第二十四章圓【知識點01】圓的有關(guān)性質(zhì)1.圓的定義及性質(zhì)圓的定義：在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A所形成的圖形叫圓。這個固定的端點O叫做，線段OA叫做。圓的表示方法：以O(shè)點為圓心的圓記作⊙O，讀作圓O。圓的特點：在一個平面內(nèi)，所有到一個定點的距離等于的點組成的圖形。確定圓的條件：（1）；（2）。圓的對稱性：（1）圓是軸對稱圖形，經(jīng)過的每一條直線都是它的對稱軸；（2）圓是以圓心為對稱中心的。2.圓的有關(guān)概念弦的概念：連結(jié)圓上任意兩點的線段叫做(例如：右圖中的AB)。直徑的概念：經(jīng)過圓心的弦叫做（例如：右圖中的CD）。備注：（1）是同一圓中最長的弦。（2）直徑長度等于半徑長度的2倍。弧的概念：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱。以A、B為端點的弧記作AB，讀作圓弧AB或弧等弧的概念：或，能夠的弧叫做等弧。半圓的概念：圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。優(yōu)弧的概念：在一個圓中叫做優(yōu)弧。劣弧的概念：叫做劣弧。3.垂徑定理垂徑定理：于弦的直徑這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；（2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條?。唬?）平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧。4.圓心角、圓周角的概念（1）圓心角概念：頂點在圓心的角叫做。弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等。推論：在或中，如果兩個、兩條、兩條或兩條中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量分別相等。（2）圓周角概念：頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做。圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的。（即：圓周角=1推論1：同弧或等弧所對的。在同圓或等圓中，如果兩個圓周角相等，它們所對的弧一定相等。推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是，90°的圓周角所對的弦是推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形?！局R點02】點和圓、直線和圓的位置關(guān)系1.點與圓的位置關(guān)系設(shè)⊙O的半徑是r，點P到圓心O的距離為d，則有：d<r點P在⊙O內(nèi)；d=r點P在⊙O上；d>r點P在⊙O外。2.三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心（1）三角形的內(nèi)切圓：與三角形的都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。（2）三角形的內(nèi)心：三角形的內(nèi)切圓的圓心是三角形的三條內(nèi)，它叫做三角形的內(nèi)心。注意：內(nèi)切圓及有關(guān)計算（1）三角形內(nèi)切圓的圓心是三個內(nèi)角平分線的交點，它到三邊的距離相等。（2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，則內(nèi)切圓的半徑r=。（3）S△ABC=，其中a，b，c是邊長，r是內(nèi)切圓的半徑。（4）弦切角：角的頂點在圓周上，角的一邊是圓的切線，另一邊是圓的弦。如圖，BC切⊙O于點B，AB為弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。3.直線與圓的位置關(guān)系（1）直線與圓相離無交點；（2）直線與圓相切有一個交點；（3）直線與圓相交有兩個交點；4.切線的性質(zhì)與判定定理（1）切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線；兩個條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可。即：∵且過半徑外端∴是⊙的切線（2）性質(zhì)定理：切線垂直于過切點的半徑（如上圖）推論1：過圓心垂直于切線的直線必過切點。推論2：過切點垂直于切線的直線必過圓心。以上三個定理及推論也稱二推一定理：即：①過圓心；②過切點；③垂直切線【知識點03】正多邊形和圓1.圓內(nèi)接四邊形圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補，外角等于它的內(nèi)對角。即：在⊙中，∵四邊是內(nèi)接四邊形∴∴2.圓內(nèi)正多邊形的計算（1）正三角形：在⊙中△是正三角形，有關(guān)計算在中進行：；（2）正四邊形：同理，四邊形的有關(guān)計算在中進行，：（3）正六邊形：同理，六邊形的有關(guān)計算在中進行，.【知識點04】弧長和扇形面積1.扇形的弧長和面積計算扇形：（1）弧長公式：；（2）扇形面積公式：：圓心角：扇形多對應(yīng)的圓的半徑：扇形弧長：扇形面積2.扇形與圓柱、圓錐之間聯(lián)系（1）圓柱：①圓柱側(cè)面展開圖：=；②圓柱的體積：（2）圓錐側(cè)面展開圖：①=；②圓錐的體積：注意：圓錐的底周長=扇形的弧長（）【易錯一】求某點的弧形運動路徑長度1.易錯總結(jié)：易混淆弧長公式中圓心角的單位，若用弧度制，公式為l=ar（a為圓心角弧度數(shù)）；若用角度制，公式為l=nπr180（n2.注意事項：確定圓心角大小時，要結(jié)合點的運動軌跡，準確找到對應(yīng)的圓心角，同時注意半徑r的取值是否正確，保證弧長計算的兩個關(guān)鍵要素?zé)o誤。例題：（23-24九年級上·江蘇鹽城·期末）如圖，在中，，，，將繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)到的位置，點B的對應(yīng)點D首次落在斜邊上，則點A的運動路徑的長為．

【易錯二】求圖形旋轉(zhuǎn)后掃過的面積1.易錯總結(jié):易錯誤判斷旋轉(zhuǎn)后圖形掃過的區(qū)域形狀，把非扇形部分誤算成扇形，或者對旋轉(zhuǎn)半徑的確定不準確，導(dǎo)致面積計算錯誤。2.注意事項:明確圖形旋轉(zhuǎn)時的旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角度，準確判斷掃過區(qū)域的形狀，仔細確定各部分對應(yīng)的半徑，再結(jié)合相應(yīng)面積公式計算。例題：如圖，在，將繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)至，點在的延長線上，則邊掃過區(qū)域（圖中陰影部分）的面積為．（結(jié)果保留π）【易錯三】求其他不規(guī)則圖形的面積1.易錯總結(jié):易錯誤拆分或組合圖形，導(dǎo)致對各部分形狀和尺寸判斷失誤，進而使面積計算出錯；也常因忽略圖形間的重疊、空缺部分，造成面積多算或少算。2.注意事項:仔細分析圖形結(jié)構(gòu)，合理拆分或補全為規(guī)則圖形，明確各部分的形狀、尺寸及相互關(guān)系，計算時留意重疊、空缺部分的處理。例題：（23-24九年級上·湖北武漢·期末）如圖，在中，，，將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到，則，，，圍成的面積（圖中陰影部分面積）為．【易錯四】利用90°的圓周角所對的弦是直徑求解答題1.易錯總結(jié):一是容易忽略“圓周角為90度”這一前提條件，在普通圓周角情況下錯誤使用該定理得出弦是直徑的結(jié)論；二是在復(fù)雜圖形中，無法準確識別出90度圓周角所對應(yīng)的弦，導(dǎo)致不能有效利用該定理解決問題。2.注意事項:首先要牢記定理使用的前提是圓周角為90度；其次，面對復(fù)雜幾何圖形時，仔細觀察角的度數(shù)標注和圖形結(jié)構(gòu)，通過輔助線等方式，精準定位90度圓周角及其所對的弦。例題：如圖，四邊形內(nèi)接于，分別延長，，使它們相交于點E，，且．(1)求證：．(2)若，點C為的中點，求的半徑．【易錯五】與圓有關(guān)的新定義型問題1.易錯總結(jié):易因未完全理解新定義內(nèi)涵，錯用定義中的條件（如特殊點、特殊線段、角度關(guān)系）；也常忽略新定義與圓的基本性質(zhì)（如半徑、圓心角、切線）的關(guān)聯(lián)，導(dǎo)致解題思路偏離。2.注意事項:先逐字研讀新定義，圈畫關(guān)鍵條件并轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言；再結(jié)合圓的基本性質(zhì)分析，通過畫圖直觀呈現(xiàn)新定義中的圖形關(guān)系，驗證每一步推理是否符合定義要求。例題：（23-24九年級上·陜西渭南·期末）【定義新知】定義：有一個角是其對角一半的圓內(nèi)接四邊形叫做圓美四邊形，其中這個角叫做美角．【初步應(yīng)用】（1）如圖1，四邊形是圓美四邊形，是美角．①的度數(shù)為________；②連接，若的半徑為5，求線段的長；【拓展提升】（2）如圖2，已知四邊形是圓美四邊形，是美角，連接，若平分，判斷、與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．一、單選題1．（24-25九年級上·河北石家莊·期末）如圖，將一個半徑為1的半圓，在直線上從左往右作無滑動的滾動，則滾動2025周后圓心所經(jīng)過的路徑長為（）A． B． C． D．2．（24-25六年級下·上海寶山·期中）如圖，已知，，，半徑為的從點A出發(fā)，沿方向滾動到點時停止．則在此運動過程中，掃過的面積是（）A． B． C． D．3．（2024九年級下·山西·專題練習(xí)）如圖，已知的半徑為為的直徑，為半圓弧的中點，四邊形的邊與相切，切點為，則圖中陰影部分的面積為（

）A．6 B．8 C． D．二、填空題4．（2025·浙江·模擬預(yù)測）中，，，cm，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)至的位置，如圖，、、三點在同一條直線上，則點所經(jīng)過的路徑長為．5．（2025·廣東茂名·二模）如圖，中，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，則圖中陰影部分面積為．（結(jié)果保留）6．（2025·河南鄭州·三模）如圖，是半圓的直徑，點為半圓上一點．將半圓沿翻折，點的對應(yīng)點落在上，點的對應(yīng)點為．若，則圖中陰影部分的面積為．三、解答題7．（24-25九年級上·吉林·期中）如圖，以的邊上一點為圓心的圓經(jīng)過、兩點，且與邊交于點，，連接交于點，若．(1)求證：是的切線；(2)若的半徑是，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留根號和）．8．（24-25九年級上·河北廊坊·階段練習(xí)）如圖，將一塊直角三角板繞著角的頂點順時針旋轉(zhuǎn)．使得點與延長線上的點重合，點與點重合，連接．(1)三角板旋轉(zhuǎn)了______度；(2)求的度數(shù)；(3)若，求旋轉(zhuǎn)過程中點經(jīng)過的路徑長．9．（24-25九年級上·浙江湖州·階段練習(xí)）定義：若圓內(nèi)接三角形是等腰三角形，我們就稱這樣的三角形為“圓等三角形”．(1)如圖1，是的一條弦（非直徑），若在上找一點，使得是“圓等三角形”，則這樣的點能找到_________個；(2)如圖2，四邊形是的內(nèi)接四邊形，連結(jié)對角線，和均為“圓等三角形”，且，．①當時，求度數(shù)；②如圖③，當，時，求陰影部分的面積．10．（24-25九年級上·湖南長沙·期中）類似于三角形