高中2025北京石景山高一（下）期末數(shù)學本試卷共6頁，滿分為100分，考試時間為120分鐘．請務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效．考試結束后，將答題卡交回．第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.已知復數(shù)，則（）A. B. C. D.2.已知平面向量，且，則（）A. B.0 C.1 D.23.已知，則（）A. B. C. D.4.下列函數(shù)中，最小正周期為的奇函數(shù)是（）A. B. C. D.5.將函數(shù)的圖象沿軸向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則的最小值為（）A. B. C. D.6.已知中，，則角A的值是（）A. B. C.或 D.或7.已知和是夾角為的單位向量，，，則與的夾角的余弦值為（）A. B. C.0 D.8.設，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9.在中，，則的形狀為（）A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.等腰三角形10.已知函數(shù)，其中，，直線與的圖象相交，其中兩個相鄰交點分別是、，當或時，取最大值為，則（）A. B. C. D.第二部分（非選擇題共60分）二、填空題共5小題，每小題4分，共20分．11.已知復數(shù)（為虛數(shù)單位），則的模為____．12.已知正四棱柱的底面邊長為1，側棱長為2，則其體對角線的長為________；若E為BC邊上一點，則四棱錐的體積為________．13.在△ABC中，請給出一個值_______，使該三角形有兩解.14.如圖，矩形中，，，為的中點.當點在邊上時，的值為________；當點沿著，與邊運動時，的取值范圍為_________.15.已知函數(shù)，．給出下列三個結論：①是偶函數(shù)；②的值域是；③在區(qū)間上單調(diào)遞減；其中，所有正確結論的序號是________．三、解答題共5小題，共40分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.已知，且．（1）求的值；（2）若角β的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊過點，求的值．17.已知平面向量，滿足，，且與的夾角為．（1）求以及；（2）若向量與不能作為平面向量的一組基底，求實數(shù)λ的值．18.已知函數(shù)．（1）求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當時，的取值范圍為，求m的最大值．19.在中，．（1）求A的值；（2）若，再從條件①，條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求b的值和的面積．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．20.已知n為正整數(shù)，集合，對于中任意兩個元素和，定義：．（1）若，且，寫出所有的β使得；（2）已知集合A滿足，且對集合A中任意兩個元素α，β都有．設集合A的元素個數(shù)為k，求k的最大值．

參考答案第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.【答案】A【分析】利用共軛復數(shù)的特點即可求出結果.【詳解】復數(shù)，則，故選：A2.【答案】D【分析】由等價于，即可計算出答案.【詳解】因為，所以解得：，故選：D.3.【答案】D【分析】利用誘導公式即可求得結果.【詳解】由誘導公式得故選：D4.【答案】C【分析】利用二倍角公式及正（余）弦函數(shù)的性質(zhì)判斷即可；【詳解】對于A：為偶函數(shù)，故A錯誤；對于B：的最小正周期為，故B錯誤；對于C：，最小正周期，且為奇函數(shù)，故C正確；對于D：，則，故為偶函數(shù)，故D錯誤；故選：C5.【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)圖像平移，解方程即可求得結果.【詳解】將函數(shù)的圖象沿軸向右平移個單位長度，即可得，故可得，解得，又因為，故可得.故選：A.【點睛】本題考查由函數(shù)圖像平移求函數(shù)解析式，屬基礎題.6.【答案】A【分析】由正弦定理結合大邊對大角即可得出答案.【詳解】由正弦定理可得：，則，解得：，則或，因為，所以，所以.故選：A.7.【答案】C【分析】利用兩個向量的夾角公式即可求得結果.【詳解】，所以，與的夾角的余弦值為0.故選：C8.【答案】B【分析】根據(jù)二倍角的正弦公式結合同角三角函數(shù)的關系化弦為切，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可得解.【詳解】由，得，解得或，由，得，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.9.【答案】B【分析】利用半角公式結合正弦定理、兩角和的正弦公式化簡計算得，根據(jù)三角形內(nèi)角的范圍計算可得，即可得出結論.【詳解】由題意，，化簡整理得，根據(jù)正弦定理，可得，即，因為，所以，則，又，，則.所以的形狀為直角三角形.故選：B10.【答案】A【分析】分析得出函數(shù)的最大值和最小值，可求得、的值，并得出該函數(shù)的最小正周期，求出的值，可得出函數(shù)的解析式，代值計算可得的值.【詳解】由已知可得，，且函數(shù)的最小正周期為，則，，，則，則.故選：A.【點睛】方法點睛：根據(jù)三角函數(shù)的部分圖象或基本性質(zhì)求函數(shù)解析式的方法：（1）求、，；（2）求出函數(shù)的最小正周期，進而得出；（3）取特殊點代入函數(shù)可求得的值.第二部分（非選擇題共60分）二、填空題共5小題，每小題4分，共20分．11.【答案】【詳解】，所以．12.【答案】①.②.【分析】結合圖形，借助于直角三角形可求的長，利用平面可將四棱錐的體積轉化為四棱錐的體積，即可求得.【詳解】如圖，連接，在中，，；因，平面，平面，則平面，因E為BC邊上一點，故四棱錐的體積即四棱錐的體積，而，即四棱錐的體積為.故答案為：；.13.【答案】3（答案不唯一）【分析】先由正弦定理得到，由三角形有兩個解，可得且，進而可得答案.【詳解】根據(jù)正弦定理得到，因為三角形有兩個解，且，即且，可得所以時，三角形有兩個解.故答案為：3（答案不唯一）.14.【答案】①.8②.【分析】建立坐標系，利用坐標運算求出向量的點積，分情況討論即可.【詳解】第一空：以A為坐標原點建立直角坐標系，則,當點沿著邊運動時,設，故;第二個空：當點沿著邊運動時，設，；當點沿著邊運動時，設，，因為；當點沿著邊運動時，設，；綜上：的取值范圍為.故答案為：8；15.【答案】①③【分析】計算出可判斷①，分和兩種情況求出的范圍，然后結合其周期性可得值域，即可判斷②，當時，，可判斷單調(diào)性，從而判斷上的單調(diào)性.【詳解】由題意，，所以是偶函數(shù)，故①正確；當時，，當時，，又因為，所以的值域是，故②錯誤；當時，，此時，所以在上單調(diào)遞減，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，故③正確.故答案為：①③.三、解答題共5小題，共40分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.【答案】（1），（2）【分析】（1）根據(jù)同角基本關系式求解；（2）根據(jù)三角函數(shù)定義求出，，再利用和差角公式求解.【小問1詳解】因為，所以，則．【小問2詳解】角終邊過點，則．，．所以，．．17.【答案】（1），（2）【分析】（1）利用向量數(shù)量積的定義求出的值，再運用向量數(shù)量積的運算律計算即可；（2）根據(jù)平面的基底概念可得與共線，再利用向量共線的充要條件即可求得λ的值.【小問1詳解】，則，故．【小問2詳解】因為向量與不能作為平面向量的一組基底，所以與共線．則存在實數(shù)k，使得，又因為與不共線，所以，解得，所以實數(shù)的值為：．18.【答案】（1），函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，（2）【分析】（1）利用輔助角公式可得，則可求其最小正周期，利用整體代換法可求其單調(diào)遞增區(qū)間；（2）利用整體代換法求出，由的取值范圍為，從而可求解.【小問1詳解】由，則最小正周期為，令，因為的單調(diào)遞增區(qū)間是，，所以，，即，，解得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，；【小問2詳解】當時，，令，則，所以的取值范圍為，由的性質(zhì)可知，，解得，所以的最大值為．19.【答案】（1）（2），【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換及特殊角的三角函數(shù)值計算可得；（2）依題意求出，利用正弦定理求出邊，最后根據(jù)計算可得.【小問1詳解】因為，即，所以．因為，所以，所以，．【小問2詳解】若選①：由，，所以．由正弦定理，即，解得，又，所以．若選②：因為，，．由正弦定理，即得，因為，所以，所以，由正弦定理，即，解得．所以．2