數(shù)學(xué)第二節(jié)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力能力闡釋數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對象的基礎(chǔ)上,依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).主要包括:理解運(yùn)算對象,掌握運(yùn)算法則,探究運(yùn)算思路,選擇運(yùn)算方法,設(shè)計(jì)運(yùn)算程序,求解運(yùn)算結(jié)果等.通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí),學(xué)生能進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算能力;有效借助運(yùn)算方法解決實(shí)際問題;通過運(yùn)算促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展,形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì),養(yǎng)成一絲不茍嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神.能力表現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算是解決數(shù)學(xué)問題的基本手段.數(shù)學(xué)運(yùn)算是演繹推理,也是計(jì)算機(jī)解決問題的基礎(chǔ).進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算的思維路徑如下:

第一步:理解運(yùn)算對象理解運(yùn)算對象就是要明確地知道對誰進(jìn)行運(yùn)算、進(jìn)行什么運(yùn)算、運(yùn)算對象的本質(zhì)是什么.理解運(yùn)算對象是正確進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算的前提和根本.只有做到心中有數(shù),才能利用運(yùn)算對象的概念、性質(zhì)等選擇適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算方法進(jìn)行后續(xù)的運(yùn)算,才能更好地解決數(shù)學(xué)問題.通過審題、數(shù)形結(jié)合明確本題運(yùn)算對象為△OBC的面積.第二步:掌握運(yùn)算法則掌握運(yùn)算法則是正確解決數(shù)學(xué)運(yùn)算問題的關(guān)鍵.不同的運(yùn)算對象有不同的運(yùn)算法則,只有正確理解了運(yùn)算對象,熟練靈活地選擇相應(yīng)的運(yùn)算法則,才能正確解答運(yùn)算題.數(shù)學(xué)運(yùn)算法則的使用不是生搬硬套,而是在熟記和理解的基礎(chǔ)上靈活運(yùn)用,做到正用、逆用、變形用,從而達(dá)到綜合應(yīng)用.本例中為了表達(dá)△OBC的面積,涉及的運(yùn)算法則有直線方程的設(shè)法、點(diǎn)到直線的距離公式、三角形面積公式、根與系數(shù)的關(guān)系等.第三步:探究運(yùn)算思路運(yùn)算思路是進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算的路線圖,具有很強(qiáng)的邏輯性,蘊(yùn)含著豐富的演繹推理過程.近年來,高考試題更注重?cái)?shù)學(xué)思維和思想方法的考查,其目的就是為了“反套路”和杜絕“機(jī)械刷題”現(xiàn)象,從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).運(yùn)算思路是體現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的精華,是解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵,通過探究運(yùn)算思路,能夠促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展.因而,只有實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)思維和思想方法的有機(jī)整合,培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)思想方法解題的意識和能力,才能促進(jìn)學(xué)生優(yōu)化運(yùn)算方法和思路,更好地理解數(shù)學(xué),體會(huì)數(shù)學(xué)的美.

第四步:求得運(yùn)算結(jié)果求得運(yùn)算結(jié)果需要正確理解運(yùn)算對象,掌握并靈活運(yùn)用運(yùn)算法則和方法,探究合理運(yùn)算思路.在高中階段,求得運(yùn)算結(jié)果的能力分為應(yīng)用運(yùn)算能力和過程運(yùn)算能力.應(yīng)用運(yùn)算能力主要考查根據(jù)已知量算出未知量的運(yùn)算技能.而高考題重點(diǎn)不在于應(yīng)用運(yùn)算,而在于過程運(yùn)算,過程運(yùn)算能力基于應(yīng)用運(yùn)算能力,是理解運(yùn)算對象、掌握運(yùn)算方法、探究運(yùn)算思路、求得運(yùn)算結(jié)果的綜合體現(xiàn).因此,在數(shù)學(xué)運(yùn)算的學(xué)習(xí)與實(shí)踐中,不但要知道運(yùn)算是一種重要的工具和方法,更重要的是一種思維模式,即“理性思維”.數(shù)學(xué)運(yùn)算的訓(xùn)練還有助于提高人的推理能力、抽象能力、分析能力和批判性能力等.上例中學(xué)生在正確理解運(yùn)算對象,掌握并靈活運(yùn)用運(yùn)算法則和方法,探究合理運(yùn)算思路的基礎(chǔ)上,便可成功獲得如下正確運(yùn)算結(jié)果.

運(yùn)算技能是依據(jù)運(yùn)算法則和運(yùn)算程序,對運(yùn)算對象實(shí)施數(shù)學(xué)變形的技巧和能力,是求得正確結(jié)果的必備技能.培養(yǎng)運(yùn)算技能,有助于我們理解運(yùn)算的算理,尋求合理簡潔的運(yùn)算途徑解決問題.在解決問題時(shí),要嘗試發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算中隱含的規(guī)律,這有助于深入理解數(shù)學(xué)問題,培養(yǎng)邏輯和分析能力;要嘗試從各個(gè)角度考慮可能的解決方案,這有助于培養(yǎng)創(chuàng)造力,提高解決問題的能力;要進(jìn)行反復(fù)的數(shù)學(xué)計(jì)算和操作,從而使數(shù)學(xué)運(yùn)算成為一種自然而然的思考方式;還要學(xué)會(huì)將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題拆分成更小的部分,并找到更簡單的解決方法.通過運(yùn)算促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展,形式規(guī)范化思考問題的品質(zhì),養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神.能力評價(jià)水平質(zhì)量描述水平一能夠在熟悉的數(shù)學(xué)情境中了解運(yùn)算對象,提出運(yùn)算問題.能夠了解運(yùn)算法則及其適用范圍,正確進(jìn)行運(yùn)算;能夠在熟悉的數(shù)學(xué)情境中,根據(jù)問題的特征建立合適的運(yùn)算思路解決問題.在運(yùn)算過程中,能夠體會(huì)運(yùn)算法則的意義和作用,能夠運(yùn)用運(yùn)算驗(yàn)證簡單的數(shù)學(xué)結(jié)論.在交流的過程中,能夠用運(yùn)算的結(jié)果說明問題水平質(zhì)量描述水平二能夠在關(guān)聯(lián)的情境中確定運(yùn)算對象,提出運(yùn)算問題.能夠針對運(yùn)算問題,合理選擇運(yùn)算方法設(shè)計(jì)運(yùn)算程序來解決問題.能夠理解運(yùn)算是一種演繹推理;能夠在綜合利用運(yùn)算方法解決問題的過程中,體會(huì)程序化思想的意義和作用.在交流的過程中,能夠借助運(yùn)算探討問題水平三在綜合情境中,能把問題轉(zhuǎn)化為運(yùn)算問題,確定運(yùn)算對象和運(yùn)算法則,明確運(yùn)算方向.能夠?qū)\(yùn)算問題構(gòu)造運(yùn)算程序,解決問題.能夠用程序化的思想理解與表達(dá)問題,理解程序化與計(jì)算機(jī)解決問題的聯(lián)系.在交流的過程中,能夠用程序化思想理解和解釋問題高考鏈接高考題重視對數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的考查,小到運(yùn)用運(yùn)算公式進(jìn)行數(shù)值計(jì)算,大到通過探究運(yùn)算思路選擇運(yùn)算方法都有涉及.從考查方式來看,主要是和其他知識點(diǎn)結(jié)合,運(yùn)用記憶、理解、推理的方式溝通不同的知識點(diǎn),建構(gòu)解決問題的思路.集合、復(fù)數(shù)、向量、指對冪函數(shù)等內(nèi)容的考查以運(yùn)算法則和性質(zhì)定理為主,圓錐曲線、導(dǎo)數(shù)等內(nèi)容的考查以運(yùn)算思路和演繹推理為主,三角函數(shù)、解三角形、數(shù)列、概率統(tǒng)計(jì)等內(nèi)容的考查以運(yùn)算方法為主.近3年高考中考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的試題分布情況如下:關(guān)鍵能力2025年2024年2023年新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷全國甲卷新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷全國甲卷全國乙卷數(shù)學(xué)運(yùn)算運(yùn)算與數(shù)據(jù)處理能力7,13,164,8,9,12,13,15167理13,理1710,2013文3,文8,理4,理19,理20理15,理17,文17關(guān)鍵能力2025年2024年2023年新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷全國甲卷新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷全國甲卷全國乙卷數(shù)學(xué)運(yùn)算運(yùn)算路徑選擇能力10,18,1911,16,18166,7,8,13,15,16,19理4,文46,16,20,215,6,8,14,17,18文7,文10,理11,理16,理17,理20,理21文6,理9估值與近似計(jì)算能力15

94理17919文19,理19

2.1運(yùn)算與數(shù)據(jù)處理能力新高考背景下,對數(shù)學(xué)的考量標(biāo)準(zhǔn)由單一成績考量向多維度考量方向發(fā)展.高中生的運(yùn)算與數(shù)據(jù)處理能力也是考量標(biāo)準(zhǔn)重要的組成部分,其對學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升及學(xué)生今后的成長具有不可小覷的作用.在平時(shí)的學(xué)習(xí)中,首先要加強(qiáng)對數(shù)據(jù)的直接感官,掌握收集、整理、分析、抽取、運(yùn)用數(shù)據(jù)的相應(yīng)手段;其次,要學(xué)會(huì)在實(shí)際案例中收集、整理數(shù)據(jù)并得出相應(yīng)結(jié)論,避免出現(xiàn)死記硬背、機(jī)械套用公式等現(xiàn)象,學(xué)會(huì)從實(shí)際案例中感知數(shù)據(jù)的重要性,充分培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維.

學(xué)友聊齋例2

(2024全國甲卷,理17)某工廠進(jìn)行生產(chǎn)線智能化升級改造.升級改造后,從該工廠甲、乙兩個(gè)車間的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取150件進(jìn)行檢驗(yàn),數(shù)據(jù)如下:單位:件車間優(yōu)級品合格品不合格品合計(jì)甲車間2624050乙車間70282100合計(jì)96522150(1)填寫如下列聯(lián)表:單位:件車間優(yōu)級品非優(yōu)級品甲車間

乙車間

能否有95%的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異?能否有99%的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異?

P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828[思維路徑][解題過程](1)單位:件車間優(yōu)級品非優(yōu)級品甲車間2624乙車間7030

學(xué)友聊齋

[思維路徑]

學(xué)友聊齋能

力訓(xùn)

練A組

基礎(chǔ)性題組題號選題理由1借助頻率分布直方圖進(jìn)行數(shù)據(jù)處理,考查平均數(shù)、百分位數(shù)的計(jì)算2通過觀察條件式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),熟練選擇三角恒等變換公式求解問題3通過觀察條件式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),準(zhǔn)確選擇向量公式求模長45把握對等比數(shù)列基本量的求解,考查運(yùn)算求解能力1.☆(2025河北廊坊模擬,多選題)某商場統(tǒng)計(jì)了180天的日收入(單位:萬元),并分組如下:[0,2),[2,4),[4,6),…,[10,12],得到如圖所示的頻率分布直方圖,則下列說法正確的是(

AD

)A.這180天中日收入不低于8萬元的有54天B.用比例分配的分層隨機(jī)抽樣法從日收入低于8萬元的天數(shù)中抽取14天,則這14天中有6天的日收入低于4萬元C.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)約是5萬元(每組數(shù)據(jù)以區(qū)間中點(diǎn)值為代表)D.這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為8.5萬元[解題過程]由頻率分布直方圖得這180天中日收入不低于8萬元的有(0.100+0.050)×2×180=54(天),故A正確;日收入低于8萬元的各組[0,2),[2,4),[4,6),[6,8)的頻率比為0.050∶0.075∶0.100∶0.125=2∶3∶4∶5,所以從日收入低于8萬元的天數(shù)中抽取14天,各組抽取的天數(shù)依次為2,3,4,5,則這14天中有2+3=5(天)的日收入低于4萬元,故B錯(cuò)誤;這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是(0.050×1+0.075×3+0.100×5+0.125×7+0.100×9+0.050×11)×2=6.2(萬元),故C錯(cuò)誤;

B組

綜合性題組題號選題理由1抽象出問題情境中的數(shù)學(xué)問題是解題關(guān)鍵,綜合考查等比數(shù)列和二項(xiàng)式定理2考查圓臺(tái)的基礎(chǔ)知識,突出空間想象和運(yùn)算求解能力3本題綜合考查直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系4通過觀察條件式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),合理構(gòu)造即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式

C組

應(yīng)用性題組題號選題理由1結(jié)合問題情境,考查化學(xué)器皿即圓臺(tái)的體積公式2以“進(jìn)位制”轉(zhuǎn)化為背景,考查二項(xiàng)式定理3理解“馬赫數(shù)”的概念,運(yùn)用對數(shù)式與指數(shù)式的互化解決問題4綜合考查等差數(shù)列基本量的運(yùn)算、裂項(xiàng)相消法求和以及數(shù)列中的恒成立和最值問題,對運(yùn)算求解能力有較高要求

D組

創(chuàng)新性題組題號選題理由1通過題目設(shè)置的新情境,考查橢圓的離心率2根據(jù)結(jié)構(gòu)式特點(diǎn),證明等差數(shù)列并求解數(shù)列的通項(xiàng)公式,并在此基礎(chǔ)上結(jié)合導(dǎo)數(shù)考查錯(cuò)位相減法,題目創(chuàng)新意識強(qiáng)3以新定義的比賽為背景,綜合考查概率分布列、條件概率、全概率公式及證明不等式4以等腰三角形的循環(huán)變換為背景,從特殊到一般,層層遞進(jìn)考查解三角形知識

X135P

4.☆☆☆☆(2025山東濟(jì)南二模)如圖,已知給定線段B1C1長為2,以B1C1為底邊作頂角為θ(0°<θ≤90°)的等腰三角形A1B1C1,取△A1B1C1的腰A1B1的三等分點(diǎn)B2,C2(B2靠近A1),以B2C2為底邊向△A1B1C1外部作頂角為θ的等腰三角形A2B2C2……依次類推,取△An-1Bn-1Cn-1的腰An-1Bn-1的三等分點(diǎn)Bn,Cn(Bn靠近An-1),以BnCn為底邊向△