第=page22頁，共=sectionpages22頁2025-2026學年福建省福州市連江縣九年級（上）期中數學試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列標志的平面圖形中，不是中心對稱圖形的是（）A. B.

C. D.2.若關于x的方程（m-1）x2+mx-1=0是一元二次方程，則m的取值范圍是（）A.m=1 B.m≠1 C.m≥1 D.m≠03.已知⊙O的半徑為2，點A在⊙O外，OA的長可以是（）A.0 B.1 C.2 D.44.下列拋物線中，對稱軸為直線x=1的是（）A.y=x2-1 B.y=（x-1）2

C.y=x2+2x+1 D.y=（x-1）（x+3）5.如圖，四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，連接AC，將△ABC繞點A旋轉得到△ADE，且D，E分別為點B，C的對應點.若點C，D，E在同一條直線上，則∠AED的大小是（）

A.30° B.45° C.60° D.75°6.已知二次函數y=ax2+bx+c（a≠0），自變量x與函數值y的部分對應值如表所示.若m是方程ax2+bx+c=0的一個實數根，且1＜m＜2，則下列四個數中，與m最接近的是（）x…1.21.31.41.5…y…-0.96-0.410.160.75…A.1.18 B.1.28 C.1.38 D.1.487.我們知道圓的內接四邊形對角互補，反之，若一個四邊形ABCD的對角互補，那么這個四邊形的四個頂點會在同一個圓上嗎？小明已經根據“不在同一條直線上的三個點確定一個圓”作出△ABC的圓心O，再證明點D也在⊙O上.在用反證法證明時，假設結論“點D在⊙O上”不成立，那么點D與圓O的位置關系是（）A.點D只能在⊙O內 B.點D只能在⊙O外

C.點D在圓心O或在⊙O外 D.點D在⊙O內或⊙O外8.在銳角三角形ABC中，∠B=45°.若甲，乙，丙三位同學分別用尺規(guī)作該三角形的高CD，作法如圖所示，則下列說法正確的是（）

A.只有甲對 B.只有乙和丙對 C.只有甲和丙對 D.甲，乙，丙都對9.在同一平面直角坐標系xOy中，一次函數y=ax+1與二次函數y=x2-a的圖象可能是（）A. B.

C. D.10.已知實數p,q滿足p2+2p-3=0，3q2-2q-1=0，且pq≠1，則的值是（）A.4 B.12 C.0 D.4或12二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。11.在平面直角坐標系中，點（1，2）點關于原點對稱的點的坐標是

.12.將拋物線y=x2向上平移3個單位長度得到一條新的拋物線，平移后的拋物線解析式為

.13.如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接正方形，若P是上一點，則∠BPC的大小是

.

14.如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5.將△ABC繞點B旋轉得到△A′BC′，其中A′，C′分別為A，C的對應點，若旋轉后點C′落在AB邊上，連接AA′，則AA′的長是

.

15.電影《南京照相館》講述了南京大屠殺期間，一群普通百姓在照相館避難時意外發(fā)現日軍暴行罪證，并冒險保存和傳遞底片以揭露歷史真相的動人故事，2025年7月25日首映，一上映就獲得全國人民的追捧.據某平臺統(tǒng)計，該電影上映后，第一天的票房收入約0.60億元，到了第三天，累計票房收入達4.18億元，求開始上映到第三天票房的日平均增長率.若設票房的日平均增長率x,則符合題意的方程是

.16.如圖，在半圓O中，直徑AB長為12，C，D是半圓O上的兩點，將沿弦CD翻折，若翻折后的所在的圓與AB所在的直線相切，則弦CD長的取值范圍是

.

三、計算題：本大題共1小題，共8分。17.解方程：x（2x+1）=4x+2四、解答題：本題共8小題，共78分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。18.(本小題8分)

已知關于x的一元二次方程x2+mx+m-1=0，求證：不論m為何值，該方程總有兩個實數根.19.(本小題8分)

連江丹陽貝里溪蟹谷景區(qū)有一排圓形拱門，其底端恰好與水平地面相切，如圖1所示.小明同學只用了一把1米長的直尺AB，用如圖2所示的測量示意圖測量并計算出圓形拱門的直徑，他具體的測量方式是：先將直尺AB水平放在圓形拱門內，取直尺AB的中點C，定位后測量點C到圓的最低點D的距離為0.1米，根據圓的相關性質可知圓心O，AB中點C，最低點D在同一條直線上.請結合以上信息與示意圖，求出圓形拱門的直徑.20.(本小題8分)

如圖，在9×11的正方形網格中，A，B，C均為格點（即每個小正方形的頂點）.將△ABC繞一點P旋轉得到△DEF，其中D，E分別為A，B的對應點，且D，E也為格點.

（1）請在網格中標出旋轉中心P，并補全△DEF；

（2）在（1）的條件下，連接PA，PB，PD，PE，求證：∠PBA=∠PED.21.(本小題8分)

已知二次函數y=ax2-4ax+c.

（1）補全表格，并在平面直角坐標系中用描點法畫該二次函數的圖象；x…01234…y…30-1____________…（2）根據圖象回答：

①方程ax2-4ax+c=0的兩個解是x1=______，x2=______；

②當1＜x≤4時，函數值y的取值范圍是______.22.(本小題10分)

如圖1，三角形ABC內接于⊙O，點D在上，且，連接DA，DC，E為BA延長線上一點，且DE=DC.

（1）求證：∠DEA=∠DCB；

（2）如圖2，當直線DE與⊙O相切時，求證：∠DCA+2∠CAB=180°.

23.(本小題10分)

閱讀下列材料，并完成相應任務：項目主題噴泉步行通道的設計布局與調整素材1某公園計劃建造一條配有噴泉的步行通道.圖1是設計的俯視示意圖：通道左側布置了一排垂直于路面的柱形噴水裝置，右側為長方形水池.設計要求水流從噴口斜向上射入水池，且落水點必須位于水池之內.若不考慮空氣阻力，水流的運動軌跡可視為拋物線的一部分.圖2展示了水流噴射軌跡的主視示意圖.

素材2相關建筑數據測量與噴泉水流設計數據如下：描述數值噴口A離地面的高度2米水池邊緣的池壁高度BE，CF0.8米水池的寬度BC1.5米水流達到的最高點P的高度3.6米水流達到的最高點P與噴口A的水平距離2米步道寬度OBt米任務一：建立函數模型（1）以噴口A在水平地面上的垂直投影點O為原點，以水平方向為x軸，豎直方向為y軸，建立坐標系.請求出此次設計中，水流高度y（單位：米）與水平距離x（單位：米）之間的函數關系式.任務二：優(yōu)化設計位置（2）為避免水流濺射到行人，要求水流在步行通道正上方的任意位置與地面的距離均不小于2米，且水流必須落在水池內.在只調整t的大小，但不改變噴口高度與拋物線形狀的前提下，確定t的取值范圍.24.(本小題12分)

在平面直角坐標系xOy中，A為第一象限內一點，P為x軸正半軸上一點，∠AOP=60°，且AP的最小值為.將線段AP繞點A逆時針旋轉60°得到線段AQ.

（1）求點A的坐標；

（2）已知x軸上存在一定點B（8，0），滿足不論點P在x軸正半軸的何處，都有∠ABQ的大小不變.

①求∠ABQ的大??；

②在數學活動課上，我們探究了圓的內接四邊形對角互補的逆命題是真命題，基于這一活動結論，解決下列問題.若OP＜AP，且△AOP的三邊長均為整數，求點B與△APQ外心間的距離.25.(本小題14分)

已知拋物線y=ax2+bx+c（ac≠0）的頂點A在x軸上，且過點B（c,c）.

（1）求b的值；

（2）若c＞0，P（n+2，y1），Q（c-n,y2）為拋物線上兩點（點P在點Q左側）.

①求證：y2＞y1；

②若直線PQ與x軸夾角為45°，求n的取值范圍.

1.【答案】D

2.【答案】B

3.【答案】D

4.【答案】B

5.【答案】B

6.【答案】C

7.【答案】D

8.【答案】D

9.【答案】A

10.【答案】C

11.【答案】（-1，-2）

12.【答案】y=x2+3

13.【答案】45°

14.【答案】

15.【答案】0.60+0.60（1+x）+0.60（1+x）2=4.18

16.【答案】6≤CD≤6

17.【答案】解：x（2x+1）=4x+2，

x（2x+1）-2（2x+1）=0，

（2x+1）（x-2）=0，

2x+1=0，x-2=0，

x1=-，x2=2．

18.【答案】證明：由題意可知：Δ=m2-4（m-1）=（m-2）2≥0，

∴不論m為何值，該方程總有兩個實數根．

19.【答案】圓形拱門的直徑為2.6米．

20.【答案】（1）

（2）證明：由旋轉得，PA=PD，PB=PE，AB=DE，

∴△ABP≌△DEP（SSS），

∴∠PBA=∠PED

21.【答案】0;3

1;3;-1≤x≤3

22.【答案】（1）∵，

∴DA=DC，

∵DE=DC，

∴DA=DE，

∴∠DEA=∠DAE，

∵∠DAE+∠DAB=180°，∠DCB+∠DAB=180°，

∴∠DAE=∠DCB，

∴∠DEA=∠DCB

（2）如圖2，連接OD，

∵直線DE與⊙O相切，

∴DE⊥OD，

∵OD平分，

∴OD⊥AC，

∴DE∥AC，

∴∠DEA=∠CAB，

∴∠DAE=∠CAB，

∵∠DAC+∠DAE+∠CAB=180°，且∠DAC=∠DCA，

∴∠DCA+2∠CAB=180°

23.【答案】（1）y=-0.4（x-2）2+3.6

（2）

24.【答案】（1）A（4，4）

（2）①60°；②為

25.【答案】（1）b=-4

（2）①∵b2=4ac，ac≠0，

∴ac＞0，

∵c＞0，

∴a＞0，

∵P（n+2，y），Q（c-n，y2）為拋物線y=ax2+bx+c上的兩點，

∴y1=a（n+2）2+b（n+2）+c，y2=a（c-n）2+b（c-n）+c，

∴y2-y1=a（c-n）2+b（c-n）-