第1頁（共1頁）2026年中考數(shù)學(xué)?？伎键c(diǎn)專題之四邊形一．選擇題（共12小題）1．（2025?湖北模擬）如圖，將正五邊形剪掉一個(gè)角（裁剪線不經(jīng)過頂點(diǎn)），則∠1+∠2的度數(shù)為（）A．108° B．180° C．252° D．288°2．（2025?撫順一模）如圖，?ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，若BC＝8，則OE的長為（）A．6 B．5 C．4 D．33．（2025?朔州模擬）如圖，在菱形ABCD中，AB＝13，BD＝24，AC與BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E，連接OE，則OE的長為（）A．5 B．10 C．12013 D．4．（2025?萊西市校級模擬）如圖，將正五邊形紙片ABCDE折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)E重合，折痕為AM，展開后，再將紙片折疊，使邊AB落在線段AM上，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B′，折痕為AF，則∠AFB′的大小為（）A．30° B．45° C．55° D．60°5．（2025?市中區(qū)二模）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AE平分∠BAD交BC邊于點(diǎn)E，點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)，連接OF，若AB＝OB＝1，則FO的長度為（）A．32 B．3-1 C．12 6．（2025?萊西市校級模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD位于第一象限，點(diǎn)D的坐標(biāo)是（4，3），把矩形ABCD繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到矩形A1B1C1D1，再將矩形A1B1C1D1向上平移1個(gè)單位長度，得到矩形A2B2C2D2，則點(diǎn)C2的坐標(biāo)是（）A．（3，﹣3） B．（2，﹣3） C．（2，﹣2） D．（﹣2，5）7．（2025?中原區(qū)模擬）如圖，在?ABCD中，∠C＝120°，AB＝2，AD＝2AB，點(diǎn)H，G分別是邊DC，BC上的動點(diǎn)，連接AH，HG，點(diǎn)E為AH的中點(diǎn)，點(diǎn)F為GH的中點(diǎn)，連接EF，則EF的最小值為（）A．2 B．3 C．1 D．38．（2025?浙江一模）如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，E是邊CD的中點(diǎn)，F(xiàn)在BC邊上，且∠EAF＝45°，連接EF，則BF的長為（）A．2 B．322 C．3 D9．（2025?錫林郭勒盟三模）如圖，已知正方形ABCD，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是AD邊上的一個(gè)動點(diǎn)，連接EF將△AEF沿EF折疊得△HEF，延長FH交BC于M，現(xiàn)在有如下5個(gè)結(jié)論：①△EFM定是直角三角形；②△BEM≌△HEM；③當(dāng)M與C重合時(shí)，有13DF=AF；④MF平分正方形ABCD的面積；⑤4FH?MH＝AB2，在以上A．2 B．3 C．4 D．510．（2025?平鄉(xiāng)縣二模）某商場計(jì)劃在一塊長23米，寬8.8米的矩形空地中，設(shè)置兩排平行四邊形傾斜式停車位若干個(gè)（按此方案規(guī)劃車位，相鄰車位間隔的寬度忽略不計(jì)）．如圖所示，已知規(guī)劃的傾斜式停車位每個(gè)車長5米，寬3米，中間安全空間的距離不小于0.8米，則最多可以設(shè)置停車位（）A．18個(gè) B．10個(gè) C．9個(gè) D．8個(gè)11．（2025?沙坪壩區(qū)模擬）如圖，在正方形ABCD中，連接AC，點(diǎn)E在AC上，連接BE，過點(diǎn)E作BE的垂線交CD于點(diǎn)F，交BC的延長線于點(diǎn)G．若AC=32，點(diǎn)F是EG的中點(diǎn)，則EGA．4 B．5 C．25 D．12．（2025?攀枝花）如圖，四邊形ABCD各邊中點(diǎn)分別是E、F、G、H，兩條對角線AC與BD互相垂直，則四邊形EFGH一定是（）A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形二．填空題（共8小題）13．（2025?萊西市校級模擬）如圖，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AD=25，過點(diǎn)D作DE⊥AB垂足為點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF∥AD，交CD于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)G，M，N分別是DE，CG的中點(diǎn)，連接MN，則MN＝14．（2025?費(fèi)縣一模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，點(diǎn)E在邊AB上運(yùn)動，以AE為直徑作圓與DE交于點(diǎn)F，連接BF，則線段BF的最小值為．15．（2025?沛縣模擬）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊CD，AD上，BE與CF交于點(diǎn)G．若BC＝4，DE＝AF＝1，則GF的長為．16．（2025?陽新縣模擬）如圖，正方形ABCD的對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，∠ACB的角平分線分別交AB，BD于M，N兩點(diǎn)．若AM=2，則∠CMB＝．線段ON的長為17．（2025?南山區(qū)一模）七巧板是我們祖先的一項(xiàng)卓越創(chuàng)造，被譽(yù)為“東方魔板”．?dāng)?shù)學(xué)活動課上小東制作了一套七巧板，拼成正方形ABCD，其中包括五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形．如圖，其中一塊等腰直角三角形（陰影圖形）的直角邊為5cm，則正方形ABCD的邊長為cm．18．（2025?羅莊區(qū)二模）如圖，在菱形ABCD中，AC、BD為菱形的對角線，∠DBC＝60°，BD＝10，點(diǎn)F為BC中點(diǎn)，則EF的長為．19．（2025?淮安區(qū)校級一模）如圖，點(diǎn)F是矩形ABCD內(nèi)部一個(gè)動點(diǎn)，E為AF上一點(diǎn)且AE=13AF，當(dāng)AD＝4，AB＝AF＝9時(shí)，則BE+CF的最小值為20．（2025?南寧二模）如圖，已知正方形ABCD的邊長為42，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，G是BO的中點(diǎn)，線段EF（點(diǎn)E在點(diǎn)F的左邊）在AC上運(yùn)動，連接BF，EG，若EF＝2，則BF+GE的最小值是三．解答題（共5小題）21．（2025?浙江模擬）如圖，在四邊形ABCD中，∠C＝90°，AB∥CD，連結(jié)BD，BA＝BD，AF⊥BD分別交BD，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，PD∥BC交AF于點(diǎn)P．（1）求證：△BCD≌△AEB．（2）求證：DF?DB＝AP?AF．22．（2025?東光縣二模）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝4，BC=11，CD＝6，AD＝3，∠A＝90°，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿折線AB﹣BC向點(diǎn)C運(yùn)動，連接DP，將DP繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到DE，旋轉(zhuǎn)角等于∠ADB，作EF⊥BD于F，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的路程為x（x＞0（1）BD的長為；按角分，△BCD的形狀是；（2）當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上時(shí)．①求證：DF＝DA；②當(dāng)點(diǎn)E落在DC上時(shí)，求x的值；（3）當(dāng)點(diǎn)P經(jīng)過∠BDC的平分線時(shí)，求EF的長；（4）已知BK是△BCD的中線，若線段EF與中線BK有交點(diǎn)，直接寫出x的取值范圍．23．（2025?單縣三模）（1）方法呈現(xiàn)：如圖①：在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長AD到點(diǎn)E使DE＝AD，再連接BE，可證△ACD≌△EBD，從而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍是（直接寫出范圍即可）．這種解決問題的方法我們稱為倍長中線法；（2）探究應(yīng)用：如圖②，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，DE⊥DF于點(diǎn)D，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系并證明；（3）問題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AF與DC的延長線交于點(diǎn)F、點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若AE是∠BAF的角平分線．試探究線段AB，AF，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．24．（2025?萊西市校級模擬）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)A且平行于BC的射線交DE的延長線于點(diǎn)F，連接AD，CF．（1）求證：△AFE≌△CDE；（2）若點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADCF是矩形？請說明理由．25．（2025?重慶二模）如圖1，在邊長為4的正方形ABCD中，E為AD中點(diǎn)，動點(diǎn)Q以每秒14個(gè)單位的速度，從點(diǎn)E出發(fā)，在射線ED上運(yùn)動，同時(shí)動點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度，從點(diǎn)B出發(fā)，按B→C→D的方向運(yùn)動至點(diǎn)D停止，當(dāng)動點(diǎn)P停止運(yùn)動時(shí)動點(diǎn)Q也停止運(yùn)動．連接AP、AC、CQ，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間為t秒，△APC的面積為y1，△AQC的面積為y2（1）求出y1，y2關(guān)于t的函數(shù)解析式并寫出自變量t的取值范圍；（2）在圖2所示的平面直角坐標(biāo)系中畫出y1，y2的函數(shù)圖象，并根據(jù)圖象寫出函數(shù)y1的一條性質(zhì)；（3）當(dāng)y1＝y(tǒng)2時(shí)，求t的值．

2026年中考數(shù)學(xué)?？伎键c(diǎn)專題之四邊形參考答案與試題解析一．選擇題（共12小題）題號1234567891011答案DCABDBDACBC題號12答案A一．選擇題（共12小題）1．（2025?湖北模擬）如圖，將正五邊形剪掉一個(gè)角（裁剪線不經(jīng)過頂點(diǎn)），則∠1+∠2的度數(shù)為（）A．108° B．180° C．252° D．288°【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角．【專題】多邊形與平行四邊形；推理能力．【答案】D【分析】由正多邊形的性質(zhì)可得∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝108°，則∠A+∠B+∠C+∠D＝432°，再求出六邊形的內(nèi)角和為720°，最后根據(jù)∠1+∠2等于六邊形的內(nèi)角和減去∠A+∠B+∠C+∠D即可解答．【解答】解：∵在正五邊形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=(5-2)×180°∴∠A+∠B+∠C+∠D＝108°×4＝432°，∵六邊形的內(nèi)角和為：（6﹣2）×180°＝720°，∴∠1+∠2＝720°﹣（∠A+∠B+∠C+∠D）＝720°﹣432°＝288°，故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查了正多邊形的內(nèi)角、多邊形的內(nèi)角和公式等知識點(diǎn)，掌握多邊形的內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵．2．（2025?撫順一模）如圖，?ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，若BC＝8，則OE的長為（）A．6 B．5 C．4 D．3【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；三角形中位線定理．【專題】三角形；多邊形與平行四邊形；推理能力．【答案】C【分析】由平行四邊形的性質(zhì)推出OB＝OD，得到OE是△DBC的中位線，推出OE=12BC＝【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB＝OD，∵E是CD中點(diǎn)，∴OE是△DBC的中位線，∴OE=12BC=12故選：C．【點(diǎn)評】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，三角形中位線定理，關(guān)鍵是由三角形中位線定理得到OE=123．（2025?朔州模擬）如圖，在菱形ABCD中，AB＝13，BD＝24，AC與BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E，連接OE，則OE的長為（）A．5 B．10 C．12013 D．【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；勾股定理．【專題】矩形菱形正方形；運(yùn)算能力．【答案】A【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得到BO＝12，然后利用勾股定理求出AO長，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)解題即可．【解答】解：由題意可得：∴AO＝OC，BO=OD=1∴AO=A又∵AE⊥CD，∴OE=1故選：A．【點(diǎn)評】本題考查菱形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，正確進(jìn)行計(jì)算是解題關(guān)鍵．4．（2025?萊西市校級模擬）如圖，將正五邊形紙片ABCDE折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)E重合，折痕為AM，展開后，再將紙片折疊，使邊AB落在線段AM上，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B′，折痕為AF，則∠AFB′的大小為（）A．30° B．45° C．55° D．60°【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角；翻折變換（折疊問題）；三角形內(nèi)角和定理．【專題】多邊形與平行四邊形；運(yùn)算能力．【答案】B【分析】根據(jù)題意求得正五邊形的每一個(gè)內(nèi)角為15(5-2)×180°=108°，根據(jù)折疊的性質(zhì)求得∠BAM，∠FAB′，∠AB′F，在△AFB【解答】解：∵正五邊形的內(nèi)角和為（5﹣2）×180°＝540°，∴正五邊形的一個(gè)內(nèi)角為540°÷5＝108°．由條件可知∠BAM=1∵將紙片折疊，使邊AB落在線段AM上，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B′，折痕為AF，∴∠FAB'=12∠BAM=12×54°=27°，∠AB′F在△AFB′中，∠AFB′＝180°﹣∠AB′F﹣∠FAB′＝180°﹣108°﹣27°＝45°，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理、正多邊形的內(nèi)角和的應(yīng)用，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2025?市中區(qū)二模）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AE平分∠BAD交BC邊于點(diǎn)E，點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)，連接OF，若AB＝OB＝1，則FO的長度為（）A．32 B．3-1 C．12 【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；三角形中位線定理．【專題】等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】D【分析】證明△AOB是等邊三角形，而CD＝AB＝1，則OA＝OC＝CD＝1，所以AC＝2，由勾股定理得BC=AC2-AB2=3，由AE平分∠BAD交BC邊于點(diǎn)E，得∠BAE＝∠DAE＝45°，則∠BEA＝∠BAE＝45°，所以BE＝AB＝1，則EC【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴OA＝OB，∵AB＝OB＝1，∴△AOB是等邊三角形，∴OA＝OC＝1，∴AC＝2，∴BC=2∵AE平分∠BAD交BC邊于點(diǎn)E，∴∠BAE＝∠DAE=12∠BAD＝∴∠BEA＝∠BAE＝45°，∴BE＝AB＝1，∴EC＝BC﹣BE=3-∵點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，∴FO=12EC故選：D．【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定、勾股定理、三角形的中位線定理等知識，證明△AOB是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．6．（2025?萊西市校級模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD位于第一象限，點(diǎn)D的坐標(biāo)是（4，3），把矩形ABCD繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到矩形A1B1C1D1，再將矩形A1B1C1D1向上平移1個(gè)單位長度，得到矩形A2B2C2D2，則點(diǎn)C2的坐標(biāo)是（）A．（3，﹣3） B．（2，﹣3） C．（2，﹣2） D．（﹣2，5）【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形變化﹣平移；坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)．【專題】作圖題；矩形菱形正方形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；幾何直觀．【答案】B【分析】根據(jù)題意，畫出變換后的圖形，再結(jié)合所畫圖形即可解決問題．【解答】解：如圖所示，點(diǎn)C2的坐標(biāo)為（2，﹣3）．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化﹣平移、矩形的性質(zhì)及坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)，能根據(jù)題意畫出示意圖是解題的關(guān)鍵．7．（2025?中原區(qū)模擬）如圖，在?ABCD中，∠C＝120°，AB＝2，AD＝2AB，點(diǎn)H，G分別是邊DC，BC上的動點(diǎn)，連接AH，HG，點(diǎn)E為AH的中點(diǎn)，點(diǎn)F為GH的中點(diǎn)，連接EF，則EF的最小值為（）A．2 B．3 C．1 D．3【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；三角形中位線定理．【專題】多邊形與平行四邊形；推理能力．【答案】D【分析】連接AG，利用三角形中位線定理，可知EF=12AG，求出【解答】解：如圖，連接AG，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠B+∠C＝180°，∴∠B＝180°﹣120°＝60°，∵點(diǎn)E、F分別是AH、GH的中點(diǎn)，∴EF是△AGH的中位線，∴EF=12當(dāng)AG最小時(shí)，EF有最小值，當(dāng)AG⊥BC時(shí)，AG最小，則∠BAG＝30°，此時(shí)BG=12AB＝1，AG=3∴EF=12AG即EF的最小值是32故選：D．【點(diǎn)評】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、三角形的中位線定理、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，求出AG的最小值．8．（2025?浙江一模）如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，E是邊CD的中點(diǎn)，F(xiàn)在BC邊上，且∠EAF＝45°，連接EF，則BF的長為（）A．2 B．322 C．3 D【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】矩形菱形正方形；推理能力．【答案】A【分析】把△ABF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，首先證明△AFE≌△AGE，進(jìn)而得到EF＝FG，問題即可解決．【解答】證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∴把△ABF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，如圖：∴∠BAF＝∠DAG，∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAF+∠DAE＝45°，∴∠EAF＝∠EAG，∵∠ADG＝∠ADC＝∠B＝90°，∴∠EDG＝180°，點(diǎn)E、D、G共線，在△AFE和△AGE中，AG=AF∠FAE=∠EAG∴△AFE≌△AGE（SAS），∴EF＝EG，即：EF＝EG＝ED+DG，∵E為CD的中點(diǎn)，邊長為6的正方形ABCD，∴CD＝BC＝6，DE＝CE＝3，∠C＝90°，∴設(shè)BF＝x，則CF＝6﹣x，EF＝3+x，在Rt△CFE中，由勾股定理得：EF2＝CE2+CF2，∴（3+x）2＝32+（6﹣x）2，解得：x＝2，即BF＝2，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形．9．（2025?錫林郭勒盟三模）如圖，已知正方形ABCD，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是AD邊上的一個(gè)動點(diǎn)，連接EF將△AEF沿EF折疊得△HEF，延長FH交BC于M，現(xiàn)在有如下5個(gè)結(jié)論：①△EFM定是直角三角形；②△BEM≌△HEM；③當(dāng)M與C重合時(shí)，有13DF=AF；④MF平分正方形ABCD的面積；⑤4FH?MH＝AB2，在以上A．2 B．3 C．4 D．5【考點(diǎn)】四邊形綜合題．【專題】圖形的全等；矩形菱形正方形；圖形的相似；推理能力．【答案】C【分析】由折疊的性質(zhì)可得FA＝FH，EA＝EH，∠A＝∠FHE＝90°，由“HL”可證Rt△EMH≌Rt△EMB，可得∠MEH＝∠MEB，由平角的性質(zhì)可求∠FEM＝90°，故①和②正確；通過證明△FHE∽△EHM，可得EHFH=HMEH，可得AB2＝4HF?HM，故⑤正確；如圖1，設(shè)AE＝EB＝2a．則AB＝BC＝AD＝CD＝4a，通過證明△AEF∽△BCE，可得AFEB=AEBC=12，可求AF＝a，可得1【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝90°，∵E為AB的中點(diǎn)，∴EA＝EB，由翻折可知：FA＝FH，EA＝EH，∠A＝∠FHE＝90°，∴∠EHM＝∠B＝90°，∵EM＝EM，EH＝EB，∴Rt△EMH≌Rt△EMB（HL），∴∠MEH＝∠MEB，∵∠FEH＝∠FEA，∴∠FEM=∠FEH+∠MEH=1∴△EFM是直角三角形，故①②正確，∵∠FEM＝90°＝∠FHE，∴∠FEH+∠MEH＝90°＝∠FEH+∠EFH，∴∠EFH＝∠HEM，又∵∠FHE＝∠EHM＝90°，∴△FHE∽△EHM，∴EHFH又∵EH＝EB=12∴AB2＝4HF?HM，故⑤正確，如圖1中，當(dāng)M與C重合時(shí)，設(shè)AE＝EB＝2a．則AB＝BC＝AD＝CD＝4a，∵∠FEM＝90°，∴∠AEF+∠CEB＝90°＝∠AEF+∠AFE，∴∠AFE＝∠ECB，又∵∠A＝∠B＝90°，∴△AEF∽△BCE，∴AFEB∴AF＝a，∴DF＝3a，∴DF＝3AF，∴13DF=AF，故如圖2中，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)D重合時(shí)，顯然直線MF不平分正方形的面積，故④錯(cuò)誤，綜上所述，正確的有：①②③⑤，故選：C．【點(diǎn)評】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)等知識，利用相似三角形的性質(zhì)求線段的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．10．（2025?平鄉(xiāng)縣二模）某商場計(jì)劃在一塊長23米，寬8.8米的矩形空地中，設(shè)置兩排平行四邊形傾斜式停車位若干個(gè)（按此方案規(guī)劃車位，相鄰車位間隔的寬度忽略不計(jì)）．如圖所示，已知規(guī)劃的傾斜式停車位每個(gè)車長5米，寬3米，中間安全空間的距離不小于0.8米，則最多可以設(shè)置停車位（）A．18個(gè) B．10個(gè) C．9個(gè) D．8個(gè)【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；解直角三角形的應(yīng)用；平行四邊形的性質(zhì)．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識．【答案】B【分析】過點(diǎn)K作KH⊥GF，交FG的延長線于點(diǎn)H，求出BE＝3，∠HGK＝∠AEB，進(jìn)一步求出KG=154，從而求出一側(cè)可設(shè)5個(gè)停車位，再乘以【解答】解，如圖，過點(diǎn)K作KH⊥GF，交FG的延長線于點(diǎn)H，根據(jù)題意得AB＝4m，AE＝GF＝5m，KH＝3m，由勾股定理得，BE=AE在直角△ABE中，sin∠AEB=AB∵AE∥GF，∴∠AEB＝∠GFE，∵AD∥BC，∴∠GFE＝∠HGK，∴∠AEB＝∠HGK，在直角△GHK中，sin∠HGK=KH∴KG=5∴(AD-BE)÷KG=(23-3)÷15故取整數(shù)5，∵另一側(cè)與其對稱，∴5×2＝10，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了矩形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)以及解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意．11．（2025?沙坪壩區(qū)模擬）如圖，在正方形ABCD中，連接AC，點(diǎn)E在AC上，連接BE，過點(diǎn)E作BE的垂線交CD于點(diǎn)F，交BC的延長線于點(diǎn)G．若AC=32，點(diǎn)F是EG的中點(diǎn)，則EGA．4 B．5 C．25 D．【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；勾股定理．【專題】矩形菱形正方形；幾何直觀；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】C【分析】過點(diǎn)E作EM⊥AB于點(diǎn)M，EN⊥BC于點(diǎn)N，設(shè)EN＝a，先求出AB＝BC＝3，證明四邊形EMBN是矩形得ME＝BN，MB＝EN＝a，AB∥EM，證明CF是△GEN的中位線得CF=12=a2，CN＝CG，再證明△ECN是等腰直角三角形得EN＝MB＝CN＝CG＝a，則ME＝BN＝3﹣a，GN＝2a，由勾股定理得EG＝√5a，然后證明△BME和△GCF全等得ME＝CF，則3-a=a2【解答】解：過點(diǎn)E作EM⊥AB于點(diǎn)M，EN⊥BC于點(diǎn)N，如圖所示：∴∠EMB＝∠ENB＝90°，設(shè)EN＝a，∵四邊形ABCD是正方形，對角線AC=32∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB∥CD，∠BCA＝45°，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=AB∴AB＝BC=22AC=∵∠EMB＝∠ENB＝∠ABC＝90°，∴四邊形EMBN是矩形，∴ME＝BN，MB＝EN＝a，AB∥EM，∴EM∥CD，∵點(diǎn)F是EG的中點(diǎn)，∴CF是△GEN的中位線，∴CF=12EN=a2，∵∠BCA＝45°，EN⊥BC，∴△ECN是等腰直角三角形，∴EN＝MB＝CN＝CG＝a，∴ME＝BN＝BC﹣CN＝3﹣a，∴GN＝CN+CG＝2a，在Rt△ENG中，由勾股定理得：EG=E∵BE⊥EG，∴∠BEG＝∠ABC＝90°，∴∠G+∠EBG＝90°，∠MBE+∠EBG＝90°，∴∠MBE＝∠G，∵M(jìn)E⊥AB，∠BCD＝90°，∴∠EMB＝∠FCG＝90°，在△BME和△GCF中，∠MBE=∠GMB=CG∴△BME≌△GCF（ASA），∴ME＝CF，又∵M(jìn)E＝3﹣a，CF=12EN∴3-a=a解得：a＝2，∴EG=5故選：C．【點(diǎn)評】此題主要考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握正方形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵，正確地添加輔助線構(gòu)造矩形及全等三角形是解決問題的難點(diǎn)．12．（2025?攀枝花）如圖，四邊形ABCD各邊中點(diǎn)分別是E、F、G、H，兩條對角線AC與BD互相垂直，則四邊形EFGH一定是（）A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形【考點(diǎn)】中點(diǎn)四邊形；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；梯形．【專題】線段、角、相交線與平行線；多邊形與平行四邊形；矩形菱形正方形；推理能力．【答案】A【分析】設(shè)AC交BD于點(diǎn)Q，EF交BD于點(diǎn)P，由E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)，得EF∥AC，且EF=12AC，GH∥AC，且GH=12AC，EH∥BD，推導(dǎo)出EF∥GH，且EF＝GH，則四邊形EFGH是平行四邊形，因?yàn)锳C⊥BD，所以∠FEH＝∠FPD＝∠CQD＝【解答】解：設(shè)AC交BD于點(diǎn)Q，EF交BD于點(diǎn)P，∵E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)，∴EF∥AC，且EF=12AC，GH∥AC，且GH=12AC，∴EF∥GH，且EF＝GH，∴四邊形EFGH是平行四邊形，∵AC⊥BD，∴∠FEH＝∠FPD＝∠CQD＝90°，∴四邊形EFGH是矩形，故選：A．【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查中點(diǎn)四邊形、三角形中位線定理、平行線的性質(zhì)、平行四邊形的判定、矩形的判定等知識，推導(dǎo)出EF∥GH，且EF＝GH是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共8小題）13．（2025?萊西市校級模擬）如圖，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AD=25，過點(diǎn)D作DE⊥AB垂足為點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF∥AD，交CD于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)G，M，N分別是DE，CG的中點(diǎn)，連接MN，則MN＝352【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)．【專題】等腰三角形與直角三角形；多邊形與平行四邊形；矩形菱形正方形；梯形；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】352【分析】連接MG，取DM的中點(diǎn)H，連接HN，DB，可證得四邊形AEFD是平行四邊形，四邊形AECF是平行四邊形，根據(jù)三角形的中位線性質(zhì)得出MG∥CD∥AB，MG=12DF=52，DM⊥GM，根據(jù)梯形中位線性質(zhì)得出HN∥GM，HN=12（MG+CD）【解答】解：如圖，連接MG，取DM的中點(diǎn)H，連接HN，DB，∵四邊形ABCD是菱形，∴CD＝AD＝AB，CD∥AB，∵∠DAB＝60°，∴AD＝2AE＝2BE，DE=32AD∵EF∥AD，∴四邊形AEFD是平行四邊形，∴DF＝AE，∴CF＝DF＝AE＝EB=5∴四邊形AECF是平行四邊形，∴EG＝FG，∵M(jìn)是DE的中點(diǎn)，∴MG∥CD∥AB，MG=12DF∴DM⊥GM，∴HN∥GM，HN=12（MG+CD）∴NH⊥DE，∵HM=14DE∴MN=H故答案為：352【點(diǎn)評】本題考查了菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形和梯形中位線性質(zhì)，勾股定理等知識，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造直角三角形．14．（2025?費(fèi)縣一模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，點(diǎn)E在邊AB上運(yùn)動，以AE為直徑作圓與DE交于點(diǎn)F，連接BF，則線段BF的最小值為29-2【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；圓周角定理；勾股定理．【專題】矩形菱形正方形；推理能力．【答案】29-2【分析】連接AF，取AD中點(diǎn)O，連接OF，判斷點(diǎn)F在以AD為直徑的圓上運(yùn)動，則當(dāng)O、F、B三點(diǎn)共線，且F在線段BO上時(shí)，BF最小，最小值為BO﹣OF，然后在Rt△ABO中根據(jù)勾股定理求出BO，即可求解．【解答】解：連接AF，取AD中點(diǎn)O，連接OF，BO，∵以AE為直徑作圓與DE交于點(diǎn)F，∴∠AFE＝90°，∴∠AFD＝90°，∴點(diǎn)F在以AD為直徑的圓上運(yùn)動，∴當(dāng)O、F、B三點(diǎn)共線，且F在線段BO上時(shí)，BF最小，最小值為BO﹣OF，∵AB＝5，AD＝4，∴OF=AO=12AD=2，∠BAD∴OB=O∴BF的最小值為29-2故答案為：29-2【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理的推論，勾股定理等知識，掌握圓周角定理的推論，勾股定理是解題的關(guān)鍵．15．（2025?沛縣模擬）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊CD，AD上，BE與CF交于點(diǎn)G．若BC＝4，DE＝AF＝1，則GF的長為2.6．【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】推理填空題；數(shù)形結(jié)合；圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】2.6．【分析】先由正方形的性質(zhì)及BC＝4，得出∠CDF＝∠BCE＝90°，AD＝DC＝BC，再結(jié)合DE＝AF＝1，得出CE＝DF＝3，從而可判定△CDF≌△BCE（SAS），然后證得∠BGC＝90°，由面積法及勾股定理求得BE、CG的長，最后用CF的長的長減去CG的長即可得出答案．【解答】解：∵四邊形ABCD為正方形，BC＝4，∴∠CDF＝∠BCE＝90°，AD＝DC＝BC＝4，又∵DE＝AF＝1，∴CE＝DF＝3，∴在△CDF和△BCE中，CD=BC∠CDF=∠BCE∴△CDF≌△BCE（SAS），∴∠DCF＝∠CBE，∵∠DCF+∠BCF＝90°，∴∠CBE+∠BCF＝90°，∴∠BGC＝90°，∵在Rt△BCE中，BC＝4，CE＝3，∴BE＝5，∴BE?CG＝BC?CE，∴CG=BC?CE∵△CDF≌△BCE（SAS），∴CF＝BE＝5，∴GF＝CF﹣CG＝5-125故答案為：2.6．【點(diǎn)評】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理等知識點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．16．（2025?陽新縣模擬）如圖，正方形ABCD的對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，∠ACB的角平分線分別交AB，BD于M，N兩點(diǎn)．若AM=2，則∠CMB＝67.5°．線段ON的長為22【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的定義；角平分線的性質(zhì)；直角三角形的性質(zhì)；等腰直角三角形．【專題】矩形菱形正方形；推理能力．【答案】67.5°，22【分析】作MH⊥AC于H，如圖，根據(jù)正方形的性質(zhì)得∠MAH＝45°，則△AMH為等腰直角三角形，再求出AH，MH，MB，CH/CO，然后證明△CON∽△CHM，再利用相似比可計(jì)算出ON．【解答】解：作MH⊥AC于H，如圖，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠MAH＝∠ACB＝45°，∵CM是∠ACB的角平分線，∴∠BCM=12∴CMB＝90°﹣∠BCM＝67.5°，∴△AMH為等腰直角三角形，∴AH＝MH=22AM=∵CM平分∠ACB，∴BM＝MH＝1，∴AB=2∴AC=2AB＝2+∴OC=12AC＝1CH＝AC﹣AH＝2+2-1∵BD⊥AC，∴ON∥MH，∴△CON∽△CHM，∴，ONMH即ON1∴ON=2故答案為：67.5°，22【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形．也考查了角平分線的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)17．（2025?南山區(qū)一模）七巧板是我們祖先的一項(xiàng)卓越創(chuàng)造，被譽(yù)為“東方魔板”．?dāng)?shù)學(xué)活動課上小東制作了一套七巧板，拼成正方形ABCD，其中包括五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形．如圖，其中一塊等腰直角三角形（陰影圖形）的直角邊為5cm，則正方形ABCD的邊長為102cm．【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；七巧板．【專題】等腰三角形與直角三角形；多邊形與平行四邊形；推理能力．【答案】102．【分析】根據(jù)七巧板的特點(diǎn)和平行四邊形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：∵等腰直角三角形（陰影圖形）的直角邊為5cm，∴等腰直角三角形（陰影圖形）的斜邊為52cm，∴平行四邊形的邊長為52cm，∴正方形ABCD的邊長為2×52=102（cm故答案為：102．【點(diǎn)評】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．18．（2025?羅莊區(qū)二模）如圖，在菱形ABCD中，AC、BD為菱形的對角線，∠DBC＝60°，BD＝10，點(diǎn)F為BC中點(diǎn)，則EF的長為5．【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)．【專題】等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；推理能力．【答案】5．【分析】由四邊形ABCD是菱形，可得BC＝DC，AC⊥BD，∠BEC＝90°，又∠DBC＝60°，知△BDC是等邊三角形，BC＝BD＝10，而點(diǎn)F為BC中點(diǎn)，故EF=12BC＝【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴BC＝DC，AC⊥BD，∴∠BEC＝90°，∵∠DBC＝60°，∴△BDC是等邊三角形，∴BC＝BD＝10，∵點(diǎn)F為BC中點(diǎn)，∴EF=12BC＝故答案為：5．【點(diǎn)評】本題考查菱形的性質(zhì)及應(yīng)用，涉及等邊三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．19．（2025?淮安區(qū)校級一模）如圖，點(diǎn)F是矩形ABCD內(nèi)部一個(gè)動點(diǎn)，E為AF上一點(diǎn)且AE=13AF，當(dāng)AD＝4，AB＝AF＝9時(shí)，則BE+CF的最小值為213【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)．【專題】圖形的全等；矩形菱形正方形；推理能力．【答案】213．【分析】在AB上截取AG＝AE，先證△ABE≌△AFG（SAS），得到BE＝GF，從而得出BE+CF＝GF+CF≥CG，當(dāng)且僅當(dāng)C、F、G三點(diǎn)共線時(shí)取等，再根據(jù)題干條件求解即可．【解答】解：如圖，在AB上截取AG＝AE，連接GF，CG，在△ABE和△AFG中，AE=AG∠BAE=∠FAG∴△ABE≌△AFG（SAS），∴BE＝GF，∴BE+CF＝GF+CF≥CG，當(dāng)且僅當(dāng)C、F、G三點(diǎn)共線時(shí)取等，∵AB＝AF＝9，且AE=13∴AE＝AG＝3，∴BG＝AB﹣AG＝6，∵四邊形ABCD是矩形，AD＝4，∴∠ABC＝90°，BC＝AD＝4，在Rt△BCG中，CG=BC2即BE+CF＝GF+CF≥CG＝213，∴BE+CF的最小值為213，故答案為：213．【點(diǎn)評】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系等內(nèi)容，構(gòu)造全等三角形，將雙動點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為單動點(diǎn)問題是解題的關(guān)鍵．20．（2025?南寧二模）如圖，已知正方形ABCD的邊長為42，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，G是BO的中點(diǎn)，線段EF（點(diǎn)E在點(diǎn)F的左邊）在AC上運(yùn)動，連接BF，EG，若EF＝2，則BF+GE的最小值是210【考點(diǎn)】平行四邊形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；線段的性質(zhì)：兩點(diǎn)之間線段最短；勾股定理；三角形中位線定理．【專題】一元一次不等式（組）及應(yīng)用；等腰三角形與直角三角形；多邊形與平行四邊形；矩形菱形正方形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】210．【分析】取BC的中點(diǎn)P，連接GP，F(xiàn)P，DF，連接DP交AC于點(diǎn)H，證明四邊形EFPG是平行四邊形，得到GE＝PF，由正方形的性質(zhì)得到BF＝DF，得到BF+GE＝DF+PF≥DP，即F與H重合時(shí)，BF+GE的值最小，最小值為DP的長，求出DP=C【解答】解：∵正方形ABCD，正方形ABCD的邊長為42∴AD=BC=CD=42，∠ADC＝∠BCD＝90°∴AC=AD2∴OA=12AC＝4，BD＝AC＝∴OB=12BD＝如圖，取BC的中點(diǎn)P，連接GP，F(xiàn)P，DF，連接DP交AC于點(diǎn)H，∵G是BO的中點(diǎn)，∴GP是△BOC的中位線，∴GP∥OC，GP=12OC＝∵EF＝2，∴EF＝GP，∴四邊形EFPG是平行四邊形，∴GE＝PF，∵AC垂直平分BD，∴BF＝DF，∴BF+GE＝DF+PF≥DP，即F與H重合時(shí)，BF+GE的值最小，最小值為DP的長，∵CP=12BC＝2∴DP=CD2+DP∴BF+GE的最小值為210．故答案為：210．【點(diǎn)評】本題考查正方形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短、三角形中位線以及勾股定理，一元一次不等式，能夠?qū)删€段和的最小值用一條線段的長來表示是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共5小題）21．（2025?浙江模擬）如圖，在四邊形ABCD中，∠C＝90°，AB∥CD，連結(jié)BD，BA＝BD，AF⊥BD分別交BD，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，PD∥BC交AF于點(diǎn)P．（1）求證：△BCD≌△AEB．（2）求證：DF?DB＝AP?AF．【考點(diǎn)】四邊形綜合題．【專題】代數(shù)幾何綜合題；幾何直觀；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】（1）∵AF⊥BD，∴∠AEB＝90°．∵∠C＝90°，∴∠AEB＝∠C．∵AB∥CD，∴∠CDB＝∠ABE．在△BCD和△AEB中，∠C=∠AEB∠CDB=∠EBA∴△BCD≌△AEB（AAS）；（2）如圖，連結(jié)BP并延長交AD于點(diǎn)Q，∵△BCD≌△AEB，∴∠DBC＝∠BAE．∵PD∥BC，∴∠DBC＝∠PDE，∴∠BAE＝∠PDE，又∵BA＝BD，∴∠BAD＝∠BDA，∴∠PAD＝∠PDA，∴PD＝PA，在△BAP和△BDP中，BA=BDPA=PD∴△BAP≌△BDP（SSS），∴∠PBA＝∠PBD，∴BQ⊥AD，∴∠QAP+∠QPA＝90°＝∠EPB+∠PBE，∴∠QAP＝∠PBE＝∠PBA，∵AB∥CD，∴∠PAB＝∠DFA，∴△ADF∽△BPA，∴DFPA∴DF?AB＝AP?AF，∵AB＝DB，∴DF?DB＝AP?AF．【分析】（1）利用AAS證明△BCD≌△AEB；（2）連結(jié)BP并延長交AD于點(diǎn)Q，先利用SSS證明△BAP≌△BDP，再證明△ADF∽△BPA，列出比例式DFPA【解答】證明：（1）∵AF⊥BD，∴∠AEB＝90°．∵∠C＝90°，∴∠AEB＝∠C．∵AB∥CD，∴∠CDB＝∠ABE．在△BCD和△AEB中，∠C=∠AEB∠CDB=∠EBA∴△BCD≌△AEB（AAS）；（2）如圖，連結(jié)BP并延長交AD于點(diǎn)Q，∵△BCD≌△AEB，∴∠DBC＝∠BAE．∵PD∥BC，∴∠DBC＝∠PDE，∴∠BAE＝∠PDE，又∵BA＝BD，∴∠BAD＝∠BDA，∴∠PAD＝∠PDA，∴PD＝PA，在△BAP和△BDP中，BA=BDPA=PD∴△BAP≌△BDP（SSS），∴∠PBA＝∠PBD，∴BQ⊥AD，∴∠QAP+∠QPA＝90°＝∠EPB+∠PBE，∴∠QAP＝∠PBE＝∠PBA，∵AB∥CD，∴∠PAB＝∠DFA，∴△ADF∽△BPA，∴DFPA∴DF?AB＝AP?AF，∵AB＝DB，∴DF?DB＝AP?AF．【點(diǎn)評】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)對應(yīng)邊、對應(yīng)角證明三角形相似，再列出比例式求解．22．（2025?東光縣二模）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝4，BC=11，CD＝6，AD＝3，∠A＝90°，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿折線AB﹣BC向點(diǎn)C運(yùn)動，連接DP，將DP繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到DE，旋轉(zhuǎn)角等于∠ADB，作EF⊥BD于F，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的路程為x（x＞0（1）BD的長為5；按角分，△BCD的形狀是直角三角形；（2）當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上時(shí)．①求證：DF＝DA；②當(dāng)點(diǎn)E落在DC上時(shí)，求x的值；（3）當(dāng)點(diǎn)P經(jīng)過∠BDC的平分線時(shí)，求EF的長；（4）已知BK是△BCD的中線，若線段EF與中線BK有交點(diǎn)，直接寫出x的取值范圍．【考點(diǎn)】四邊形綜合題．【專題】代數(shù)幾何綜合題；幾何直觀；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】（1）5；直角三角形；（2）①由題意，得DE＝DP，∠PDE＝∠ADB，∴∠PDE﹣∠PDF＝∠ADB﹣∠PDF，∴∠FDE＝∠ADP，在△DEF和△DPA中，∠PDE=∠ADB∠DFE=∠A=90°∴△DEF≌△DPA（AAS），∴DF＝DA；②311（3）4+4（4）x的取值范圍為211【分析】（1）在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理求出BD，在△BCD中，根據(jù)勾股定理逆定理可得到DB2+BC2＝CD2，即可得出結(jié)論；（2）①根據(jù)題意可得DE＝DP，∠PDE＝∠ADB，進(jìn)而得到∠FDE＝∠ADP，可證明△DEF≌△DPA，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明；②由∠DBC＝90°，∠DFE＝90°，可得FE∥BC，推出EFBC=DFBD，求出EF，根據(jù)（3）如圖1，過點(diǎn)P作PH⊥AD，PG⊥CD，垂足分別為H，G，過點(diǎn)B作BN⊥PH于點(diǎn)N，根據(jù)角平分線的性質(zhì)證明△PBD≌△PGD（AAS），推出DG＝BD＝5，CG＝CD﹣DG＝1，設(shè)PB＝PG＝m，則CG=BC-PB=11-m，利用勾股定理求出PB=PG=51111，再利用正切的性質(zhì)得到BN=43PN，設(shè)PN＝n，則BN=43n，利用勾股定理求出PN=31111，BN=41111，證明四邊形AHNB是矩形，求出HP=HN+PN=4+411（4）分為：點(diǎn)E在BK上時(shí)，點(diǎn)K在EF上時(shí)，兩種情況討論．【解答】（1）解：在△ABD中，AB＝4，AD＝3，∠A＝90°，由勾股定理得：BD=A∵BC=11，CD＝6∴DB2+BC2＝25+11＝36＝CD2，∴∠DBC＝90°，∴△BCD是直角三角形，故答案為：5；直角三角形；（2）①證明：由題意，得DE＝DP，∠PDE＝∠ADB，∴∠PDE﹣∠PDF＝∠ADB﹣∠PDF，∴∠FDE＝∠ADP，在△DEF和△DPA中，∠PDE=∠ADB∠DFE=∠A=90°∴△DEF≌△DPA（AAS），∴DF＝DA；②解：∵∠DBC＝90°，∠DFE＝90°，∴FE∥BC，若點(diǎn)E在DC上，則△DEF∽△DCB，∴EFBC∵BC=11，DF＝DA＝3，DB＝5∴EF11解得：EF=3∴PA=EF=3∴x=3（3）解：如圖1，過點(diǎn)P作PH⊥AD，PG⊥CD，垂足分別為H，G，過點(diǎn)B作BN⊥PH于點(diǎn)N，∵點(diǎn)P在∠BDC的平分線上，PB⊥BD，PG⊥CD，∴PB＝PG，∠PDB＝∠PDC，∠PBD＝∠PGD＝90°，在△PBD和△PGD中，∠PDB=∠PDG∠PBD=∠PGD∴△PBD≌△PGD（AAS），∴DG＝BD＝5，∴CG＝CD﹣DG＝1，設(shè)PB＝PG＝m，則CG=BC-PB=11在Rt△PGC中，由勾股定理得：PC2＝PG2+CG2，∴(11解得：m=5∴PB=PG=5∵∠DBC＝∠PHD＝90°，∴∠ADB＝∠BPN，∴tan∠ADB＝tan∠BPN，即ABAD∴BN=4設(shè)PN＝n，則BN=4在Rt△PGC中，PB2＝PN2+BN2，∴2511解得：n=3∴PN=31111∵∠A＝∠AHP＝∠HNB＝90°，∴四邊形AHNB是矩形，∴HN＝AB＝4，∴HP=HN+PN=4+4由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠ADB＝∠PDE，DP＝DE，∴∠ADB+∠BDP＝∠PDE+∠BDP，即∠ADP＝∠BDE，∵∠DHP＝∠DFE＝90°，∴△PHD≌△EFD（AAS），∴EF=PH=4+4（4）解：x的取值范圍為211如圖2，過點(diǎn)K作KH⊥BD于點(diǎn)H，∵KH⊥BD，BC⊥BD，∴KH∥BC，∴△DKH∽△DCB，∴KHBC∴KH=12BC=由（2）知DF＝DA＝3，∴BF＝BD﹣DF＝5﹣3＝2；點(diǎn)E在BK上時(shí)，如圖2，∵KH⊥BD，EF⊥BD，∴∠BFE＝∠BHK＝90°，又∵∠FBE＝∠HBK，∴△FBE∽△HBK，∴EFKH∴EF11∴EF=2此時(shí)，x=PA=EF=2如圖3，過點(diǎn)P作PM⊥AD于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作BN⊥PM于點(diǎn)N．點(diǎn)K在EF上時(shí)，DF=BF=1根據(jù)題意可得：∠ADB＝∠PDE，DP＝DE，∴∠ADB+∠BDP＝∠PDE+∠BDP，即∠MDP＝∠FDE，∵∠DMP＝∠DFE＝90°，DP＝DE，∴△DMP≌△DFE（AAS），∴DM=DF=52，∵∠A＝∠AMN＝∠BNM＝90°，∴四邊形ABNM是矩形，∴BN=AM=12，∠ABN＝90°，即∠ABD+DBN＝∵∠DBC＝90°，∠PBN+∠DBN＝90°，∴∠ABD＝∠PBN，∵∠A＝∠BNP＝90°，∴△NBP∽△ABD，∴BPBD∴BP5解得：BP=5此時(shí)，x=AB+BP=4+5∴211【點(diǎn)評】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理及其逆定理、三角形全等的判定及性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)值等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形與相似三角形的性質(zhì)．23．（2025?單縣三模）（1）方法呈現(xiàn)：如圖①：在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長AD到點(diǎn)E使DE＝AD，再連接BE，可證△ACD≌△EBD，從而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍是（直接寫出范圍即可）．這種解決問題的方法我們稱為倍長中線法；（2）探究應(yīng)用：如圖②，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，DE⊥DF于點(diǎn)D，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系并證明；（3）問題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AF與DC的延長線交于點(diǎn)F、點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若AE是∠BAF的角平分線．試探究線段AB，AF，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【考點(diǎn)】四邊形綜合題．【專題】轉(zhuǎn)化思想；構(gòu)造法；幾何直觀；應(yīng)用意識．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）由已知得出AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即6﹣4＜AE＜6+4，AD為AE的一半，即可得出答案；（2）延長FD至點(diǎn)M，使DM＝DF，連接BM，EM，可得△BMD≌△CFD，得出BM＝CF，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出EM＝EF，在△BME中，由三角形的三邊關(guān)系得出BE+BM＞EM即可得出結(jié)論；（3）延長AE，DF交于點(diǎn)G，根據(jù)平行和角平分線可證AF＝FG，也可證得△ABE≌△GCE，從而可得AB＝CG，即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）1＜AD＜5．∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝CD，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE＝AC＝4，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴6﹣4＜AE＜6+4，∴2＜AE＜10，∴1＜AD＜5．證明：（2）延長FD至點(diǎn)M，使DM＝DF，連接BM、EM，如圖②所示．同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），∴BM＝CF，∵DE⊥DF，DM＝DF，∴EM＝EF，在△BME中，由三角形的三邊關(guān)系得：BE+BM＞EM，∴BE+CF＞EF．（3）如圖③，延長AE，DF交于點(diǎn)G，∵AB∥CD，∴∠BAG＝∠G，在△ABE和△GCE中，CE＝BE，∠BAG＝∠G，∠AEB＝∠GEC，∴△ABE≌△GEC（AAS），∴CG＝AB，∵AE是∠BAF的平分線，∴∠BAG＝∠GAF，∴∠FAG＝∠G，∴AF＝GF，∵FG+CF＝CG，∴AF+CF＝AB．【點(diǎn)評】本題是三角形綜合題，主要考查了三角形的三邊關(guān)系，全等三角形的判定與性質(zhì)，角的關(guān)系等知識點(diǎn)，所以本題的綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度，通過作輔助線證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．24．（2025?萊西市校級模擬）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)A且平行于BC的射線交DE的延長線于點(diǎn)F，連接AD，CF．（1）求證：△AFE≌△CDE；（2）若點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADCF是矩形？請說明理由．【考點(diǎn)】矩形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】圖形的全等；矩形菱形正方形；推理能力．【答案】（1）見解析；（2）當(dāng)AB＝AC時(shí)，四邊形ADCF是矩形，理由見解析．【分析】（1）根據(jù)線段中點(diǎn)的定義得到AE＝CE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠FAE＝∠DCE，根據(jù)全等三角形的判定定理得到結(jié)論；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AF＝CD，推出四邊形ADCF是平行四邊形，根據(jù)等腰三角形到現(xiàn)在得到∠ADC＝90°，推出四邊形ADCF是矩形．【解答】（1）證明：∵點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn)，∴AE＝CE，∵AF∥BC，∴∠FAE＝∠DCE，在△AFE與△CDE中，∠FAE=∠DCEAE=CE∴△AFE≌△CDE（ASA）；（2）解：當(dāng)AB＝AC時(shí)，四邊形ADCF是矩形，理由：∵△AFE≌△CDE，∴AF＝CD，∵AF∥CD，∴四邊形ADCF是平行四邊形，∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD，∵AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴四邊形ADCF是矩形．【點(diǎn)評】本題考查了進(jìn)行的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，熟練掌握各知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．25．（2025?重慶二模）如圖1，在邊長為4的正方形ABCD中，E為AD中點(diǎn)，動點(diǎn)Q以每秒14個(gè)單位的速度，從點(diǎn)E出發(fā)，在射線ED上運(yùn)動，同時(shí)動點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度，從點(diǎn)B出發(fā)，按B→C→D的方向運(yùn)動至點(diǎn)D停止，當(dāng)動點(diǎn)P停止運(yùn)動時(shí)動點(diǎn)Q也停止運(yùn)動．連接AP、AC、CQ，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間為t秒，△APC的面積為y1，△AQC的面積為y2（1）求出y1，y2關(guān)于t的函數(shù)解析式并寫出自變量t的取值范圍；（2）在圖2所示的平面直角坐標(biāo)系中畫出y1，y2的函數(shù)圖象，并根據(jù)圖象寫出函數(shù)y1的一條性質(zhì)；（3）當(dāng)y1＝y(tǒng)2時(shí)，求t的值．【考點(diǎn)】四邊形綜合題．【專題】代數(shù)幾何綜合題；運(yùn)算能力；推理能力；應(yīng)用意識．【答案】（1）y1=-2t+8(0≤t＜4)2t-8(4＜t≤8)，y2=1（2）畫出y1，y2的函數(shù)圖象如圖2所示，當(dāng)t＝0或t＝8時(shí)，y1的最大值為8；（或當(dāng)0≤t＜4時(shí)，y1隨t的增大而減小，當(dāng)4＜t≤8時(shí)，y1隨t的增大而增大）．（3）t的值為85或8【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠B＝∠ADC＝90°，AE=12AB＝2，當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上，即0≤t＜4時(shí)，y1＝S△APC=12×4（4﹣t）＝﹣2t+8；當(dāng)點(diǎn)P在CD邊上，即4＜t≤8時(shí)，y1＝S△APC=12×4（t﹣4）＝2t﹣8；當(dāng)0≤t≤8時(shí)，y2＝S△AQC=12（2）先求出畫出函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再畫出y1，y2的函數(shù)圖象，觀察函數(shù)圖象可知，當(dāng)t＝0或t＝8時(shí)，y1的最大值為8；當(dāng)0≤t＜4時(shí)，y1隨t的增大而減小，當(dāng)4＜t≤8時(shí)，y1隨t的增大而增大，寫出其中的一條性質(zhì)即可；（3）分兩種情況，一是當(dāng)0≤t＜4時(shí)，由y1＝y(tǒng)2得﹣2t+8=12t+4；二是當(dāng)4＜t≤8時(shí)，由y1＝y(tǒng)2得2t﹣8=12t【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是邊長為4的正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠B＝∠ADC＝90°，∵E為AD中點(diǎn)，∴AE＝DE=12AB＝當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，則t＝4；當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，則t＝8，當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上，即0≤t＜4時(shí)，如圖1（1），∵AB⊥PC，PC＝4﹣t，∴y1＝S△APC=12×4（4﹣t）＝﹣2當(dāng)點(diǎn)P在CD邊上，即4＜t≤8時(shí)，如圖1（2），∵AD⊥PC，PC＝t﹣4，∴y1＝S△APC=12×4（t﹣4）＝2t∵CD⊥AQ，AQ＝AE+EQ=14t∴y2＝S△AQC=12×4（14t+2）∵當(dāng)動點(diǎn)P停止運(yùn)動時(shí)動點(diǎn)Q也停止運(yùn)動，∴在點(diǎn)Q的運(yùn)動過程中，t的取值范圍是0≤t≤8，綜上所述，y1=-2t+8(0≤t＜4)2t-8(4＜t≤8)，y2=1（2）函數(shù)y1=-2t+8(0≤t＜4)2t-8(4＜t≤8)，當(dāng)t＝0時(shí)，y＝8；當(dāng)t＝若x＝4，則y＝0，畫出函數(shù)y1的圖象如圖2所示；函數(shù)y2=12t+4，當(dāng)t＝0時(shí)，y＝4；當(dāng)t＝8時(shí)，y＝畫出函數(shù)y2的圖象如圖2所示，由函數(shù)函數(shù)y1的圖象可知，當(dāng)t＝0或t＝8時(shí)，y1的最大值為8．（3）當(dāng)0≤t＜4時(shí)，由y1＝y(tǒng)2得﹣2t+8=12t解得t=8當(dāng)4＜t≤8時(shí)，由y1＝y(tǒng)2得2t﹣8=12t解得t＝8，綜上所述，t的值為85或8注：（1）的答案不唯一，如當(dāng)0≤t＜4時(shí)，y1隨t的增大而減小，當(dāng)4＜t≤8時(shí)，y1隨t的增大而增大．【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查正方形的性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角形的面積公式、根據(jù)實(shí)際問題的條件求自變量的取值范圍、數(shù)形結(jié)合與分類討論數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用等知識與方法，此題綜合性強(qiáng)，難度較大，屬于考試壓軸題．

考點(diǎn)卡片1．線段的性質(zhì)：兩點(diǎn)之間線段最短線段公理兩點(diǎn)的所有連線中，可以有無數(shù)種連法，如折線、曲線、線段等，這些所有的線中，線段最短．簡單說成：兩點(diǎn)之間，線段最短．2．角平分線的定義（1）角平分線的定義從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線叫做這個(gè)角的平分線．（2）性質(zhì)：若OC是∠AOB的平分線則∠AOC＝∠BOC=12∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠（3）平分角的方法有很多，如度量法、折疊法、尺規(guī)作圖法等，要注意積累，多動手實(shí)踐．3．七巧板（1）七巧板是由下面七塊板組成的，完整圖案為一正方形：五塊等腰直角三角形（兩塊小形三角形、一塊中形三角形和兩塊大形三角形）、一塊正方形和一塊平行四邊形．（2）用這七塊板可以拼搭成幾何圖形，如三角形、平行四邊形、不規(guī)則的多角形等；也可以拼成各種具體的人物形象，或者動物或者是一些中、英文字符號．（3）制作七巧板的方法：①首先，在紙上畫一個(gè)正方形，把它分為十六個(gè)小方格．②再從左上角到右下角畫一條線．③在上面的中間連一條線到右面的中間．④再在左下角到右上角畫一條線，碰到第二條線就可以停了．⑤從剛才的那條線的尾端開始一條線，畫到最下面四份之三的位置，從左邊開始數(shù)，碰到線就可停．⑥最后，把它們涂上不同的顏色并跟著黑線條剪開，你就有一副全新的七巧板了．4．三角形內(nèi)角和定理（1）三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角．每個(gè)三角形都有三個(gè)內(nèi)角，且每個(gè)內(nèi)角均大于0°且小于180°．（2）三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．（3）三角形內(nèi)角和定理的證明證明方法，不唯一，但其思路都是設(shè)法將三角形的三個(gè)內(nèi)角移到一起，組合成一個(gè)平角．在轉(zhuǎn)化中借助平行線．（4）三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用主要用在求三角形中角的度數(shù)．①直接根據(jù)兩已知角求第三個(gè)角；②依據(jù)三角形中角的關(guān)系，用代數(shù)方法求三個(gè)角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角．5．全等三角形的判定與性質(zhì)（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．6．角平分線的性質(zhì)角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．注意：①這里的距離是指點(diǎn)到角的兩邊垂線段的長；②該性質(zhì)可以獨(dú)立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，有時(shí)不必證明全等；③使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角平分線的性質(zhì)語言：如圖，∵C在∠AOB的平分線上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE7．等邊三角形的判定與性質(zhì)（1）等邊三角形是一個(gè)非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關(guān)角的計(jì)算奠定了基礎(chǔ)，它的邊角性質(zhì)為證明線段、角相等提供了便利條件．同是等邊三角形又是特殊的等腰三角形，同樣具備三線合一的性質(zhì)，解題時(shí)要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應(yīng)用．（2）等邊三角形的特性如：三邊相等、有三條對稱軸、一邊上的高可以把等邊三角形分成含有30°角的直角三角形、連接三邊中點(diǎn)可以把等邊三角形分成四個(gè)全等的小等邊三角形等．（3）等邊三角形判定最復(fù)雜，在應(yīng)用時(shí)要抓住已知條件的特點(diǎn)，選取恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒?，一般地，若從一般三角形出發(fā)可以通過三條邊相等判定、通過三個(gè)角相等判定；若從等腰三角形出發(fā)，則想法獲取一個(gè)60°的角判定．8．直角三角形的性質(zhì)（1）有一個(gè)角為90°的三角形，叫做直角三角形．（2）直角三角形是一種特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性質(zhì)外，具有一些特殊的性質(zhì)：性質(zhì)1：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（勾股定理）．性質(zhì)2：在直角三角形中，兩個(gè)銳角互余．性質(zhì)3：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點(diǎn)）性質(zhì)4：直角三角形的兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積．性質(zhì)5：在直角三角形中，如果有一個(gè)銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°．9．直角三角形斜邊上的中線（1）性質(zhì)：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點(diǎn)）（2）定理：一個(gè)三角形，如果一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是以這條邊為斜邊的直角三角形．該定理可以用來判定直角三角形．10．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．11．等腰直角三角形（1）兩條直角邊相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．（2）等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)，還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質(zhì)．即：兩個(gè)銳角都是45°，斜邊上中線、角平分線、斜邊上的高，三線合一，等腰直角三角形斜邊上的高為外接圓的半徑R，而高又為內(nèi)切圓的直徑（因?yàn)榈妊苯侨切蔚膬蓚€(gè)小角均為45°，高又垂直于斜邊，所以兩個(gè)小三角形均為等腰直角三角形，則兩腰相等）；（3）若設(shè)等腰直角三角形內(nèi)切圓的半徑r＝1，則外接圓的半徑R=2+1，所以r：R＝1：212．三角形中位線定理（1）三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．（2）幾何語言：如圖，∵點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)∴DE∥BC，DE=1213．多邊形內(nèi)角與外角（1）多邊形內(nèi)角和定理：（n﹣2）?180°（n≥3且n為整數(shù)）此公式推導(dǎo)的基本方法是從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)引出（n﹣3）條對角線，將n邊形分割為（n﹣2）個(gè)三角形，這（n﹣2）個(gè)三角形的所有內(nèi)角之和正好是n邊形的內(nèi)角和．除此方法之和還有其他幾種方法，但這些方法的基本思想是一樣的．即將多邊形轉(zhuǎn)化為三角形，這也是研究多邊形問題常用的方法．（2）多邊形的外角和等于360°．①多邊形的外角和指每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角，則n邊形取n個(gè)外角，無論邊數(shù)是幾，其外角和永遠(yuǎn)為360°．②借助內(nèi)角和和鄰補(bǔ)角概念共同推出以下結(jié)論：外角和＝180°n﹣（n﹣2）?180°＝360°．14．平行四邊形的性質(zhì)（1）平行四邊形的概念：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．（2）平行四邊形的性質(zhì)：①邊：平行四邊形的對邊相等．②角：平行四邊形的對角相等．③對角線：平行四邊形的對角線互相平分．（3）平行線間的距離處處相等．（4）平行四邊形的面積：①平行四邊形的面積等于它的底和這個(gè)底上的高的積．②同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積相等．15．平行四邊形的判定與性質(zhì)平行四邊形的判定與性質(zhì)的作用平行四邊形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，對角線互相平分及它的判定，是我們證明直線的平行、線段相等、角相等的重要方法，若要證明兩直線平行和兩線段相等、兩角相等，可考慮將要證的直線、線段、角、分別置于一個(gè)四邊形的對邊或?qū)堑奈恢蒙?，通過證明四邊形是平行四邊形達(dá)到上述目的．運(yùn)用定義，也可以判定某個(gè)圖形是平行四邊形，這是常用的方法，不要忘記平行四邊形的定義，有時(shí)用定義判定比用其他判定定理還簡單．凡是可以用平行四邊形知識證明的問題，不要再回到用三角形全等證明，應(yīng)直接運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)和判定去解決問題．16．菱形的性質(zhì)（1）菱形的性質(zhì)①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；②菱形的四條邊都相等；③菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；④菱形是軸對稱圖形，它有2條對稱軸，分別是兩條對角線所在直線．（2）菱形的面積計(jì)算①利用平行四邊形的面積公式．②菱形面積=12ab