4.3.1.1等比數(shù)列的概念

學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過(guò)生活中的實(shí)例，理解等比數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式的意義，并了解等比中項(xiàng)的概念；2.會(huì)運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式解決簡(jiǎn)單的等比數(shù)列問(wèn)題；3.理解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.1.等差數(shù)列:2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式:3.等差中項(xiàng):第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差（常用字母“d”表示）.數(shù)學(xué)表達(dá)式:(n≥2，n∈N*)如果三個(gè)數(shù)

a，A，b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項(xiàng).（2A=a+b）請(qǐng)看以下幾個(gè)實(shí)例中的數(shù)列，思考它們有何共同特征？【實(shí)例1】?jī)珊恿饔虬l(fā)掘的古巴比倫時(shí)期的泥版上記錄了下面的數(shù)列:9,92,93,???,9l0

;①100,1002,1003,???,10010

;②5,52,53,???,5l0.③知識(shí)點(diǎn)1：等比數(shù)列的概念【實(shí)例2】

《莊子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭.”如果把“一尺之棰”的長(zhǎng)度看成單位“1”，那么從第1天開(kāi)始，各天得到的“棰”的長(zhǎng)度依次是：概念生成等比數(shù)列的概念若三個(gè)數(shù)a，G，b組成一個(gè)等比數(shù)列，則G叫做a與b的等比中項(xiàng)，且根據(jù)等比數(shù)列的定義，有G2=ab.等比數(shù)列2，4，8

中4是2與8的等差中項(xiàng)，42=2×8.

一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列；

其中常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，用字母q

表示（q≠0）.1.判斷下列數(shù)列是否是等比數(shù)列；如果是，寫(xiě)出它的公比.（1）3，9，15，21，27，33；（2）1，1.1，1.21，1.331，1.4641；（3）4，–8，16，–32，64，–128.練一練

（3）是；q

=–2.2.判斷下列數(shù)列是否是等比數(shù)列.如果是，寫(xiě)出它的公比.(1)0,1,2,4,8,…(2)2,0,2,0,2,…(3)1,a,a2,a4,a8,…a≠0時(shí)，是等比數(shù)列，公比為aa=0時(shí)，不是等比數(shù)列

Beg:0，0，1，2辨析1等差數(shù)列的項(xiàng)、公差均可以是0嗎？等比數(shù)列呢？辨析2常數(shù)列是等差數(shù)列嗎？是等比數(shù)列嗎？辨析3是否存在既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的數(shù)列？常數(shù)列一定是等差數(shù)列，公差為0；非零常數(shù)列是等比數(shù)列，公比為1.非零常數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，公差為0，公比為1.等差數(shù)列的項(xiàng)、公差均可以是0，但等比數(shù)列的項(xiàng)和公比均不可以是0知識(shí)點(diǎn)2：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式問(wèn)題1：根據(jù)等比數(shù)列的定義推導(dǎo)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.（定義：從第2項(xiàng)起，等比數(shù)列的每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于常數(shù)）.首項(xiàng)為a1，公比為q的等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為：

an=a1·qn–1.例1：若等比數(shù)列{an}的第4項(xiàng)和第6項(xiàng)分別為48和12，求{an}的第5項(xiàng).典例剖析

∴a5=24或–24.思考：已知等比數(shù)列{an}的公比為q，試用{an}的第m項(xiàng)am表示an解：由題意得：am=a1·qm–1①，an=a1·qn

–1②；

∴an=am·qn–m.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式推廣：等比數(shù)列的任意一項(xiàng)都可以由該數(shù)列的某一項(xiàng)和公比表示；即：an=am

·qn–m1.等比數(shù)列通項(xiàng)公式：首項(xiàng)為a1，公比為q的等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為：

an=a1·qn–1

(n∈N*)2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式推廣：等比數(shù)列的任意一項(xiàng)都可以由該數(shù)列的某一項(xiàng)和公比表示；即：an=am

·qn–m1.在等比數(shù)列{an}中，a1a3=36，a2+a4=60.求a1

和公比q.練一練解：∵a2

是a1與a3的等比中項(xiàng)，∴a22=a1·a3

=36，即a2

=6或–6；

又∵a2+a4=60，∴當(dāng)q

=3時(shí)，a1=2；當(dāng)q

=–3時(shí)，a1

=–2；∴②當(dāng)a2

=–6時(shí)，a4=66，又等比數(shù)列中a2，a4符號(hào)一致，故此情況舍去；∴①當(dāng)a2

=6時(shí)，a4=54，∴q2=9，即q

=3或–3；

綜上，a1

=2，q

=3

或a1

=–2，q

=–3.注意：等比數(shù)列問(wèn)題多解情況時(shí)，有時(shí)要通過(guò)隱含條件取舍.例3：數(shù)列{an}共有5項(xiàng)，前三項(xiàng)成等比數(shù)列，后三項(xiàng)成等差數(shù)列，第3項(xiàng)等于80，第2項(xiàng)與第4項(xiàng)的和等于136，第1項(xiàng)與第5項(xiàng)的和等于132，求這個(gè)數(shù)列.典例剖析

所以這個(gè)數(shù)列是20，40，80，96，112，或180，120，80，16，–48.知識(shí)點(diǎn)3：等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系問(wèn)題1：類(lèi)比等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系，等比數(shù)列的通項(xiàng)與哪一類(lèi)函數(shù)有關(guān)？

f(x)Ox34512a1(1,a1)(2,a2)(3,a3)(4,a4)(5,a5)

a5a3a2a4任給指數(shù)函數(shù)f(x)=kax(k，a為常數(shù)，a>0且a≠1)，則f(1)=ka，f(2)=ka2，…，

f(n)=kan，···構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列{kan}，其首項(xiàng)為ka，公比為a.問(wèn)題2：類(lèi)比指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，討論公比不同情況時(shí)等比數(shù)列的單調(diào)性.a1a1>0a1<0q的范圍0<q<1q=1q>10<q<1q=1q>1圖象等比數(shù)列{an}的單調(diào)性單調(diào)遞減不變單調(diào)遞增單調(diào)遞增不變單調(diào)遞減anOxq>1

0<q<1q=1q>10<q<1q=1anOx

問(wèn)題2：類(lèi)比指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，討論公比不同情況時(shí)等比數(shù)列的單調(diào)性.a1a1>0a1<0q的范圍0<q<1q=1q>1