高考數(shù)學(xué)真題重組卷02

課標(biāo)全國(guó)卷地區(qū)專用（參考答案）

123456789101112

BACDCBBBCDDC

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

1.【答案】B

【分析】求出集合N后可求MnN.

【詳解】N=6,+8）,故MnN={5,7,9},

故選：B.

2.【答案】A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則以及復(fù)數(shù)相等的概念即可解出.

【詳解】因?yàn)閍,bGR>（a+b）+2ai=2i,所以a+b=0,2a=2?解得；a=1,b=—1.

故選：A.

3.【答案】C

【分析】根據(jù)新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)關(guān)系確定方差關(guān)系，即得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閿?shù)據(jù)a^+b,（i=1,2,…，九）的方差是數(shù)據(jù)陽(yáng)，（i=l,2,…，為的方差的a2倍,

所以所求數(shù)據(jù)方差為IO?x0.01=1

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查方差，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

4.【答案】D

【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷后可得正確的選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A,/（幻=-"為凡上的減函數(shù)，不合題意，舍.

對(duì)于B,f（x）=（|）"為R上的減函數(shù)，不合題意，舍.

對(duì)于C,f（%）=二在（一8,0）為減函數(shù),不合題意，舍.

對(duì)于D,/?（》）=正為R上的增函數(shù)，符合題意，

故選：D.

5.【答案】C

【分析】作出可行域，數(shù)形結(jié)合即可得解.

【詳解】由題意作出可行域，如圖陰影部分所示,

轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)z=2x-y為y=2x-z,

上下平移直線y=2x-z,可得當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)(4,0)時(shí)，直線截距最小，z最大，

所以Zmax=2x4-0=8.

故選：C.

6.【答案】B

【分析】當(dāng)直線和圓心與點(diǎn)(1,2)的連線垂直時(shí)，所求的弦長(zhǎng)最短，即可得出結(jié)論.

【詳解】圓/+/-6%=0化為Q—3)2+y2=9,所以圓心C坐標(biāo)為C(3,0),半徑為3,

設(shè)P(l,2),當(dāng)過(guò)點(diǎn)P的直線和直線CP垂直時(shí)，圓心到過(guò)點(diǎn)P的直線的距離最大，所求的弦長(zhǎng)

最短，此時(shí)|CP|=J(3-1)2+(-2/=2企

根據(jù)弦長(zhǎng)公式得最小值為219-|CP|2=279^8=2.

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，以及幾何法求弦長(zhǎng)，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】B

【分析】本題考查了空間兩個(gè)平面的判定與性質(zhì)及充要條件,滲透直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)，

利用面面平行的判定定理與性質(zhì)定理即可作出判斷.

【詳解】由面面平行的判定定理知：a內(nèi)兩條相交直線都與夕平行是的充分條件，由面

面平行性質(zhì)定理知，若a〃/?，則a內(nèi)任意一條直線都與￡平行，所以a內(nèi)兩條相交直線都與0

平行是?！ㄏΦ谋匾獥l件，故選即

【點(diǎn)睛】面面平行的判定問(wèn)題要緊扣面面平行判定定理，最容易犯的錯(cuò)誤為定理記不住，憑

主觀臆斷，如：“若aua,bu0,a〃b,則a〃/此類的錯(cuò)誤.

8.【答案】B

【分析】木題主要考查利用平面向量數(shù)量積計(jì)算向量長(zhǎng)度、夾角與垂直問(wèn)題，滲透了轉(zhuǎn)化與

化歸、數(shù)學(xué)計(jì)算等數(shù)學(xué)素養(yǎng).先由伍-b)_Lb得出向量G4的數(shù)量積與其模的關(guān)系，再利用

向量夾角公式即可計(jì)算出向量夾角.

2

【詳解】因?yàn)?--b)Lb,所以(五-b')-b=ab-b=Qf所以五?B=點(diǎn)，所以cos。=高余j=

黑=；,所以6與石的夾角為g故選B.

2|D|Z23

【點(diǎn)睛】對(duì)向量夾角的計(jì)算:，先計(jì)算出向量的數(shù)量積及各個(gè)向量的摸，在利用向量夾角公式

求出夾角的余弦值，再求出夾角，注意向量夾角范圍為［0,捫.

9.【答案】C

【分析】根據(jù)程序框圖的嵬法功能可知，要計(jì)算滿足1+3+5+???十幾>100的最小正奇數(shù)

九，根據(jù)等差數(shù)列求和公式即可求出.

【詳解】依據(jù)程序框圖的算法功能可知，輸出的71是滿足1+3+5+???+〃>100的最小正

奇數(shù)，

71.1

因?yàn)?+3+5+…+九=(W工+D=+1)2>100,解得幾>19,

所以輸出的n=21.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查程序框圖的算法功能的理解，以及等差數(shù)列前幾項(xiàng)和公式的應(yīng)用，屬

于基礎(chǔ)題.

10.【答案】D

【分析】設(shè)等比數(shù)列｛時(shí)｝的公比為q,q工0,易得qHl,根據(jù)題意求出首項(xiàng)與公比，再根據(jù)

等比數(shù)列的通項(xiàng)即可得解.

【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列｛an｝的公比為q,qH0，

若q=1,則a?-=。，與題意矛盾，

所以q工1,

則卜+…=畔=叫解得

02—劭=-aW=42Iq2

所以%=%qS=3.

故選：D.

11.【答案】D

【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得八幻的單調(diào)區(qū)間，從而判斷出/G)在區(qū)間［0,2兀］上的最小值和最大值.

【詳解】f'W=-sinx+sinx+(x+l)cosx=(x4-l)cosx,

所以7?(%)在區(qū)間(0,3和(共2兀)上/(x)>0,即/'(%)單調(diào)遞增；

在區(qū)間仔為上f'G)<。，即/(%)單調(diào)遞減，

又/'（（））=f（2兀）=2,花）與+2,陪）=一仔+1）+1=_1

所以/（%）在區(qū)間［0,2句上的最小值為一米最大值為;+2.

故選：D

12.【答案】C

【分析】由題意利用函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的遞推關(guān)系即可求得/（9的值.

【詳解】由題意可得：/（|）=/（i+g=/（_|）=_/（|）,

而fG）=f（J）=fG）=-f（W）=-?

故fO?

故選：c.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的遞推關(guān)系式，靈活利用所給的

條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.【答案】y=2x

【分析】設(shè)切線的切點(diǎn)坐標(biāo)為（看,%），對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用y'lx0=2,求出出,代入曲線方程

求出尢，得到切線的點(diǎn)斜式方程，化簡(jiǎn)即可.

【詳解】設(shè)切線的切點(diǎn)坐標(biāo)為（%o，yo）,y=Inx+x+l,y'=:+1,

y'lxx。=2+1=2,%=Ly。=2,所以切點(diǎn)坐標(biāo)為（1,2）,

所求的切線方程為y-2=2（無(wú)一1）,即y=2x.

故答案為：y=2x.

【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】0.98.

【分析】本題考查通過(guò)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行概率的估計(jì)，采取估算法，利用概率思想解題.

【詳解】由題意得，經(jīng)停該高鐵站的列車(chē)正點(diǎn)數(shù)約為10x0.97+20x0.98+10x0.99=

39.2,其中高鐵個(gè)數(shù)為1020+10=40,所以該站所有高鐵平均正點(diǎn)率約為誓=0.98.

40

【點(diǎn)睛】本題考點(diǎn)為概率統(tǒng)計(jì)，滲透了數(shù)據(jù)處理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).側(cè)重統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的概率估算，

難度不大.易

忽視概率的估算值不是精確值而失誤，根據(jù)分類抽樣的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)'估算出正點(diǎn)列車(chē)數(shù)量與列

車(chē)總數(shù)的比值.

15.【答案】2（滿足1＜。工店皆可）

【分析】根據(jù)題干信息，只需雙曲線漸近線y=±5%中2即可求得滿足要求的e值.

【詳解】解：C:^-^=l(a>0,b>0),所以C的漸近線方程為丫=土"

結(jié)合漸近線的特點(diǎn)，只需0V淮2,即掇44，

可滿足條件“直線y=2%與C無(wú)公共點(diǎn)”

所以e=：=Jl+<V1+4=V5,

又因?yàn)閑>l,所以lVeW病，

故答案為：2(滿足IVeW通皆可)

16.【答案】7

【分析】對(duì)九為奇偶數(shù)分類討論，分別得出奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)的遞推關(guān)系，由奇數(shù)項(xiàng)遞推公式

將奇數(shù)項(xiàng)用句表示，由偶數(shù)項(xiàng)遞推公式得出偶數(shù)項(xiàng)的和，建立由方程，求解即可得出結(jié)論.

【詳解】an+2+(-1)"Q”=3n-1,

當(dāng)九為奇數(shù)時(shí)，an+2=an+3n-1：當(dāng)九為偶數(shù)時(shí)，an+2+an=3n-1.

設(shè)數(shù)列的前幾項(xiàng)和為?，

S16=Q1++03+04■1--------Q16

=Q1+。3+。5+。15+(。2+。4)■1------(。14+a16)

=%+(即+2)+(a1+10)+(即+24)+(a1+44)+(即+70)

+(%+102)+(%+140)+(5+17+29+41)

=8al+392+92=8al+484=540,

二%=7.

故答案為：7.

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用，以及數(shù)列的并項(xiàng)求和，考查分類討論思想和數(shù)學(xué)

計(jì)算能力，屬于較難題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17?21題為必考題，

每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

(-)必考題：共60分。

17.【答案】(1)12000：(2)0.94：(3)詳見(jiàn)解析

【分析】(1)利用野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)野生動(dòng)物平均數(shù)乘以地塊數(shù)，代入數(shù)據(jù)即

可；

(2)利用公式丁=『^￡^2^2=:計(jì)算即可；

2：(所如2蹬1保-力2

(3)各地塊間植物覆蓋面積差異較大，為提高樣本數(shù)據(jù)的代表性，應(yīng)采用分層抽樣.

【詳解】⑴樣區(qū)野生動(dòng)物平均數(shù)為幽%=/x1200=60,

地塊數(shù)為200,該地區(qū)這種野生動(dòng)物的估計(jì)值為200x60=12000

（2）樣本（孫2,20）的相關(guān)系數(shù)為

—l鵡?-）（%-）8。。一2或?0Q,

g區(qū)一前2區(qū)刃2V80x90003

（3）由（2）知各樣區(qū)的這種野生動(dòng)物的數(shù)量與植物覆蓋面積有很強(qiáng)的正相關(guān)性，

由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大，從而各地塊間這種野生動(dòng)物的數(shù)量差異很大，

采用分層抽樣的方法較好地保持了樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)的一致性，提高了樣本的代表性，

從而可以獲得該地區(qū)這種野生:動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì).

【點(diǎn)睛】本題主要考查平均數(shù)的估計(jì)值、相關(guān)系數(shù)的計(jì)算以及抽樣方法的選取，考查學(xué)生數(shù)

學(xué)運(yùn)算能力，

是一道容易題.

18.【答案】（1）遮；（2）15°.

【分析】（1）已知角B和力邊，結(jié)合Q,C關(guān)系，由余弦定理建立C的方程，求解得出Q,C,利用

面積公式，即可得出結(jié)論；

（2）方法一：將4=30>-。代入已知等式，由兩角差的正弦和輔助角公式，化簡(jiǎn)得出有

關(guān)C角的三角函數(shù)值，結(jié)合C的范圍，即可求解.

【詳解】（1）由余弦定理可得〃=28=a2+c2-2accosl50°=7c2,

c=2,a=2v5,???△248c的面積S=1acsinB=V3；

（2）［方法一］:多角換一角

'：A+C=30°,

??sinA4-\/3sinC=sin（30°—C）+>/3sinC

=-cosC+—sinC=sin（C+30°）=—,

222

V0°<C<30°,...30°<C+30°<60°,

AC+30°=45°,.-.C=15°.

［方法二］:正弦角化邊

由正弦定理及8=150。得2R=-^―=-^―=-^―=2b.故sinA=gsinC=2.

sin/lsmCsmB2b2b

由sinA+V3sinC=亭,得a+V3c=\［2b.

又由余弦定理得力2=a2c2-2ac?cosB=a2+c24-V3ac,所以（a4-V3c）2=

2

2（小+c+Qac）,解得Q=c.

所以C=15。.

【整體點(diǎn)評(píng)】本題考查余弦定理、三角恒等變換解三角形，熟記公式是解題的關(guān)健，考查計(jì)

算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.其中笫二問(wèn)法一主要考查三角恒等變換解三角形，法二則是通過(guò)

余弦定理找到三邊的關(guān)系，進(jìn)

而求角.

19.【答案】（1）證明詳見(jiàn)解析

【分析】（1）通過(guò)證明4CJ?平面BED來(lái)證得平面BE。1平面ACD.

（2）首先判斷出三角形Z1FC的面積最小時(shí)產(chǎn)點(diǎn)的位置，然后求得F到平面ABC的距離，從而

求得三棱錐產(chǎn)一4BC的體積.

【詳解】（1）由于50=C0,￡是的中點(diǎn)，所以4CJ.0E.

AD=CD

由于BD=BD，所以△力。8三△G98,

Z.ADB=乙CDB

所以4B=CB,故4C1BE,

由于DEC8E=E,。及BEu平面8ED,

所以力。平面BE。，

由于4cu平面4C0,所以平面BED1平面4C0.

（2）［方法一］:判別幾何關(guān)系

依題意AB=BD=BC=2,乙4c8=60。，三角形力3c是等邊三角形，

所以AC=2,AE=CE=1,BE=V3,

由于4。=CD,AO_LCO,所以三角形ACO是等腰直角三角形，所以。E=L

DE2+BE2=BD2,所以DE_LBE,

由于ACn8E=E,力C,BEu平面ABC,所以DE_L平面4BC.

由于△A08三△COB,所以4FBA=4F8C,

（BF=BF

由于|4FBA=4F8C,所以

IAB=CB

所以4尸=C/，所以E/14C,

由于SMFC=9/C-EF,所以當(dāng)￡尸最短時(shí)，三角形力尸C的面積最小

過(guò)E作EF18D,垂足為尸，

在Rt/BED中,^BE-DE=^BD-EFf解得EF=苧，

所以O(shè)F=J12-（y）2=1,FF=2-DF=1,

所以案=3

BD4

過(guò)F作FH_LBE,垂足為H,則尸”〃。凡所以句/1平面＜8C,且酸二整二：,

DEBD4

所以FH二：,

4

所以KF-A8c=z'SM8C,FH=?x之x2xbx,=當(dāng)

［方法二］:等體積轉(zhuǎn)換

VAB=BC,Z.ACB=60°,AB=2

：,△力8C是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,

BE=如

連接E"

vLADB會(huì)LCDBAF=CF

???EF1AC

在ABED中，當(dāng)EF18。時(shí)，2UFC面積最小

'：AD1CD,AD=CD,AC=2,E為AC中點(diǎn)

???DE=1vDE2+BE2=BD2

???BE1ED

BE-DEV3

若EF1BD,在ABED中，EF=

BD2

BF=y/BE2-EF2=

1133V3

=BFEF=

:?SRBEF22'2~8~

113V3V3

^F-ABC=^A-BEF+^C-BEF==--—?2=—

20.【答案】(1)3

(2)[-l,+oo)

【分析】(1)先由/'CO上的切點(diǎn)求出切線方程，設(shè)出g。)上的切點(diǎn)坐標(biāo)，由斜率求出切點(diǎn)坐

標(biāo)，再由函數(shù)值求出Q即可；

(2)設(shè)出g(x)上的切點(diǎn)坐標(biāo)，分別由f(x)和g(x)及切點(diǎn)表示出切線方程，由切線重合表示

出如構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)求出函數(shù)值域，即可求得a的取值范圍.

【詳解】(1)由題意知,/-(-1)=-1-(-1)=0,/■'&)=3/-1,f(-l)=3-l=2,

則V=/W在點(diǎn)(一1,0)處的切線方程為y=2(x+1),

即y=2%+2,設(shè)該切線與g(x)切于點(diǎn)(%2,9(%2))，,。'(盼=2x,則gU)=20=2,解得

%2=1，則g(l)=l+a=2+2,解得a=3；

(2)rW=3/-1,則y=/(x)在點(diǎn)(%,/?(%))處的切線方程為y-(x?-%)=

(3xf—1)(%—xj,整理得y=(3xf—l)x—2xf,

設(shè)該切線與g(%)切于點(diǎn)(%2,9。2))，“(無(wú))=2%,則9'(%2)=2%2，則切線方程為y-

(%2+a)=2X2(X-x2)>整理得y=2x2x一以+a,

則］要【二黑,整理得心域—2/=符-1/-2H=村—2婢-濟(jì)+%

令九CO=%4_2x3-舐2+1,則"(%)=9x3-6x2-3x=3x(3x4-l)(x-1),令h'(x)>

424

0,解得一gvxvO或%>L

令九’a)vo,解得工〈一?；騩〈0vi,則%變化時(shí),"(%),九(%)的變化情況如下表:

1

X(8,3)0(0,1)1(1,+8)

36，。)

八口)—0+0—0+

51

九O)-17

274

則力(%)的值域?yàn)椋?1,+8),故a的取值范圍為［-1,+00).

21.【答案】(1)y2=4r；(2)最大值為;.

【分析】(1)由拋物線焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離即可得解；

(2)設(shè)Q(xo，yo),由平面向量的知識(shí)可得P(10xo—9,10y。)，進(jìn)而可得見(jiàn)=普N再由斜

率公式及基本不等式即可得解.

【詳解】(I)拋物線C:y2=2px(p>o)的焦點(diǎn)產(chǎn)?,0),準(zhǔn)線方程為工二一導(dǎo)

由題意，該拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為(-鄉(xiāng)=p=2,

所以該拋物線的方程為/=4x；

(2)［方法一］:軌跡方程+基本不等式法

設(shè)Q(xo，y。)，則所=9行=(9-9%,-9yo),

所以P(10%o-9,10yo).

由P在拋物線上可得(10y0)2=4(10/-9),即?=駕巴，

據(jù)此整理可得點(diǎn)Q的軌跡方程為*=-卷，

所以直線OQ的斜率嘖=券=或=熱，

10

當(dāng)出=0時(shí)，k0Q=0；

當(dāng)尢>0時(shí)，因?yàn)?5yo+^Z2j25yo=30,

此時(shí)OvkoQgj當(dāng)且僅當(dāng)25yo=<即yo=：時(shí)，等號(hào)成立；

3Yo5

當(dāng)為<0時(shí)，k0Q<0；

綜上，直線。Q的斜率的最大值為小

?5

［方法二］:【最優(yōu)解】軌跡方程+數(shù)形結(jié)合法

同方法一得到點(diǎn)Q的軌跡方程為好

設(shè)直線0Q的方程為y=依，則當(dāng)直線。Q與拋物線好=|x一卷相切時(shí),其斜率k取到最值.聯(lián)

(y=依，2q1

立229得1/一^X+去=0,其判別式△=(一J-4k2X甚=0,解得k=±鼻，

［7=-X-—,525V57253

所以直線0Q斜率的最大值為也

［方法三］：軌跡方程+換元求最值法

同方法一得點(diǎn)Q的軌跡方程為y2=|x-^.

設(shè)直線0Q的斜率為k,則&2=?)二卷一言.

令％=t(0VY用，則”=一.2+白的對(duì)稱軸為￡=；,所以04好工匕一左攵工"故

直線0Q斜率的最大值為土

［方法四］:參數(shù)+基本不等式法

由題可設(shè)P(4/,4￡)(t>0),Q(x,y).

2

因?yàn)镕(l,0),而=9QF,所以(X-4tfy-4t)=9(1-%—辦

于是『一4］：9(1一幻，所以

(y-4t=-9y(10y=4t

則直線OQ的斜率為介盤(pán)=去工點(diǎn)/

t2J4C.,

當(dāng)且僅當(dāng)4￡=g,即1=手寸等號(hào)成立，所以直線0Q斜率的最大值為，

【整體點(diǎn)評(píng)】方法一根據(jù)向最關(guān)系，利用代點(diǎn)法求得Q的軌跡方程，得到直線OQ的斜率

關(guān)于y的表達(dá)式，然后利用分類討論，結(jié)合基本不等式求得最大值；

方法二同方法一得到點(diǎn)Q的軌跡方程，然后利用數(shù)形結(jié)合法，利用判別式求得直線0Q的

斜率的最大值，為最優(yōu)解；

方法三同方法一求得Q的軌跡方程，得到直線0Q的斜率k的平方關(guān)于》的表達(dá)式，利用換

元方法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求得最大值，進(jìn)而得到直線0Q斜率的最大值；

方法四利用