考向43統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例

J經(jīng)典/司

經(jīng)典題型一：隨機(jī)抽樣、分層抽樣

經(jīng)典題型二：頻率分布直方圖、條形統(tǒng)計(jì)圖、折線統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖

經(jīng)典題型三：百分位數(shù)

經(jīng)典題型四：樣本的數(shù)字特征

經(jīng)曲題型五：變量間的相關(guān)關(guān)系

經(jīng)典題型六：線性回歸

經(jīng)典題型七：非線性回歸

經(jīng)典題型八：獨(dú)立性檢驗(yàn)

經(jīng)典題型九：誤差分析

知識(shí)點(diǎn)一、抽樣

1、抽樣調(diào)查

(1)總體：統(tǒng)計(jì)中所考察對象的某一數(shù)值指標(biāo)的全體構(gòu)成的集合稱為總體.

(2)個(gè)體：構(gòu)成總體的每一個(gè)元素叫做個(gè)體.

(3)樣本：從總體中抽取若干個(gè)個(gè)體進(jìn)行考察，這若干個(gè)個(gè)體所構(gòu)成的集合叫做總體的一個(gè)樣本，樣

本中個(gè)體的數(shù)目叫做樣本容量.

2、簡單隨機(jī)抽樣

(1)定義

一般地，設(shè)一個(gè)總體含有N個(gè)個(gè)體，從中逐個(gè)不放回地抽取〃個(gè)個(gè)體作為樣本()，如果每次抽

取時(shí)總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)都相等，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機(jī)抽樣.這樣抽取的樣本，叫

做簡單隨機(jī)樣本.

(2)兩種常用的簡單隨機(jī)抽樣方法

①抽簽法：一般地，抽簽法就是把總體中的N個(gè)個(gè)體編號，把號碼寫在號簽上，將號簽放在一個(gè)容器

中，攪拌均勻后，每次從中抽取一個(gè)號簽，連續(xù)抽取〃次，就得到一個(gè)容量為〃的樣本.

②隨機(jī)數(shù)法:即利用隨機(jī)數(shù)表、隨機(jī)數(shù)骰子或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)進(jìn)行抽樣.這里僅介紹隨機(jī)數(shù)表法.隨

機(jī)數(shù)表由數(shù)字0,1,2,…，9組成，并且每個(gè)數(shù)字在表中各個(gè)位置出現(xiàn)的機(jī)會(huì)都是一樣的.

注意：為了保證所選數(shù)字的隨機(jī)性，需在查看隨機(jī)數(shù)表前就指出開始數(shù)字的橫、縱位置.

(3)抽簽法與隨機(jī)數(shù)法的適用情況

抽簽法適用于總體中個(gè)體數(shù)較少的情況，隨機(jī)數(shù)法適用于總體中個(gè)體數(shù)較多的情況，但是當(dāng)總體容量

很大時(shí)，需要的樣本容量也很大時(shí)，利用隨機(jī)數(shù)法抽取樣本仍不方便.

(4)簡單隨機(jī)抽樣的特征

①有限性：簡單隨機(jī)抽樣要求被抽取的樣本的總體個(gè)數(shù)是有限的，便于通過樣本對總體進(jìn)行分析.

②逐一性：簡單隨機(jī)抽樣是從總體中逐個(gè)地進(jìn)行抽取，便于實(shí)踐中操作.

③不放回性：簡單隨機(jī)抽樣是一種不放回抽樣，便于進(jìn)行有關(guān)的分析和計(jì)算.

④等可能性：簡單單隨機(jī)抽樣中各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)都相等,從而保證了抽樣方法的公平.

只有四個(gè)特點(diǎn)都滿足的抽樣才是簡單隨機(jī)抽樣.

3、分層抽樣

(1)定義

一般地，在抽樣時(shí)，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨(dú)立地抽取一定數(shù)量的

個(gè)體，將各層取出的個(gè)體合在一起作為樣本，這種抽樣方法叫做分層抽樣.

分層抽樣適用于已知總體是由差異明顯的幾部分組成的.

(2)分層抽樣問題類型及解題思路

①求某層應(yīng)抽個(gè)體數(shù)量：按該層所占總體的比例計(jì)算.

②已知某層個(gè)體數(shù)量，求總體容量或反之求解：根據(jù)分層抽樣就是按比例抽樣，列比例式進(jìn)行計(jì)算.

③分層抽樣的計(jì)算應(yīng)根據(jù)抽樣比構(gòu)造方程求解,其中“抽樣比=去求室=左力前f

注意：分層抽樣時(shí)，每層抽取的個(gè)體可以不一樣多，但必須滿足抽取〃,.=〃?斗(i=12,女)個(gè)個(gè)體

N

(其中i是層數(shù),n是抽取的樣本容量，乂是第/層中個(gè)體的個(gè)數(shù)，N是總體容量).

知識(shí)點(diǎn)二、用樣本估計(jì)總體

1、頻率分布直方圖

(1)頻率、頻數(shù)、樣本容量的計(jì)算方法

頻率

①^正x組距=頻率.

組距

頻數(shù)頻數(shù)

②"*.舁=頻率，薪;樣本容量，樣本容量X頻率二頻數(shù).

樣本容量頻率

③頻率分布直方圖中各個(gè)小方形的面積總和等于1.

2、頻率分布直方圖中數(shù)字特征的計(jì)算

(1)最高的小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù).

(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的.設(shè)中位數(shù)為x,利用x左(右)側(cè)矩形面積之

和等于0.5,即可求出x.

(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長方形的面積乘以小長方形底

邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和，即有蓬西0+工的++ZP”，其中乙為每個(gè)小長方形底邊的中點(diǎn)，化，為每個(gè)小長

方形的面積.

3、百分位數(shù)

(1)定義

一組數(shù)據(jù)的第〃百分位數(shù)是這樣一個(gè)值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有〃％的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值，且

至少有(100-p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值.

(2)計(jì)算一組〃個(gè)數(shù)據(jù)的的第〃百分位數(shù)的步驟

①按從小到大排列原始數(shù)據(jù).

②計(jì)算i=〃x〃％.

③若，?不是整數(shù)而大于/的比鄰整數(shù)j,則第P百分位數(shù)為第，項(xiàng)數(shù)據(jù)；若/?是整數(shù)，則第P百分位數(shù)為

第，?項(xiàng)與第i+1項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).

(3)四分位數(shù)

我們之前學(xué)過的中位數(shù)，相當(dāng)于是第50百分位數(shù).在實(shí)際應(yīng)用中,除了中位數(shù)外，常用的分位數(shù)還有

第25百分位數(shù)，第75百分位數(shù).這三個(gè)分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份，因此稱為四分位

數(shù).

4、樣本的數(shù)字特征

(1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)

①眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫眾數(shù)，眾數(shù)反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的多數(shù)水平.

②中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小順序依次排列，把處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平

均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，中位數(shù)反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的中間水平.

③平均數(shù)：〃個(gè)樣本數(shù)據(jù)小看,…不的平均數(shù)為：=*,反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的平均水平，公式

n

變形：￡七=八.

1=1

5、標(biāo)準(zhǔn)差和方差

(I)定義

①標(biāo)準(zhǔn)差：標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用$表示.假設(shè)樣本數(shù)據(jù)是不占,…，人，

,表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則標(biāo)準(zhǔn)差5=舊-5)、(5一J+…+(.4--].

②方差：方差就是標(biāo)準(zhǔn)差的平方，即/Jig+心二)2+...+(￡_-)2]顯然，在刻畫樣本數(shù)據(jù)

n

的分散程度上，方差與標(biāo)準(zhǔn)差是一樣的.在解決實(shí)際問題時(shí)，多采用標(biāo)準(zhǔn)差.

(2)數(shù)據(jù)特征

標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)程度的大小.標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，則數(shù)據(jù)的離散程度越

大；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.反之亦可由離散程度的大小推算標(biāo)準(zhǔn)差、方差的大小.

(3)平均數(shù)、方差的性質(zhì)

如果數(shù)據(jù)不和……，原的平均數(shù)為?，方差為果，那么

2

①一組新數(shù)據(jù),V,+b,x2+/?,……+b的平均數(shù)為x+〃，方差是S.

②一組新數(shù)據(jù)知"%....，，n"的平均數(shù)為"X,方差是/卡.

③一組新數(shù)據(jù)g+b,ax,+b,...,a\;+b的平均數(shù)為ax+b,方差是a2s2.

知識(shí)點(diǎn)三、變量間的相關(guān)關(guān)系

1、變量之間的相關(guān)關(guān)系

當(dāng)自變量取值一定時(shí)，因變量的取值帶有一定的隨機(jī)性，則這兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫相關(guān)關(guān)系.由于

相關(guān)關(guān)系的不確定性，在尋找變量之間相關(guān)關(guān)系的過程中，統(tǒng)計(jì)發(fā)揮著非常重要的作用.我們可以通過收

集大量的數(shù)據(jù)，在對數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，對它們的關(guān)系作出判斷.

注意：相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系是不同的，相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系，函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，

而且函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，但相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系.

2、散點(diǎn)圖

將樣本中的〃個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)a，yja=l,2,...,〃)描在平面直角坐標(biāo)系中，所得圖形叫做散點(diǎn)圖.根據(jù)散點(diǎn)圖

中點(diǎn)的分布可以直觀地判斷兩個(gè)變量之間的關(guān)系.

(1)如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，對于兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它

稱為正相關(guān)，如圖(1)所示；

(2)如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，對于兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它

稱為負(fù)相關(guān)，如圖(2)所示.

(I)(2)

3、相關(guān)系數(shù)

若相應(yīng)于變量工的取值占，變量「的觀測值為凡(14”〃)，則變量x與)，的相關(guān)系數(shù)

〃__，|__

Z(%一項(xiàng)凹一),)E七y>-fixy

「”小I，通常用「來衡量x與),之間的線性關(guān)系的強(qiáng)弱，r

的范圍為一1KY1.

(1)當(dāng)廠>0時(shí)，表示兩個(gè)變量正相關(guān)；當(dāng)「<0時(shí)，表示兩個(gè)變量負(fù)相關(guān).

(2)卜|越接近1,表示兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；卜|越接近0,表示兩個(gè)變量間幾乎不存在線性相

關(guān)關(guān)系.當(dāng)仍=1時(shí)，所有數(shù)據(jù)點(diǎn)都在一條直線上.

(3)通常當(dāng)卜|>0.75時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.

知識(shí)點(diǎn)四、線性回歸

1、線性回歸

線性回歸是研究不具備確定的函數(shù)關(guān)系的兩個(gè)變量之間的關(guān)系(相關(guān)關(guān)系)的方法.

對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(xllyi)l(x2ly2)....(xn.yn),其回歸方程y=bx+a的求法為

￡（七-x）（A-y）^x^-nxy

b=J------——=-4......—

￡（七-幻2力

;-1?-|

a=y-bx

其中,x力A；,），=>!■力M，（*,y）稱為樣本點(diǎn)的中心.

2、殘差分析

對于預(yù)報(bào)變量y,通過觀測得到的數(shù)據(jù)稱為觀測值y,通過回歸方程得到的y稱為預(yù)測值，觀測值減

夫預(yù)測值等于殘差，自稱為相應(yīng)于點(diǎn)(七?)的殘差，即有&=.殘差是隨機(jī)誤差的估計(jì)結(jié)果,通過對

殘差的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為殘差

分析.

(I)殘差圖

通過殘差分析，殘差點(diǎn)(冷切比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適,其中這

樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精確度越高；反之，不合適.

(2)通過殘差平方和。=之(y-上)2分析，如果殘差平方和越小廁說明選用的模型的擬合效果越好；

/=!

反之，不合適.

(3)相關(guān)指數(shù)

用相關(guān)指數(shù)來刻畫回歸的效果，其計(jì)算公式是：*=i-三--------.

Z(x-y)2

r=l

齊越接近于1,說明殘差的平方和越小，也表示回歸的效果越好.

知識(shí)點(diǎn)五、非線性回歸

解答非線性擬合問題，要先根據(jù)散點(diǎn)圖選擇合適的函數(shù)類型，設(shè)出回歸方程,通過換元將陌生的非線

性回歸方程化歸轉(zhuǎn)化為我們熟悉的線性回歸方程.

求出樣本數(shù)據(jù)換元后的值，然后根據(jù)線性回歸方程的計(jì)算方法計(jì)算變換后的線性回歸方程系數(shù)，還原

后即可求出非線性回歸方程,再利用回歸方程進(jìn)行預(yù)報(bào)預(yù)測，注意計(jì)算要細(xì)心，避免計(jì)算錯(cuò)誤.

1、建立非線性回歸模型的基本步驟：

(?)確定研究對象，明確哪個(gè)是解釋變量，哪個(gè)是預(yù)報(bào)變量；

(2)畫出確定好的解釋變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系(是否存在非線性關(guān)系)；

(3)由經(jīng)驗(yàn)確定非線性回歸方程的類型(如我們觀察到數(shù)據(jù)呈非線性關(guān)系，一般選用反比例函數(shù)、二

次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)模型等)；

(4)通過換元,將非線性回歸方程模型轉(zhuǎn)化為線性回歸方程模型；

(5)按照公式計(jì)算線性回歸方程中的參數(shù)(如最小二乘法)，得到線性回歸方程；

(6)消去新元，得到非線性回歸方程；

(7)得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常.若存在異常,則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等.

知識(shí)點(diǎn)六、獨(dú)立性檢驗(yàn)

1、分類變量和列聯(lián)表

(1)分類變量：

變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量.

(2)列聯(lián)表：

①定義：列出的兩個(gè)分類變量的頻數(shù)表稱為列聯(lián)表.

②2x2列聯(lián)表.

一般地，假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和丫，它們的取值分別為｛M,42｝和仃I,)，2｝,其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱

為2x2列聯(lián)表)為

X%總計(jì)

玉aba+b

X2Cdc+d

總“a+cb+da+b+c+cl

從2x2列表中，依據(jù)二1與二的值可直觀得出結(jié)論：兩個(gè)變量是否有關(guān)系.

a+bc+d

2、等高條形圖

(I)等高條形圖和表格相比，更能直觀地反映出兩個(gè)分類變量間是否相互影響，常用等高條形圖表示

列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征.

(2)觀察等高條形圖發(fā)現(xiàn)，1與f相差很大,就判斷兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系.

a+bc+d

3、獨(dú)立性檢驗(yàn)

(I)定義：利用獨(dú)立性假設(shè)、隨機(jī)變量犬來確定是否有一定把握認(rèn)為?,兩個(gè)分類變量有關(guān)系''的方法

稱為兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn).

(2)公式：++

(a+〃)(c+dKa+c)(b+d)

(3)獨(dú)立性檢驗(yàn)的具體步驟婦下：

①計(jì)算隨機(jī)變量K2的觀測值k,查下表確定臨界值k0:

P（K214）0.50.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001

k。0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

②如果k>ku,就推斷“X與卜有關(guān)系”，這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過〃(犬“))；否則，就認(rèn)為在犯

錯(cuò)誤的概率不超過p(K2>亳)的前提下不能推斷“X與y有關(guān)系”.

(2)兩個(gè)分類變量x和y是否有關(guān)系的判斷標(biāo)準(zhǔn)：

統(tǒng)計(jì)學(xué)研究表明：

當(dāng)K2<3.841時(shí)，認(rèn)為X與y無關(guān)；

當(dāng)K?>3.841時(shí)，有95/的把握說X與y有關(guān)；

當(dāng)K?＞6.635時(shí)，有99/的把握說X與丫有關(guān)；

當(dāng)六＞10.828時(shí)，有99.9/的把握說X與丫有關(guān).

常見的非線性回歸模型

(I)指數(shù)函數(shù)型y=M(。＞0且awl,c＞0)

兩邊取自然對數(shù)，Iny=In(cav),即\ny=Inc+xIna,

令[尸”，原方程變?yōu)榘薽c+flna，然后按婕回歸模型求出In。，Inc.

x=x

(2)又寸數(shù)函數(shù)型y=/，lnx+a

令PT：,原方程變?yōu)椋荆?=次+。，然后按線性回歸模型求出〃，〃.

x=\nx

(3)幕函數(shù)型,y=""

兩邊取常用對數(shù)，lg_y=1g(a-)，即愴y=n1gx+1ga,

令卜："，原方程變?yōu)?=，然后按線性回歸模型求出〃，旭〃.

x=Ig.r

(4)二次函數(shù)型y=bx2+a

令=,原方程變?yōu)閥=bx^a.然后按線性回歸模型求出力,a.

[x=x*

(5)反比例函數(shù)型)，=。+^型

令，1,原方程變?yōu)?，'=尿'+〃，然后按線性回歸模型求出〃，a.

X=—

經(jīng)典題型練

經(jīng)典題型一：隨機(jī)抽樣、分層抽樣

142022?全國?高三專題練習(xí)）某工廠利用隨機(jī)數(shù)表對生產(chǎn)的7（X）個(gè)零件進(jìn)行抽樣測試，先將700個(gè)零件進(jìn)

行編號，001,002,……，699,70（）.從中抽取70個(gè)樣本,下圖提供隨機(jī)數(shù)表的第4行到第6行,若從表中第5

行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，則得到的第6個(gè)樣本編號是（）

32211834297864540732524206443812234356773578905642

84421253313457860736253007328623457889072368960804

32567808436789535577348994837522535578324577892345

A.623B.328C.253D.007

2.（2022?全國?高三專題練習(xí)）有甲、乙兩箱籃球，其中甲箱27個(gè)，乙箱9個(gè)，現(xiàn)從這兩箱籃球中隨機(jī)抽

取4個(gè)，甲箱抽3個(gè)，乙箱抽1個(gè).下列說法不正確的是（）

A.總體是36個(gè)籃球B.樣本是4個(gè)籃球

C.樣本容量是4D.每個(gè)籃球被抽到的可能性不同

3.（2022?上海寶山?高三階段練習(xí)）某個(gè)年級有男生180人，女生160人，用分層抽樣的方法從該年級全體

學(xué)生中抽取一個(gè)容量為68的樣本，則此樣本中女生人數(shù)為（）

A.40B.36C.34D.32

4.（2022?江西?贛源中學(xué)高三階段練習(xí)（文））2022年7月24日，搭載問天實(shí)驗(yàn)艙的長征五號8遙三運(yùn)載火

箭，在我國文昌航天發(fā)射場成功發(fā)射，我國的航天事業(yè)又上了一個(gè)新的臺(tái)階.某?，F(xiàn)有高一學(xué)生HXX）人，高

二學(xué)生800人，高三學(xué)生1200人，為了調(diào)查該校學(xué)生對我國航天事業(yè)的了解程度，現(xiàn)從三個(gè)年級中采用分

層抽樣的方式抽取60人填寫問卷調(diào)查，則高三年級有多少人被抽中（）

A.16B.18C.20D.24

5.（2022?上海靜安?二模）2022年2月4日至2月20日春節(jié)期間，第24屆冬奧會(huì)在北京市和張家口市聯(lián)合

舉行.共有3個(gè)冬奧村供運(yùn)動(dòng)員和代表隊(duì)官員入住，其中北京冬奧村的容量約為2250人，延慶冬奧村的容量

約1440人，張家口冬奧村的容量約2610人.為了解各冬奧村服務(wù)質(zhì)量，現(xiàn)共準(zhǔn)備了140份調(diào)查問卷，采用分

層抽樣的方法，則需在延慶冬奧村投放的問卷數(shù)量是（）

A.58份B.50份C.32份D.19份

6.（2022.全國?高三專題練習(xí)）利用簡單隨機(jī)抽樣的方法，從〃個(gè)個(gè)體（〃>13）中抽取13個(gè)個(gè)體，若第二次

抽取時(shí)，余下的每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為:，則在整個(gè)抽樣過程中，每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性為.

7.（2022?重慶南開中學(xué)高三階段練習(xí)）某中學(xué)為了掌握學(xué)校員工身體狀況，偶爾會(huì)采用抽檢的方式來收集

各部門員工的健康情況.為了讓樣本更具有代表性，學(xué)校對各部門采用分層抽樣的方法進(jìn)行抽檢.已知該

校部門A、部門“、部門C分別有40、60、80人，各部門員工不存在交叉任職情況，若共抽檢了90人，

則部門A抽檢人數(shù)為.

經(jīng)典題型二：頻率分布直方圖、條形統(tǒng)計(jì)圖、折線統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖

8.（2022?遼寧朝陽?高三階段練習(xí)）某市教育局為得到高三年級學(xué)生身高的數(shù)據(jù)，對高三年級學(xué)生進(jìn)行抽樣

調(diào)查，隨機(jī)抽取了1000名學(xué)生，他們的身高都在A,“，C,。￡五個(gè)層次內(nèi)，分男、女生統(tǒng)計(jì)得到以

下樣本分布統(tǒng)計(jì)圖，則（）

男生身高分布扇形圖

B.估計(jì)樣本中男生身高的中位數(shù)比女生身高的中位數(shù)大

C.。層次的女生和E層次的男生在整個(gè)樣本中頻率相等

D.樣本中〃層次的學(xué)生數(shù)和C層次的學(xué)生數(shù)一樣多

9.（2022?黑龍江?佳木斯一中三模（理））如圖1為某省2019年1月份快遞業(yè)務(wù)量統(tǒng)計(jì)圖，圖2為該省2019

年I~4月份快遞業(yè)務(wù)收入統(tǒng)計(jì)圖，對統(tǒng)計(jì)圖理解不正確的是（）

匚|快遞業(yè)務(wù)量（萬件）?同比增長率（％）口快遞業(yè)務(wù)收入（萬元）?同比增長率（％）

圖I

A.2019年1~4月份快遞業(yè)務(wù)量3月份最高，2月份最低，差值接近2000萬件

B.從1~4月份來看，業(yè)務(wù)量與業(yè)務(wù)收入有波動(dòng)，但整體保持高速增長

C.從兩圖中看，增量與增長速度并不完全一致，但業(yè)務(wù)量與業(yè)務(wù)收入變化高度一致

D.2019年I?4月份快遞業(yè)務(wù)量同比增長率均超過50%,在3月份最高,和春節(jié)后網(wǎng)購迎來噴漲有關(guān)

10.（2022湖北孝感?高三階段練習(xí)）2021年7月至2022年7月，我國居民消費(fèi)價(jià)格保持平穩(wěn)，居民消費(fèi)價(jià)

格漲跌幅如圖所示，則（）

全國居民消費(fèi)價(jià)格漲跌幅

3.0%■

2.5%■

2.0%-

1.5%?

1.0%-

0.5%■

0.0%-

一0.5%?

-1.0%--------?--------?--------'--------'--------?--------?--------?--------?--------?--------'--------?--------?--------?-

2021年8月9月10月11月12月2022年2月3月4月5月6月7月

7月1月

當(dāng)月消費(fèi)價(jià)格-去年同期消費(fèi)價(jià)格

備注：同比增長率二xlOO%,環(huán)比增長率二

去年同期消費(fèi)價(jià)格

當(dāng)月消費(fèi)價(jià)格-上月同期消費(fèi)價(jià)格

-------上月同期消費(fèi)價(jià)格-------X1i0nn0o%/

A.2022年1月全國居民消費(fèi)價(jià)格比2021年1月全國居民消費(fèi)價(jià)格有所下降

B.2022年5月全國居民消費(fèi)價(jià)格比2022年4月全國居民消費(fèi)價(jià)格有所上升

C.2021年7月至2022年7月全國居民消費(fèi)價(jià)格同比增長率的40%分位數(shù)為1.0%

D.2021年10月至2022年7月全國居民消費(fèi)價(jià)格環(huán)比增長率的平均數(shù)為0.25%

經(jīng)典題型三：百分位數(shù)

II.（2022.福建省福州華僑中學(xué)高三階段練習(xí)）某讀書會(huì)有5名成員，寒假期間他們每個(gè)人閱讀的節(jié)本數(shù)分

別如下：3,5,4,2,1,則這組數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)為（）

A.3B.3.5C.4D.4.5

12.（2022?山東濰坊?高三階段練習(xí)）從2,3,4,5,6,7,8,9中隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)，這兩個(gè)數(shù)一個(gè)比/〃大，

一個(gè)比，〃小的概率為，已知用為上述數(shù)據(jù)中的.依分位數(shù)，則-v的取值可能為（）

14

A.50B.60C.70D.80

13.（2022?安徽?高三開學(xué)考試）學(xué)校組織班級知識(shí)競賽，某班的8名學(xué)生的成績（單位:分）分別是:68、63、

77、76、82、88、92、93,則這8名學(xué)生成績的75%分位數(shù)是（）

A.88分B.89分C.90分D.92分

14.（2022?全國?高三專題練習(xí)）婦圖一所示,某市5月1日至10日PM2.5的日均值（單位：岬n?。┳兓?/p>

折線圖,則該組數(shù)據(jù)第64百分位數(shù)為（）

A.45B.48C.78D.80

15.（2022?湖北武漢?高三開學(xué)考試）某校高三數(shù)學(xué)備課組老師的年齡（單位：歲）分別為：28,29,42,

32f41,56,45.48,55,59,則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為（）

A.54.5B.55C.55.5D.56

經(jīng)典題型四：樣本的數(shù)字特征

16.（2022河南?鄭州四中高三階段練習(xí)（文））運(yùn)動(dòng)員甲10次射擊成績（單位：環(huán)）如下：7,8,9,7,4,

8,9,9,7,2,則下列關(guān)于這組數(shù)據(jù)說法不正確的是（）.

A.眾數(shù)為7和9B.平均數(shù)為7

c.中位數(shù)為7D.方差為1=4.8

17.（2022?全國?高三專題練習(xí)）在2022北京冬奧會(huì)單板滑雪U型場地技巧比賽中，6名評委給A選手打出

了6個(gè)各不相同的原始分，經(jīng)過“去掉其中一個(gè)最高分和一個(gè)最低分”處理后，得到4個(gè)有效分.則經(jīng)處理后

的4個(gè)有效分與6個(gè)原始分相比，一定會(huì)變小的數(shù)字特征是（）

A.平均數(shù)B.中位數(shù)C.眾數(shù)D.方差

18.（2022?江蘇.南京市天印高級中學(xué)模擬預(yù)測）在發(fā)生某公共衛(wèi)生事件期間，我國有關(guān)機(jī)構(gòu)規(guī)定：該事件

在一段時(shí)間沒有發(fā)生規(guī)模群體感染的標(biāo)志為“連續(xù)10天每天新增加疑似病例不超過7人”.根據(jù)過去10天甲、

乙、丙、丁四地新增疑似病例數(shù)據(jù)，一定符合該標(biāo)志的是（）

A.甲地總體均值為3,中位數(shù)為4

B.乙地總體平均數(shù)為1,總體方差大于。；

C.丙地總體均值為2，總體方差為3

D.丁地中位數(shù)為3,眾數(shù)為3

19.（2022?浙江?高三開學(xué)考試）某學(xué)校食堂為了解學(xué)生對食堂的滿意度，從高一、高二兩個(gè)年級分別隨機(jī)

調(diào)查了100名學(xué)生，根據(jù)學(xué)生對食堂的滿意度評分，分別得到高一和高二學(xué)生滿意度評分的頻率分布直方

圖.

若高一和高二學(xué)生的滿意度評分中位數(shù)分別為0占，平均數(shù)分別為加內(nèi)，則（）

?

A.內(nèi)>電，y>y2B.內(nèi)<>2

C.王〈和x<）’2D.藥</，另>

20.（2022?全國?高三專題練習(xí)）為了進(jìn)一步推動(dòng)全市學(xué)習(xí)型黨組織、學(xué)習(xí)型社會(huì)建設(shè)，某市組織開展“學(xué)習(xí)

強(qiáng)國..知識(shí)測試，從全體測試人員中隨機(jī)抽取了一部分人的測試成績，得到頻率分布直方圖如圖所示.假設(shè)同

組中的每個(gè)數(shù)據(jù)都用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，則估計(jì)這部分人的測試成績的平均數(shù)和中位數(shù)分別是（）

A.85,87.5B.86.75,86.67C.86.75,85D.85,85

21.（2022?全國?高三階段練習(xí)（理））某組樣本數(shù)據(jù)的平方和片+芯+X；++X；=160,平均數(shù)1=5,則該

組數(shù)據(jù)的方差/=（）

35

A.1B.-C.2D.:

23

22.（2022?廣東佛山?高三階段練習(xí)）已知一組數(shù)據(jù)對々，卬兀的平均數(shù)是3,方差是2,則由

1，2玉-5,2勺-5,2當(dāng)-5,2兒-5這，個(gè)數(shù)據(jù)組成的新的一組數(shù)據(jù)的方差是（）

5,5

23.（2022?四川省成都市第八中學(xué)校高三階段練習(xí)（理））某班統(tǒng)計(jì)一次數(shù)學(xué)測瞼成績的平均分與方差，計(jì)

算完畢才發(fā)現(xiàn)有個(gè)同學(xué)的分?jǐn)?shù)還未錄入，只好重算一次.已知原平均分和原方差分別為1,新平均分和

新方差分別為；一3；,若此同學(xué)的得分恰好為7，則（）

A.%=汨，s?=s：B.x=x\,s2<s^

C.x=汨，/>$；D.x<X],=si

24.（2022?全國?高三專題練習(xí)（文））某家庭記錄了未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)（單位：n?）和

使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)，得到頻數(shù)分布表如下：

未使用節(jié)水龍頭5（）天的日用水量頻數(shù)分布表

日用水量[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)[03,0.4)[0.4,0.51[0.5,0.6)[0.6,0.7]

頻數(shù)13249265

日用水量[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,03)[0.3,0.4)[04,0.5)[0.5,0.6)

颼151310165

使用了節(jié)水龍頭5()天的日用水量頻數(shù)分布表

⑴在圖中作出使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

⑵怙計(jì)該家庭使用節(jié)水龍頭后，日用水量小于0.3m3的概率；

⑶怙計(jì)該家庭使用節(jié)水龍頭后，一年能節(jié)省多少水？(一年按365天計(jì)算，同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所

在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表.)

25.(2022?重慶十八中兩江實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三階段練習(xí))2022年3月5日，第十三屆全國人民代表大會(huì)第五次會(huì)

議在北京人民大會(huì)堂開幕，會(huì)議報(bào)告指出，2021年，國內(nèi)生產(chǎn)總值和居民人均可支配收入明顯增長.某地

為了解居民可支配收入情況，隨機(jī)抽取100人，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，這100人去年可支配收入(單位：萬元)均在區(qū)間

[4.5,10.5]內(nèi),按[4.5,5.5),[5.5,6.5),[6.5,7.5),[7.5,8.5),[8.5,9.5),[9.5,10.5]分成6組，頻率分布直方

圖如圖所示，若上述居民可支配收入數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為8.1.

⑴求。力的值，并估計(jì)這100位居民可支配收入的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；

⑵用樣本的頻率估計(jì)概率，從該地居民中抽取甲、乙、丙3人，若每次抽取的結(jié)果互不影響，求抽取的3人

中至少有兩人去年可支配收入在［758.5）內(nèi)的概率.

26.（2022?全國?高三專題練習(xí)）某中學(xué)高三年級有40（）名學(xué)生參加月考，用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取了一

個(gè)容量為50的樣本，得到數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖所示.

⑴求第四個(gè)小矩形的高；

⑵怙算樣本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù).

27.（2022?北京市第一零九中學(xué)高三階段練習(xí)）北京市某區(qū)針對高三年級的一次測試做調(diào)研分析，隨機(jī)抽取

同時(shí)選考物理、化學(xué)的學(xué)生330名，下表是物理、化學(xué)成績等級和人數(shù)的數(shù)據(jù)分布情況：

物理成績等級ABC

化學(xué)成績等級ABCABCABC

人數(shù)（名）11053255701531210

⑴從該區(qū)高三年級同時(shí)選考物理、化學(xué)的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，已知該生的物理成績等級為A，估計(jì)該生的

化學(xué)成績等級為A的概率；

⑵從該區(qū)高三年級同時(shí)選考物理、化學(xué)的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，以X表示這2人中物理、化學(xué)成績等級均為

A的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望（以上表中物理、化學(xué)成績等級均為A的頻率作為每名學(xué)生物理、化學(xué)

成績等級均為A的概率）；

⑶記抽取的330名學(xué)生在這次考試中數(shù)學(xué)成績（滿分150分）的方差為?,排名前50%的成績方差為s：,

排名后50%的成績方差為4，則/不可能同時(shí)大于4和4,這種判斷是否正確，并說明理由.

28.（2022?重慶?高三階段練習(xí)）重慶軌道交通9號線一期己于今年1月25日開通運(yùn)營，全長32.29公里，從

高灘巖站至興科大道站一路經(jīng)過23座車站.沙坪壩站是目前客流量最大的站點(diǎn)，某數(shù)學(xué)興趣小組在沙坪壩

站作乘客流量來源地相關(guān)調(diào)查，從上車人群中隨機(jī)選取了100名乘客，記錄了他們從來源地到沙坪壩站所花

費(fèi)時(shí)間/,得到下表：

時(shí)間r(min)[0,6)[6/2)[12,18)[18,24)[24,30)[30,36)

人數(shù)（人）630351784

⑴從在沙坪壩站上車的乘客中任選一人，估計(jì)該乘客花費(fèi)時(shí)間/小于18min的概率；

⑵估計(jì)所有在沙坪壩站上車的乘客花費(fèi)時(shí)間，的中位數(shù)；

⑶已知，目。，6）的6人，其平均數(shù)和方差分別為5,1.5;，€色［2）的30人，其平均數(shù)和方差分別為8,9,

計(jì)算樣本數(shù)據(jù)中，目0,12）的平均數(shù)和方差.

經(jīng)典題型五：變量間的相關(guān)關(guān)系

29.（2022?四川省仁壽縣文宮中學(xué)高三階段練習(xí)（理））對于工，尸兩變量,有四組樣本數(shù)據(jù),分別算出它

們的線性相關(guān)系數(shù)〃（如下），則線性相關(guān)性最強(qiáng)的是（）

A.-().82B.0.78C.-0.69D.0.87

30.（2022?上海嘉定?高三階段練習(xí)）通過抽樣調(diào)研發(fā)現(xiàn)，當(dāng)?shù)氐谌径鹊尼t(yī)院心腦血管疾病的人數(shù)和便利

店購買冷飲的人數(shù)的相關(guān)系數(shù)很高，甲認(rèn)為這是巧合，兩者其實(shí)沒有關(guān)系：乙認(rèn)為冷飲的某種攝入成分導(dǎo)

致了疾?。槐J(rèn)為病人對冷飲會(huì)有特別需求：丁認(rèn)為兩者的相關(guān)關(guān)系是存在的，但不能視為因果，請判斷

哪位成員的意見最可能成立（）

A.甲B.乙C.丙D.T

31.（2022?四川?成都七中高三階段練習(xí)（理））某統(tǒng)計(jì)部門對四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析后，獲得如圖所示的散

點(diǎn)圖.

3535

3030

2525

2020

1515

1010

55

00

51015202530355101520253035

相關(guān)系數(shù)為勺相關(guān)系數(shù)為/"2

3535

3030

2525

2020

1515

1010

55

00

1015202530355101520253035

相關(guān)系數(shù)為Q相關(guān)系數(shù)為々

下面關(guān)于相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是（)

A.rA<r2<r[<ryB.r2<rA<rx<ryC.r2<rA<ry<rxD.rA<r2<ry<rx

32.（2022?上海交大附中高三階段練習(xí)）某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動(dòng)物數(shù)量有所

增加.為調(diào)查該地區(qū)某種野生動(dòng)物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個(gè)地塊，從這些地塊中用簡單隨機(jī)抽樣

的方法抽取20個(gè)作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)（4￡）（，=12GO）,其中工和犬分別表示第i個(gè)樣區(qū)的植

2020

物覆蓋面積（單位：公頃）和這種野生動(dòng)物的數(shù)量（單位：頭），并計(jì)算得=6。，=120（）,

1=1/=1

20_20_20__

￡"）2=80,=90200,2（%-磯y-7）=800.

r=1；=li=l

（1）怙計(jì)該地區(qū)這種野生動(dòng)物的數(shù)量；

⑵求樣本（多》）（i=12,20）的相關(guān)系數(shù).（精確到0.01）

33.（2022?陜西?寶雞市陳倉高級中學(xué)高三開學(xué)考試（理））對兩個(gè)變量工,），進(jìn)行線性相關(guān)檢驗(yàn)，得線性相關(guān)

系數(shù)r尸0.8995,對兩個(gè)變量〃，、?進(jìn)行線性相關(guān)檢驗(yàn)，得線性相關(guān)系數(shù)r2=-0.9568，則下列判斷正確的是

（）

A.變量t與y正相關(guān)，變量〃與＞，負(fù)相關(guān)，變量x與y的線性相關(guān)性較強(qiáng)

B.變量x與丁負(fù)相關(guān)，變量”與＞，正相關(guān)，變量x與y的線性相關(guān)性較強(qiáng)

C.變量x與.v正相關(guān)，變量〃與v負(fù)相關(guān)，變量〃與y的線性相關(guān)性較強(qiáng)

D.變量x與），負(fù)相關(guān)，變量〃與I，正相關(guān)，變量〃與"的線性相關(guān)性較強(qiáng)

34.（2022?全國?高三專題練習(xí)）甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自對MV兩變量的線性相關(guān)性做試驗(yàn),分別求得樣

本相關(guān)系數(shù)「，如下表：

甲乙丙T

r0.20-0.95-0.120.85

則試驗(yàn)結(jié)果中％）兩變量有更強(qiáng)線性相關(guān)性的是（）

A.甲R(shí).乙C.丙D.丁

35.（2022?全國?高三專題練習(xí)）近五年來某草場羊只數(shù)量與草地植被指數(shù)兩變量間的關(guān)系如表所示,繪制

相應(yīng)的散點(diǎn)圖，如圖所示：

年份12345

羊只數(shù)量/萬只1.40.90.750.60.3

草地植被指數(shù)1.14.315.631.349.7

草地植被指數(shù)

60

50?

40

30?

20.

10

0051L5羊只數(shù)成/萬只

根據(jù)表及圖得到以下判斷：①羊只數(shù)量與草地植被指數(shù)成減函數(shù)關(guān)系；②若利用這五組數(shù)據(jù)得到的兩變量

間的相關(guān)系數(shù)為彳，去掉第一年數(shù)據(jù)后得到的相關(guān)系數(shù)為4，貝1用」<同；③可以利用回歸直線方程，準(zhǔn)確地

得到當(dāng)羊只數(shù)量為2萬只時(shí)的草地植被指數(shù).以上判斷中正確的個(gè)數(shù)是________.

經(jīng)典題型六：線性回歸

36.(2022?河南安陽?高三階段練習(xí)(文))某學(xué)習(xí)小組用計(jì)算機(jī)軟件對一組數(shù)據(jù)(4)：)(，=123,?、8)進(jìn)行回

歸分析，甲同學(xué)首先求出回歸直線方程)，=2x+5，樣本點(diǎn)的中心為(2,〃?).乙同學(xué)對甲的計(jì)算過程進(jìn)行檢查,

發(fā)現(xiàn)甲將數(shù)據(jù)(3,7)誤輸成(7,3)，數(shù)據(jù)(46)誤輸成(4,-6)，將這兩個(gè)數(shù)據(jù)修正后得到回歸直線方程)，=自+，

則實(shí)數(shù)依()

8c5〃10n13

B-3CTD-T

37.(2022?河南?商丘市第一高級中學(xué)高三開學(xué)考試(文))已知具有線性相關(guān)關(guān)系的變量4,九設(shè)其樣本點(diǎn)

1010

為a(XQ)(i=123,..10),回歸直線方程為)，=2x+a,若2>,=30,2乂印。。，則”()

r=lf=l

A.40B.-17C.-170D.4

38.(2022?江西?高三開學(xué)考試(文))新能源汽車的核心部件是動(dòng)力電池，電池成本占了新能源整車成本很

大的比例，從2022年年初開始,生產(chǎn)電池的某種有色金屬的價(jià)格一路水漲船高.下表是2022年前5個(gè)月

我國某電池企業(yè)采購的該有色金屬價(jià)格)，(單位：千元/kg)與月份x的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù).

X12345

y1.73.04.46.07.4

已知》與x之間滿足線性相關(guān)關(guān)系,且q=加+》，由此方程預(yù)測到大=6時(shí)，)，=8.82,則〃=()

A.1.38B.1.40C,1.42D.1.44

39.(2022?江蘇鎮(zhèn)江?高三開學(xué)考試)新能源汽車的核心部件是動(dòng)力電池，碳酸鋰是動(dòng)力電池的主要成分,

從2021年底開始，碳酸鋰的價(jià)格一直升高,下表是2022年我國某企業(yè)前5個(gè)月購買碳酸鋰價(jià)格與月份的

統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù).由下表可知其線性回歸方程為3=。-28.1+0.16,

月份代碼X12345

碳酸鋰價(jià)格）’0.5a11.21.5

則表中〃的值為（）

A.0.5B.0.6C,0.7D.0.8

40.（2022?全國?模擬預(yù)測（文））2020年，國慶“遇上"中秋，中國人把這個(gè)''超長黃金周”過出了年味.假期期

間，全國各大旅游景點(diǎn)、車站、機(jī)場人頭攢動(dòng)的景象也吸引了世界的目光.外國媒體、專家和網(wǎng)友.,實(shí)名羨慕”，

這一派熱鬧景象證明了抗疫的成功，也展示了中國經(jīng)濟(jì)復(fù)蘇的勁頭.抗疫的成功離不開國家強(qiáng)大的醫(yī)療衛(wèi)生

體系，下表是某省2013年至2019年醫(yī)療衛(wèi)生機(jī)構(gòu)數(shù)，（單位：萬個(gè)）：

年份2013201420152016201720182019

年份代號/1234567

醫(yī)療衛(wèi)生機(jī)構(gòu)數(shù)4.24.34.54.74.84.84.9

（1）求）'關(guān)于，的線性回歸方程】=/；，+4",右保留兩位小數(shù)）；

（2規(guī)定若某年的實(shí)際醫(yī)療衛(wèi)生機(jī)構(gòu)數(shù)與估計(jì)值的差的絕對值不超過500個(gè)則稱該年是'?吻合'年利用1）

的結(jié)果，假設(shè)2020年該省醫(yī)療衛(wèi)生機(jī)構(gòu)數(shù)的估計(jì)值為實(shí)際值，現(xiàn)從2013年至2020年這8年中任選3年，

其中，'吻合”年的個(gè)數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

參考數(shù)據(jù)：=132.2,亍=4.6.