復(fù)雜幾何壁面與流固耦合下移動接觸線問題的數(shù)值解析與創(chuàng)新探索一、緒論1.1研究背景在自然界與眾多工程應(yīng)用場景中，流體與固體的相互作用廣泛存在。當(dāng)流體與固體的邊界接觸時，便會產(chǎn)生移動接觸線現(xiàn)象，這種現(xiàn)象涵蓋了豐富的物理過程，其研究對于理解多相流的基礎(chǔ)物理機制以及解決工程實際問題均具有重要意義。隨著科技的持續(xù)進(jìn)步，在越來越多的實際應(yīng)用中，出現(xiàn)了具有復(fù)雜幾何壁面及流固耦合的移動接觸線問題，這使得相關(guān)研究變得愈發(fā)關(guān)鍵。在自然界里，植物葉片表面的液滴運動便是移動接觸線現(xiàn)象的典型示例。液滴在葉片上滾動或蒸發(fā)時，接觸線會不斷移動，而葉片表面的微觀幾何結(jié)構(gòu)，如微納米級的凸起、溝壑等，使得壁面幾何形狀極為復(fù)雜。同時，植物葉片在風(fēng)吹、雨滴沖擊等外力作用下會發(fā)生變形，這種變形又反過來影響液滴的運動，構(gòu)成了流固耦合效應(yīng)。研究這一現(xiàn)象，不僅有助于深入理解植物的蒸騰作用、水分吸收與散失等生理過程，還能為仿生材料和自清潔表面的設(shè)計提供理論依據(jù)。在日常生活中，汽車在雨中行駛時，擋風(fēng)玻璃上雨水的流動也涉及到移動接觸線問題。擋風(fēng)玻璃的復(fù)雜曲面形狀，以及車輛行駛過程中玻璃因振動產(chǎn)生的微小變形，使得雨水在玻璃表面的流動過程包含了復(fù)雜幾何壁面和流固耦合的因素。清晰地了解這一過程，對于優(yōu)化擋風(fēng)玻璃的設(shè)計、提高雨刮器的工作效率、確保駕駛員的視野清晰具有重要作用，進(jìn)而關(guān)系到行車安全。在工業(yè)領(lǐng)域，微電子制造中的光刻技術(shù)是一個典型的應(yīng)用場景。在光刻過程中，光刻膠在硅片表面的涂覆和顯影涉及到液體與固體表面的接觸和移動。硅片表面的微觀圖案和結(jié)構(gòu)使得壁面幾何形狀復(fù)雜，而光刻過程中的溫度變化、機械應(yīng)力等因素會導(dǎo)致硅片發(fā)生微小變形，進(jìn)而影響光刻膠的流動和分布，這便是流固耦合的體現(xiàn)。精確控制光刻膠的涂覆和顯影過程，對于提高芯片的制造精度和性能至關(guān)重要，而研究具有復(fù)雜幾何壁面及流固耦合的移動接觸線問題，能夠為光刻技術(shù)的優(yōu)化提供關(guān)鍵的理論支持。在生物醫(yī)學(xué)工程中，血管內(nèi)血液的流動也存在移動接觸線現(xiàn)象。血管壁具有復(fù)雜的幾何形狀，且在心臟搏動、血壓變化等因素的作用下會發(fā)生彈性變形，與血液流動產(chǎn)生流固耦合效應(yīng)。深入研究這一問題，有助于理解心血管疾病的發(fā)病機制，為血管支架、人工心臟瓣膜等醫(yī)療器械的設(shè)計和優(yōu)化提供理論指導(dǎo)，從而提高疾病的診斷和治療水平。具有復(fù)雜幾何壁面及流固耦合的移動接觸線問題在自然、生活和工業(yè)應(yīng)用中普遍存在，對其進(jìn)行深入研究具有重要的理論和實際意義。通過對這一問題的研究，能夠揭示多相流的復(fù)雜物理機制，為相關(guān)領(lǐng)域的技術(shù)創(chuàng)新和發(fā)展提供堅實的理論基礎(chǔ)。1.2研究意義對具有復(fù)雜幾何壁面及流固耦合的移動接觸線問題展開研究，在理論與實際應(yīng)用層面均具有重要意義，能夠為多個領(lǐng)域的發(fā)展提供關(guān)鍵支持。從理論角度而言，這一研究能極大地豐富和完善多相流理論體系。移動接觸線問題本身就涉及流體與固體界面處復(fù)雜的物理現(xiàn)象，如接觸角的動態(tài)變化、界面張力的作用以及流體的微觀流動特性等。當(dāng)考慮復(fù)雜幾何壁面時，壁面的形狀、粗糙度、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)等因素會顯著改變流體的流動邊界條件，使得原本就復(fù)雜的物理過程變得更加難以理解。而流固耦合效應(yīng)的加入，進(jìn)一步增加了問題的復(fù)雜性，固體的變形會反過來影響流體的流動，流體的作用力又會導(dǎo)致固體的力學(xué)響應(yīng)，這種相互作用形成了一個高度非線性的系統(tǒng)。通過深入研究這一問題，可以揭示在復(fù)雜條件下多相流的基本物理規(guī)律，例如流體在復(fù)雜壁面附近的流動穩(wěn)定性、流固耦合作用下接觸線的動態(tài)演化機制等，為多相流理論的發(fā)展提供新的見解和理論基礎(chǔ)。這不僅有助于解決當(dāng)前多相流領(lǐng)域中一些尚未解決的科學(xué)問題，還能為后續(xù)相關(guān)理論的研究提供重要的參考和指導(dǎo)，推動多相流理論向更加深入和全面的方向發(fā)展。在實際應(yīng)用方面，該研究成果在眾多工程領(lǐng)域都展現(xiàn)出了巨大的價值。在微機電系統(tǒng)（MEMS）制造中，微納尺度下的流體操控是關(guān)鍵技術(shù)之一。例如，在微流控芯片中，液體在微通道內(nèi)的流動涉及到復(fù)雜的幾何壁面，通道的微小尺寸和不規(guī)則形狀會對液體的流動產(chǎn)生顯著影響。同時，芯片材料在溫度變化、外力作用等情況下可能會發(fā)生微小變形，這就引入了流固耦合效應(yīng)。研究具有復(fù)雜幾何壁面及流固耦合的移動接觸線問題，能夠為微流控芯片的設(shè)計和優(yōu)化提供理論依據(jù)，幫助工程師更好地控制液體在微通道內(nèi)的流動，提高微流控芯片的性能和可靠性，進(jìn)而推動微機電系統(tǒng)技術(shù)的發(fā)展，使其在生物醫(yī)學(xué)檢測、化學(xué)分析、環(huán)境監(jiān)測等領(lǐng)域得到更廣泛的應(yīng)用。在航空航天領(lǐng)域，飛行器在高速飛行過程中，機翼表面的氣流流動以及機翼結(jié)構(gòu)的彈性變形構(gòu)成了典型的流固耦合問題。機翼表面的復(fù)雜形狀是為了滿足空氣動力學(xué)性能的要求，而這種復(fù)雜幾何壁面會使得氣流在機翼表面的流動變得十分復(fù)雜，移動接觸線的行為也更加難以預(yù)測。研究這一問題可以幫助工程師深入了解機翼在流固耦合作用下的氣動彈性特性，通過優(yōu)化機翼的結(jié)構(gòu)設(shè)計和材料選擇，提高機翼的穩(wěn)定性和抗疲勞性能，降低飛行過程中的能耗和噪聲，從而提升飛行器的整體性能和安全性，為航空航天技術(shù)的發(fā)展提供有力支持。在能源領(lǐng)域，風(fēng)力發(fā)電機葉片在風(fēng)中的受力和變形以及葉片表面氣流的流動也是流固耦合的體現(xiàn)。葉片具有復(fù)雜的幾何形狀，以實現(xiàn)高效的風(fēng)能捕獲。然而，在強風(fēng)作用下，葉片的變形會影響氣流的流動，進(jìn)而影響風(fēng)力發(fā)電機的發(fā)電效率和可靠性。通過研究具有復(fù)雜幾何壁面及流固耦合的移動接觸線問題，可以為風(fēng)力發(fā)電機葉片的設(shè)計和優(yōu)化提供關(guān)鍵技術(shù)支持，提高葉片的氣動性能和結(jié)構(gòu)強度，降低風(fēng)力發(fā)電機的維護(hù)成本，促進(jìn)風(fēng)能的高效利用，推動可再生能源技術(shù)的發(fā)展。對具有復(fù)雜幾何壁面及流固耦合的移動接觸線問題的研究，無論是在理論發(fā)展還是實際應(yīng)用中都具有不可忽視的重要意義，能夠為多個領(lǐng)域的技術(shù)創(chuàng)新和進(jìn)步提供堅實的支撐。1.3研究現(xiàn)狀1.3.1帶有移動接觸線的多相流動問題進(jìn)展帶有移動接觸線的多相流動問題是多相流領(lǐng)域中的一個重要研究方向，其涉及到流體在不同相態(tài)之間的界面運動以及與固體壁面的相互作用，在過去幾十年中，學(xué)者們在理論、實驗和數(shù)值模擬等方面都開展了廣泛的研究，并取得了一定的成果，但也仍存在許多有待解決的問題。在理論研究方面，早期的工作主要集中在建立移動接觸線的基本理論框架。Young-Laplace方程被廣泛用于描述液體在固體表面的靜態(tài)接觸角，該方程基于界面張力的平衡關(guān)系，為理解接觸線的基本行為提供了基礎(chǔ)。然而，當(dāng)接觸線發(fā)生移動時，情況變得復(fù)雜得多。經(jīng)典的Navier-Stokes方程在處理移動接觸線時遇到了理論上的困難，由于在接觸線處流體速度的奇異性，傳統(tǒng)的無滑移邊界條件不再適用，這導(dǎo)致了所謂的“移動接觸線悖論”。為了解決這一悖論，學(xué)者們提出了多種理論模型。其中，潤滑理論是一種常用的方法，通過對Navier-Stokes方程在接觸線附近進(jìn)行漸近展開，考慮流體膜的薄化效應(yīng)，從而得到適用于移動接觸線的邊界條件。如Huh和Scriven提出的潤滑理論模型，通過引入接觸角滯后和界面滑移等概念，較好地解釋了移動接觸線的一些實驗現(xiàn)象。此外，分子動力學(xué)理論也被應(yīng)用于移動接觸線問題的研究，從微觀角度揭示了接觸線處分子間的相互作用和流體的微觀流動機制。通過模擬分子的運動軌跡和相互作用力，能夠深入理解接觸角的動態(tài)變化、界面的微觀結(jié)構(gòu)以及流體在接觸線附近的納米尺度流動特性。在實驗研究方面，隨著測量技術(shù)的不斷發(fā)展，對移動接觸線現(xiàn)象的實驗觀測變得更加精確和深入。高速攝像機和顯微鏡技術(shù)的應(yīng)用，使得研究人員能夠捕捉到接觸線在移動過程中的瞬態(tài)行為，如接觸線的啟動、加速、減速以及接觸角的動態(tài)變化等。通過實驗測量不同條件下的接觸角和接觸線速度，為理論模型的驗證和改進(jìn)提供了重要的數(shù)據(jù)支持。例如，在研究液滴在固體表面的鋪展過程中，實驗可以精確測量液滴半徑隨時間的變化，從而得到鋪展系數(shù)等關(guān)鍵參數(shù)，這些參數(shù)對于評估理論模型的準(zhǔn)確性至關(guān)重要。此外，表面力儀等先進(jìn)儀器的使用，能夠直接測量固體表面與液體之間的相互作用力，進(jìn)一步揭示了移動接觸線處的微觀力學(xué)機制。通過測量表面力與距離的關(guān)系，可以了解分子間作用力對接觸角和接觸線穩(wěn)定性的影響。盡管在理論和實驗方面取得了一定進(jìn)展，但帶有移動接觸線的多相流動問題仍然存在許多挑戰(zhàn)和未解決的問題。在理論上，目前還沒有一個統(tǒng)一的理論模型能夠全面準(zhǔn)確地描述移動接觸線在各種復(fù)雜條件下的行為，不同的理論模型在不同的應(yīng)用場景中各有優(yōu)劣，且模型中的一些參數(shù)難以準(zhǔn)確確定。在實驗上，雖然測量技術(shù)不斷進(jìn)步，但對于一些極端條件下的移動接觸線現(xiàn)象，如高溫、高壓、微納尺度等，實驗研究仍然面臨很大的困難，實驗數(shù)據(jù)的獲取相對有限。1.3.2數(shù)值模擬方法進(jìn)展數(shù)值模擬作為研究帶有移動接觸線的多相流動問題的重要手段，在過去幾十年中得到了快速發(fā)展。隨著計算機技術(shù)的不斷進(jìn)步，數(shù)值模擬方法能夠處理越來越復(fù)雜的物理模型和幾何形狀，為深入理解移動接觸線現(xiàn)象提供了有力的工具。目前，常用的數(shù)值模擬方法包括有限差分法、有限元法、有限體積法以及格子玻爾茲曼方法等。有限差分法是一種較早發(fā)展起來的數(shù)值方法，其基本思想是將求解區(qū)域離散為網(wǎng)格，通過差商來近似代替偏導(dǎo)數(shù)，從而將連續(xù)的偏微分方程轉(zhuǎn)化為離散的代數(shù)方程組進(jìn)行求解。在移動接觸線問題的模擬中，有限差分法可以較為簡單地實現(xiàn)對控制方程的離散，但在處理復(fù)雜幾何形狀時，網(wǎng)格的生成和適配較為困難，可能會導(dǎo)致計算精度的下降。例如，在模擬液滴在具有復(fù)雜微觀結(jié)構(gòu)的固體表面的運動時，有限差分法難以精確地處理固體表面的不規(guī)則邊界，容易產(chǎn)生較大的數(shù)值誤差。有限元法是一種基于變分原理的數(shù)值方法，它將求解區(qū)域劃分為有限個單元，通過在單元上構(gòu)造插值函數(shù)來逼近未知函數(shù)。有限元法具有良好的靈活性和適應(yīng)性，能夠方便地處理各種復(fù)雜的幾何形狀和邊界條件，在移動接觸線問題的數(shù)值模擬中得到了廣泛應(yīng)用。通過將流體區(qū)域和固體區(qū)域分別離散為有限元網(wǎng)格，可以準(zhǔn)確地模擬流固耦合效應(yīng)以及移動接觸線在固體表面的運動。然而，有限元法的計算量通常較大，尤其是在處理大規(guī)模問題時，對計算機的內(nèi)存和計算速度要求較高，這在一定程度上限制了其應(yīng)用范圍。有限體積法是基于守恒型控制方程發(fā)展起來的一種數(shù)值方法，它將求解區(qū)域劃分為一系列控制體積，通過對控制體積內(nèi)的物理量進(jìn)行積分來推導(dǎo)離散方程。有限體積法的優(yōu)點是能夠嚴(yán)格保證物理量的守恒性，在流體流動模擬中具有較高的精度和穩(wěn)定性。在移動接觸線問題中，有限體積法可以較好地處理流體界面的運動和變形，通過采用合適的界面捕捉方法，如VOF（VolumeofFluid）方法、LevelSet方法等，能夠準(zhǔn)確地追蹤接觸線的位置和形狀變化。VOF方法通過定義流體體積分?jǐn)?shù)來描述流體界面，在處理大變形界面時具有較好的效果；LevelSet方法則通過求解水平集函數(shù)來追蹤界面，具有較高的計算精度和數(shù)值穩(wěn)定性，但在計算過程中需要進(jìn)行重新初始化等額外操作。格子玻爾茲曼方法是一種基于介觀尺度的數(shù)值模擬方法，它從微觀粒子的運動出發(fā)，通過建立格子模型和碰撞規(guī)則來模擬流體的宏觀行為。格子玻爾茲曼方法具有并行性好、易于處理復(fù)雜邊界條件等優(yōu)點，在移動接觸線問題的研究中也展現(xiàn)出了獨特的優(yōu)勢。通過在格子模型中引入適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件和相互作用勢，可以模擬液滴在固體表面的接觸和移動，以及流固耦合效應(yīng)。與傳統(tǒng)的數(shù)值方法相比，格子玻爾茲曼方法在處理多相流和移動接觸線問題時，能夠更自然地考慮界面的微觀特性和分子間相互作用，但其理論基礎(chǔ)相對復(fù)雜，計算效率在某些情況下還有待提高。盡管這些數(shù)值模擬方法在處理移動接觸線問題時都取得了一定的成果，但在面對具有復(fù)雜幾何壁面及流固耦合的情況時，仍然存在一些局限性。在處理復(fù)雜幾何壁面時，現(xiàn)有的數(shù)值方法在網(wǎng)格生成和邊界處理方面都面臨挑戰(zhàn)，難以精確地描述壁面的微觀結(jié)構(gòu)和拓?fù)涮卣?，這可能會導(dǎo)致計算精度的降低和數(shù)值穩(wěn)定性的問題。對于流固耦合問題，不同物理場之間的耦合機制較為復(fù)雜，如何有效地實現(xiàn)流體和固體的雙向耦合計算，以及如何準(zhǔn)確地傳遞物理量，仍然是當(dāng)前研究的難點之一。此外，在模擬移動接觸線時，如何準(zhǔn)確地處理接觸角的動態(tài)變化和接觸線的奇異性問題，也是數(shù)值模擬方法需要進(jìn)一步解決的關(guān)鍵問題。1.4研究內(nèi)容與方法1.4.1研究內(nèi)容本文聚焦于具有復(fù)雜幾何壁面及流固耦合的移動接觸線問題，旨在通過理論分析、數(shù)值模擬與對比驗證，深入探究其物理機制與關(guān)鍵影響因素，為相關(guān)工程應(yīng)用提供堅實的理論支撐與技術(shù)指導(dǎo)，具體研究內(nèi)容如下：建立數(shù)學(xué)物理模型：綜合考慮流體的Navier-Stokes方程、固體的彈性力學(xué)方程以及移動接觸線的邊界條件，建立適用于復(fù)雜幾何壁面及流固耦合的多相流數(shù)學(xué)物理模型。在模型中，精確描述流體與固體之間的相互作用力，包括流體對固體的壓力、摩擦力以及固體變形對流體流動的影響。針對復(fù)雜幾何壁面，采用合適的坐標(biāo)變換或網(wǎng)格生成技術(shù)，確保模型能夠準(zhǔn)確捕捉壁面的幾何特征對流動的影響。同時，引入適當(dāng)?shù)慕佑|角模型，以描述移動接觸線處的界面行為，考慮接觸角滯后、動態(tài)接觸角等因素對接觸線運動的影響。數(shù)值模擬方法研究：對比分析有限差分法、有限元法、有限體積法以及格子玻爾茲曼方法等常見數(shù)值模擬方法在處理具有復(fù)雜幾何壁面及流固耦合的移動接觸線問題時的優(yōu)缺點，選擇合適的數(shù)值方法，并對其進(jìn)行改進(jìn)和優(yōu)化。針對復(fù)雜幾何壁面，研究高效的網(wǎng)格生成技術(shù)，如自適應(yīng)網(wǎng)格加密技術(shù)，以提高網(wǎng)格質(zhì)量和計算精度，減少計算量。對于流固耦合問題，開發(fā)有效的耦合算法，實現(xiàn)流體和固體的雙向耦合計算，準(zhǔn)確傳遞物理量。在移動接觸線的處理上，采用先進(jìn)的界面捕捉方法，如LevelSet方法與VOF方法相結(jié)合，提高接觸線位置和形狀的追蹤精度。復(fù)雜幾何壁面對移動接觸線的影響研究：通過數(shù)值模擬，系統(tǒng)研究復(fù)雜幾何壁面的形狀、粗糙度、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)等因素對移動接觸線的動態(tài)行為、接觸角變化以及流體流動特性的影響。分析不同幾何參數(shù)下，接觸線的運動速度、穩(wěn)定性以及接觸角的滯后現(xiàn)象，揭示復(fù)雜幾何壁面與移動接觸線之間的相互作用機制。例如，研究微納尺度下具有周期性結(jié)構(gòu)的壁面對液滴鋪展和蒸發(fā)過程中接觸線的影響，分析壁面結(jié)構(gòu)參數(shù)（如周期、高度、形狀等）與接觸線運動特性之間的定量關(guān)系。流固耦合對移動接觸線的影響研究：深入探討流固耦合效應(yīng)下，固體的變形對移動接觸線的影響規(guī)律，以及移動接觸線的運動如何反過來影響固體的力學(xué)響應(yīng)。建立流固耦合模型，模擬在不同載荷條件下，固體結(jié)構(gòu)的變形與流體流動、移動接觸線運動之間的相互作用過程。分析流固耦合作用下，接觸線的動態(tài)演化過程、流體的壓力分布和速度場變化，以及固體的應(yīng)力、應(yīng)變分布情況。例如，研究在風(fēng)荷載作用下，柔性薄膜表面液滴的運動與薄膜變形之間的耦合關(guān)系，探討流固耦合效應(yīng)對液滴飛濺、滾落等現(xiàn)象的影響。模型驗證與結(jié)果分析：將數(shù)值模擬結(jié)果與相關(guān)實驗數(shù)據(jù)進(jìn)行對比驗證，評估所建立模型和采用數(shù)值方法的準(zhǔn)確性和可靠性。對模擬結(jié)果進(jìn)行深入分析，總結(jié)具有復(fù)雜幾何壁面及流固耦合的移動接觸線問題的基本規(guī)律，為實際工程應(yīng)用提供理論依據(jù)和指導(dǎo)。通過對比不同工況下的實驗數(shù)據(jù)和模擬結(jié)果，分析模型的誤差來源，進(jìn)一步優(yōu)化模型和數(shù)值方法。結(jié)合模擬結(jié)果，提出針對具有復(fù)雜幾何壁面及流固耦合的移動接觸線問題的工程應(yīng)用建議，如在微流控芯片設(shè)計中，如何優(yōu)化通道壁面結(jié)構(gòu)和材料，以實現(xiàn)對液體流動的精確控制。1.4.2研究方法本文綜合運用理論分析、數(shù)值模擬和對比驗證等研究方法，對具有復(fù)雜幾何壁面及流固耦合的移動接觸線問題展開深入研究：理論分析：基于流體力學(xué)、固體力學(xué)和界面力學(xué)的基本理論，推導(dǎo)建立適用于具有復(fù)雜幾何壁面及流固耦合的移動接觸線問題的數(shù)學(xué)物理模型。對模型中的控制方程進(jìn)行理論分析，探討方程的性質(zhì)、解的存在性和唯一性等問題。運用漸近分析、微擾理論等數(shù)學(xué)方法，對模型進(jìn)行簡化和近似處理，得到一些解析解或半解析解，為數(shù)值模擬結(jié)果的分析和驗證提供理論基礎(chǔ)。例如，在研究移動接觸線附近的流體流動時，采用潤滑理論對Navier-Stokes方程進(jìn)行漸近展開，得到適用于接觸線附近的簡化方程，分析接觸線處的速度、壓力分布等特性。數(shù)值模擬：利用商業(yè)軟件（如ANSYSFluent、COMSOLMultiphysics等）和自主開發(fā)的程序，基于選定的數(shù)值模擬方法，對具有復(fù)雜幾何壁面及流固耦合的移動接觸線問題進(jìn)行數(shù)值求解。在數(shù)值模擬過程中，合理設(shè)置計算參數(shù)，如時間步長、迭代收斂精度等，確保計算結(jié)果的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性。通過改變模型的幾何參數(shù)、物理參數(shù)和邊界條件，進(jìn)行多組數(shù)值實驗，系統(tǒng)研究各因素對移動接觸線問題的影響。例如，在ANSYSFluent中，采用動網(wǎng)格技術(shù)模擬固體的變形，結(jié)合VOF方法追蹤流體界面，研究流固耦合作用下液滴在復(fù)雜壁面上的運動。對比驗證：收集和整理相關(guān)的實驗數(shù)據(jù)，將數(shù)值模擬結(jié)果與實驗結(jié)果進(jìn)行詳細(xì)對比分析。通過對比接觸線的位置、形狀、運動速度以及流體的壓力、速度分布等參數(shù)，評估數(shù)值模擬的準(zhǔn)確性。如果模擬結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)存在差異，深入分析差異產(chǎn)生的原因，如模型假設(shè)的合理性、數(shù)值方法的誤差、實驗測量的不確定性等，并對模型和數(shù)值方法進(jìn)行相應(yīng)的改進(jìn)和優(yōu)化。同時，也可以將本文的研究結(jié)果與其他學(xué)者的理論和數(shù)值研究成果進(jìn)行對比，進(jìn)一步驗證研究的可靠性和創(chuàng)新性。二、理論基礎(chǔ)2.1多相流理論2.1.1基本概念多相流，是指同時存在兩種或兩種以上不同相態(tài)物質(zhì)的混合流動。這里的“相”，依據(jù)物理學(xué)定義，是指自然界中物質(zhì)的不同狀態(tài)，常見的有氣態(tài)、液態(tài)和固態(tài)。在熱力學(xué)范疇里，物體中每一個均勻部分被稱作一相，像各部分均勻的固體、液體和氣體，可分別被定義為固相物體、液相物體或單相物體。但在流體動力學(xué)中，動力學(xué)性質(zhì)相近的一群物體即可統(tǒng)稱為一相，一種物態(tài)可能呈現(xiàn)為單相，也可能是多相。例如，當(dāng)不同種類、不同尺寸、不同形狀的顆粒在流體中運動時，可根據(jù)具體情況把固體細(xì)分為多個相。由于固體無法與氣體或液體均勻混合形成單相流，所以固體顆粒與氣體或液體的混合流動通常屬于多相流。值得注意的是，此處的“多”代表兩相或兩相以上的流動，并非習(xí)慣認(rèn)知中大于等于三的概念，英文表述為“MultiphaseFlow”。根據(jù)相態(tài)的不同組合，多相流可進(jìn)行細(xì)致分類。常見的類型包括氣液兩相流、氣固兩相流、液固兩相流以及液液兩相流等。氣液兩相流，是氣體和液體物質(zhì)混合在一起的流動，又可細(xì)分為單組分工質(zhì)和雙組分工質(zhì)。單組分工質(zhì)的汽液兩相流，如常見的水-水蒸氣系統(tǒng)，汽、液兩相化學(xué)成分相同，在流動過程中，隨著壓力和溫度的改變，會發(fā)生相變，部分液體可能汽化為蒸汽，或者部分蒸汽會凝結(jié)成液體；雙組分工質(zhì)的氣液兩相流，像空氣-水系統(tǒng)，兩相各有不同的化學(xué)成分，一般情況下在流動中不會發(fā)生相變。氣固兩相流，是氣體和固體顆粒混合的流動，在自然界和眾多工業(yè)過程中廣泛存在，比如空氣中夾帶灰粒與塵土、沙漠風(fēng)沙、動力工業(yè)中的氣力輸送、能源領(lǐng)域的煤粉燃燒等。液固兩相流則是液體與固體顆粒共同流動的情形，在礦物加工、水利工程等領(lǐng)域較為常見。液液兩相流是兩種互不相溶的液體混合流動，例如油和水的混合流動。此外，還存在更為復(fù)雜的多相流，如氣液液、氣液固和液液固多相流等。為了準(zhǔn)確描述多相流的特性，學(xué)者們提出了多種模型。均相模型，將多相流視為一種均勻的混合流體，假設(shè)各相之間速度、溫度等參數(shù)完全相同，不存在相對運動。這種模型在某些情況下，如各相混合非常均勻、相對速度較小的情形下，能夠簡化計算，具有一定的應(yīng)用價值。但在實際多相流中，各相往往存在明顯的差異和相對運動，均相模型的局限性較為突出。分相模型，則把多相流中的每一相都看作是獨立的連續(xù)介質(zhì)，分別考慮各相的運動方程以及相間的相互作用。該模型能夠更準(zhǔn)確地描述多相流的復(fù)雜物理過程，但由于需要求解多個相的方程以及考慮相間的耦合關(guān)系，計算量較大，對計算資源和計算方法的要求較高。此外，還有基于連續(xù)介質(zhì)假設(shè)的多相流模型，這類模型在邏輯和數(shù)學(xué)推導(dǎo)上較為嚴(yán)密，將流體力學(xué)的基本理論應(yīng)用于多相流，通過對各相列出守恒方程，并考慮相間的相互作用來描述多相流的運動。然而，由于相間作用的處理方式存在差異，不同研究者給出的多相流方程形式也有所不同。2.1.2控制方程多相流的運動，遵循質(zhì)量守恒、動量守恒和能量守恒等基本物理定律，這些定律通過一系列控制方程得以精確描述。質(zhì)量守恒方程，是描述多相流中各相質(zhì)量變化規(guī)律的重要方程。假設(shè)多相流由N個相組成，每個相的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為\alpha_{i}，相速度為u_{i}，密度為\rho_{i}，則質(zhì)量守恒方程可表示為：\frac{\partial(\alpha_{i}\rho_{i})}{\partialt}+\nabla\cdot(\alpha_{i}\rho_{i}u_{i})=0該方程表明，單位時間內(nèi)某一相在控制體內(nèi)的質(zhì)量變化率，與通過控制面流出（或流入）的質(zhì)量通量之和為零，體現(xiàn)了質(zhì)量在多相流中的守恒特性。動量守恒方程，用于描述多相流中各相動量的變化以及外力的作用。假設(shè)多相流中每個相受到的總壓力為p_{i}，總應(yīng)力張量為\tau_{i}，引入相間壓力p_{ij}=-p_{i}+p_{j}和相間摩擦力\tau_{ij}=\tau_{i}-\tau_{j}，則動量守恒方程可寫作：\frac{\partial(\alpha_{i}\rho_{i}u_{i})}{\partialt}+\nabla\cdot(\alpha_{i}\rho_{i}u_{i}u_{i})=-\nablap_{i}+\nabla\cdot\tau_{i}+\sum_{j\neqi}\nabla\cdot(\alpha_{i}\rho_{i}u_{i}u_{i}p_{ij})+\sum_{j\neqi}[(\alpha_{i}\rho_{i}u_{i}u_{ij})\cdotn_{ij}]A_{ij}+\sum_{j\neqi}G_{j}其中，u_{ij}=u_{i}-u_{j}，n_{ij}為相間分界面的單位法向量，A_{ij}為相間分界面的面積，G_{j}為體積力項。此方程反映了單位時間內(nèi)某一相在控制體內(nèi)的動量變化率，等于作用在該相上的壓力梯度、粘性應(yīng)力、相間相互作用力以及體積力的總和。能量守恒方程，用于描述多相流中各相能量的變化以及能量的傳遞和轉(zhuǎn)換。在多相流中，能量的形式包括內(nèi)能、動能和勢能等。能量守恒方程的一般形式較為復(fù)雜，通常需要考慮各相的內(nèi)能變化、動能變化、相間的能量傳遞以及外界對系統(tǒng)的能量輸入（或輸出）等因素。對于不考慮相間能量傳遞和外界能量輸入（或輸出）的簡單情況，能量守恒方程可表示為：\frac{\partial(\alpha_{i}\rho_{i}e_{i})}{\partialt}+\nabla\cdot(\alpha_{i}\rho_{i}u_{i}e_{i})=-\nabla\cdot(p_{i}u_{i})+\nabla\cdot(\tau_{i}\cdotu_{i})其中，e_{i}為單位質(zhì)量的總能量，包括內(nèi)能和動能。該方程表明，單位時間內(nèi)某一相在控制體內(nèi)的能量變化率，等于通過控制面的能量通量以及壓力做功和粘性力做功的總和。在多相流的研究中，Navier-Stokes方程是描述粘性不可壓縮流體動量守恒的重要方程，在多相流的動量守恒方程中占據(jù)核心地位。對于不可壓縮流體，Navier-Stokes方程可表示為：\rho\left(\frac{\partial\vec{u}}{\partialt}+(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u}\right)=-\nablap+\mu\nabla^{2}\vec{u}+\vec{F}其中，\rho為流體密度，\vec{u}為流體速度矢量，p為壓力，\mu為動力粘度，\vec{F}為單位體積的外力。在多相流的動量守恒方程中，通過對各相的Navier-Stokes方程進(jìn)行適當(dāng)?shù)男拚徒M合，并考慮相間的相互作用，能夠得到適用于多相流的動量守恒方程。這些控制方程是研究多相流運動的基礎(chǔ)，通過對它們的求解，可以獲得多相流中各相的速度、壓力、溫度等物理量的分布，進(jìn)而深入理解多相流的運動特性和物理機制。2.2流固耦合理論2.2.1耦合機理流固耦合，是指可變形固體在流場作用下產(chǎn)生各種行為，同時固體變形對流場產(chǎn)生影響，這二者相互作用的一門科學(xué)。它是流體力學(xué)與固體力學(xué)交叉形成的力學(xué)分支，也是多學(xué)科或多物理場研究的重要分支。流固耦合現(xiàn)象廣泛存在于自然界和工程領(lǐng)域中，例如，飛機飛行時機翼周圍的氣流會導(dǎo)致機翼發(fā)生變形，而機翼的變形又反過來改變空氣流動的方式，使機翼發(fā)生更嚴(yán)重的變形；在心血管系統(tǒng)中，血液的流動會對血管壁產(chǎn)生壓力和剪切力，導(dǎo)致血管壁發(fā)生變形，而血管壁的變形又會影響血液的流動。流固耦合的物理機制主要源于流體與固體之間的相互作用力。從流體對固體的作用來看，流體的壓力和剪切力是導(dǎo)致固體變形的主要原因。流體壓力均勻地作用于固體表面，產(chǎn)生表面應(yīng)力，當(dāng)這種應(yīng)力超過固體的承受能力時，就會導(dǎo)致固體發(fā)生形變。流體的剪切力作用于固體表面，會產(chǎn)生內(nèi)部應(yīng)力，進(jìn)而使固體發(fā)生形變。在管道中流動的流體，其壓力會對管道壁產(chǎn)生向外的作用力，使管道壁發(fā)生膨脹變形；而流體的剪切力則會使管道壁產(chǎn)生切向變形。當(dāng)流體流速接近固體的固有頻率時，會發(fā)生流固耦合振動，產(chǎn)生較大的動態(tài)應(yīng)力，這可能導(dǎo)致固體發(fā)生更嚴(yán)重的形變甚至破壞。從固體對流體的作用角度分析，固體的變形會改變流體的邊界條件。當(dāng)固體發(fā)生變形時，流體與固體之間的邊界形狀和位置會發(fā)生改變，從而導(dǎo)致流體的流動阻力發(fā)生變化。機翼在飛行過程中發(fā)生變形，會改變機翼表面的形狀，使得空氣在機翼表面的流動變得更加復(fù)雜，流動阻力也會相應(yīng)改變。固體的變形還會改變流體的湍流特性，如流速脈動、湍流強度和湍流尺度等。在風(fēng)洞實驗中，當(dāng)彈性模型受到氣流作用發(fā)生變形時，會觀察到流體的湍流特性發(fā)生明顯變化。流固耦合過程中，流體與固體之間還存在能量傳遞。流體的動能會通過作用力傳遞給固體，使固體獲得動能和變形能；而固體的變形能也可能通過反作用力傳遞給流體，影響流體的流動能量。在水輪機的運行過程中，水流的動能推動水輪機葉片旋轉(zhuǎn)，將動能傳遞給葉片，使葉片獲得動能和變形能；同時，葉片的旋轉(zhuǎn)和變形也會對水流產(chǎn)生反作用力，改變水流的能量分布。2.2.2數(shù)學(xué)模型描述流固耦合問題的數(shù)學(xué)模型，通常由流體控制方程和固體控制方程組成，同時還需要考慮兩者之間的耦合條件。流體控制方程，一般采用Navier-Stokes方程來描述流體的流動。對于不可壓縮粘性流體，Navier-Stokes方程的形式為：\rho\left(\frac{\partial\vec{u}}{\partialt}+(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u}\right)=-\nablap+\mu\nabla^{2}\vec{u}+\vec{F}其中，\rho為流體密度，\vec{u}為流體速度矢量，p為壓力，\mu為動力粘度，\vec{F}為單位體積的外力。該方程反映了流體的動量守恒，左邊表示流體的慣性力，右邊分別表示壓力梯度力、粘性力和外力。固體控制方程，通常采用彈性力學(xué)中的相關(guān)方程來描述固體的變形。對于線性彈性固體，常用的是Cauchy方程，其表達(dá)式為：\rho_s\frac{\partial^2\vec{u}_s}{\partialt^2}=\nabla\cdot\sigma+\vec{F}_s其中，\rho_s為固體密度，\vec{u}_s為固體位移矢量，\sigma為應(yīng)力張量，\vec{F}_s為單位體積的固體外力。該方程體現(xiàn)了固體的動量守恒，左邊是固體的慣性力，右邊是應(yīng)力張量的散度和外力。在流固耦合問題中，流體和固體之間需要滿足一定的耦合條件。在流固交界面上，流體和固體的速度和位移必須連續(xù)，即：\vec{u}=\frac{\partial\vec{u}_s}{\partialt}同時，流固交界面上的應(yīng)力也需要保持平衡，即：\sigma_{ij}n_j=-p\delta_{ij}n_j+\mu\left(\frac{\partialu_i}{\partialx_j}+\frac{\partialu_j}{\partialx_i}\right)n_j其中，\sigma_{ij}是固體應(yīng)力張量的分量，n_j是交界面的單位法向量，\delta_{ij}是克羅內(nèi)克符號。這些耦合條件確保了流體和固體之間的相互作用能夠在數(shù)學(xué)模型中得到準(zhǔn)確描述。求解流固耦合問題的數(shù)學(xué)模型，通常采用數(shù)值方法。有限元法是一種常用的數(shù)值方法，它將求解域劃分為有限個單元，通過在單元上構(gòu)造插值函數(shù)來逼近未知函數(shù)。在流固耦合問題中，將流體區(qū)域和固體區(qū)域分別離散為有限元網(wǎng)格，然后通過耦合條件將兩者聯(lián)系起來進(jìn)行求解。有限體積法也是一種常用的方法，它將求解區(qū)域劃分為一系列控制體積，通過對控制體積內(nèi)的物理量進(jìn)行積分來推導(dǎo)離散方程。在流固耦合計算中，通過在流固交界面上合理地處理通量守恒，實現(xiàn)流體和固體的耦合求解。近年來，隨著計算機技術(shù)的發(fā)展，多尺度方法也逐漸應(yīng)用于流固耦合問題的求解，該方法能夠更好地處理不同尺度下的現(xiàn)象和規(guī)律，提高計算精度和效率。2.3移動接觸線理論2.3.1接觸角與接觸線接觸角，作為移動接觸線理論中的關(guān)鍵概念，在研究流體與固體表面相互作用時扮演著核心角色。從定義來看，接觸角是指在氣、液、固三相交點處，氣-液界面的切線與固-液交界線之間所形成的夾角，通常用符號\theta來表示。這一角度的大小，直接反映了液體對固體表面的潤濕程度，是衡量固液界面相互作用的重要參數(shù)。當(dāng)\theta\lt90^{\circ}時，表明固體具有親液性，液體能夠較好地潤濕固體表面，且角度越小，潤濕性就越好；而當(dāng)\theta\gt90^{\circ}時，則說明固體是憎液的，液體難以在固體表面鋪展，容易在表面移動，并且難以進(jìn)入毛細(xì)孔。從微觀層面分析，接觸角的大小取決于固體表面的分子結(jié)構(gòu)、化學(xué)組成以及液體分子與固體分子之間的相互作用力。如果固體表面的分子與液體分子之間的吸引力較強，液體分子就會更傾向于靠近固體表面，使得接觸角較小，表現(xiàn)出良好的潤濕性；反之，如果兩者之間的相互作用力較弱，接觸角就會較大，液體不易在固體表面附著。接觸角的測量方法多種多樣，每種方法都有其獨特的原理和適用場景。外形圖像分析方法是目前應(yīng)用最為廣泛的一種測量方式。該方法的原理是將液滴滴于固體樣品表面，通過顯微鏡頭與相機獲取液滴的外形圖像，然后運用數(shù)字圖像處理技術(shù)和特定的算法，對圖像中的液滴進(jìn)行分析，從而計算出接觸角的值。在實際操作中，通常會基于Young-Laplace方程來描述軸對稱液滴的外形輪廓，進(jìn)而精確計算接觸角。Young-Laplace方程深刻揭示了封閉界面的內(nèi)、外壓力差與界面的曲率和界面張力之間的關(guān)系，為接觸角的準(zhǔn)確測量提供了堅實的理論基礎(chǔ)。除了外形圖像分析方法外，稱重法也是一種常用的測量手段，該方法通常被稱為潤濕天平或滲透法接觸角儀。其原理是通過測量液體在固體表面的潤濕過程中，天平所受到的力的變化，來間接計算接觸角。當(dāng)液體在固體表面鋪展時，會對固體表面產(chǎn)生一定的作用力，這個作用力會通過天平反映出來，通過對力的測量和相關(guān)公式的計算，就可以得到接觸角的值。此外，還有量角法、測力法、長度法和透過法等測量方法，它們分別依據(jù)不同的物理原理，從不同的角度對接觸角進(jìn)行測量。量角法是直接用量角器測量液滴與固體表面接觸處的角度；測力法通過測量液體與固體表面之間的相互作用力來推算接觸角；長度法根據(jù)液體在固體表面的鋪展長度等參數(shù)來計算接觸角；透過法利用液體對光線的透過特性與接觸角之間的關(guān)系來測量接觸角。在實際應(yīng)用中，需要根據(jù)具體的實驗條件和測量要求，選擇合適的測量方法，以確保測量結(jié)果的準(zhǔn)確性和可靠性。接觸線，是指液體與固體表面接觸的邊界線，當(dāng)液體在固體表面發(fā)生移動時，接觸線也會隨之運動。接觸線的運動規(guī)律受到多種因素的綜合影響，這些因素包括液體的表面張力、固體表面的性質(zhì)、流體的粘性以及外力的作用等。液體的表面張力是影響接觸線運動的重要因素之一。表面張力使得液體表面具有收縮的趨勢，在接觸線處，表面張力會對接觸線產(chǎn)生一個沿著氣-液界面切線方向的拉力，這個拉力會阻礙接觸線的移動。當(dāng)液滴在固體表面鋪展時，表面張力會試圖使液滴保持球形，從而對接觸線的擴(kuò)展產(chǎn)生阻力。固體表面的性質(zhì)，如粗糙度、化學(xué)組成和表面能等，也會顯著影響接觸線的運動。固體表面粗糙，接觸線在移動過程中會受到更多的阻礙，導(dǎo)致接觸角滯后現(xiàn)象的出現(xiàn)?；瘜W(xué)組成不同的固體表面，與液體分子之間的相互作用力也不同，這會影響接觸線的穩(wěn)定性和移動速度。流體的粘性同樣對接觸線運動有重要影響。粘性較大的流體，內(nèi)部摩擦力較大，會使得接觸線的移動速度變慢。在高粘度液體在固體表面的流動中，接觸線的推進(jìn)速度明顯小于低粘度液體。外力的作用，如重力、電場力、磁場力等，也會改變接觸線的運動狀態(tài)。在重力作用下，液滴會沿著固體表面向下移動，接觸線也會隨之移動；在電場力或磁場力的作用下，帶電或磁性液體的接觸線會受到額外的作用力，從而改變其運動方向和速度。2.3.2移動接觸線模型在移動接觸線問題的研究中，為了準(zhǔn)確描述接觸線的運動以及固液界面的相互作用，學(xué)者們提出了多種模型，這些模型在不同的假設(shè)條件和適用范圍內(nèi)，為解決實際問題提供了有效的工具。Huh-Scriven模型是移動接觸線理論中的經(jīng)典模型之一。該模型基于潤滑理論，通過對Navier-Stokes方程在接觸線附近進(jìn)行漸近展開，深入考慮了流體膜的薄化效應(yīng)。在Huh-Scriven模型中，引入了接觸角滯后和界面滑移等重要概念，為解釋移動接觸線的一些實驗現(xiàn)象提供了有力的理論支持。接觸角滯后現(xiàn)象是指在接觸線移動過程中，前進(jìn)接觸角和后退接觸角存在差異，這一現(xiàn)象在實際的移動接觸線問題中普遍存在。Huh-Scriven模型認(rèn)為，接觸角滯后是由于固體表面的微觀不均勻性以及流體與固體之間的粘附作用導(dǎo)致的。通過引入接觸角滯后，該模型能夠更準(zhǔn)確地描述接觸線在實際表面上的運動情況。界面滑移概念的引入，是Huh-Scriven模型的另一個重要特點。傳統(tǒng)的無滑移邊界條件在處理移動接觸線時會遇到理論上的困難，而Huh-Scriven模型通過假設(shè)在接觸線附近存在一定程度的界面滑移，有效地解決了這一問題。界面滑移的存在使得流體在接觸線附近的流動更加符合實際情況，能夠更好地解釋實驗中觀察到的接觸線速度分布等現(xiàn)象。Huh-Scriven模型適用于低雷諾數(shù)、小接觸角的情況，在這種情況下，流體的慣性力相對較小，潤滑理論的假設(shè)能夠較好地成立。在微納尺度下的液滴流動問題中，由于特征尺寸較小，雷諾數(shù)通常較低，Huh-Scriven模型能夠提供較為準(zhǔn)確的描述。分子動力學(xué)（MD）模型從微觀角度出發(fā)，通過模擬分子的運動軌跡和相互作用力，來揭示接觸線處的微觀物理機制。在MD模型中，將流體和固體視為由大量分子組成的系統(tǒng)，通過求解分子間的相互作用勢能和運動方程，得到分子的位置和速度信息，進(jìn)而分析接觸線處的微觀結(jié)構(gòu)和流體的流動特性。MD模型能夠精確地描述接觸角的動態(tài)變化、界面的微觀結(jié)構(gòu)以及流體在接觸線附近的納米尺度流動特性。通過模擬可以觀察到，在接觸線移動過程中，液體分子與固體分子之間的相互作用會導(dǎo)致接觸角的動態(tài)變化，并且在接觸線附近會形成復(fù)雜的微觀結(jié)構(gòu)，如分子層的排列和分布等。MD模型還能夠研究溫度、壓力等因素對接觸線微觀行為的影響。隨著溫度的升高，分子的熱運動加劇，會導(dǎo)致接觸角發(fā)生變化，MD模型可以通過模擬分子的熱運動來分析這種影響。MD模型主要適用于微觀尺度的研究，由于計算量巨大，目前在宏觀尺度的應(yīng)用還受到一定限制。在研究納米流體在納米通道內(nèi)的流動等微觀問題時，MD模型能夠提供詳細(xì)的微觀信息，幫助研究人員深入理解移動接觸線的微觀物理過程。邊界積分方程（BIE）模型則是基于邊界積分的方法，將移動接觸線問題轉(zhuǎn)化為邊界上的積分方程進(jìn)行求解。該模型通過在固液界面上建立積分方程，將界面的運動和相互作用轉(zhuǎn)化為邊界上的積分運算，從而簡化了問題的求解過程。BIE模型能夠精確地處理接觸線的運動和變形，并且在處理復(fù)雜幾何形狀的固體表面時具有獨特的優(yōu)勢。在模擬液滴在具有復(fù)雜微觀結(jié)構(gòu)的固體表面的運動時，BIE模型可以通過對邊界的精確描述，準(zhǔn)確地捕捉到接觸線在復(fù)雜表面上的運動軌跡和變形情況。BIE模型在處理移動接觸線問題時，需要對邊界進(jìn)行精確的離散化，這對計算精度和計算效率都提出了較高的要求。BIE模型適用于邊界形狀相對規(guī)則、邊界條件較為簡單的情況，在這種情況下，能夠發(fā)揮其計算精度高、邊界處理靈活的優(yōu)勢。在一些簡單幾何形狀的固體表面上的液滴運動問題中，BIE模型可以提供準(zhǔn)確的數(shù)值解，為實驗研究和理論分析提供有力的支持。三、數(shù)值方法3.1擴(kuò)散界面法3.1.1原理與實現(xiàn)擴(kuò)散界面法作為處理多相流中移動接觸線問題的重要數(shù)值方法，其基本原理基于對傳統(tǒng)尖銳界面模型的改進(jìn)。在傳統(tǒng)的尖銳界面模型中，將不同相之間的界面視為幾何上的無厚度面，這種處理方式在數(shù)值計算中會面臨諸多困難，如界面追蹤的復(fù)雜性以及在接觸線處的奇異性問題。擴(kuò)散界面法則摒棄了這種尖銳界面的假設(shè)，引入了一個具有一定厚度的擴(kuò)散界面來描述相之間的過渡區(qū)域。在擴(kuò)散界面法中，通常會引入一個或多個相場變量來描述系統(tǒng)中各相的分布情況。對于簡單的兩相流問題，常用一個標(biāo)量相場變量\varphi來表示，當(dāng)\varphi=1時，表示處于一相（如液相），當(dāng)\varphi=-1時，表示處于另一相（如氣相），而在擴(kuò)散界面區(qū)域，\varphi的值則在-1到1之間連續(xù)變化。相場變量\varphi的演化由Cahn-Hilliard方程控制，該方程的一般形式為：\frac{\partial\varphi}{\partialt}=\nabla\cdotM\nabla\frac{\deltaF}{\delta\varphi}其中，M是遷移率，F(xiàn)是系統(tǒng)的自由能泛函，\frac{\deltaF}{\delta\varphi}表示自由能泛函對相場變量\varphi的變分導(dǎo)數(shù)。自由能泛函F通常由體自由能和界面自由能兩部分組成。體自由能描述了各相內(nèi)部的能量狀態(tài)，與相場變量\varphi的函數(shù)關(guān)系有關(guān)，常見的形式如雙阱勢函數(shù)。界面自由能則考慮了相界面處的能量貢獻(xiàn)，與相場變量\varphi的梯度有關(guān)，用于描述擴(kuò)散界面的特性。通過這種方式，擴(kuò)散界面法能夠自然地處理相界面的運動和變形，避免了尖銳界面模型中復(fù)雜的界面追蹤問題。在數(shù)值實現(xiàn)方面，首先需要對計算區(qū)域進(jìn)行離散化處理。通常采用有限差分法、有限元法或有限體積法等數(shù)值離散方法，將控制方程轉(zhuǎn)化為離散的代數(shù)方程組進(jìn)行求解。在有限差分法中，將計算區(qū)域劃分為規(guī)則的網(wǎng)格，通過差商來近似代替偏導(dǎo)數(shù)，從而得到離散的方程。對于Cahn-Hilliard方程，在空間上對擴(kuò)散項和變分項進(jìn)行差分離散，在時間上采用合適的時間推進(jìn)格式，如顯式格式或隱式格式。顯式格式計算簡單，但時間步長受到穩(wěn)定性條件的限制；隱式格式則具有較好的穩(wěn)定性，但計算量相對較大。在有限元法中，將計算區(qū)域劃分為有限個單元，通過在單元上構(gòu)造插值函數(shù)來逼近未知函數(shù)，然后利用變分原理將控制方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組。對于擴(kuò)散界面法中的相場變量和其他物理量，分別在有限元網(wǎng)格上進(jìn)行插值和求解。有限體積法是基于守恒型控制方程發(fā)展起來的，將計算區(qū)域劃分為一系列控制體積，通過對控制體積內(nèi)的物理量進(jìn)行積分來推導(dǎo)離散方程，在處理擴(kuò)散界面法中的守恒量時具有較好的優(yōu)勢。除了對控制方程進(jìn)行離散求解外，還需要考慮邊界條件的處理。在流固邊界上，需要根據(jù)具體的物理問題設(shè)置合適的邊界條件。對于相場變量\varphi，通?？梢栽O(shè)置Dirichlet邊界條件，即給定邊界上相場變量的值，以描述流體在固體表面的接觸情況。也可以設(shè)置Neumann邊界條件，即給定相場變量在邊界上的法向梯度，來模擬不同的物理過程。在數(shù)值計算過程中，還需要對計算參數(shù)進(jìn)行合理的選擇，如遷移率M、自由能泛函中的參數(shù)等，這些參數(shù)的選擇會直接影響計算結(jié)果的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性。3.1.2應(yīng)用案例分析為了更直觀地展示擴(kuò)散界面法在處理具有復(fù)雜幾何壁面及流固耦合的移動接觸線問題時的應(yīng)用效果，以液滴在復(fù)雜壁面上的鋪展過程為例進(jìn)行分析。在這個案例中，考慮一個液滴放置在具有微納尺度周期性結(jié)構(gòu)的固體壁面上，同時固體壁面在外部載荷作用下發(fā)生彈性變形，與液滴流動形成流固耦合效應(yīng)。在數(shù)值模擬中，采用擴(kuò)散界面法來描述液滴與周圍氣體的界面。通過定義相場變量\varphi，當(dāng)\varphi=1時表示液滴內(nèi)部，\varphi=-1時表示氣體區(qū)域，在液滴與氣體的界面處，\varphi的值在-1到1之間連續(xù)變化。相場變量\varphi的演化由Cahn-Hilliard方程控制，其中自由能泛函F包含了體自由能和界面自由能。體自由能采用雙阱勢函數(shù)形式，以描述液滴和氣體相的特性；界面自由能則考慮了相界面的曲率和界面張力，用于準(zhǔn)確描述液滴界面的運動和變形。對于固體壁面，采用彈性力學(xué)方程來描述其變形。在流固耦合界面上，通過設(shè)置合適的耦合條件，實現(xiàn)液滴與固體壁面之間的相互作用。在耦合界面上，液滴對固體壁面的壓力和摩擦力作為固體的外力，使固體發(fā)生變形；而固體壁面的變形則通過改變流固耦合界面的位置和形狀，影響液滴的流動。在流固耦合界面上，滿足力的平衡條件和位移連續(xù)條件，即液滴對固體壁面的作用力等于固體壁面所受到的應(yīng)力，同時液滴與固體壁面在耦合界面處的位移相等。在復(fù)雜幾何壁面的處理上，利用高精度的網(wǎng)格生成技術(shù)，如非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格生成方法，精確地描述固體壁面的微納尺度周期性結(jié)構(gòu)。通過對網(wǎng)格的局部加密，提高在壁面附近的計算精度，確保能夠準(zhǔn)確捕捉壁面幾何形狀對液滴流動的影響。在網(wǎng)格生成過程中，考慮壁面結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，采用自適應(yīng)網(wǎng)格技術(shù)，根據(jù)液滴流動和壁面變形的情況，動態(tài)地調(diào)整網(wǎng)格的分布，以提高計算效率和精度。模擬結(jié)果清晰地展示了液滴在復(fù)雜壁面上的鋪展過程以及流固耦合效應(yīng)的影響。隨著時間的推移，液滴在重力和表面張力的作用下開始鋪展。由于壁面的微納尺度周期性結(jié)構(gòu)，液滴的接觸線在移動過程中呈現(xiàn)出明顯的波動和不規(guī)則性。在壁面結(jié)構(gòu)的凸起部分，液滴的接觸線受到較大的阻力，移動速度較慢；而在壁面結(jié)構(gòu)的凹陷部分，接觸線則相對容易移動。這種接觸線的不規(guī)則運動導(dǎo)致液滴的鋪展形態(tài)呈現(xiàn)出復(fù)雜的圖案。同時，由于流固耦合效應(yīng)，固體壁面在液滴的壓力作用下發(fā)生彈性變形。壁面的變形進(jìn)一步改變了液滴的流動邊界條件，使得液滴的鋪展過程更加復(fù)雜。壁面的變形會導(dǎo)致液滴與壁面之間的接觸角發(fā)生變化，從而影響液滴的鋪展速度和方向。在壁面變形較大的區(qū)域，液滴的接觸角會減小，鋪展速度加快；而在壁面變形較小的區(qū)域，接觸角相對穩(wěn)定，鋪展速度相對較慢。通過與實驗數(shù)據(jù)的對比，驗證了擴(kuò)散界面法在模擬這一復(fù)雜過程時的準(zhǔn)確性和可靠性。模擬得到的液滴鋪展形態(tài)、接觸線位置以及流固耦合作用下壁面的變形情況與實驗結(jié)果吻合良好。這表明擴(kuò)散界面法能夠有效地處理具有復(fù)雜幾何壁面及流固耦合的移動接觸線問題，為深入研究這類復(fù)雜的物理現(xiàn)象提供了有力的工具。3.2浸入邊界法3.2.1算法描述浸入邊界法（ImmersedBoundaryMethod，IBM）是一種用于模擬流固耦合問題的數(shù)值技術(shù)，特別適用于處理復(fù)雜幾何形狀的固體在流體中運動的情況。該方法最初由Peskin提出，用于模擬人類心臟中的血液流動，此后得到了廣泛的應(yīng)用和發(fā)展。浸入邊界法的基本思想是將固體邊界視為分布在流場中的力源，而不是作為傳統(tǒng)的邊界條件來處理。通過這種方式，無需對固體邊界進(jìn)行精確的網(wǎng)格劃分，從而大大簡化了復(fù)雜幾何形狀的處理過程。在浸入邊界法中，通常采用歐拉-拉格朗日描述來處理流固耦合問題。在歐拉坐標(biāo)系下，使用Navier-Stokes方程描述流體的運動：\rho\left(\frac{\partial\vec{u}}{\partialt}+(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u}\right)=-\nablap+\mu\nabla^{2}\vec{u}+\vec{f}其中，\rho為流體密度，\vec{u}為流體速度矢量，p為壓力，\mu為動力粘度，\vec{f}為單位體積的外力。這里的外力\vec{f}包含了固體對流體的作用力，通過在流場中分布的力源來體現(xiàn)。在拉格朗日坐標(biāo)系下，使用彈性力學(xué)方程描述固體的運動。對于線性彈性固體，常用的是Cauchy方程：\rho_s\frac{\partial^2\vec{u}_s}{\partialt^2}=\nabla\cdot\sigma+\vec{F}_s其中，\rho_s為固體密度，\vec{u}_s為固體位移矢量，\sigma為應(yīng)力張量，\vec{F}_s為單位體積的固體外力。為了實現(xiàn)流體和固體之間的相互作用，需要建立兩者之間的信息傳遞機制。在浸入邊界法中，通常采用Diracdelta函數(shù)來實現(xiàn)這一目的。假設(shè)固體邊界由一組拉格朗日標(biāo)記點表示，每個標(biāo)記點上的力可以通過彈性力學(xué)方程計算得到。然后，將這些力通過Diracdelta函數(shù)插值到歐拉網(wǎng)格上，作為Navier-Stokes方程中的外力項。具體來說，設(shè)固體邊界上的力分布為\vec{f}_s(\vec{X},t)，其中\(zhòng)vec{X}是拉格朗日坐標(biāo)，t是時間。通過Diracdelta函數(shù)\delta(\vec{x}-\vec{X})，可以將拉格朗日坐標(biāo)系下的力插值到歐拉坐標(biāo)系下的點\vec{x}上，得到：\vec{f}(\vec{x},t)=\int_{S}\vec{f}_s(\vec{X},t)\delta(\vec{x}-\vec{X})dS其中，S是固體邊界的面積。在數(shù)值實現(xiàn)過程中，首先需要對計算區(qū)域進(jìn)行離散化。對于流體域，通常采用笛卡爾網(wǎng)格進(jìn)行離散，這樣可以方便地應(yīng)用有限差分法、有限體積法等數(shù)值方法求解Navier-Stokes方程。對于固體邊界，使用一組拉格朗日標(biāo)記點來表示，這些標(biāo)記點可以根據(jù)固體的幾何形狀進(jìn)行分布。在每個時間步，首先根據(jù)固體的運動方程計算拉格朗日標(biāo)記點上的力。然后，通過插值函數(shù)將這些力傳遞到歐拉網(wǎng)格上，作為Navier-Stokes方程的外力項。接著，求解Navier-Stokes方程得到流體的速度和壓力。最后，根據(jù)流體對固體的作用力，更新固體的位置和速度。在更新固體位置和速度時，需要考慮固體的慣性、彈性等力學(xué)特性，通過求解固體的運動方程來實現(xiàn)。3.2.2復(fù)雜幾何處理浸入邊界法在處理復(fù)雜幾何壁面時具有顯著的優(yōu)勢，這使得它在眾多涉及復(fù)雜邊界的流固耦合問題中得到了廣泛應(yīng)用。在傳統(tǒng)的數(shù)值方法中，對于復(fù)雜幾何形狀的固體邊界，需要進(jìn)行精確的網(wǎng)格劃分，以保證計算的準(zhǔn)確性。然而，復(fù)雜幾何形狀的網(wǎng)格生成往往是一個極具挑戰(zhàn)性的任務(wù)，尤其是對于具有不規(guī)則形狀、多連通區(qū)域或微納尺度結(jié)構(gòu)的壁面。生成高質(zhì)量的貼合復(fù)雜壁面的網(wǎng)格不僅需要耗費大量的時間和計算資源，而且在網(wǎng)格變形或移動時，還需要進(jìn)行復(fù)雜的網(wǎng)格更新操作，這進(jìn)一步增加了計算的復(fù)雜性和不穩(wěn)定性。而浸入邊界法通過將固體邊界視為分布在流場中的力源，巧妙地避開了復(fù)雜的網(wǎng)格生成和更新問題。在浸入邊界法中，無論固體壁面的幾何形狀多么復(fù)雜，都可以通過在流場中分布的拉格朗日標(biāo)記點來表示。這些標(biāo)記點可以根據(jù)壁面的幾何特征進(jìn)行靈活布置，無需考慮網(wǎng)格與壁面的貼合問題。在模擬具有微納尺度周期性結(jié)構(gòu)的壁面時，可以在每個周期結(jié)構(gòu)上合理分布拉格朗日標(biāo)記點，通過這些標(biāo)記點上的力來體現(xiàn)壁面對流體的作用。在處理具有多連通區(qū)域的復(fù)雜壁面時，也可以方便地在各個連通區(qū)域的邊界上布置標(biāo)記點，準(zhǔn)確地模擬壁面的幾何特征對流體流動的影響。浸入邊界法在處理復(fù)雜幾何壁面時，還能夠自然地考慮壁面的運動和變形。在流固耦合問題中，固體壁面往往會在流體的作用下發(fā)生變形，傳統(tǒng)的數(shù)值方法在處理這種變形時，需要對網(wǎng)格進(jìn)行相應(yīng)的變形或重新生成，這會帶來很大的計算負(fù)擔(dān)。而在浸入邊界法中，由于固體邊界是通過拉格朗日標(biāo)記點來表示的，當(dāng)固體壁面發(fā)生變形時，只需要根據(jù)固體的運動方程更新標(biāo)記點的位置即可。這些更新后的標(biāo)記點位置會通過力的插值自動反映在流體的計算中，從而實現(xiàn)了流固耦合的自然模擬。在模擬柔性薄膜在流體中振動的問題時，薄膜的變形可以通過拉格朗日標(biāo)記點的運動準(zhǔn)確地描述，而流體對薄膜的作用力也可以通過標(biāo)記點傳遞到固體上，實現(xiàn)了流固之間的雙向耦合。浸入邊界法在處理復(fù)雜幾何壁面時的優(yōu)勢使其在多個領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。在生物醫(yī)學(xué)工程中，用于模擬血液在復(fù)雜血管網(wǎng)絡(luò)中的流動。血管具有復(fù)雜的三維幾何形狀，且在心臟搏動和血壓變化的作用下會發(fā)生變形。浸入邊界法可以準(zhǔn)確地模擬血管壁對血液流動的影響，以及血液流動對血管壁的力學(xué)作用，為研究心血管疾病的發(fā)病機制和治療方法提供了有力的工具。在航空航天領(lǐng)域，用于模擬飛行器在復(fù)雜氣流環(huán)境中的氣動彈性問題。飛行器的機翼、機身等部件具有復(fù)雜的幾何形狀，且在飛行過程中會受到氣流的作用而發(fā)生變形。浸入邊界法能夠有效地模擬飛行器結(jié)構(gòu)與氣流之間的相互作用，為飛行器的設(shè)計和優(yōu)化提供重要的參考依據(jù)。在微機電系統(tǒng)（MEMS）中，用于模擬微納尺度下流體在復(fù)雜結(jié)構(gòu)中的流動。MEMS器件通常具有微小且復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，浸入邊界法可以在不進(jìn)行復(fù)雜網(wǎng)格劃分的情況下，準(zhǔn)確地模擬流體在這些結(jié)構(gòu)中的流動特性，為MEMS器件的設(shè)計和性能優(yōu)化提供理論支持。3.3流固耦合數(shù)值算法3.3.1單向與雙向耦合在流固耦合問題中，單向耦合與雙向耦合是兩種重要的耦合方式，它們在物理機制和計算方法上存在明顯的差異。單向流固耦合，是指流體對固體的影響顯著，而固體對流體的影響可以忽略不計。在這種情況下，流體的流動主要受到固體邊界條件的約束，而固體的變形主要受到流體載荷的作用。在飛機機翼的氣動彈性問題中，當(dāng)機翼的變形相對較小時，其對周圍氣流的影響可以忽略不計。此時，先通過計算流體力學(xué)（CFD）方法求解流體的流動，得到作用在機翼表面的氣動力。然后，將氣動力作為載荷施加到固體結(jié)構(gòu)上，利用計算固體力學(xué)（CSM）方法求解機翼的變形。單向流固耦合的計算方法相對簡單，可以采用分離求解的方法，先求解流體問題，再求解固體問題。這種方法在計算效率上具有一定的優(yōu)勢，適用于固體變形較小、對流體流動影響不大的情況。雙向流固耦合則是指流體和固體在相互作用過程中，流體的流動和固體的變形相互影響，且影響程度相當(dāng)。在這種情況下，流體的流動和固體的變形需要同時考慮，以獲得準(zhǔn)確的求解結(jié)果。在船舶的波浪載荷和結(jié)構(gòu)響應(yīng)問題中，波浪對船體結(jié)構(gòu)產(chǎn)生作用力，使船體發(fā)生變形；而船體的變形又會反過來改變波浪的傳播特性和對船體的作用力。雙向流固耦合問題的計算方法相對復(fù)雜，需要采用耦合求解的方法。常見的方法有顯式耦合法、隱式耦合法和多尺度耦合法等。顯式耦合法將流體問題和固體問題作為一個整體進(jìn)行求解，采用顯式時間積分方法，計算過程相對簡單，但穩(wěn)定性較差，時間步長受到嚴(yán)格限制。隱式耦合法同樣將流體問題和固體問題作為一個整體求解，采用隱式時間積分方法，穩(wěn)定性較好，但計算量較大，需要求解大型的非線性方程組。多尺度耦合法將流體問題和固體問題在不同尺度上進(jìn)行耦合求解，能夠更好地處理不同尺度下的物理現(xiàn)象，但算法實現(xiàn)較為復(fù)雜。雙向流固耦合對計算資源和算法的要求較高。由于需要同時考慮流體和固體的相互作用，計算過程中需要處理大量的數(shù)據(jù)和復(fù)雜的方程組求解，對計算機的內(nèi)存和計算速度都提出了更高的要求。在數(shù)值算法方面，需要開發(fā)高效的耦合算法和求解器，以確保計算的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性。在模擬心臟瓣膜的血流動力學(xué)問題時，由于心臟瓣膜的變形和血液的流動相互影響非常復(fù)雜，需要采用高精度的數(shù)值算法和強大的計算資源來進(jìn)行模擬。3.3.2求解策略求解流固耦合問題，需要采用合適的數(shù)值策略和迭代方法，以確保計算結(jié)果的準(zhǔn)確性和計算過程的穩(wěn)定性。在數(shù)值策略方面，目前常用的方法有直接耦合法和分離耦合法。直接耦合法將流體控制方程和固體控制方程聯(lián)立起來，在同一求解器中同時求解。這種方法理論上能夠精確地考慮流體和固體之間的相互作用，適用于強耦合問題，如大固體變形、生物隔膜運動等。在模擬生物膜在流體中的運動時，直接耦合法可以準(zhǔn)確地捕捉生物膜的變形和流體的流動之間的強耦合關(guān)系。直接耦合法在實際應(yīng)用中面臨諸多挑戰(zhàn)。它很難將現(xiàn)有的CFD和CSM技術(shù)真正結(jié)合到一起，因為CFD和CSM在數(shù)值方法、網(wǎng)格劃分、時間步長等方面存在差異。同步求解流固控制方程的收斂難度較大，計算耗時較長，目前主要應(yīng)用于模擬分析熱－結(jié)構(gòu)耦合和電磁－結(jié)構(gòu)耦合等簡單問題中，對于流體－結(jié)構(gòu)耦合只進(jìn)行了一些非常簡單的研究，還難以應(yīng)用在實際工程問題中。分離耦合法是分別求解流體和固體的控制方程，通過流固耦合交界面進(jìn)行數(shù)據(jù)傳遞。這種方法對計算機性能的需求大幅降低，可用來求解實際的大規(guī)模問題，目前在商業(yè)軟件中，流固耦合分析基本都采用分離解法。在分離耦合法中，又可以分為單向耦合和雙向耦合兩種情況。單向耦合是指數(shù)據(jù)傳遞是單向的，通常是把CFD分析計算的結(jié)果（如力、溫度和對流載荷）傳遞給固體結(jié)構(gòu)分析，而固體結(jié)構(gòu)分析結(jié)果對流體分析的影響可以忽略不計。雙向耦合則是數(shù)據(jù)交換是雙向的，既有流體分析結(jié)果傳遞給固體結(jié)構(gòu)分析，又有固體結(jié)構(gòu)分析的結(jié)果（如位移、速度和加速度）反向傳遞給流體分析。在分離耦合法中，需要合理設(shè)置流固耦合交界面的數(shù)據(jù)傳遞方式和參數(shù)，以確保數(shù)據(jù)傳遞的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性。對于非對應(yīng)網(wǎng)格的數(shù)據(jù)傳遞，傳遞前的插值運算是必不可少的一步，常用的插值方法有profilepreserving和globallyconservative插值法等。在迭代方法方面，常用的有固定點迭代法和牛頓迭代法。固定點迭代法是一種簡單的迭代方法，它通過不斷更新流體和固體的狀態(tài)，直到滿足收斂條件。在每一個時間步，先根據(jù)上一步的固體狀態(tài)求解流體方程，得到流體的作用力；然后將流體作用力施加到固體上，求解固體方程，得到固體的變形和位移；再根據(jù)固體的新狀態(tài)更新流體的邊界條件，進(jìn)行下一輪迭代。固定點迭代法的優(yōu)點是計算簡單，易于實現(xiàn)，但收斂速度較慢，對于強耦合問題可能無法收斂。牛頓迭代法是一種基于泰勒展開的迭代方法，它通過求解非線性方程組的雅可比矩陣來更新迭代變量，具有較快的收斂速度。在牛頓迭代法中，首先需要構(gòu)建流固耦合系統(tǒng)的殘差方程，然后計算殘差方程關(guān)于迭代變量（如流體速度、壓力，固體位移、應(yīng)力等）的雅可比矩陣。通過求解雅可比矩陣的逆矩陣與殘差向量的乘積，得到迭代變量的更新量，從而不斷逼近收斂解。牛頓迭代法對于強耦合問題具有較好的收斂性，但計算雅可比矩陣的過程較為復(fù)雜，計算量較大。四、復(fù)雜幾何壁面移動接觸線問題研究4.1帶有尖角固體壁面案例4.1.1小孔滴水問題小孔滴水是日常生活中常見的物理現(xiàn)象，從物理本質(zhì)來看，它涉及到重力、表面張力以及流體粘性等多種因素的相互作用。當(dāng)液體在小孔處積聚時，在重力的作用下，液體有向下滴落的趨勢；而液體的表面張力則試圖保持液體的完整性，抵抗重力的作用。流體的粘性會影響液體的流動速度和內(nèi)部摩擦力，對液滴的形成和滴落過程產(chǎn)生影響。為了深入研究小孔滴水問題，需要建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。在該模型中，考慮了以下主要因素：流體的基本方程：采用Navier-Stokes方程來描述流體的運動，該方程體現(xiàn)了流體的動量守恒。對于不可壓縮粘性流體，Navier-Stokes方程的一般形式為：\rho\left(\frac{\partial\vec{u}}{\partialt}+(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u}\right)=-\nablap+\mu\nabla^{2}\vec{u}+\vec{F}其中，\rho為流體密度，\vec{u}為流體速度矢量，p為壓力，\mu為動力粘度，\vec{F}為單位體積的外力。在小孔滴水問題中，外力主要是重力，可表示為\vec{F}=\rho\vec{g}，其中\(zhòng)vec{g}為重力加速度矢量。表面張力的作用：引入表面張力項來考慮液體表面的收縮趨勢。表面張力通過Young-Laplace方程與液體界面的曲率相關(guān)聯(lián)，Young-Laplace方程為：\Deltap=\sigma\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\right)其中，\Deltap為液氣界面兩側(cè)的壓力差，\sigma為表面張力系數(shù)，R_1和R_2分別為液氣界面在兩個相互垂直方向上的主曲率半徑。在小孔滴水過程中，液滴的形狀不斷變化，其曲率半徑也隨之改變，表面張力通過壓力差的形式影響液滴的運動。接觸線的邊界條件：在小孔壁面與液體的接觸線處，需要考慮接觸角的影響。接觸角\theta決定了液體在固體表面的潤濕程度，通過接觸角條件可以確定接觸線處的邊界條件。當(dāng)接觸線處于靜態(tài)時，滿足Young方程：\cos\theta=\frac{\sigma_{sg}-\sigma_{sl}}{\sigma_{lg}}其中，\sigma_{sg}、\sigma_{sl}和\sigma_{lg}分別為固-氣、固-液和液-氣界面的表面張力。當(dāng)接觸線發(fā)生移動時，還需要考慮接觸角滯后等因素，采用合適的動態(tài)接觸角模型來描述接觸線的運動。在數(shù)值求解過程中，通常采用有限差分法、有限元法或有限體積法等數(shù)值方法對上述方程進(jìn)行離散求解。有限差分法將計算區(qū)域劃分為網(wǎng)格，通過差商近似偏導(dǎo)數(shù)，將連續(xù)的方程轉(zhuǎn)化為離散的代數(shù)方程組。有限元法將計算區(qū)域劃分為有限個單元，通過在單元上構(gòu)造插值函數(shù)來逼近未知函數(shù)。有限體積法基于守恒型控制方程，將計算區(qū)域劃分為一系列控制體積，通過對控制體積內(nèi)的物理量進(jìn)行積分來推導(dǎo)離散方程。在小孔滴水問題的數(shù)值模擬中，根據(jù)問題的特點和計算精度的要求，選擇合適的數(shù)值方法，并對計算區(qū)域進(jìn)行合理的網(wǎng)格劃分，以準(zhǔn)確模擬液滴的形成和滴落過程。4.1.2接觸線釘扎與移動在小孔滴水過程中，接觸線的狀態(tài)對液滴的滴落模態(tài)有著顯著的影響，其中接觸線釘扎和自由移動是兩種典型的狀態(tài)。當(dāng)接觸線發(fā)生釘扎時，液滴在小孔處的生長和滴落過程會呈現(xiàn)出獨特的特征。接觸線釘扎是指接觸線在固體表面的某個位置被固定，難以移動。這通常是由于固體表面的微觀不均勻性，如粗糙度、化學(xué)組成的變化等，導(dǎo)致接觸線在某些位置受到額外的阻力，從而被釘扎。在釘扎狀態(tài)下，液滴在小孔處逐漸積聚，體積不斷增大。隨著液滴體積的增加，重力對液滴的作用逐漸增強。當(dāng)重力超過表面張力和接觸線釘扎力的合力時，液滴開始發(fā)生變形，其形狀逐漸從近似球形向拉長的形狀轉(zhuǎn)變。由于接觸線被釘扎，液滴在脫離小孔時，會在釘扎點處形成一個細(xì)頸，隨著細(xì)頸的逐漸變細(xì)，最終液滴從細(xì)頸處斷裂，完成滴落過程。在這個過程中，液滴的滴落頻率相對較低，且每次滴落的液滴體積相對較大。因為接觸線釘扎限制了液滴的連續(xù)移動，使得液滴需要積累足夠的重力才能克服釘扎力和表面張力，從而導(dǎo)致液滴的生長時間較長，體積較大。當(dāng)接觸線自由移動時，液滴的滴落模態(tài)與釘扎狀態(tài)下有明顯的不同。在自由移動狀態(tài)下，接觸線能夠在固體表面相對自由地滑動，幾乎不受額外的阻力。此時，隨著液體在小孔處的積聚，液滴的體積逐漸增大。由于接觸線可以自由移動，液滴在重力和表面張力的作用下，能夠更加順暢地發(fā)生變形和脫離。液滴在脫離小孔時，不會像釘扎狀態(tài)下那樣形成明顯的細(xì)頸。接觸線的自由移動使得液滴能夠及時調(diào)整其形狀和位置，以適應(yīng)重力和表面張力的變化。因此，在自由移動狀態(tài)下，液滴的滴落頻率相對較高，每次滴落的液滴體積相對較小。因為液滴能夠更快速地脫離小孔，不需要積累過多的體積就能完成滴落過程。通過數(shù)值模擬和實驗觀察，可以進(jìn)一步深入研究接觸線釘扎和自由移動時液滴的滴落模態(tài)。在數(shù)值模擬中，可以通過調(diào)整接觸線的邊界條件，模擬不同程度的釘扎和自由移動狀態(tài)。通過改變固體表面的粗糙度參數(shù)，來模擬不同程度的接觸線釘扎。在實驗中，可以采用高速攝像機等設(shè)備，拍攝液滴的滴落過程，觀察接觸線的運動和液滴的形狀變化。通過對數(shù)值模擬和實驗結(jié)果的分析，可以總結(jié)出接觸線狀態(tài)與液滴滴落模態(tài)之間的定量關(guān)系，為深入理解小孔滴水現(xiàn)象提供更堅實的理論和實驗基礎(chǔ)。4.2彎曲固體壁面案例4.2.1圓球入水問題圓球入水是一個涉及到流體力學(xué)、固體力學(xué)以及界面力學(xué)等多學(xué)科知識的復(fù)雜物理過程，在自然界和工程領(lǐng)域中都有廣泛的應(yīng)用。從物理過程來看，當(dāng)圓球以一定的速度和角度進(jìn)入靜止的液體中時，會在液面上產(chǎn)生一系列復(fù)雜的現(xiàn)象。在入水初期，圓球與液體表面接觸，由于圓球的速度和慣性，會對液體表面產(chǎn)生強烈的沖擊，導(dǎo)致液體表面產(chǎn)生一個凹陷，形成一個初始的入水坑。隨著圓球的繼續(xù)侵入，液體受到圓球的排擠，會在圓球周圍形成一個向上的射流，這個射流會不斷發(fā)展并最終破碎，形成水花。同時，圓球在液體中的運動還會受到液體的阻力、浮力以及表面張力等多種力的作用。液體的阻力會使圓球的速度逐漸減小，浮力則會對圓球產(chǎn)生一個向上的作用力，而表面張力則會影響液體與圓球表面的接觸角，進(jìn)而影響圓球的入水過程。為了深入研究圓球入水問題，采用數(shù)值模擬的方法是一種有效的手段。在數(shù)值模擬中，需要建立合適的數(shù)學(xué)模型來描述圓球入水的物理過程。在這個模型中，考慮了以下主要因素：流體的控制方程：采用Navier-Stokes方程來描述液體的流動，該方程體現(xiàn)了流體的動量守恒。對于不可壓縮粘性流體，Navier-Stokes方程的一般形式為：\rho\left(\frac{\partial\vec{u}}{\partialt}+(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u}\right)=-\nablap+\mu\nabla^{2}\vec{u}+\vec{F}其中，\rho為流體密度，\vec{u}為流體速度矢量，p為壓力，\mu為動力粘度，\vec{F}為單位體積的外力。在圓球入水問題中，外力主要包括重力、浮力以及圓球?qū)σ后w的沖擊力。重力可表示為\vec{F}_g=\rho\vec{g}，其中\(zhòng)vec{g}為重力加速度矢量；浮力根據(jù)阿基米德原理，可表示為\vec{F}_b=-\rhoV\vec{g}，其中V為圓球排開液體的體積。圓球?qū)σ后w的沖擊力則通過圓球的運動方程與液體的運動方程進(jìn)行耦合求解。固體的運動方程：對于圓球的運動，采用牛頓第二定律來描述，即m\frac{d\vec{v}}{dt}=\vec{F}_{total}，其中m為圓球的質(zhì)量，\vec{v}為圓球的速度矢量，\vec{F}_{total}為作用在圓球上的合力，包括重力、浮力、液體的阻力以及表面張力等。液體的阻力通常采用經(jīng)驗公式來計算，如Drag-force公式\vec{F}_d=-\frac{1}{2}C_d\rhoA|\vec{v}|\vec{v}，其中C_d為阻力系數(shù)，A為圓球在垂直于運動方向上的投影面積。表面張力對圓球的作用力則通過Young-Laplace方程與液體界面的曲率相關(guān)聯(lián)，影響圓球與液體表面的接觸角和接觸線的運動。移動接觸線的邊界條件：在圓球與液體的接觸線處，需要考慮接觸角的影響。接觸角\theta決定了液體在圓球表面的潤濕程度，通過接觸角條件可以確定接觸線處的邊界條件。當(dāng)接觸線處于靜態(tài)時，滿足Young方程：\cos\theta=\frac{\sigma_{sg}-\sigma_{sl}}{\sigma_{lg}}其中，\sigma_{sg}、\sigma_{sl}和\sigma_{lg}分別為固-氣、固