第三章

圓錐曲線的方程3.2.2

雙曲線的簡單幾何性質(zhì)橢圓雙曲線定義方程焦點在x軸上焦點在y軸上焦點a、b、c的關(guān)系F1(－c，0)、F2(c，0)a>0，b>0，c2=a2+b2

a、b、c中

c最大a>b>0，a2=b2+c2

a、b、c中

a最大||MF1|－|MF2||=2a(a<c)|MF1|+|MF2|=2a(a>c)F1(0，－c)、F2(0，c)F1(－c，0)、F2(c，0)F1(0，－c)、F2(0，c)復(fù)習(xí)引入范圍、對稱性、頂點、離心率思考：類比橢圓的幾何性質(zhì)的研究，雙曲線應(yīng)該研究哪些幾何性質(zhì)？雙曲線的幾何性質(zhì)(一)雙曲線的頂點xyO以雙曲線

為例：★

A1(-a,0)、A2(a,0)叫做雙曲線的頂點令

y＝0，得

x＝±a但也在

y

軸上畫出特殊點

B1(0,-b)、B2(0,b)?與

x軸有兩個交點令

x＝0，得

y2＝－b2無解

?與

y軸無交點★

線段

A1A2叫實軸，長等于2a，a叫實半軸長.★

線段

B1B2

叫虛軸，長等于2b，b叫虛半軸長.實軸與虛軸等長的雙曲線稱為等軸雙曲線

知識運(yùn)用1.求出

的實軸和虛軸的長、頂點坐標(biāo)和焦點坐標(biāo)說明雙曲線位于直線

x＝-a的左側(cè)與直線

x＝a的右側(cè)的區(qū)域，向左右兩邊無限延伸.x≤－a或

x≥a，y∈ROxF1F2y★

范圍：以雙曲線

為例：(二)雙曲線的范圍xyO同理，雙曲線

兩支分別位于直線

y＝-a

的下側(cè)與直線

y＝a

的上側(cè)，向上下兩邊無限延伸．x∈R，y≤－a或

y≥a★

范圍：(二)雙曲線的范圍觀察圖像，雙曲線具有怎樣的對稱性？.xyOxyO原點是對稱中心，又叫做雙曲線的中心.雙曲線既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形★

雙曲線關(guān)于

x軸、y軸和原點都對稱..(三)雙曲線的對稱性定義：雙曲線的焦距(2c)與實軸長(2a)的比

叫做雙曲線的離心率(c＞a＞0)范圍：

e＞1(四)雙曲線的離心率含義：離心率表示雙曲線的開口大?。浑x心率越大，雙曲線開口越大。知識運(yùn)用Cxyo當(dāng)雙曲線的兩支向外延伸時，與矩形的兩條對角線逐漸接近，我們把這兩條直線叫做雙曲線的漸近線.以雙曲線

為例：直線

x＝±a

和直線

y＝±b

圍成了一個矩形，

(五)雙曲線的漸近線(五)雙曲線的漸近線★

焦點在

x軸上的漸近線方程：★

焦點在

y軸上的漸近線方程：雙曲線與它的漸近線無限接近，但永不相交辨析：雙曲線與橢圓的不同點(3)雙曲線有實軸、虛軸，橢圓有長軸、短軸．(4)漸近線：雙曲線兩條漸近線是特有的．(6)a，b，c：雙曲線中

c2＝a2＋b2，橢圓中a2＝b2＋c2．(1)曲線支數(shù)：雙曲線是

2支曲線，橢圓是

1條封閉曲線．(2)頂點個數(shù)：雙曲線有

2個頂點，橢圓有

4個頂點．(5)離心率：雙曲線離心率e∈(1，＋∞)，橢圓離心率e∈(0，1)．例題講解例1

求雙曲線

的實半軸長、虛半軸長、焦點坐標(biāo)、漸近線方程和離心率．即實半軸長

a＝3，虛半軸長b＝4；

所以c2＝a2＋b2＝25，即c＝5．

故焦點坐標(biāo)為F1(-5,0)、F2(5,0)；離心率解：由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

可知，

漸近線方程為

，a2＝9，b2＝16，練1

已知雙曲線方程為4x2－y2＝-4，求雙曲線的實半軸長、虛半軸長、焦點坐標(biāo)、離心率、頂點坐標(biāo)和漸近線方程.變式訓(xùn)練例題講解例2

已知雙曲線的中心在原點，焦點在

x

軸上，虛半軸長為

，離心率為

3，求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．解：由已知得，b2＝8，則

所以

a2＝1由于雙曲線的焦點在

x

軸上，該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為∴雙曲線的方程為解：∵2a＝16，即a＝8，又∵漸近線方程練2

已知雙曲線頂點間距離是16，離心率

，焦點在x軸上，中心在原點，寫出雙曲線的方程，并且求出它的漸近線和焦點坐標(biāo).焦點坐標(biāo)為F1(-10，0)，F(xiàn)2(10，0).所以

c＝10，變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練練3

求離心率

，經(jīng)過點M(-5，3)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.解：由題意知

，

，

則

所以

.①若焦點在

x軸上，設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為

.代入點M(-5，3)，解得.②若焦點在

y軸上，設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為

.代入點M(-5，3)，解得

，故舍去綜上：雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為例3

求出下列雙曲線的漸近線方程．(1)(2)(3)解：(1)因為

，

，漸近線方程為.(2)方程化為

，所以

，

，漸近線方程為.(3)方程化為

，所以

，

，漸近線方程為.例題講解形如

的雙曲線漸近線方程都為.總結(jié)歸納因為雙曲線過點(－1，2)，所以將坐標(biāo)代入方程可得解：設(shè)所求雙曲線的方程為練4求與雙曲線

有相同的漸近線，且過點(－1，2)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．變式訓(xùn)練方程焦點頂點范圍對稱性虛實軸離心率漸近線F1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)A1(-a，0)，A2(a，0)x≤-a或x≥a

y≤-a或y≥a

中心：原點；對稱軸：x軸、y軸實軸長：2a；虛軸長：2bF1(0，-c)，F(xiàn)2(0，c)A1(0，-a)，A2(0，a)歸納總結(jié)

BCD多選

C√

C【解析】由題意得，

，所以

5.中心在原點，焦點在

x軸上，且一個焦點在直線3x-4y+12=0上的等軸雙曲線的方程是

.

x2－y2=8結(jié)論：雙曲線的焦點到漸近線的距離恒等于b.6.xyOF1F2??【解析】

，故雙曲線的右焦點為F(4，0)雙曲線的漸近線的方程為：則右焦點到漸近線的距離為：

7.已知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

的左右焦點分別為F1、F2，點P為雙曲線上一點，且

，

，則雙曲線的離心率為

.

課后作業(yè)(課本P124第1題)解：

1.求下列雙曲線的實軸與虛軸的長,頂點和焦點的坐標(biāo),離心率,漸近線方程.課后作業(yè)(課本P124第1題)解：

1.求下列雙曲線的實軸與虛軸的長,頂點和焦點的坐標(biāo),離心率,漸近線方程.課后作業(yè)(課本P124第1題)解：

1.求下列雙