決勝高考經(jīng)典一百題全解析圓錐曲線（四）【百題10.9:設(shè)點設(shè)線】（福建質(zhì)檢）已知橢圓C:x2a2+y2b2=（1）求C的方程;（2）圓E過O,B,交l于點M,N,直線AM,AN分別交C于另一點P,Q,點S,解:(1)因為直線l:x=1與所以l垂直平分OB,所以B2設(shè)D1,y0為直線l與因為菱形的面積為6,所以2y0=6,解得將點D1,±62代入x2a所以C的方程為x解法一(設(shè)線法):(2)由題意,得OB為圓E的一條弦,且直線x=故直線x=1經(jīng)過圓心E,所以MN為圓因此∠MON=90設(shè)M1,y注意到kAM=y又因為kAM=k設(shè)直線PQ的方程為x=由x=myΔ=y1因為kAP=即y1即y1將①代入上式得t2化簡得t?22所以直線PQ的方程為x=my+1411由AS=13所以直線ST也過定點H,且AH=13注意到O位于線段GH上,故O到直線ST的距離與O到直線PQ的距離之和等于兩平行直線ST,PQ之間的距離d,且當(dāng)ST,PQ垂直于x軸時,點O到直線ST和直線PQ的距離之和為所以點O到直線ST和直線PQ的距離之和的最大值是2711解法二(設(shè)線法):(2)由(1)可得A?設(shè)直線AM的方程為y=k1另設(shè)直線AN的方程為y=k2由題意,得OB為圓E的一條弦,且直線x=故直線x=1經(jīng)過圓心E,所以MN為圓因此∠MON=90所以1+3k由y=k1x+將xP=?4k12?同理可得Q?4k直線PQ的斜率為kPQ所以直線PQ的方程為y?即2ykk1k2=?19代入①,得當(dāng)k1+k2=0時,直線因此直線PQ始終過定點G14設(shè)直線ST與x軸交于點Hx因為AS=13SP,所以xH+2=1314設(shè)直線PQ的方程為x=ty+所以點O到直線PQ的距離為d1同理可得點O到直線ST的距離為d2所以d1+d2=2711故點O到直線ST和直線PQ的距離之和的最大值為27解法三(設(shè)點法):設(shè)M1由已知得E在直線x=1上,設(shè)E1,s,則圓E的方程x?12+所以直線AM的方程為y=yM3x由y=y所以?2x將xP=?4yM即P?4當(dāng)yM直線PQ的斜率為k所以直線PQ的方程為y?即y即y即y=?116y當(dāng)yM+yN=0因此直線PQ始終過定點G設(shè)直線ST與x軸交于點Hx其中P,故②即為P,Q所在直線方程,整理得直線PQ的方程為所以無論t1+t2為何值,直線由題意得AS=14所以直線ST也過定點H,且AH=1注意到O位于線段GH上,故O到直線ST的距離與O到直線PQ的距離之和等于兩平行直線ST,PQ之間的距離d,且當(dāng)ST,PQ垂直于x軸時,點O到直線ST和直線PQ所以點O到直線ST和直線PQ的距離之和的最大值是2711入選理由:設(shè)點設(shè)線是圓錐曲線中的基本選擇,選擇設(shè)線,則面臨y=kx+【百題10.10:點線面】（華一?？迹┮阎獧E圓C:x2a2(1)求C的方程;(2)直線l:y=kx?(I)判斷∠AMB(II)求MA?解:(1)由已知得9b2=1,a2【百題10.11:點差法】（鄭州模考）C:x2a2+y2b2=1,F解:易知x24則DA、B在曲線C兩式相減整理可得y同理可得kOE=?34入選理由:點差法作為圓錐曲線設(shè)而不求的經(jīng)典題型,有著非常重要的啟示意義.方法鏈接:若A、B為圓錐曲線上任意兩點,P為A、(1)xy(2)xy(3)?【百題10.12:斜長問題】（浙江卷）C:x2=y,A?12,解法一:設(shè)直線AP聯(lián)立可得xQ=PQ=1+k解法二:設(shè)AB的中點為M,則M1PA==≤當(dāng)且僅當(dāng)x+12=92?解法三:因為BQ⊥AP,所以PAPQPA求導(dǎo)可得PA?PQ取到最大值入選理由:韋達(dá)定理有三種常見形式,即弦長式(常見)、比值式(前文)、斜長式(本題).知識鏈接:設(shè)點Ax解法四:因為QB⊥AQ,所以點Q在以AB為直徑的圓上.設(shè)AB的中點為根據(jù)圓冪定理有PA=令tx=?x當(dāng)x=1時,PA?圓冪定理:設(shè)圓O的半徑為r,過一定點P作兩條直線分別與圓O相交于點A、B和C當(dāng)點P在圓內(nèi)時,為相交弦定理(如圖1).當(dāng)點P在圓外時,為切割線定理,即點C、圖1圖2圖3【百題10.13:斜率和積問題】（全國卷）已知C:x24+y2=1,P20,1解法一(常規(guī)解法):設(shè)直線P2A與直線P如果l與x軸垂直,設(shè)l:x=t可得A,B的坐標(biāo)分別為則k1+k可設(shè)l:y=kx+m?由題可知Δ=164k2而k1由題設(shè)k1+k2=?解得k=?m+12.當(dāng)且僅當(dāng)m>?1所以l過定點2解法二(齊次化):設(shè)直線P2A的斜率為k1,直線則P兩直線相乘可得k1化簡可得k由題可得k1+代入k14k1k21+所以化簡得l:4解得直線恒過定點2【同源練習(xí)】(鄭州一模)已知橢圓C:x26+y2解法一(常規(guī)方法):設(shè)點Mx1,y1所以y1當(dāng)k存在的情況下,設(shè)MN:聯(lián)立y=kx+由Δ>0,得由根與系數(shù)的關(guān)系得