，再利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，從而解不等式得出滿足15．【答案】（1）解：如圖，連接OB，由余弦定理，得cos∠AOB=由AB=BC，知∠AOC=2∠AOB，則cos∠AOC=2（2）解：解法1：因?yàn)锳B=BC=10，

所以B為AC所以∠ADB=∠BDC,∠AOB=2∠ADB，又因?yàn)?∠ADB=∠ADC，

所以∠ADC=∠AOB，

則cos∠ADC=在Rt△ACD中，AD=10，

則DC在Rt△ADB中，可得sin所以cos故DC解法2：DC===5×5×【解析】【分析】（1）連接OB，在△AOB中利用余弦定理得出cos∠AOB的值，再利用AB=BC推出∠AOC=2∠AOB，再利用二倍角公式得出cos（2）利用兩種方法求解.

方法1：根據(jù)題意可知∠ADC=∠AOB,∠ADB=∠BDC，從而求出DC的值，在Rt△ADB中利用cos∠ADB得出|DB|的值，再利用數(shù)量積的定義得出DC?DB的值．（1）如圖，連接OB，由余弦定理得cos∠AOB=25+25?10由AB=BC知∠AOC=2∠AOB，則cos∠AOC=2（2）解法1：因?yàn)锳B=BC=10，所以B為AC所以∠ADB=∠BDC,∠AOB=2∠ADB，又因?yàn)?∠ADB=∠ADC，所以∠ADC=∠AOB，則cos∠ADC=在Rt△ACD中，AD=10，則DC又在Rt△ADB中，可得sin所以cos∠ADB=故DC?解法2：DC===5×5×716．【答案】（1）證明：由四邊形ABCD為菱形，得AB//CD，因?yàn)锳B?平面PCD，CD?平面PCD，

所以AB//平面PCD，又因?yàn)锳B?平面PAB，平面PAB∩平面PCD=l，

所以AB//l，

所以l//CD．（2）解：存在，當(dāng)F是PC的中點(diǎn)時(shí)，BF//平面AEC.

如圖，取PE的中點(diǎn)M，連接FM，得FM//CE，

因?yàn)镃E?平面AEC，F(xiàn)M?平面AEC，

所以FM//平面AEC，由M為PE的中點(diǎn)，則PE:ED＝2:1，

得連接BM，BD，設(shè)BD∩AC＝O，

由四邊形則BM//OE，

因?yàn)镺E?平面AEC，BM?平面AEC，

所以BM//平面AEC，又因?yàn)镸F∩MB=M，MF,MB?平面BFM，

則平面BFM//平面AEC，又因?yàn)锽F?平面BFM，

所以BF//平面AEC.【解析】【分析】（1）利用菱形的結(jié)構(gòu)特征得出線線平行，再利用線線平行和線面平行的推導(dǎo)關(guān)系，從而證出l//CD.（2）取PE的中點(diǎn)M，利用線面平行的判定定理、面面平行的判定定理和性質(zhì)定理，從而證出在棱PC上存在一點(diǎn)F，使得BF//平面AEC.（1）由四邊形ABCD為菱形，得AB//CD，又AB?平面PCD，CD?平面PCD，則AB//平面PCD，又AB?平面PAB，平面PAB∩平面PCD=l，則AB//l，所以l//CD．（2）存在．當(dāng)F是PC的中點(diǎn)時(shí)，BF//平面AEC，如圖，取PE的中點(diǎn)M，連接FM，得FM//CE，又CE?平面AEC，F(xiàn)M?平面AEC，于是FM//平面AEC，由M為PE的中點(diǎn)，PE:ED＝2:1，得連接BM，BD，設(shè)BD∩AC＝O，由四邊形則BM//OE，又OE?平面AEC，BM?平面AEC，于是BM//平面AEC，又MF∩MB=M，MF,MB?平面BFM，則平面BFM//平面AEC，又BF?平面BFM，所以BF//平面AEC.17．【答案】（1）解：在△BCD中，B=45若△BCD的面積為22，

則S所以24BC=22，則CD=所以AD（2）解：在△ACD中，AD=CD，

可設(shè)∠A=∠ACD=θ，則∠ADC=π?2θ，因?yàn)锳C=2，

由正弦定理，得ACsin2θ=CD在△BCD中，∠BDC=2θ,∠BCD=3π由正弦定理，得CDsin則22cosθsinπ所以sinπ2?θ=sin所以0<π2?θ<π2,?π解得θ=π4或θ=π12，

所以，角A的大小為【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形面積公式可得BC的長(zhǎng)，再利用余弦定理可得AD的長(zhǎng)，從而得到AD（2）在△ACD中，設(shè)∠A=∠ACD=θ，∠ADC=π?2θ，根據(jù)正弦定理可得CD=22cosθ，在△BCD中利用正弦定理可得（1）在△BCD中，B=45若△BCD的面積為22，則S所以24BC=2則CD=B所以A（2）在△ACD中，AD=CD，可設(shè)∠A=∠ACD=θ，則∠ADC=π?2θ，又AC=2，由正弦定理，得ACsin2θ在△BCD中，∠BDC=2θ,∠BCD=3π由正弦定理，得CDsin即22cosθ于是sinπ2?θ所以0<π2?θ<π2解得θ=π4或θ=π12，即角A18．【答案】（1）解：∵fx是R上的奇函數(shù)，

∴f0=0，

由1+b1?b=0a+ba?b=13，

可得b=?1，a2=4，

∵a>0，

∴b=?1，a=2，

所以fx（2）解：把區(qū)間0,2等分成2n份，

則等分點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xi=i因?yàn)間x=54所以gx的圖象關(guān)于點(diǎn)1,14對(duì)稱，

所以g所以F==1因?yàn)閒2xfx=22x?122x故存在正整數(shù)n=1,2,3,4，使不等式f2x（3）解：因?yàn)閙<n，

所以2m<2n，

則12m>12n，

由k2m,k2n，知k2m<k2n，

所以k<0，

由（1）知，

函數(shù)fx=2x?12x+1=1?22x+1為(?∞,+∞)上的增函數(shù)，

【解析】【分析】（1）根據(jù)f0=0，f(1)=1（2）設(shè)等分點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xi=in，i=1,2,3,???,2n?1，先根據(jù)gx=fx?1+14可得函數(shù)gx的圖象關(guān)于點(diǎn)1,14對(duì)稱，從而可得gx（3）利用區(qū)間的定義和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，從而得到k的取值范圍，再利用函數(shù)fx的單調(diào)性，將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，則根據(jù)換元法將問題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為二次方程根的分布問題，從而列出方程組求解得出k（1）∵fx是R上的奇函數(shù)，∴f由1+b1?b=0a+ba?b=∵a>0，∴b=?1，a=2，所以fx又f?x=2所以fx（2）把區(qū)間0,2等分成2n份，則等分點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xi=i又gx=5所以gx的圖象關(guān)于點(diǎn)1,14對(duì)稱，所以g所以F==1因?yàn)閒2xfx=2故存在正整數(shù)n=1,2,3,4，使不等式f2x（3）因?yàn)閙<n，所以2m<2又k2m,k2由（1）知，函數(shù)fx=2因?yàn)楹瘮?shù)fx在區(qū)間[m,n](m<n)上的值域是k所以f(m)=k2從而關(guān)于x的方程2x令t=2x>0所以k+1>01+k2+4k>0∴ka19．【答案】（1）1,2,3,5（符合要求即可）（2）證明：假設(shè)可以劃分，∵ab?cd=1,∴ab和cd一定是一個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)，

∴a,b,c,d中至多兩個(gè)偶數(shù).