第1頁（共1頁）2026年中考數(shù)學(xué)?？伎键c(diǎn)專題之三角形一．選擇題（共13小題）1．（2025?蒼梧縣一模）如圖是A，B兩片木片放在地面上的情形，若∠3＝100°，則∠2﹣∠1等于（）A．55° B．80° C．90° D．100°2．（2025?南關(guān)區(qū)校級三模）有一張三角形紙片ABC，已知∠B＝∠C＝α，按如圖兩種方案用剪刀沿著箭頭方向剪開，若方案中兩個陰影部分的三角形一定全等打“√”，不一定全等打“×”，則下列判斷正確的是（）A．方案一：√、方案二：√ B．方案一：√、方案二：× C．方案一：×、方案二：√ D．方案一：×、方案二：×3．（2025?滕州市一模）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝6，D為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，AC上，AE＝CF，則四邊形AEDF的面積為（）A．18 B．92 C．9 D．4．（2025?安徽模擬）如圖，在Rt△ABC中，AB=AC=22，點(diǎn)D，E在邊BC上，且∠DAE＝45°，DC＝1，則DEA．53 B．43 C．32 5．（2025?黃岡校級模擬）如圖，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜邊BC上兩點(diǎn)，且∠DAE＝45°，若BD＝3，CE＝4，則△ABC的面積為（）A．36 B．38 C．40 D．426．（2025?連州市模擬）如圖，三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，則以下正確的是（）A．AB＝PB B．BC＝AC C．AC＝AP D．PA＝PB＝PC7．（2025?濰坊）如圖，甲、乙、丙三人分別沿不同的路線從A地到B地．甲：A→C→B，路程為l甲．乙：A→D→E→F→B，路程為l乙．丙：A→G→H→B，路程為l丙．下列關(guān)系正確的是（）A．l甲＞l乙＞l丙 B．l乙＞l甲＞l丙 C．l甲＞l丙＞l乙 D．l甲＝l乙＞l丙8．（2025?高要區(qū)一模）如圖，已知正方體展開圖中線段AB的長是10，則正方體的棱長在（）A．1與2之間 B．2與3之間 C．3與4之間 D．4與5之間9．（2025?運(yùn)城二模）每年的3月14日為國際數(shù)學(xué)日（簡稱IDM），是由國際數(shù)學(xué)聯(lián)盟發(fā)起的一項(xiàng)全球性的慶祝活動．2025年國際數(shù)學(xué)日主題：數(shù)學(xué)、藝術(shù)和創(chuàng)造力．某班級計(jì)劃從以下3個數(shù)學(xué)元素：①π（圓周率）；②黃金分割比；③勾股定理中隨機(jī)選取2個設(shè)計(jì)一幅制作展板，則π（圓周率）和勾股定理被同時選中的概率為（）A．23 B．13 C．25 10．（2025?舞陽縣模擬）如圖，一束平行于主光軸的光線經(jīng)凸透鏡折射后，其折射光線與一束經(jīng)過光心O的光線相交于點(diǎn)P，點(diǎn)F為該凸透鏡的焦點(diǎn)．若∠1＝150°，∠3＝50°，則∠2的度數(shù)為（）A．20° B．25° C．30° D．35°11．（2025?港北區(qū)一模）如圖所示為雷達(dá)圖，規(guī)定：1個單位長度代表100m，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，過數(shù)軸上的每一刻度點(diǎn)畫同心圓，并將同心圓平均分成十二等分．一艘海洋科考船在點(diǎn)O處用雷達(dá)發(fā)現(xiàn)A，B兩處魚群，那么A，B兩處魚群的距離是（）A．5m B．400m C．500m D．300m12．（2025?西寧）如圖，用四個全等的直角三角形拼成“趙爽弦圖”，得到大正方形ABCD和小正方形EFGH，連接BD交CH于點(diǎn)P．若BP＝BC，則tan∠CBG的值是（）A．2-1 B．2-2 C．22 13．（2025?光澤縣模擬）如圖，P是線段AB所在直線上的一動點(diǎn)，點(diǎn)C，D在AB的兩側(cè)，CA⊥AB，DB⊥AB，AB＝4，AC＝3，DB＝2，連接PC，PD，分別取PC，PD的中點(diǎn)M，N，連接MN．隨著點(diǎn)P的運(yùn)動，線段MN的長（）A．隨著點(diǎn)P的位置變化而變化 B．保持不變，長為52C．保持不變，長為2 D．保持不變，長為41二．填空題（共7小題）14．（2025?珠海校級一模）如圖，一根橡皮筋放置在x軸上，固定兩端A和B，其中A點(diǎn)坐標(biāo)（0，0），B點(diǎn)坐標(biāo)（8，0），然后把中點(diǎn)C向上拉升3cm到D，則橡皮筋被拉長了cm．15．（2025?分宜縣模擬）如圖，△ABC是等腰直角三角形，BC＝6，E，F(xiàn)是斜邊BC上的兩動點(diǎn)，∠EAF＝45°，CD⊥BC且CD＝BE．若△CDF中有一條邊恰好等于另一條邊的2倍，且∠DFC≠30°，則BE的長為．16．（2025?濟(jì)源一模）已知在△ABC中，AC＝6cm，點(diǎn)D、E分別是AC、BC的中點(diǎn)，連接DE，在DE上有一點(diǎn)F，EF＝1cm，連接AF，CF，若AF⊥CF，則AB＝．17．（2025?中衛(wèi)校級二模）如圖，將一副三角板和一張對邊平行的紙條按下列方式擺放，兩個三角板的一直角邊重合，含30°角的直角三角板的斜邊與紙條一邊重合，含45°角的三角板的一個頂點(diǎn)在紙條的另一邊上，則∠1的度數(shù)為．18．（2025?錫林郭勒盟三模）如圖，已知在△ABC中，AB=22，AC＝3，∠BAC＝45°，點(diǎn)D是邊BC上的動點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE∥AC，DF∥AB分別交AB于點(diǎn)E，AC于點(diǎn)F，連接EF，則EF的最小值為19．（2025?永城市模擬）如圖，四邊形ABCD為正方形，AB＝4，P是直線CD上一動點(diǎn)，連接AP，作DQ⊥AP，垂足為Q，則BQ的最小值為，最大值為．20．（2025?江都區(qū)二模）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，圖形的各個頂點(diǎn)均為格點(diǎn)，則∠1+∠2＝．三．解答題（共5小題）21．（2025?瓊中縣一模）三亞南山海上觀音是世界上最高的觀音像．某數(shù)學(xué)實(shí)踐小組利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識測量觀音像的高度AB，如圖，該數(shù)學(xué)實(shí)踐小組在點(diǎn)C處測得觀音像頂端A的仰角為45°，然后沿斜坡CD行走40m到點(diǎn)D處．已知∠ACD＝105°（點(diǎn)A，B，C，D在同一平面內(nèi)）．（1）過點(diǎn)D作DE⊥BC交BC的延長線于點(diǎn)E，則∠DCE＝；DE＝m；（2）求CE的長度．22．（2025?瓊中縣一模）如圖，在菱形ABCD中，AB＝5，BD為對角線，點(diǎn)E是邊AB延長線上任意一點(diǎn)，連接DE交BC于點(diǎn)F，BG平分∠CBE交DE于點(diǎn)G，BD＝6．（1）求證：△ABD≌△CBD；（2）求證：∠DBG＝90°；（3）求菱形ABCD的面積；23．（2025?曲靖模擬）如圖，AC與DE交于點(diǎn)O，且OE＝OC，點(diǎn)E，C在BF上，BE＝CF，∠A＝∠D．求證：AB＝DF．24．（2025?樊城區(qū)校級模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD是三角形ABC的高，用尺規(guī)作圖的方法作出射線CP交AB于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)O．（1）判斷用尺規(guī)作出的CP是；（2）求證：BE＝CD．25．（2025?洮南市模擬）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是CA延長線上的一點(diǎn)，EG∥AD，交AB于點(diǎn)F．求證：AE＝AF．

2026年中考數(shù)學(xué)?？伎键c(diǎn)專題之三角形參考答案與試題解析一．選擇題（共13小題）題號1234567891011答案BBCAADDBBAC題號1213答案AD一．選擇題（共13小題）1．（2025?蒼梧縣一模）如圖是A，B兩片木片放在地面上的情形，若∠3＝100°，則∠2﹣∠1等于（）A．55° B．80° C．90° D．100°【考點(diǎn)】三角形的外角性質(zhì)．【專題】三角形；推理能力．【答案】B【分析】根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，即可求解．【解答】解：∵∠3＝100°，∴∠4＝180°﹣∠3＝80°，∵∠1+∠4＝∠2，∴∠2﹣∠1＝∠4＝80°，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查三角形外角的性質(zhì)，掌握三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2025?南關(guān)區(qū)校級三模）有一張三角形紙片ABC，已知∠B＝∠C＝α，按如圖兩種方案用剪刀沿著箭頭方向剪開，若方案中兩個陰影部分的三角形一定全等打“√”，不一定全等打“×”，則下列判斷正確的是（）A．方案一：√、方案二：√ B．方案一：√、方案二：× C．方案一：×、方案二：√ D．方案一：×、方案二：×【考點(diǎn)】全等三角形的判定．【專題】圖形的全等；推理能力．【答案】B【分析】方案一：由三角形的外角性質(zhì)推出∠BDE＝∠CFD，判定△BDE≌△CFD（AAS）；方案二：由三角形的外角性質(zhì)推出∠BMK＝∠MLC，BK和MC不一定相等，因此△BMK和△CML不一定全等．【解答】解：方案一：∵∠BDE+∠EDF＝∠C+∠CFD，∠C＝∠EDF＝α，∴∠BDE＝∠CFD，∵∠B＝∠C，BE＝CD，∴△BDE≌△CFD（AAS）；方案二：∵∠BMK+∠KML＝∠C+∠MLC，∠C＝∠KML＝α，∴∠BMK＝∠MLC，∵BK＝3，MC不一定等于3，∴△BMK和△CML不一定全等，∴方案一：√，方案二：×．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查全等三角形的判定，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HL．3．（2025?滕州市一模）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝6，D為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，AC上，AE＝CF，則四邊形AEDF的面積為（）A．18 B．92 C．9 D．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形．【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；幾何直觀；推理能力．【答案】C【分析】由等腰直角三角形的性質(zhì)可得AD＝BD＝CD，∠BAD＝∠C＝45°，S△ABC=12×6×6=18，由“SAS”可證△ADE≌△CDF，可得S△ADE【解答】解：如圖，連接AD，∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，D為邊BC的中點(diǎn)，∴AD＝BD＝CD，∠BAD＝∠C＝45°，S△ABC在△ADE和△CDF中，AD=CD∠BAD=∠C∴△ADE≌△CDF（SAS），∴S△ADE＝S△CDF，∴四邊形AEDF的面積=S故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．4．（2025?安徽模擬）如圖，在Rt△ABC中，AB=AC=22，點(diǎn)D，E在邊BC上，且∠DAE＝45°，DC＝1，則DEA．53 B．43 C．32 【考點(diǎn)】等腰直角三角形．【專題】等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力．【答案】A【分析】由題意得出∠B＝∠C＝45°，BC＝4，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，再證△ADE≌△ADF，得出，DE＝DF，設(shè)DE＝x，則DF＝x，CF＝BE＝BC﹣CD﹣DE＝4﹣1﹣x＝3﹣x，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：由條件可知BC=2∵∠DAE＝45°，∴∠DAE＝∠B，把△ABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACF，連接EF，則∠B＝∠ACF，∠BAE＝∠CAF，AE＝AF，BE＝CF，∴∠ECF＝∠ACB+∠ACF＝45°+45°＝90°，∴∠DAF＝∠CAF+∠CAD＝∠BAE+∠CAD＝∠BAC﹣∠DAE＝90°﹣45°＝45°，∴∠DAE＝∠DAF，在△ADE和△ADF中，AE=AF∠DAE=∠DAF∴△ADE≌△ADF（SAS），∴DE＝EF，設(shè)DE＝x，則DF＝x，CF＝BE＝BC﹣CD﹣DE＝4﹣1﹣x＝3﹣x，在Rt△CDF中，由勾股定理得，12+（3﹣x）2＝x2，得x=5即DE=5故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟記各性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．5．（2025?黃岡校級模擬）如圖，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜邊BC上兩點(diǎn)，且∠DAE＝45°，若BD＝3，CE＝4，則△ABC的面積為（）A．36 B．38 C．40 D．42【考點(diǎn)】勾股定理；等腰直角三角形；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】三角形；圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；幾何直觀；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】A【分析】將△AEC順時針方向旋轉(zhuǎn)90°至△AFB，得出∠ABF＝∠ACD＝45°，∠BAF＝∠CAE，AE＝AF，證明△DAE≌△DAF（SAS），由全等三角形的判定與性質(zhì)得出DE＝DF，由勾股定理求出DE的長，根據(jù)三角形的面積可求出答案．【解答】解：如圖，將△AEC順時針方向旋轉(zhuǎn)90°至△AFB，連接DF，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△AEC≌△ABF，∴∠ABF＝∠ACD＝45°，∠BAF＝∠CAE，AE＝AF，∴∠FBE＝45°+45°＝90°，BF＝CE，∴BD2+BF2＝DF2，∴∠DAE＝45°，∴∠BAD+∠CAE＝45°，∴∠BAD+∠BAF＝45°，∴∠DAE＝∠DAF，又∵AD＝AD，∴△DAE≌△DAF（SAS），∴DE＝DF，∴BD2+BF2＝DE2，∵BD＝3，CE＝4，∴DE=3∴BC＝BD+DE+CE＝3+5+4＝12，AB=AC=12×2∴△ABC的面積為12故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等知識，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2025?連州市模擬）如圖，三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，則以下正確的是（）A．AB＝PB B．BC＝AC C．AC＝AP D．PA＝PB＝PC【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)．【專題】三角形；推理能力．【答案】D【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)判斷即可．【解答】解：A、AB與PB的相等關(guān)系不能確定，故本選項(xiàng)說法錯誤，不符合題意；B、BC與AC的關(guān)系不能確定，故本選項(xiàng)說法錯誤，不符合題意；C、AC與AP的關(guān)系不能確定，故本選項(xiàng)說法錯誤，不符合題意；D、∵三角形三條邊的垂直平分線相較于一點(diǎn)，∴PA＝PB＝PC，故本選項(xiàng)說法正確，符合題意；故選：D．【點(diǎn)評】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個端點(diǎn)的距離相等．7．（2025?濰坊）如圖，甲、乙、丙三人分別沿不同的路線從A地到B地．甲：A→C→B，路程為l甲．乙：A→D→E→F→B，路程為l乙．丙：A→G→H→B，路程為l丙．下列關(guān)系正確的是（）A．l甲＞l乙＞l丙 B．l乙＞l甲＞l丙 C．l甲＞l丙＞l乙 D．l甲＝l乙＞l丙【考點(diǎn)】等邊三角形的判定與性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系．【專題】等腰三角形與直角三角形；幾何直觀；推理能力．【答案】D【分析】在圖丙中，延長AG，BH交于點(diǎn)P，在圖甲中，根據(jù)△ABC是等邊三角形得AC＝BC＝AB＝a，進(jìn)而得l甲＝AC+BC＝2a，在圖乙中，根據(jù)△DAE和△FEB都是等邊三角形得AD＝DE＝AE，DF＝FB＝EB，由此得l乙＝AD+DE+DF+FB＝2（AE+BE）＝2a；在圖丙種，根據(jù)△PAB是等邊三角形得AP＝AB＝a，根據(jù)三角形三邊之間的關(guān)系得GH＜PG+PH，由此得AG+GH+HB＜PA+PB＝2a，進(jìn)而得l丙＝AG+GH+HB＜2a，綜上所述即可得出答案．【解答】解：在圖丙中，延長AG，BH交于點(diǎn)P，如圖所示：設(shè)AB＝a，在圖甲中，∵∠A＝∠B＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AC＝BC＝AB＝a，∴甲所行走的路程l甲＝AC+BC＝2a，在圖乙中，AE+BE＝AB＝a∵∠A＝∠AED＝∠FEB＝∠B＝90°，∴△DAE和△FEB都是等邊三角形，∴AD＝DE＝AE，DF＝FB＝EB，∴乙所行走的路程l乙＝AD+DE+DF+FB＝2（AE+BE）＝2a；在圖丙種，∴∠A＝∠B＝60°，∴AP＝AB＝a，根據(jù)三角形三邊之間的關(guān)系得：GH＜PG+PH，∴AG+GH+HB＜AG+GH+PG+PH＝PA+PB＝2a，∴丙所行走的路程l丙＝AG+GH+HB＜2a，∴l(xiāng)甲＝l乙＞l丙，故選：D．【點(diǎn)評】此題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．8．（2025?高要區(qū)一模）如圖，已知正方體展開圖中線段AB的長是10，則正方體的棱長在（）A．1與2之間 B．2與3之間 C．3與4之間 D．4與5之間【考點(diǎn)】勾股定理；估算無理數(shù)的大??；幾何體的展開圖．【專題】展開與折疊；空間觀念．【答案】B【分析】先根據(jù)勾股定理求出正方體的棱長，再估算大小即可．【解答】解：如圖，設(shè)正方體的棱長為a，則AC＝2a，BC＝4a，Rt△ABC中，由勾股定理可得AC2+BC2＝AB2，∴（2a）2+（4a）2＝102，整理得a2＝5，∴a=5∵22＜a2＜32，∴2＜a＜3，即正方體的棱長在2與3之間．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查勾股定理，無理數(shù)的估算，掌握以上知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．9．（2025?運(yùn)城二模）每年的3月14日為國際數(shù)學(xué)日（簡稱IDM），是由國際數(shù)學(xué)聯(lián)盟發(fā)起的一項(xiàng)全球性的慶?；顒樱?025年國際數(shù)學(xué)日主題：數(shù)學(xué)、藝術(shù)和創(chuàng)造力．某班級計(jì)劃從以下3個數(shù)學(xué)元素：①π（圓周率）；②黃金分割比；③勾股定理中隨機(jī)選取2個設(shè)計(jì)一幅制作展板，則π（圓周率）和勾股定理被同時選中的概率為（）A．23 B．13 C．25 【考點(diǎn)】勾股定理；列表法與樹狀圖法．【專題】概率及其應(yīng)用；數(shù)據(jù)分析觀念．【答案】B【分析】列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及π（圓周率）和勾股定理被同時選中的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：將圓周率，黃金分割比，勾股定理分別記為A，B，C，從3個數(shù)學(xué)元素中隨機(jī)選取2個設(shè)計(jì)一幅制作展板，用表格列出所有可能的結(jié)果：﹣ABCA﹣（A，B）（A，C）B（B，A）﹣（B，C）C（C，A）（C，B）﹣共有6種等可能的結(jié)果，其中2種符合題意，∴P（兩人抽到相同卡片）=2故選：B．【點(diǎn)評】本題考查列表法與樹狀圖法，概率公式，熟練掌握列表法或樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．10．（2025?舞陽縣模擬）如圖，一束平行于主光軸的光線經(jīng)凸透鏡折射后，其折射光線與一束經(jīng)過光心O的光線相交于點(diǎn)P，點(diǎn)F為該凸透鏡的焦點(diǎn)．若∠1＝150°，∠3＝50°，則∠2的度數(shù)為（）A．20° B．25° C．30° D．35°【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；平行線的性質(zhì)．【專題】三角形；推理能力．【答案】A【分析】由于平行，∠1+∠PFO＝180°，已知∠1＝150°，可得∠PFO的度數(shù)，可得∠POF的度數(shù)，對頂角相等，可得∠2的度數(shù)．【解答】解：由于平行，∠1+∠PFO＝180°，∵∠1＝150°，∴∠PFO＝30°，∵∠3＝∠PFO+∠POF，∠3＝50°，∴∠POF＝20°，∴∠2＝20°，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了平行線的性質(zhì)，兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)是本題的關(guān)鍵．11．（2025?港北區(qū)一模）如圖所示為雷達(dá)圖，規(guī)定：1個單位長度代表100m，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，過數(shù)軸上的每一刻度點(diǎn)畫同心圓，并將同心圓平均分成十二等分．一艘海洋科考船在點(diǎn)O處用雷達(dá)發(fā)現(xiàn)A，B兩處魚群，那么A，B兩處魚群的距離是（）A．5m B．400m C．500m D．300m【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用．【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】C【分析】根據(jù)題意得出∠AOB＝90°及OA、OB后即可根據(jù)勾股定理求解．【解答】解：如圖，連接AB，數(shù)軸交點(diǎn)為O，由題意得，同心圓平均分成十二等分，則每三等分即為360°÷12×3＝90°，∴∠AOB＝90°，又1個單位長度代表100m，∴OA＝300m，OB＝400m，∴根據(jù)勾股定理可得，∴Rt△AOB中，AB=O故選：C．【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是勾股定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理．12．（2025?西寧）如圖，用四個全等的直角三角形拼成“趙爽弦圖”，得到大正方形ABCD和小正方形EFGH，連接BD交CH于點(diǎn)P．若BP＝BC，則tan∠CBG的值是（）A．2-1 B．2-2 C．22 【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用；解直角三角形．【專題】等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力．【答案】A【分析】依據(jù)題意，設(shè)△BGC的邊長BC＝c，CG＝b，BG＝a，從而小正方形EFGH的邊長FG＝a﹣b，又BP＝BC，BG⊥PC，則CG＝GP＝b，可得HP＝a﹣2b，又DE∥BG，則DHBG=HPPG，故ba=a-2bb，進(jìn)而ba【解答】解：由題意，設(shè)△BGC的邊長BC＝c，CG＝b，BG＝a，∴小正方形EFGH的邊長FG＝a﹣b．∵BP＝BC，BG⊥PC，∴CG＝GP＝b．∴HP＝a﹣2b．∵DE∥BG，∴DHBG∴ba∴b2+2ab﹣a2＝0．∴（ba）2+2（ba）﹣1＝∴ba=-1∴tan∠CBG=CGBG=故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用、解直角三角形，解題時要熟練掌握并能根據(jù)題意列出關(guān)系式是關(guān)鍵．13．（2025?光澤縣模擬）如圖，P是線段AB所在直線上的一動點(diǎn)，點(diǎn)C，D在AB的兩側(cè)，CA⊥AB，DB⊥AB，AB＝4，AC＝3，DB＝2，連接PC，PD，分別取PC，PD的中點(diǎn)M，N，連接MN．隨著點(diǎn)P的運(yùn)動，線段MN的長（）A．隨著點(diǎn)P的位置變化而變化 B．保持不變，長為52C．保持不變，長為2 D．保持不變，長為41【考點(diǎn)】三角形中位線定理．【專題】三角形；推理能力．【答案】D【分析】連接CD，過點(diǎn)C作CE⊥DB，交DB的延長線于E，根據(jù)矩形的性質(zhì)分別求出DE、CE，根據(jù)勾股定理求出CD，再根據(jù)三角形中位線定理計(jì)算解即可．【解答】解：如圖，連接CD，過點(diǎn)C作CE⊥DB，交DB的延長線于E，則四邊形ABEC為矩形，∴∠E＝90°，BE＝AC＝3，CE＝AB＝4，∴DE＝DB+BE＝2+3＝5，由勾股定理得：CD=D∵點(diǎn)M，N分別為PC，PD的中點(diǎn)，∴MN為△PCD的中位線，∴MN=12CD=41故選：D．【點(diǎn)評】本題考查的是三角形中位線定理，熟記三角形中位線等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共7小題）14．（2025?珠海校級一模）如圖，一根橡皮筋放置在x軸上，固定兩端A和B，其中A點(diǎn)坐標(biāo)（0，0），B點(diǎn)坐標(biāo)（8，0），然后把中點(diǎn)C向上拉升3cm到D，則橡皮筋被拉長了2cm．【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用．【專題】三角形；等腰三角形與直角三角形；應(yīng)用意識．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)勾股定理，可求出AD、BD的長，則AD+BD﹣AB即為橡皮筋拉長的距離．【解答】解：Rt△ACD中，AC=12AB＝4cm，CD＝3根據(jù)勾股定理，得：AD=AC2+C∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2cm；故橡皮筋被拉長了2cm．故答案為：2．【點(diǎn)評】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．15．（2025?分宜縣模擬）如圖，△ABC是等腰直角三角形，BC＝6，E，F(xiàn)是斜邊BC上的兩動點(diǎn)，∠EAF＝45°，CD⊥BC且CD＝BE．若△CDF中有一條邊恰好等于另一條邊的2倍，且∠DFC≠30°，則BE的長為9-352或9-35或3【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形．【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】9-352或9-35【分析】先證明△ABE≌△ACD（SAS），再證明△AEF≌△ADF（SAS）則DF＝EF．設(shè)BE＝x，則CD＝x．再分三種情況討論，利用線段和差建立方程求解．【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°．∵CD⊥BC，∴∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠BCD﹣∠ACB＝45°＝∠B，在△ABE和△ACD中，CD=BE∠∠ACD=∠B∴△ABE≌△ACD（SAS），∴AE＝AD，∠BAE＝∠CAD．∵∠BAC＝90°，∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝∠CAE+∠BAE＝∠BAC＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠DAF＝∠DAE﹣∠EAF＝45°＝∠EAF，∵AF＝AF，在△AEF和△ADF中，AF=AF∠DAF=∠EAF∴△AEF≌△ADF（SAS），∴DF＝EF．設(shè)BE＝x，則CD＝x．如圖1，當(dāng)CF＝2CD＝2x時，則DF=C∴BC=BE+EF+CF=x+5解得x=9-3如圖2，當(dāng)CD＝2CF時，CF=12x，則∴x+5解得x=9-35如圖3，當(dāng)DF＝2CF時，∴由CF2+CD2＝DF2得CF2+x2＝（2CF）2，則CF=33x∴33解得x=33綜上所述，BE的長為9-352或9-35故答案為：9-352或9-35【點(diǎn)評】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形，熟練掌握各知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．16．（2025?濟(jì)源一模）已知在△ABC中，AC＝6cm，點(diǎn)D、E分別是AC、BC的中點(diǎn)，連接DE，在DE上有一點(diǎn)F，EF＝1cm，連接AF，CF，若AF⊥CF，則AB＝8cm．【考點(diǎn)】三角形中位線定理．【專題】三角形；推理能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出DF，進(jìn)而求出DE，根據(jù)三角形中位線定理計(jì)算，得到答案．【解答】解：在Rt△AFC中，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，AC＝6cm，∴DF=12AC=12×6∵EF＝1cm，∴DE＝DF+EF＝3+1＝4（cm），∵點(diǎn)D，E分別是AC，BC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴AB＝2DE＝2×4＝8（cm），故答案為：8cm．【點(diǎn)評】本題考查的是三角形中位線定理、直角三角形的性質(zhì)，掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．17．（2025?中衛(wèi)校級二模）如圖，將一副三角板和一張對邊平行的紙條按下列方式擺放，兩個三角板的一直角邊重合，含30°角的直角三角板的斜邊與紙條一邊重合，含45°角的三角板的一個頂點(diǎn)在紙條的另一邊上，則∠1的度數(shù)為15°．【考點(diǎn)】等腰直角三角形；平行線的性質(zhì)．【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．【答案】15°．【分析】延長兩三角板重合的邊與直尺相交，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等求出∠2，再利用三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和列式計(jì)算即可得解．【解答】解：如圖，延長AC交平行線于點(diǎn)H，∵AB∥EH，∴∠2＝∠HAB＝30°，∵∠3＝∠1+∠2，∴∠1＝∠3﹣∠2＝45°﹣30°＝15°．故答案為：15°．【點(diǎn)評】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角板的知識，熟記平行線的性質(zhì)，三角板的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．18．（2025?錫林郭勒盟三模）如圖，已知在△ABC中，AB=22，AC＝3，∠BAC＝45°，點(diǎn)D是邊BC上的動點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE∥AC，DF∥AB分別交AB于點(diǎn)E，AC于點(diǎn)F，連接EF，則EF的最小值為62929【考點(diǎn)】勾股定理．【專題】等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力．【答案】629【分析】以點(diǎn)A為原點(diǎn)，以AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，過點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)G，利用特殊角的三角函數(shù)，確定點(diǎn)C的坐標(biāo)，后應(yīng)用待定系數(shù)法確定直線的解析式，交軌法確定點(diǎn)D的坐標(biāo)，繼而確定F的坐標(biāo)，構(gòu)造二次函數(shù)求最值即可．【解答】解：以點(diǎn)A為原點(diǎn)，以AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，過點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)G，∵AC＝3，∠BAC＝45°，利用特殊角的三角函數(shù)，確定點(diǎn)C的坐標(biāo)可得：∴CG=ACsin∠BAC=322∴C(3∵AB=22∴B(22設(shè)AC的解析式為y＝px，用待定系數(shù)法確定直線的解析式可得：故32解得p＝1，∴y＝x，設(shè)BC的解析式為y＝kx+b，故22解得k=-3b=6∴y=-3x+62設(shè)E（m，0），由題意可得：kDE＝kAC＝1，不妨設(shè)ED的解析式為y＝x+q，故0＝m+q，解得q＝﹣m，∴DE的解析式為y＝x﹣m，∴y=x-my=-3x+6∴x=m+6∴D(6∵DF∥AB，∴F(6∵E（m，0），∴E=29故當(dāng)m=30229∴當(dāng)m=30229故答案為：629【點(diǎn)評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求解析式，交軌法求坐標(biāo)，構(gòu)造二次函數(shù)求最值，平行線的性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法，二次函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵．19．（2025?永城市模擬）如圖，四邊形ABCD為正方形，AB＝4，P是直線CD上一動點(diǎn)，連接AP，作DQ⊥AP，垂足為Q，則BQ的最小值為25-2，最大值為25+2【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；正方形的性質(zhì)；圓周角定理；三角形三邊關(guān)系．【專題】等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】25-2，25+【分析】取AD的中點(diǎn)E，連接BE、QE，由正方形的性質(zhì)得∠BAE＝90°，AD＝AB＝4，則AE＝DE＝2，求得BE=AE2+AB2=25，由DQ⊥AP于點(diǎn)Q，得∠AQD＝90°，則QE=12AD＝2，因?yàn)锽E﹣QE≤BQ≤BE+QE，所以25-2≤BQ≤25+2【解答】解：取AD的中點(diǎn)E，連接BE、QE，∵四邊形ABCD為正方形，AB＝4，∴∠BAE＝90°，AD＝AB＝4，∴AE＝DE=12AD＝∴BE=AE2∵DQ⊥AP，垂足為Q，∴∠AQD＝90°，∴QE=12AD＝∵BE﹣QE≤BQ≤BE+QE，∴25-2≤BQ≤25+∴BQ的最小值為25-2，最大值為25+故答案為：25-2，25+【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查正方形的性質(zhì)、勾股定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、兩點(diǎn)之間線段最短等知識，正確地添加輔助線是解題的關(guān)鍵．20．（2025?江都區(qū)二模）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，圖形的各個頂點(diǎn)均為格點(diǎn)，則∠1+∠2＝135°．【考點(diǎn)】全等圖形．【專題】三角形；推理能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】直接利用網(wǎng)格得出對應(yīng)角∠1＝∠3，進(jìn)而得出答案．【解答】解：如圖所示：由題意可得：∠1＝∠3，則∠1+∠2＝∠2+∠3＝135°．故答案為：135°．【點(diǎn)評】此題主要考查了全等圖形，正確借助網(wǎng)格分析是解題關(guān)鍵．三．解答題（共5小題）21．（2025?瓊中縣一模）三亞南山海上觀音是世界上最高的觀音像．某數(shù)學(xué)實(shí)踐小組利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識測量觀音像的高度AB，如圖，該數(shù)學(xué)實(shí)踐小組在點(diǎn)C處測得觀音像頂端A的仰角為45°，然后沿斜坡CD行走40m到點(diǎn)D處．已知∠ACD＝105°（點(diǎn)A，B，C，D在同一平面內(nèi)）．（1）過點(diǎn)D作DE⊥BC交BC的延長線于點(diǎn)E，則∠DCE＝30°；DE＝20m；（2）求CE的長度．【考點(diǎn)】勾股定理；含30度角的直角三角形．【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】（1）30°，20；（2）203【分析】（1）首先由∠DCE＝180°﹣∠ACB﹣∠ACD解得∠DCE的值，然后根據(jù)“直角三角形中30度角所對的直角邊等于斜邊的一半”，即可獲得答案；（2）在Rt△DCE中，由勾股定理求解即可．【解答】解：（1）∵∠ACB＝45°，∠ACD＝105°，∴∠DCE＝180°﹣∠ACB﹣∠ACD＝180°﹣45°﹣105°＝30°，在Rt△DCE中，CD＝40m，∴DE=1故答案為：30°，20；（2）∵在Rt△DCE中，CD＝40m，DE＝20m，∴CE=C∴CE的長度為203【點(diǎn)評】本題主要考查了含30度角的直角三角形、勾股定理等知識，正確理解題意是解題關(guān)鍵．22．（2025?瓊中縣一模）如圖，在菱形ABCD中，AB＝5，BD為對角線，點(diǎn)E是邊AB延長線上任意一點(diǎn)，連接DE交BC于點(diǎn)F，BG平分∠CBE交DE于點(diǎn)G，BD＝6．（1）求證：△ABD≌△CBD；（2）求證：∠DBG＝90°；（3）求菱形ABCD的面積；【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理的逆定理；菱形的性質(zhì)．【專題】圖形的全等；推理能力．【答案】（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝CD＝AD＝BC，在△ABD和△CBD中，AB=BC，∴△ABD≌△CBD（SSS）；（2）連接AC交BD于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD是菱形，∴∠DKC＝90°，∠BCD＝2∠ACB，CD∥AB，∴∠BCD＝∠CBE，∵BG平分∠CBE，∴∠CBE＝2∠CBG，∴∠ACB＝∠CBG，∴AC∥BG，∴∠DKC＝∠DBG＝90°；（3）24．【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)，利用邊邊邊的定理證明即可；（2）如圖2，連接AC交BD于點(diǎn)O，根據(jù)菱形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，證明AC∥BG即可證明∠DBG＝90°；（3）利用勾股定理，菱形的性質(zhì)計(jì)算即可．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝CD＝AD＝BC，在△ABD和△CBD中，AB=BC，∴△ABD≌△CBD（SSS）；（2）證明：連接AC交BD于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD是菱形，∴∠DKC＝90°，∠BCD＝2∠ACB，CD∥AB，∴∠BCD＝∠CBE，∵BG平分∠CBE，∴∠CBE＝2∠CBG，∴∠ACB＝∠CBG，∴AC∥BG，∴∠DKC＝∠DBG＝90°．（3）解：∵四邊形ABCD是菱形，∴∠AOB＝90°，∴BO＝DO＝3，AO＝CO，∴AO=A∴AC＝2AO＝2×4＝8，∴S菱形【點(diǎn)評】本題考查了菱形的性質(zhì)，角的平分線定義，平行線的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．（2025?曲靖模擬）如圖，AC與DE交于點(diǎn)O，且OE＝OC，點(diǎn)E，C在BF上，BE＝CF，∠A＝∠D．求證：AB＝DF．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】圖形的全等；推理能力．【答案】∵OE＝OC，∴△OEC是等腰三角形，∴∠OEC＝∠OCE，即∠ACB＝∠DEF，∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝FE，在△ABC和△DFE中，∠A=∠D∠ACB=∠DEF∴△ABC≌△DFE（AAS），∴AB＝DF．【分析】根據(jù)題意證明△ABC≌△DFE（AAS）即可求解．【解答】證明：∵OE＝OC，∴△OEC是等腰三角形，∴∠OEC＝∠OCE，即∠ACB＝∠DEF，∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝FE，在△ABC和△DFE中，∠A=∠D∠ACB=∠DEF∴△ABC≌△DFE（AAS），∴AB＝DF．【點(diǎn)評】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．24．（2025?樊城區(qū)校級模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD是三角形ABC的高，用尺規(guī)作圖的方法作出射線CP交AB于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)O．（1）判斷用尺規(guī)作出的CP是AB的垂線；（2）求證：BE＝CD．【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)．【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】（1）AB的垂線；（2）證明見解析．【分析】（1）由基本作圖：過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線的方法，即可判斷；（2）判定△EBC≌△DCB（AAS），推出BE＝CD．【解答】（1）解：用尺規(guī)作出的CP是AB的垂線，故答案為：AB的垂線；（2）證明：∵CE、BD是△ABC的高，∴∠BEC＝∠CDB＝90°，∵AB＝AC，∴∠EBC＝∠DCB，∵BC＝CB，∴△EBC≌△DCB（AAS），∴BE＝CD．【點(diǎn)評】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，作圖﹣基本作圖，關(guān)鍵是判定△EBC≌△DCB（AAS），掌握基本作圖：過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線的方法．25．（2025?洮南市模擬）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是CA延長線上的一點(diǎn)，EG∥AD，交AB于點(diǎn)F．求證：AE＝AF．【考點(diǎn)】等腰三角形的判定；平行線的性質(zhì)．【專題】等腰三角形與直角三角形；幾何直觀．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到∠BAD＝∠CAD，由平行線的性質(zhì)得到∠AFE＝∠BAD，∠E＝∠CAD，等量代換得到∠AFE＝∠E，即可得到結(jié)果．【解答】證明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵GE∥AD，∴∠AFE＝∠BAD，∠E＝∠CAD，∴∠AFE＝∠E，∴AE＝AF【點(diǎn)評】此題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．

考點(diǎn)卡片1．估算無理數(shù)的大小估算無理數(shù)大小要用逼近法．思維方法：用有理數(shù)逼近無理數(shù)，求無理數(shù)的近似值．2．幾何體的展開圖（1）多數(shù)立體圖形是由平面圖形圍成的．沿著棱剪開就得到平面圖形，這樣的平面圖形就是相應(yīng)立體圖形的展開圖．同一個立體圖形按不同的方式展開，得到的平面展開圖是不一樣的，同時也可看出，立體圖形的展開圖是平面圖形．（2）常見幾何體的側(cè)面展開圖：①圓柱的側(cè)面展開圖是長方形．②圓錐的側(cè)面展開圖是扇形．③正方體的側(cè)面展開圖是長方形．④三棱柱的側(cè)面展開圖是長方形．（3）立體圖形的側(cè)面展開圖，體現(xiàn)了平面圖形與立體圖形的聯(lián)系．立體圖形問題可以轉(zhuǎn)化為平面圖形問題解決．從實(shí)物出發(fā)，結(jié)合具體的問題，辨析幾何體的展開圖，通過結(jié)合立體圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)化，建立空間觀念，是解決此類問題的關(guān)鍵．3．平行線的性質(zhì)1、平行線性質(zhì)定理定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等．簡單說成：兩直線平行，同位角相等．定理2：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．簡單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等．簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯角相等．2、兩條平行線之間的距離處處相等．4．三角形三邊關(guān)系（1）三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊．（2）在運(yùn)用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時并不一定要列出三個不等式，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個三角形．（3）三角形的兩邊差小于第三邊．（4）在涉及三角形的邊長或周長的計(jì)算時，注意最后要用三邊關(guān)系去檢驗(yàn)，這是一個隱藏的定時炸彈，容易忽略．5．三角形內(nèi)角和定理（1）三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角．每個三角形都有三個內(nèi)角，且每個內(nèi)角均大于0°且小于180°．（2）三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．（3）三角形內(nèi)角和定理的證明證明方法，不唯一，但其思路都是設(shè)法將三角形的三個內(nèi)角移到一起，組合成一個平角．在轉(zhuǎn)化中借助平行線．（4）三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用主要用在求三角形中角的度數(shù)．①直接根據(jù)兩已知角求第三個角；②依據(jù)三角形中角的關(guān)系，用代數(shù)方法求三個角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角．6．三角形的外角性質(zhì)（1）三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六個外角，其中有公共頂點(diǎn)的兩個相等，因此共有三對．（2）三角形的外角性質(zhì)：①三角形的外角和為360°．②三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．③三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個內(nèi)角．（3）若研究的角比較多，要設(shè)法利用三角形的外角性質(zhì)②將它們轉(zhuǎn)化到一個三角形中去．（4）探究角度之間的不等關(guān)系，多用外角的性質(zhì)③，先從最大角開始，觀察它是哪個三角形的外角．7．全等圖形（1）全等形的概念能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形．（2）全等三角形能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形．（3）三角形全等的符號“全等”用符號“≌”表示．注意：在記兩個三角形全等時，通常把對應(yīng)頂點(diǎn)寫在對應(yīng)位置上．（4）對應(yīng)頂點(diǎn)、對應(yīng)邊、對應(yīng)角把兩個全等三角形重合到一起，重合的頂點(diǎn)叫做對應(yīng)頂點(diǎn)；重合的邊叫做對應(yīng)邊；重合的角叫做對應(yīng)角．8．全等三角形的判定（1）判定定理1：SSS﹣﹣三條邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等．（2）判定定理2：SAS﹣﹣兩邊及其夾角分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等．（3）判定定理3：ASA﹣﹣兩角及其夾邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等．（4）判定定理4：AAS﹣﹣兩角及其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等．（5）判定定理5：HL﹣﹣斜邊與直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等．方法指引：全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對應(yīng)相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對應(yīng)相等，則必須再找一組對邊對應(yīng)相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個角的另一組對應(yīng)鄰邊．9．全等三角形的判定與性質(zhì)（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．10．線段垂直平分線的性質(zhì)（1）定義：經(jīng)過某一條線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）垂直平分線，簡稱“中垂線”．（2）性質(zhì)：①垂直平分線垂直且平分其所在線段．②垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫外心，并且這一點(diǎn)到三個頂點(diǎn)的距離相等．11．等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質(zhì)①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個底角相等．【簡稱：等邊對等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個元素中，從中任意取出兩個元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個元素為結(jié)論．12．等腰三角形的判定判定定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等．【簡稱：等角對等邊】說明：①等腰三角形是一個軸對稱圖形，它的定義既作為性質(zhì)，又可作為判定辦法．②等腰三角形的判定和性質(zhì)互逆；③在判定定理的證明中，可以作未來底邊的高線也可以作未來頂角的角平分線，但不能作未來底邊的中線；④判定定理在同一個三角形中才能適用．13．等邊三角形的判定與性質(zhì)（1）等邊三角形是一個非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關(guān)角的計(jì)算奠定了基礎(chǔ)，它的邊角性質(zhì)為證明線段、角相等提供了便利條件．同是等邊三角形又是特殊的等腰三角形，同樣具備三線合一的性質(zhì)，解題時要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應(yīng)用．（2）等邊三角形的特性如：三邊相等、有三條對稱軸、一邊上的高可以把等邊三角形分成含有30°角的直角三角形、連接三邊中點(diǎn)可以把等邊三角形分成四個全等的小等邊三角形等．（3）等邊三角形判定最復(fù)雜，在應(yīng)用時要抓住已知條件的特點(diǎn)，選取恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒?，一般地，若從一般三角形出發(fā)可以通過三條邊相等判定、通過三個角相等判定；若從等腰三角形出發(fā)，則想法獲取一個60°的角判定．14．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．（2）此結(jié)論是由等邊三角形的性質(zhì)推出，體現(xiàn)了直角三角形的性質(zhì)，它在解直角三角形的相關(guān)問題中常用來求邊的長度和角的度數(shù)．（3）注意：①該性質(zhì)是直角三角形中含有特殊度數(shù)的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能應(yīng)用；②應(yīng)用時，要注意找準(zhǔn)30°的角所對的直角邊，點(diǎn)明斜邊．15．直角三角形斜邊上的中線（1）性質(zhì)：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點(diǎn)）（2）定理：一個三角形，如果一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是以這條邊為斜邊的直角三角形．該定理可以用來判定直角三角形．16．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．17．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形．說明：①勾股定理的逆定理驗(yàn)證利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，作用是判斷一個三角形是不是直角三角形．必須滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷．（2）運(yùn)用勾股定理的逆定理解決問題的實(shí)質(zhì)就是判斷一個角是不是直角．然后進(jìn)一步結(jié)合其他已知條件來解決問題．注意