.4.2充要條件一．選擇題1．設(shè)乙的充分不必要條件是甲，乙是丙的充要條件，丁是丙的必要不充分條件，那么甲是丁的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件2．若“x<a”是“x≥3或x≤－1”的充分不必要條件，則a的取值范圍是()A．{a|a≥3}B．{a|a≤－1}C．{a|－1≤a≤3}D．{a|a≤3}3．“ab＞4”是“a＞2且b＞2”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件4.“a，b中至少有一個不為零”的充要條件是()A．a(chǎn)b＝0B．a(chǎn)b＞0C．a(chǎn)2＋b2＝0D．a(chǎn)2＋b2＞05．“x＜y”是“|x|＜|y|”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件6．(跨學科融合)(多選)已知p：開關(guān)S閉合，q：燈泡L亮，則p是q的充分不必要條件的電路圖是()ABCD二．填空題7．設(shè)A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要條件，則實數(shù)a的取值集合為.8．若“x>2”是“x>m”的必要不充分條件，則實數(shù)m的取值范圍是________.9．設(shè)a，b，c分別是△ABC的三條邊，且a≤b≤c，則“a2＋b2＝c2”是“△ABC為直角三角形”的_______三．解答題10．已知集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a＋5}，B＝{x|x≤－2，或x≥5}．(1)若a＝1，求A∪B；(2)若“x∈B”是“x∈A”的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．11．已知a，b是正實數(shù)，求證：“a＋b＝1”是“eq\f(a＋1,b)＋eq\f(b＋1,a)＋2＝eq\f(2,ab)”的充要條件．12.證明：△ABC是等邊三角形的充要條件是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，這里a，b，c是△ABC的三條邊的邊長．1.4.2充要條件一．選擇題1．設(shè)乙的充分不必要條件是甲，乙是丙的充要條件，丁是丙的必要不充分條件，那么甲是丁的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件A解析：由題意得甲?乙?丙?丁，但乙eq\o(?,/)甲，因此甲?丁，丁eq\o(?,/)甲，所以甲是丁的充分不必要條件．故選A．2．若“x<a”是“x≥3或x≤－1”的充分不必要條件，則a的取值范圍是()A．{a|a≥3}B．{a|a≤－1}C．{a|－1≤a≤3}D．{a|a≤3}B解析：因為“x<a”是“x≥3或x≤－1”的充分不必要條件，所以{x|x<a}{x|x≥3，或x≤－1}，故a≤－1.3．“ab＞4”是“a＞2且b＞2”的(B)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件4.“a，b中至少有一個不為零”的充要條件是()A．a(chǎn)b＝0B．a(chǎn)b＞0C．a(chǎn)2＋b2＝0D．a(chǎn)2＋b2＞0D解析：a2＋b2>0，則a，b不同時為零；a，b中至少有一個不為零，則a2＋b2>0.5．“x＜y”是“|x|＜|y|”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件D解析：當x＝－3，y＝1時，x<y，但|x|＞|y|，故x＜y推不出|x|＜|y|；反之，當x＝1，y＝－3時，|x|＜|y|，但x＞y，故|x|＜|y|推不出x＜y.由充分條件、必要條件的定義，知“x＜y”是“|x|＜|y|”的既不充分也不必要條件．6．(跨學科融合)(多選)已知p：開關(guān)S閉合，q：燈泡L亮，則p是q的充分不必要條件的電路圖是()ABCDAD解析：對于A，開關(guān)S閉合，則燈泡L亮，反之，燈泡L亮，不一定有開關(guān)S閉合，所以p?q，但qeq\o(?,/)p，所以p是q的充分不必要條件；對于B，p?q，所以p是q的充要條件；對于C，開關(guān)S，S1與燈泡L串聯(lián)，所以peq\o(?,/)q，q?p，所以p是q的必要不充分條件；對于D，開關(guān)S閉合，則燈泡L亮，反之，燈泡L亮，不一定有開關(guān)S閉合，所以p?q，但qeq\o(?,/)p，所以p是q的充分不必要條件．二．填空題7．設(shè)A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要條件，則實數(shù)a的取值集合為.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)，\f(1,5)))解析：因為x2－8x＋15＝0的兩個根為3和5，所以A＝{3，5}．因為“x∈B”是“x∈A”的充分不必要條件，所以B是A的真子集，所以B＝?或B＝{3}或B＝{5}．當B＝?時，a＝0；當B＝{3}時，3a－1＝0，所以a＝eq\f(1,3)；當B＝{5}時，5a－1＝0，所以a＝eq\f(1,5).所以a的值可以是0，eq\f(1,3)，eq\f(1,5).故實數(shù)a的取值集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)，\f(1,5))).8．若“x>2”是“x>m”的必要不充分條件，則實數(shù)m的取值范圍是________.{m|m>2}解析：因為“x>2”是“x>m”的必要不充分條件，所以{x|x>m}是{x|x>2}的真子集，即m>2.9．設(shè)a，b，c分別是△ABC的三條邊，且a≤b≤c，則“a2＋b2＝c2”是“△ABC為直角三角形”的_______充要條件【解析】a2＋b2＝c2?△ABC為直角三角形，三．解答題10．已知集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a＋5}，B＝{x|x≤－2，或x≥5}．(1)若a＝1，求A∪B；(2)若“x∈B”是“x∈A”的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．解：(1)因為a＝1，A＝{x|2a＋1≤x≤3a＋5}，所以A＝{x|3≤x≤8}．因為B＝{x|x≤－2，或x≥5}，所以A∪B＝{x|3≤x≤8}∪{x|x≤－2，或x≥5}＝{x|x≤－2，或x≥3}．(2)因為“x∈B”是“x∈A”的必要不充分條件，所以AB．①若A＝?，則2a＋1>3a＋5，即a<－4，滿足題意；②若A≠?，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋1≤3a＋5，,2a＋1≥5))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋1≤3a＋5，,3a＋5≤－2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥－4，,a≥2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥－4，,a≤－\f(7,3)，))所以a≥2或－4≤a≤－eq\f(7,3).綜合①②知，實數(shù)a的取值范圍為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a|a≤－\f(7,3)，或a≥2)).11．已知a，b是正實數(shù)，求證：“a＋b＝1”是“eq\f(a＋1,b)＋eq\f(b＋1,a)＋2＝eq\f(2,ab)”的充要條件．證明：必要性：若eq\f(a＋1,b)＋eq\f(b＋1,a)＋2＝eq\f(2,ab)，則eq\f(aa＋1＋bb＋1＋2ab,ab)＝eq\f(2,ab)，所以a2＋a＋b2＋b＋2ab＝2，即(a＋b)2＋(a＋b)－2＝0，故(a＋b－1)(a＋b＋2)＝0.因為a，b是正實數(shù)，所以a＋b＋2＞0，所以a＋b－1＝0，即a＋b＝1.充分性：若a＋b＝1，則eq\f(a＋1,b)＋eq\f(b＋1,a)＋2＝eq\f(aa＋1＋bb＋1＋2ab,ab)＝eq\f(a2＋b2＋2ab＋a＋b,ab)＝eq\f(a＋b2＋a＋b,ab)＝eq\f(1＋1,ab)＝eq\f(2,ab).綜上，“a＋b＝1”是“eq\f(a＋1,b)＋eq\f(b＋1,a)＋2＝eq\f(2,ab)”的充要條件．12.證明：△ABC是等邊三角形的充要條件是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，這里a，b，c是△ABC的三條邊的邊長．【證明】(1)充分性(由a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc?△ABC為等邊三角形)：因為a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，所以2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2ac＋2