第1頁（共1頁）2026年中考數(shù)學?？伎键c專題之投影與視圖一．選擇題（共12小題）1．（2025?瓊中縣一模）如圖是由5個相同的小正方體組成的幾何體，它的主視圖是（）A． B． C． D．2．（2025?瑯琊區(qū)三模）一個幾何體的三視圖如圖所示，那么這個幾何體是（）A． B． C． D．3．（2025?海南模擬）如圖是由5個大小相同的小正方體擺成的立體圖形，它的主視圖是（）A． B． C． D．4．（2025?聊城三模）古代中國諸多技藝均領先世界．榫卯結(jié)構就是其中之一，榫卯是在兩個木構件上所采用的一種凹凸結(jié)合的連接方式．凸出部分叫榫（或榫頭），凹進部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和卯咬合，起到連接作用，如圖是某個部件“榫”的實物圖，它的俯視圖是（）A． B． C． D．5．（2025?潮南區(qū)校級一模）如圖，它是由5個完全相同的小正方體搭建的幾何體，俯視圖是（）A． B． C． D．6．（2025?平輿縣三模）某幾何體的俯視圖如圖所示，則該幾何體可能為（）A． B． C． D．7．（2025?安慶三模）一個長方體挖去一個幾何體后的三視圖如圖所示，則挖去的幾何體為（）A．圓柱 B．圓錐 C．球體 D．三棱錐8．（2025?五河縣三模）如圖所示的組合幾何體的三視圖是（）A． B． C． D．9．（2025?貴池區(qū)校級三模）如圖，下面是由六個同樣大小的正方體搭建的幾何體，那么它的左視圖為（）A． B． C． D．10．（2025?綿竹市模擬）如圖是某幾何體的三視圖，該幾何體是（）A． B． C． D．11．（2025?蜀山區(qū)模擬）“月壤磚”是未來可能用于月球蓋房子的建筑材料，采用一種真空燒結(jié)的方式，對模擬月壤進行燒結(jié)成型，由我國科學家自主研制．它采用的是榫卯結(jié)構的連接方式．如圖所示是其中一種“月壤磚”，該“月壤磚”卯結(jié)構的左視圖是（）A． B． C． D．12．（2025?安慶模擬）如圖是一個長方體切去一部分后得到的幾何體，切點A，B是原長方體棱的中點，其主視圖為（）A． B． C． D．二．填空題（共8小題）13．（2025?康縣一模）由若干個完全相同的小立方塊搭成的幾何體的主視圖和左視圖如圖所示，則搭成該幾何體所用的小立方塊的個數(shù)最多是．14．（2024?鏡湖區(qū)校級三模）某款掃地機器人的俯視圖是一個等寬曲邊三角形ABC（分別以正△ABC的三個頂點A，B，C為圓心，AB長為半徑畫弧得到的圖形）．若已知AB＝6，則曲邊AB的長為．15．（2024?蘆淞區(qū)模擬）我國古代數(shù)學名著《九章算術》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱之為“塹堵”．塹堵的實物圖與左視圖如圖所示，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)可得該“塹堵”的高h為．16．（2024?銀川一模）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為．17．（2024?西吉縣一模）一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)面積為．18．（2024?南昌一模）日晷儀也稱日晷，是我國古代較為普遍使用的計時儀器，內(nèi)圈被分為十二個全等的圖形，分別標示著“十二地支”（子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥），如圖所示．通過測量得到晷面內(nèi)圈的半徑OA為18cm．若晷針投影的長度不變，且都在晷面的內(nèi)圈上，則晷針投影在晷面上從“巳”時開始到“申”時結(jié)束（從OA旋轉(zhuǎn)到OB）劃過的圖形面積（圖中陰影部分）是cm2．19．（2023?金溪縣模擬）已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為等邊三角形，則該幾何體的左視圖的面積為．20．（2023?官渡區(qū)二模）六邊形象征六合、六順之意，比如首飾盒、古建筑的窗戶，古井口、佛塔等等．化學上一些分子結(jié)構、物理學上的螺母，也采用六邊形．從工程角度來看，正六邊形是最穩(wěn)定和對稱的．如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，若正六邊形的邊長為6，則劣弧CE的長為（結(jié)果保留π）．三．解答題（共5小題）21．（2023?蕭縣一模）如圖是一個幾何體的三視圖，其中俯視圖為正三角形．（1）這個幾何體的名稱為；（2）求該幾何體的左視圖中a的值．22．（2025?二道區(qū)校級四模）如圖為某區(qū)域的俯視圖，正方形代表建筑，空白部分代表道路，小明從A路口出發(fā)，完全隨機的在“北”（圖中的上）、“南”（圖中的下）、“西”（圖中的左）、“東”（圖中的右）四個方向中選擇一個并移動，到達其他路口后，在不折返的前提下，在其他三個方向中完全隨機的選擇一個并移動．求小明從A路口出發(fā)后（不算A路口）經(jīng)過的第二個路口為C路口的概率．23．（2025?連城縣模擬）綜合與實踐問題情境學校準備在一面高2m、寬4m的墻上建一扇拱形門，這面墻的主視圖為矩形ABCD，如圖1．老師讓同學們幫忙設計，要求既美觀大方，又盡可能地容易通過．方案設計A小組設計的是半圓形拱門，如圖2，以AB為直徑的半圓O與矩形ABCD三邊都相切．B小組設計的是拋物線形拱門，如圖3，拋物線的頂點P在墻的上沿CD的中點處，且拋物線過點A和點B．提出問題A，B兩小組設計的拱門哪個“通過性”更好呢？分析問題老師建議同學們分別計算它們的“內(nèi)接正方形”（正方形的兩個頂點在線段AB上，兩個頂點在半圓或拋物線上）面積的大小，通過比較兩種設計方案的“內(nèi)接正方形”的面積，判斷它們的“通過性”．解決問題請你先分別畫出兩種方案的“內(nèi)接正方形”的示意圖，然后分別計算它們的面積，并利用計算結(jié)果說明哪個方案的拱門“通過性”更好．（2≈1.41424．（2025?永壽縣校級模擬）春夏之交，正適合去山野間漫游，藍天白云下，青山綠水間，擇一處草地，支一頂帳篷，邀親朋好友，聞清風，話家常，好不愜意．一款帳篷的支架簡單，攜帶方便，適合一般的休閑旅行使用，它的形狀可近似看作拋物線，該款帳篷在搭建時，張開的寬度和頂部高度會影響容納的椅子數(shù)量，如圖①是該款帳篷搭建完成的平面示意圖，其張開的寬度AB＝2m，頂部高度MN＝1.2m，現(xiàn)以點A為坐標原點，AB所在直線為x軸，過點A且平行于MN的直線為y軸建立平面直角坐標系．（1）求該帳篷支架對應的拋物線的表達式；（2）如圖②為一把椅子擺入該帳篷后的簡易視圖，椅子高度EC＝0.9m，寬度CD＝0.3m，若在該帳篷內(nèi)沿AB方向擺放一排此款椅子，則最多可擺放多少把椅子？25．（2025?南京模擬）【綜合與實踐】南京文化紀念品的包裝優(yōu)化南京作為歷史文化名城，有眾多特色文化紀念品．某紀念品生產(chǎn)廠家在20周年廠慶前，為其經(jīng)典的“南京云錦”主題紀念品設計了長方體包裝盒．但在實際生產(chǎn)與使用中發(fā)現(xiàn)，裝入紀念品后包裝盒邊角空余空間較多，造成了包裝材料的浪費，于是決定開展節(jié)省材料的探究活動．任務1平面圖形的探究南京的傳統(tǒng)建筑中常常能看到矩形的窗戶等元素．對于面積固定的矩形，我們來探究其周長的變化規(guī)律．已知秦淮河畔某古建筑修復時用到的一種矩形裝飾磚面積為36平方分米，通過列舉不同長和寬的情況，得到以下表格：長（分米）36181296寬（分米）12345周長（分米）7440302624根據(jù)表格，可猜測：矩形的面積一定時，時周長最?。疄榱俗C明上述猜測，小寧同學假設矩形面積為n2（n＞0），設兩鄰邊長分別為n﹣s和n+t（s，t均為非負數(shù)），則（n﹣s）（n+t）＝n2，經(jīng)化簡可得t-s=st任務2立體圖形的包裝改進廠家之前設計的長方體包裝盒尺寸為：長10厘米、寬8厘米、高6厘米，該包裝盒用于包裝以南京明城墻為原型的小型紀念品．現(xiàn)打算在保持底面積不變的前提下，將包裝盒形狀改為底面半徑為4厘米的圓柱體，高保持不變，從節(jié)省材料（即表面積最小）的角度來看，你覺得這樣的改進合理嗎？請判斷并說明理由．（取3.14，結(jié)果精確到0.1平方厘米）

2026年中考數(shù)學常考考點專題之投影與視圖參考答案與試題解析一．選擇題（共12小題）題號1234567891011答案ACCCADBACCB題號12答案D一．選擇題（共12小題）1．（2025?瓊中縣一模）如圖是由5個相同的小正方體組成的幾何體，它的主視圖是（）A． B． C． D．【考點】簡單組合體的三視圖．【專題】投影與視圖；空間觀念．【答案】A【分析】從正面看，從左往右3列正方形的個數(shù)依次為2，1，1，且第一層左側(cè)有1個正方形，第二層有3個正方形，由此即可得出該幾何體的主視圖．【解答】解：幾何體的主視圖是．故選：A．【點評】本題考查了簡單組何體的三視圖，掌握幾何體的空間結(jié)構是關鍵．2．（2025?瑯琊區(qū)三模）一個幾何體的三視圖如圖所示，那么這個幾何體是（）A． B． C． D．【考點】由三視圖判斷幾何體．【專題】投影與視圖．【答案】C【分析】由正視圖和左視圖可確定此幾何體為柱體，錐體還是球體，再由俯視圖可得具體形狀．【解答】解：由正視圖和左視圖可確定此幾何體為柱體，由俯視圖是三角形可得此幾何體為三棱柱．故選：C．【點評】本題由物體的三種視圖推出原來幾何體的形狀，考查了學生的思考能力和對幾何體三種視圖的空間想象能力和綜合能力．3．（2025?海南模擬）如圖是由5個大小相同的小正方體擺成的立體圖形，它的主視圖是（）A． B． C． D．【考點】簡單組合體的三視圖．【專題】投影與視圖；空間觀念．【答案】C【分析】根據(jù)主視圖是從正面看到的圖形分析即可．【解答】解：該立體圖形的主視圖是上下兩層，上層1個正方形，下層3個正方形，上層正方形在最右邊．故選：C．【點評】本題考查了幾何體的三視圖，掌握幾何體的空間結(jié)構是關鍵．4．（2025?聊城三模）古代中國諸多技藝均領先世界．榫卯結(jié)構就是其中之一，榫卯是在兩個木構件上所采用的一種凹凸結(jié)合的連接方式．凸出部分叫榫（或榫頭），凹進部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和卯咬合，起到連接作用，如圖是某個部件“榫”的實物圖，它的俯視圖是（）A． B． C． D．【考點】簡單組合體的三視圖．【專題】投影與視圖；幾何直觀．【答案】C【分析】根據(jù)俯視圖的意義，判斷解答即可．【解答】解：部件“榫”的實物圖的俯視圖是：．故選：C．【點評】本題考查了三視圖的意義，熟練掌握俯視圖的意義是解題的關鍵．5．（2025?潮南區(qū)校級一模）如圖，它是由5個完全相同的小正方體搭建的幾何體，俯視圖是（）A． B． C． D．【考點】簡單組合體的三視圖．【專題】投影與視圖；空間觀念．【答案】A【分析】根據(jù)俯視圖是從上面看到的圖形，判定即可．【解答】解：根據(jù)題意可知，幾何體的俯視圖為：．故選：A．【點評】此題主要考查了簡答幾何體的三視圖，掌握主視圖，左視圖，俯視圖分別是從物體的正面，左面，上面看得到的圖形是關鍵．6．（2025?平輿縣三模）某幾何體的俯視圖如圖所示，則該幾何體可能為（）A． B． C． D．【考點】由三視圖判斷幾何體．【專題】投影與視圖；空間觀念．【答案】D【分析】由于俯視圖是從物體的上面看得到的視圖，所以先得出四個選項中各幾何體的俯視圖再與題目圖形進行比較即可．【解答】解：A、俯視圖是一個圓，不符合題意；B、俯視圖是一個圓，且有圓心，不符合題意；C、俯視圖是一個圓，故不符合題意；D、俯視圖是一個圓，且圓內(nèi)有一個虛線圓，符合題意．故選：D．【點評】本題考查了由三視圖判斷幾何體，掌握幾何體的空間結(jié)構是關鍵．7．（2025?安慶三模）一個長方體挖去一個幾何體后的三視圖如圖所示，則挖去的幾何體為（）A．圓柱 B．圓錐 C．球體 D．三棱錐【考點】由三視圖判斷幾何體．【專題】投影與視圖；運算能力．【答案】B【分析】根據(jù)三視圖可得被挖去的幾何體為圓錐，即可求解．【解答】解：根據(jù)主視圖是帶有圓心的圓，左視圖和俯視圖都是三角形形，則被挖去的幾何體為圓錐．故選：B．【點評】本題考查了由三視圖判斷幾何體的知識，熟練掌握三視圖的意義是解題的關鍵．8．（2025?五河縣三模）如圖所示的組合幾何體的三視圖是（）A． B． C． D．【考點】簡單組合體的三視圖．【專題】投影與視圖；空間觀念．【答案】A【分析】主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看，所得到的圖形；注意看到的用實線表示，看不到的用虛線表示．【解答】解：組合幾何體的三視圖為：．故選：A．【點評】本題考查了簡單組合體的三視圖，掌握幾何體的空間結(jié)構是關鍵．9．（2025?貴池區(qū)校級三模）如圖，下面是由六個同樣大小的正方體搭建的幾何體，那么它的左視圖為（）A． B． C． D．【考點】簡單組合體的三視圖．【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；空間觀念．【答案】C【分析】根據(jù)從左邊看到的平面圖形進行解答即可．【解答】解：左視圖為：．故選：C．【點評】此題考查了簡單組合體的三視圖，掌握幾何體的空間結(jié)構是關鍵．10．（2025?綿竹市模擬）如圖是某幾何體的三視圖，該幾何體是（）A． B． C． D．【考點】由三視圖判斷幾何體．【專題】投影與視圖；幾何直觀．【答案】C【分析】本題考查了平移的定義，注意：平移是整體沿著某一方向移動．【解答】解：主視圖和左視圖都是等腰三角形，那么此幾何體為錐體，由俯視圖為圓，可得此幾何體是圓錐．故選：C．【點評】本題考查了由三視圖判斷幾何體，主視圖和左視圖的大致輪廓為三角形的幾何體為錐體．11．（2025?蜀山區(qū)模擬）“月壤磚”是未來可能用于月球蓋房子的建筑材料，采用一種真空燒結(jié)的方式，對模擬月壤進行燒結(jié)成型，由我國科學家自主研制．它采用的是榫卯結(jié)構的連接方式．如圖所示是其中一種“月壤磚”，該“月壤磚”卯結(jié)構的左視圖是（）A． B． C． D．【考點】簡單組合體的三視圖．【專題】投影與視圖；空間觀念．【答案】B【分析】根據(jù)左視圖是從左邊看得到的圖形解答即可．【解答】解：從左邊看，是一個矩形，矩形中間有一條橫向的虛線．故選：B．【點評】本題考查了簡單組合體的三視圖，左視圖是從左邊看得到的圖形．12．（2025?安慶模擬）如圖是一個長方體切去一部分后得到的幾何體，切點A，B是原長方體棱的中點，其主視圖為（）A． B． C． D．【考點】簡單組合體的三視圖；截一個幾何體．【專題】投影與視圖；運算能力．【答案】D【分析】注意，存在看不見的用虛線表示．從正面看，確定主視圖即可．【解答】解：存在看不見的用虛線表示．從正面看，確定主視圖如下：幾何體的主視圖為：故選：D．【點評】本題考查三視圖．熟練掌握三視圖的確定方法是解題的關鍵．二．填空題（共8小題）13．（2025?康縣一模）由若干個完全相同的小立方塊搭成的幾何體的主視圖和左視圖如圖所示，則搭成該幾何體所用的小立方塊的個數(shù)最多是7．【考點】由三視圖判斷幾何體．【專題】投影與視圖；幾何直觀．【答案】7．【分析】根據(jù)所給出的圖形可知這個幾何體共有2層，3列，先看第一層正方體可能的最多個數(shù)，再看第二層正方體的可能的最多個數(shù)，相加即可．【解答】解：根據(jù)主視圖和左視圖可得：這個幾何體有2層，3列，最底層最多有3×2＝6個正方體，第二層有1個正方體．故答案為：7．【點評】此題考查了有三視圖判斷幾何體，關鍵是根據(jù)主視圖和左視圖確定組合幾何體的層數(shù)及列數(shù)．14．（2024?鏡湖區(qū)校級三模）某款掃地機器人的俯視圖是一個等寬曲邊三角形ABC（分別以正△ABC的三個頂點A，B，C為圓心，AB長為半徑畫弧得到的圖形）．若已知AB＝6，則曲邊AB的長為2π．【考點】由三視圖判斷幾何體；弧長的計算；簡單幾何體的三視圖．【專題】與圓有關的計算；運算能力．【答案】2π．【分析】根據(jù)弧長公式計算即可．【解答】解：曲邊AB的長為：60π×6180=2故答案為：2π．【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和弧長公式，注意：①等邊三角形的三條邊都相等，等邊三角形的每個角都等于60°，②一條弧所對的圓心角是n°，半徑為r，那么這條弧的長度是nπr18015．（2024?蘆淞區(qū)模擬）我國古代數(shù)學名著《九章算術》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱之為“塹堵”．塹堵的實物圖與左視圖如圖所示，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)可得該“塹堵”的高h為4．【考點】由三視圖判斷幾何體；勾股定理的應用．【專題】投影與視圖；空間觀念．【答案】4．【分析】根據(jù)“塹堵”的左視圖是直角三角形，再根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得答案．【解答】解：∵該“塹堵”的左視圖是直角三角形，∴該“塹堵”的高h=12故答案為：4．【點評】本題考查了簡單組合體的三視圖，注意主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看，所得到的圖形．16．（2024?銀川一模）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為32．【考點】由三視圖判斷幾何體．【專題】投影與視圖；幾何直觀；運算能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】判斷幾何體的形狀，利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的體積即可．【解答】解：根據(jù)三視圖可知幾何體是一個高為3，底面為底邊長為2，高為2的三角形的三棱柱，∴幾何體的體積是12×2×2×3故答案為：32．【點評】本題考查由三視圖判斷幾何體，求解幾何體的體積，判斷幾何體的形狀是解題的關鍵，是基礎題．17．（2024?西吉縣一模）一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)面積為12π．【考點】由三視圖判斷幾何體；幾何體的表面積．【專題】投影與視圖；幾何直觀；運算能力．【答案】12π．【分析】由幾何體的主視圖和左視圖都是等腰三角形，俯視圖是圓，可以判斷這個幾何體是圓錐，再利用圓錐側(cè)面積公式求出即可．【解答】解：由三視圖得這個幾何體為圓錐，圓錐的母線長為6，底面圓的直徑為4，所以這個幾何體的側(cè)面積=12×π×4×6＝故答案為：12π．【點評】本題考查了由三視圖判斷幾何體，圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．也考查了三視圖．18．（2024?南昌一模）日晷儀也稱日晷，是我國古代較為普遍使用的計時儀器，內(nèi)圈被分為十二個全等的圖形，分別標示著“十二地支”（子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥），如圖所示．通過測量得到晷面內(nèi)圈的半徑OA為18cm．若晷針投影的長度不變，且都在晷面的內(nèi)圈上，則晷針投影在晷面上從“巳”時開始到“申”時結(jié)束（從OA旋轉(zhuǎn)到OB）劃過的圖形面積（圖中陰影部分）是108πcm2．【考點】平行投影；全等圖形．【專題】與圓有關的計算；運算能力；推理能力．【答案】108π．【分析】首先根據(jù)題意得到∠AOB的度數(shù)，然后利用扇形的面積公式即可求解．【解答】解：依題意所求圖形的面積是一個扇形，扇形的圓心角∠AOB=360°12×4＝120°，半徑OA為∴劃過的圖形面積（圖中陰影部分）=120π×182故答案為：108π．【點評】此題主要考查了扇形面積的計算，解題的關鍵是讀懂題意找出數(shù)量關系．19．（2023?金溪縣模擬）已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為等邊三角形，則該幾何體的左視圖的面積為33cm2．【考點】由三視圖判斷幾何體；簡單組合體的三視圖．【專題】投影與視圖．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】由三視圖想象幾何體的形狀，首先，應分別根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象幾何體的前面、上面和左側(cè)面的形狀，然后綜合起來考慮整體形狀．【解答】解：該幾何體是一個三棱柱，底面等邊三角形邊長為2cm，底面三角形的高為3cm，三棱柱的高為3cm，所以，其左視圖為長方形，長為3cm，寬為3cm，面積為3×3=33（cm故答案為33cm2．【點評】本題考查了三視圖，三視圖是中考經(jīng)?？疾榈闹R內(nèi)容，難度不大，但要求對三視圖畫法規(guī)則要熟練掌握，對常見幾何體的三視圖要熟悉．20．（2023?官渡區(qū)二模）六邊形象征六合、六順之意，比如首飾盒、古建筑的窗戶，古井口、佛塔等等．化學上一些分子結(jié)構、物理學上的螺母，也采用六邊形．從工程角度來看，正六邊形是最穩(wěn)定和對稱的．如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，若正六邊形的邊長為6，則劣弧CE的長為4π（結(jié)果保留π）．【考點】簡單組合體的三視圖；正多邊形和圓；弧長的計算．【專題】正多邊形與圓；與圓有關的計算；運算能力．【答案】4π．【分析】根據(jù)圓內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)求出劣弧CE所對應的圓心角度數(shù)以及半徑，由弧長公式進行計算即可．【解答】解：如圖，連接OC、OD、OE，∵正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，∴∠COD＝∠DOE=360°6∴△OCD是正三角形，∴OC＝OD＝CD＝6，∴劣弧CE的長為：120π×6180=4故答案為：4π．【點評】本題考查正多邊形和圓，弧長的計算，掌握圓內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)以及弧長的計算公式是正確解答的前提．三．解答題（共5小題）21．（2023?蕭縣一模）如圖是一個幾何體的三視圖，其中俯視圖為正三角形．（1）這個幾何體的名稱為正三棱柱；（2）求該幾何體的左視圖中a的值．【考點】由三視圖判斷幾何體．【專題】投影與視圖；空間觀念；運算能力．【答案】（1）正三棱柱；（2）33．【分析】（1）根據(jù)正三棱柱的特征即可求解；（2）根據(jù)三視圖的定義以及正三角形的性質(zhì)進行計算即可．【解答】解：（1）這個幾何體的名稱為正三棱柱．故答案為：正三棱柱；（2）如圖，由圖形中所標識的數(shù)據(jù)可知，在俯視圖中，AB＝6，△ABC是正三角形，過點C作CM⊥AB于M，∴AM＝BM=12AB＝∴CM=3AM＝33故左視圖中的a的值為33．【點評】本題考查了由三視圖判斷幾何體，簡單幾何體的三視圖，理解視圖的定義，掌握簡單幾何體三視圖的形狀以及正三角形的性質(zhì)是解決問題的前提．22．（2025?二道區(qū)校級四模）如圖為某區(qū)域的俯視圖，正方形代表建筑，空白部分代表道路，小明從A路口出發(fā)，完全隨機的在“北”（圖中的上）、“南”（圖中的下）、“西”（圖中的左）、“東”（圖中的右）四個方向中選擇一個并移動，到達其他路口后，在不折返的前提下，在其他三個方向中完全隨機的選擇一個并移動．求小明從A路口出發(fā)后（不算A路口）經(jīng)過的第二個路口為C路口的概率．【考點】由三視圖判斷幾何體；列表法與樹狀圖法．【專題】計算題；幾何直觀．【答案】15【分析】通過分析小明從A路口出發(fā)的所有可能路徑，找出經(jīng)過的第二個路口為C路口的情況，再根據(jù)概率的定義計算概率．【解答】解：小明從A路口出發(fā)，有4個方向可以選擇，即北、南、西、東．分別分析第一次移動到不同方向后第二次移動到C路口的情況，若第一次向北移動：到達新路口后，此時在不折返的前提下，有3個方向可以選擇，其中有一種情況可以到達C路口．若第一次向南移動：到達新路口后，在不折返的前提下，有2個方向可以選擇，但沒有情況可以到達C路口．若第一次向西移動：到達新路口后，在不折返的前提下，有2個方向可以選擇，但沒有情況可以到達C路口．若第一次向東移動：到達新路口后，在不折返的前提下，有3個方向可以選擇，其中有一種情況可以到達C路口．從A路口出發(fā)第一次有4種選擇，每種選擇后第二次又有3種選擇，所以總路徑數(shù)為3+2+2+3＝10種．而經(jīng)過C路口的路徑有2種情況，故經(jīng)過第二個路口為C的概率為210【點評】本題結(jié)合路線問題，考查概率基礎知識，正確找出符合條件的路線是解題的關鍵．23．（2025?連城縣模擬）綜合與實踐問題情境學校準備在一面高2m、寬4m的墻上建一扇拱形門，這面墻的主視圖為矩形ABCD，如圖1．老師讓同學們幫忙設計，要求既美觀大方，又盡可能地容易通過．方案設計A小組設計的是半圓形拱門，如圖2，以AB為直徑的半圓O與矩形ABCD三邊都相切．B小組設計的是拋物線形拱門，如圖3，拋物線的頂點P在墻的上沿CD的中點處，且拋物線過點A和點B．提出問題A，B兩小組設計的拱門哪個“通過性”更好呢？分析問題老師建議同學們分別計算它們的“內(nèi)接正方形”（正方形的兩個頂點在線段AB上，兩個頂點在半圓或拋物線上）面積的大小，通過比較兩種設計方案的“內(nèi)接正方形”的面積，判斷它們的“通過性”．解決問題請你先分別畫出兩種方案的“內(nèi)接正方形”的示意圖，然后分別計算它們的面積，并利用計算結(jié)果說明哪個方案的拱門“通過性”更好．（2≈1.414【考點】由三視圖判斷幾何體；二次函數(shù)的應用；切線的性質(zhì)；簡單幾何體的三視圖．【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；二次函數(shù)的應用；矩形菱形正方形；解直角三角形及其應用；運算能力；推理能力．【答案】圖2中正方形的“通過性”較大．【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)以及勾股定理求出圖2中正方形的邊長，在圖3中建立直角坐標系，求出拋物線的關系式，再根據(jù)拋物線的對稱性、正方形的性質(zhì)以及二次函數(shù)圖象上點的坐標特征求出正方形的邊長，比較圖2、圖3中正方形的邊長的大小即可．【解答】解：如圖2，由對稱性可知，OM＝ON=12PM，OA＝OB=12設OM＝xm，則PM＝2xm，在Rt△POM中，由勾股定理得，OM2+PM2＝OP2，即x2+（2x）2＝22，解得x=25∴正方形的邊長為MN＝2OM=455≈如圖3，建立如圖所示坐標系，則點A（﹣2，0），點B（2，0），頂點P（0，2），設拋物線的關系式為y＝ax2+bx+c，由題意得，4a+2b+c=04a-2b+c=0解得a=-1∴拋物線的關系式為y=-12x2設ON＝k，則QN=-12k2+2＝2解得k=22-∴正方形的邊長為42-4≈1.7（m∴圖2中正方形的“通過性”較大．【點評】本題考查二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，正方形的性質(zhì)以及簡單幾何體的三視圖，掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，正方形的性質(zhì)以及簡單幾何體的三視圖的畫法是正確解答的關鍵．24．（2025?永壽縣校級模擬）春夏之交，正適合去山野間漫游，藍天白云下，青山綠水間，擇一處草地，支一頂帳篷，邀親朋好友，聞清風，話家常，好不愜意．一款帳篷的支架簡單，攜帶方便，適合一般的休閑旅行使用，它的形狀可近似看作拋物線，該款帳篷在搭建時，張開的寬度和頂部高度會影響容納的椅子數(shù)量，如圖①是該款帳篷搭建完成的平面示意圖，其張開的寬度AB＝2m，頂部高度MN＝1.2m，現(xiàn)以點A為坐標原點，AB所在直線為x軸，過點A且平行于MN的直線為y軸建立平面直角坐標系．（1）求該帳篷支架對應的拋物線的表達式；（2）如圖②為一把椅子擺入該帳篷后的簡易視圖，椅子高度EC＝0.9m，寬度CD＝0.3m，若在該帳篷內(nèi)沿AB方向擺放一排此款椅子，則最多可擺放多少把椅子？【考點】由三視圖判斷幾何體；二次函數(shù)的應用．【專題】二次函數(shù)的應用；運算能力．【答案】（1）y＝﹣1.2x2+2.4x；（2）3．【分析】（1）根據(jù)題意得出點A（0，0），點B（2，0），頂點M（1，1.2），再利用待定系數(shù)法求出拋物線的關系式即可；（2）求出當y＝0.9時對應的兩個x的值，再根據(jù)兩個x之間的距離以及椅子的寬度和高度進行計算即可．【解答】解：（1）由題意可知，點A（0，0），點B（2，0），頂點M（1，1.2），設拋物線的表達式為y＝ax2+bx+c，則，c=04a+2b+c=0解得a=-1.2b=2.4∴該帳篷支架對應的拋物線的表達式y(tǒng)＝﹣1.2x2+2.4x；（2）由題意得，當y＝0.9時，即﹣1.2x2+2.4x＝0.9，解得x＝0.5或x＝1.5，又∵CD＝0.3m，1.5﹣0.5＝1m，而1÷0.3＝3……0.1，∴在該帳篷內(nèi)沿AB方向擺放一排此款椅子最多可擺放3把椅子．【點評】本題考查二次函數(shù)的應用，掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)的關系式是正確解答的關鍵．25．（2025?南京模擬）【綜合與實踐】南京文化紀念品的包裝優(yōu)化南京作為歷史文化名城，有眾多特色文化紀念品．某紀念品生產(chǎn)廠家在20周年廠慶前，為其經(jīng)典的“南京云錦”主題紀念品設計了長方體包裝盒．但在實際生產(chǎn)與使用中發(fā)現(xiàn)，裝入紀念品后包裝盒邊角空余空間較多，造成了包裝材料的浪費，于是決定開展節(jié)省材料的探究活動．任務1平面圖形的探究南京的傳統(tǒng)建筑中常常能看到矩形的窗戶等元素．對于面積固定的矩形，我們來探究其周長的變化規(guī)律．已知秦淮河畔某古建筑修復時用到的一種矩形裝飾磚面積為36平方分米，通過列舉不同長和寬的情況，得到以下表格：長（分米）36181296寬（分米）12345周長（分米）7440302624根據(jù)表格，可猜測：矩形的面積一定時，長和寬相等時周長最?。疄榱俗C明上述猜測，小寧同學假設矩形面積為n2（n＞0），設兩鄰邊長分別為n﹣s和n+t（s，t均為非負數(shù)），則（n﹣s）（n+t）＝n2，經(jīng)化簡可得t-s=st任務2立體圖形的包裝改進廠家之前設計的長方體包裝盒尺寸為：長10厘米、寬8厘米、高6厘米，該包裝盒用于包裝以南京明城墻為原型的小型紀念品．現(xiàn)打算在保持底面積不變的前提下，將包裝盒形狀改為底面半徑為4厘米的圓柱體，高保持不變，從節(jié)省材料（即表面積最?。┑慕嵌葋砜?，你覺得這樣的改進合理嗎？請判斷并說明理由．（取3.14，結(jié)果精確到0.1平方厘米）【考點】簡單組合體的三視圖；近似數(shù)和有效數(shù)字；多項式乘多項式；幾何體的表面積；三角形三邊關系；圓柱的計算．【專題】整式；與圓有關的計算；投影與視圖；運算能力．【答案】任務1：長和寬相等；4n+2st任務2：這樣的改進合理，理由見解析．【分析】任務1：根據(jù)矩形周長計算公式可得矩形的周長為4n+2(t-s)=4n+2stn，則當s＝t＝任務2：分別計算長方體和圓柱的表面積，比較即可得到結(jié)論．【解答】解：任務1：由條件可知矩形的周長為2（n﹣s+n+t）＝4n+2（t﹣s），∵t-s=st∴矩形的周長為4n+2st∵n為定值，∴當st有最小值時，矩形的周長有最小值，∴當s＝t＝0時，矩形的周長有最小值，∴矩形的面積一定時，矩形的長和寬相等時周長最??；（2）合理，理由如下：長方體的表面積為2×（10×8+10×6+8×6）＝376平方厘米，圓柱的表面積為2×3.14×4×4+2×3.14×4×6＝251.2平方厘米，∴這樣的改進合理．【點評】本題主要考查了多項式乘法在幾何圖形中的應用，圓柱和長方體的表面積計算，正確理解題意是解題的關鍵．

考點卡片1．近似數(shù)和有效數(shù)字（1）有效數(shù)字：從一個數(shù)的左邊第一個不是0的數(shù)字起到末位數(shù)字止，所有的數(shù)字都是這個數(shù)的有效數(shù)字．（2）近似數(shù)與精確數(shù)的接近程度，可以用精確度表示．一般有，精確到哪一位，保留幾個有效數(shù)字等說法．（3）規(guī)律方法總結(jié)：“精確到第幾位”和“有幾個有效數(shù)字”是精確度的兩種常用的表示形式，它們實際意義是不一樣的，前者可以體現(xiàn)出誤差值絕對數(shù)的大小，而后者往往可以比較幾個近似數(shù)中哪個相對更精確一些．2．多項式乘多項式（1）多項式與多項式相乘的法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另外一個多項式的每一項，再把所得的積相加．（2）運用法則時應注意以下兩點：①相乘時，按一定的順序進行，必須做到不重不漏；②多項式與多項式相乘，仍得多項式，在合并同類項之前，積的項數(shù)應等于原多項式的項數(shù)之積．3．二次函數(shù)的應用（1）利用二次函數(shù)解決利潤問題在商品經(jīng)營活動中，經(jīng)常會遇到求最大利潤，最大銷量等問題．解此類題的關鍵是通過題意，確定出二次函數(shù)的解析式，然后確定其最大值，實際問題中自變量x的取值要使實際問題有意義，因此在求二次函數(shù)的最值時，一定要注意自變量x的取值范圍．（2）幾何圖形中的最值問題幾何圖形中的二次函數(shù)問題常見的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動態(tài)幾何中的最值的討論．（3）構建二次函數(shù)模型解決實際問題利用二次函數(shù)解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實際問題時，要恰當?shù)匕堰@些實際問題中的數(shù)據(jù)落實到平面直角坐標系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決一些測量問題或其他問題．4．幾何體的表面積（1）幾何體的表面積＝側(cè)面積+底面積（上、下底的面積和）（2）常見的幾種幾何體的表面積的計算公式①圓柱體表面積：2πR2+2πRh（R為圓柱體上下底圓半徑，h為圓柱體高）②圓錐體表面積：πr2+nπ(r2+h2)③長方體表面積：2（ab+ah+bh）（a為長方體的長，b為長方體的寬，h為長方體的高）④正方體表面積：6a2（a為正方體棱長）5．截一個幾何體（1）截面：用一個平面去截一個幾何體，截出的面叫做截面．（2）截面的形狀隨截法的不同而改變，一般為多邊形或圓，也可能是不規(guī)則圖形，一般的截面與幾何體的幾個面相交就得到幾條交線，截面就是幾邊形，因此，若一個幾何體有幾個面，則截面最多為幾邊形．6．三角形三邊關系（1）三角形三邊關系定理：三角形兩邊之和大于第三邊．（2）在運用三角形三邊關系判定三條線段能否構成三角形時并不一定要列出三個不等式，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構成一個三角形．（3）三角形的兩邊差小于第三邊．（4）在涉及三角形的邊長或周長的計算時，注意最后要用三邊關系去檢驗，這是一個隱藏的定時炸彈，容易忽略．7．全等圖形（1）全等形的概念能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形．（2）全等三角形能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形．（3）三角形全等的符號“全等”用符號“≌”表示．注意：在記兩個三角形全等時，通常把對應頂點寫在對應位置上．（4）對應頂點、對應邊、對應角把兩個全等三角形重合到一起，重合的頂點叫做對應頂點；重合的邊叫做對應邊；重合的角叫做對應角．8．勾股定理的應用（1）在不規(guī)則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形．（2）在應用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結(jié)合是解決實際問題常用的方法，關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型，畫出準確的示意圖．領會數(shù)形結(jié)合的思想的應用．（3）常見的類型：①勾股定理在幾何中的應用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關線段的長度．②由勾股定理演變的結(jié)論：分別以一個直角三角形的三邊為邊長向外作正多邊形，以斜邊為邊長的多邊形的面積等于以直角邊為邊長的多邊形的面積和．③勾股定理在實際問題中的應用：運用勾股定理的數(shù)學模型解決現(xiàn)實世界的實際問題．④勾股定理在數(shù)軸上表示無理數(shù)的應用：利用勾股定理把一個無理數(shù)表示成直角邊是兩個正整數(shù)的直角三角形的斜邊．9．切線的性質(zhì)（1）切線的性質(zhì)①圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點．③經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心．（2）切線的性質(zhì)可總結(jié)如下：如果一條直線符合下列三個條件中的任意兩個，那么它一定滿足第三個條件，這三個條件是：①直線過圓心；②直線過切點；③直線與圓的切線垂直．（3