第十六章整式的乘法知識點(diǎn)一同底數(shù)冪的乘法1.同底數(shù)冪的乘法性質(zhì)：(其中都是正整數(shù)).即同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.2.同底數(shù)冪的乘法的逆用公式：把一個冪分解成兩個或多個同底數(shù)冪的積，其中它們的底數(shù)與原來的底數(shù)相同，它們的指數(shù)之和等于原來的冪的指數(shù).即（都是正整數(shù)）.知識點(diǎn)二冪的乘方1.冪的乘方法則：(其中都是正整數(shù)).即冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.2.冪的乘方法則逆用公式：，根據(jù)題目的需要常常逆用冪的乘方運(yùn)算能將某些冪變形，從而解決問題.知識點(diǎn)三積的乘方1.積的乘方法則：(其中是正整數(shù)).即積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘.2.積的乘方法則逆用公式：逆用公式適當(dāng)?shù)淖冃慰珊喕\(yùn)算過程，尤其是遇到底數(shù)互為倒數(shù)時，計算更簡便.知識點(diǎn)四整式的乘法1.單項式乘法法則：單項式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，連同它的指數(shù)作為積的一個因式.2.單項式乘以多項式，是通過乘法的分配律，把它轉(zhuǎn)化為單項式乘以單項式，即單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加.即（a+b+c)m=am+bm+cm3.多項式與多項式相乘，先用一個多項式中的每一項乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.即（a+b)(m+n)=am+an+bm+bn知識點(diǎn)五同底數(shù)冪的除法1.(其中都是正整數(shù)).即同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減.2.零指數(shù)冪：（a≠0）負(fù)指數(shù)冪：（a≠0，p是正整數(shù)）知識點(diǎn)六乘法公式1.平方差公式:兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積,等于這兩個數(shù)的平方差.即(a+b)(a-b)=a2-b22.完全平方公式:兩數(shù)和(差)的平方,等于它們的平方和,加(減)它們積的2倍.易錯點(diǎn)1冪的混合運(yùn)算易錯1.符號規(guī)則易混淆負(fù)數(shù)的冪運(yùn)算需先定符號：當(dāng)指數(shù)為偶數(shù)時，結(jié)果為正；指數(shù)為奇數(shù)時，結(jié)果為負(fù)。注意-an與(-a)n區(qū)別：前者是an的相反數(shù)，后者是a的n次冪。2.運(yùn)算法則易混用先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號先算括號內(nèi)，不可顛倒順序。同底數(shù)冪相乘（am*an=am+n）、相除（am÷an=am-n）與冪的乘方（(am)n=amn）法則勿混淆。例1．（24-25八年級上·福建泉州·期中）計算：【答案】【分析】本題考查了同底數(shù)冪的除法、冪的乘方、積的乘方運(yùn)算法則以及合并同類項等知識；利用同底數(shù)冪的除法、冪的乘方、積的乘方運(yùn)算法則以及合并同類項的知識計算即可．【詳解】解：．易錯點(diǎn)2含零指數(shù)運(yùn)算易錯1.底數(shù)取值易忽略限制零指數(shù)冪的核心前提是底數(shù)不為0，即a0=1（a≠0）。若忽略此條件，直接計算00，結(jié)果無意義，這是最常見錯誤，需先判斷底數(shù)是否為0，再進(jìn)行運(yùn)算。2.符號與底數(shù)界定易混淆當(dāng)?shù)讛?shù)含負(fù)號時，需先明確底數(shù)范圍，如(-2)0=1（底數(shù)-2≠0，符合條件），但-20=-1（此時底數(shù)是2，先算20=1，再取相反數(shù)），勿將負(fù)號歸為底數(shù)導(dǎo)致結(jié)果錯誤。例2．（24-25七年級上·湖南長沙·期末）計算：．【答案】【分析】本題考查了實數(shù)的混合運(yùn)算，先算乘方、開方、絕對值，再算加減即可．【詳解】．易錯點(diǎn)3利用冪的運(yùn)算求代數(shù)式的值易錯1.法則逆用易忽略指數(shù)關(guān)系逆用同底數(shù)冪乘法（am+n=am×an）、冪的乘方（amn=(am)n）時，常忽略指數(shù)拆解合理性。如已知a2=3，求a6，需拆為(a2)3，而非錯誤拆成a4×a2（未知a4），需先觀察所求指數(shù)與已知指數(shù)的倍數(shù)或和差關(guān)系。2.符號與整體代換易出錯若底數(shù)含負(fù)號，代換時需保留符號，如(-a)3=-a3，勿漏負(fù)號；整體代換（如求(a2)3-(a3)2）時，需先分別運(yùn)算再相減，避免直接合并指數(shù)導(dǎo)致計算失誤，確保每步遵循運(yùn)算法則。例3．（24-25七年級下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）（1）已知，求的值．（2）已知n為正整數(shù)，且，求的值．【答案】（1）；（2）．【分析】本題考查了冪的混合運(yùn)算，代數(shù)式求值，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．（1）由題意可求出，根據(jù)冪的乘方逆運(yùn)算和同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算可將式子變形為，整體代入求值即可；（2）根據(jù)冪的乘方和其逆用法則可將所求式子變形為，將代入求值即可．【詳解】解：（1）∵，∴，；（2）∵，∴．易錯點(diǎn)4求完全平方式中的字母系數(shù)易錯1.忽略“±”符號致漏解完全平方式有兩種形式：(a±b)2=a2±2ab+b22.誤判“a”“b”對應(yīng)關(guān)系當(dāng)式子含字母系數(shù)的平方項時，易混淆a、b。例4．（24-25八年級下·甘肅張掖·期末）如果是一個完全平方式，那么的值為．【答案】或【分析】本題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解題關(guān)鍵．根據(jù)完全平方公式可得，利用完全平方公式計算即可得．【詳解】解：是一個完全平方式，∴，，，解得：或，故答案為：或．易錯點(diǎn)4利用乘法公式簡便運(yùn)算易錯1.公式選擇與適用條件易混淆需先判斷運(yùn)算類型匹配公式：如遇兩數(shù)和（差）的平方用完全平方公式，遇兩數(shù)和乘差用平方差公式，勿混淆。2.符號與系數(shù)計算易失誤用完全平方公式時，勿漏中間項符號或系數(shù)的2倍；用平方差公式時，確保兩數(shù)“一同一反”，若為(3-2a)(2a-3)，需先變形為-(2a-3)^2，再計算，避免符號錯誤導(dǎo)致結(jié)果偏差。例5．（25-26八年級上·全國·課后作業(yè)）運(yùn)用乘法公式計算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了完全平方公式，平方差公式，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行計算，即可作答．（2）先運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計算，再結(jié)合完全平方公式進(jìn)行計算，即可作答．（3）先運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計算，再結(jié)合完全平方公式進(jìn)行計算，即可作答．【詳解】（1）解：．（2）解：．（3）解：．易錯點(diǎn)5整式運(yùn)算中的無關(guān)問題易錯1.忽略“合并同類項”步驟致誤解決與某字母無關(guān)的問題，核心是讓該字母的系數(shù)為0。常因未徹底合并同類項，直接判斷系數(shù)。如化簡3x^2+(m+2)x-5-mx^2，需先合并x^2項得(3-m)x^2、x項得2x，再令3-m=0求m，若漏合并直接分析，會得出錯誤結(jié)果。2.混淆“無關(guān)字母”與“常數(shù)項”易誤將不含無關(guān)字母的項當(dāng)作需消去的部分。例如“式子與x無關(guān)”，只需消去所有含x的項（讓其系數(shù)為0），常數(shù)項無需處理。如式子(2k-1)x+3與x無關(guān)，僅需2k-1=0，勿錯誤地讓常數(shù)項3也為0，導(dǎo)致求解偏差。例5．（24-25七年級上·湖南株洲·期末）定義，如．(1)若，求x的值；(2)若的值與x無關(guān)，求值．【答案】(1)(2)【分析】本題考查新定義運(yùn)算，涉及解方程及方程組、整式運(yùn)算、多項式無關(guān)項問題等知識，讀懂題意，掌握新定義運(yùn)算，靈活轉(zhuǎn)化為解方程及解方程組問題是解決問題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)定義得出，進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)題意得出，求出的值即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得，整理得，；（2）解：∵值與x無關(guān)，∴解得，∴．易錯點(diǎn)6整式運(yùn)算的中的新定義型問題易錯1.未吃透新定義規(guī)則致錯解新定義問題需先逐字分析規(guī)則，明確運(yùn)算符號、優(yōu)先級及限制條件，忌憑經(jīng)驗套用舊公式。如定義“a※b=2a^2-3ab”，計算“3※(-2)”時，需將a=3、b=-2完整代入，勿漏2a^2的系數(shù)2或錯算-3ab的符號，避免因規(guī)則理解不全導(dǎo)致運(yùn)算偏差。2.忽略整式性質(zhì)與新定義結(jié)合新定義運(yùn)算常需結(jié)合整式化簡、同類項合并等知識，易忽略二者銜接。如定義“A△B=(A-B)+2A”，化簡“(2x^2)△(x^2-1)”時，需先按定義展開得(2x^2-x^2+1)+4x^2，再合并同類項，勿直接省略化簡步驟，導(dǎo)致結(jié)果未達(dá)最簡或出錯。例6．（24-25七年級下·江蘇無錫·階段練習(xí)）新定義：如果，那么我們稱是關(guān)于的“圓滿數(shù)”．(1)是______關(guān)于的“圓滿數(shù)”；是______關(guān)于的“圓滿數(shù)”(用含的代數(shù)式表示)；(2)若，，判斷是否是關(guān)于的“圓滿數(shù)”，并說明理由．【答案】(1)，(2)是，理由見解析【分析】本題考查了整式的乘法，整式的加減；解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)“圓滿數(shù)”的定義解決問題．（1）因為，那么我們稱是關(guān)于的“圓滿數(shù)”，所以是關(guān)于的“圓滿數(shù)”，，是關(guān)于的“圓滿數(shù)”，據(jù)此解答；（2）因為，，所以，如果結(jié)果是，我們稱是關(guān)于的“圓滿數(shù)”，如果不是，不是關(guān)于的“圓滿數(shù)”．【詳解】（1）解：因為，那么我們稱是關(guān)于的“圓滿數(shù)”，所以，即是關(guān)于的“圓滿數(shù)”，，所以是關(guān)于10的“圓滿數(shù)”．故答案為：，．（2）因為，,所以，即，所以是關(guān)于的“圓滿數(shù)”．易錯點(diǎn)7利用乘法公式求解幾何圖形問題易錯1.幾何量與公式對應(yīng)易混淆需先明確圖形邊長、面積等幾何量，再匹配乘法公式。如求正方形面積，若邊長為a+b，用完全平方公式(a+b)^2=a^2+2ab+b^2，勿錯用平方差公式；求長方形面積，若長、寬為x+y和x-y，才用平方差公式，避免因幾何量與公式不匹配導(dǎo)致計算錯誤。2.忽略圖形關(guān)系致條件遺漏解題時需先分析圖形間的和差、倍數(shù)關(guān)系，再代入公式。如兩個正方形邊長差為2、面積差為24，需設(shè)邊長為a和a-2，用平方差公式a^2-(a-2)^2=24求解，勿漏邊長關(guān)系直接套用公式，確保先建立幾何量聯(lián)系，再用公式計算。例7．（24-25七年級下·內(nèi)蒙古包頭·期中）從邊長為a的正方形中剪掉一個邊長為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個長方形（如圖2）．(1)上述操作能驗證的等式是______．(2)應(yīng)用你（1）中得出的等式，完成下列各題：①已知，，求的值．②計算：．【答案】(1)(2)①3；②【分析】本題考查平方差公式，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是正確解答的關(guān)鍵．（1）分別用代數(shù)式表示圖1、圖2中陰影部分的面積即可；（2）①利用平方差公式將，再代入計算即可；②將原式化為，再連續(xù)利用平方差公式即可．【詳解】（1）解：圖1陰影部分的面積可以看作兩個正方形的面積差，即，拼成的圖2是長為，寬為的長方形，面積為，，故答案為：；（2）解：①；②．9．（21-22八年級上·廣東東莞·期末）如圖1是一個長為，寬為b的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成一個“回形”正方形（如圖2）．(1)如圖1，面積為______；如圖2，陰影部分的面積為________；(2)觀察圖2請你寫出之間的等量關(guān)系是______；(3)根據(jù)（2）中的結(jié)論，解決問題：若，，求的值；(4)變式應(yīng)用：若，求．【答案】(1)；；(2)(3)或(4)【分析】本題考查完全平方公式的幾何背景，完全平方公式的變形應(yīng)用，理解圖形中各部分面積之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)圖形直接列代數(shù)式即可；（2）從整體和個體兩方面分析大正方形的面積解答；（3）代入（2）中結(jié)論計算即可；（4）設(shè)，得，，再結(jié)合（2）中結(jié)論解答即可．【詳解】（1）解：如圖1，面積為，如圖2，陰影部分的面積為，故答案為：；；（2）解：由圖2可知：大正方形的面積為，或，，故答案為：；（3）解：根據(jù)（2）中的結(jié)論，可得：，把，代入，，故或；（4）解：設(shè)，

，，

，，，，，

．故的值為．一、單選題1．（2025八年級上·全國·專題練習(xí)）下列四個算式中正確的有（

）①；②；③；④．A．個 B．個 C．個 D．個【答案】C【分析】本題考查了冪的乘方，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握冪的乘方法則：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘．根據(jù)冪的乘方法則依次分析即可得到結(jié)果．【詳解】解：①，故該選項錯誤；②，故該選項正確；③，故該選項正確；④，故該選項錯誤；正確的有②③，共個，故選：C．2．（24-25七年級下·江蘇無錫·階段練習(xí)）若的展開式中不含x項，則實數(shù)m的值為（）A． B．0 C．3 D．6【答案】D【分析】本題考查多項式乘多項式的法則，不含某一項就是該項的系數(shù)等于0．先根據(jù)多項式乘多項式展開式子，合并同類項，令的一次項的系數(shù)為0，進(jìn)而求出的值．掌握多項式乘多項式的法則和合并同類項是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，展開式中不含項，，，故選：D．3．（25-26八年級上·全國·單元測試）如果可以用完全平方公式進(jìn)行因式分解，那么常數(shù)k的值是（

）A．7 B． C．14 D．【答案】D【分析】本題考查了多項式的因式分解和完全平方式，屬于?？碱}型，正確理解題意、熟練掌握基本知識是解題關(guān)鍵．由題意可得是完全平方式，然后根據(jù)完全平方式的特點(diǎn)解答即可．【詳解】解：因為可以用完全平方公式進(jìn)行因式分解，所以，所以．故選：D．二、填空題4．（24-25七年級下·江蘇揚(yáng)州·期末）若是完全平方式，則m的值是．【答案】1或【分析】本題主要考查完全平方式的概念，掌握完全平方式的形式特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)完全平方式的定義，可得，即可求出m的值．【詳解】解：一般地，形如的式子叫做完全平方式．由于，所以解得或故答案為：或5．（24-25八年級上·湖北武漢·期末）若，，m，n為正整數(shù)，則的值等于．【答案】【分析】本題考查了同底數(shù)冪相乘的逆用，冪的乘方，利用運(yùn)算法則將所求式子變形為，整體代入計算即可得解，熟練掌握運(yùn)算法則，正確進(jìn)行變形是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，m，n為正整數(shù)，∴，故答案為：．6．（2024七年級下·河南鄭州·競賽）已知的乘積中不含項與項，則．【答案】【分析】本題考查了已知多項式乘積不含某項求字母的值，多項式乘多項式法則，把式子展開，找到項與和項的所有系數(shù)，令其為，求出和的值，然后代入要求的式子進(jìn)行計算即可，解題的關(guān)鍵是合并同類項時要注意項中的指數(shù)及字母是否相同，不含某一項就是說這一項的系數(shù)為．【詳解】解：∵，又∵結(jié)果中不含項與項，∴，，∴，，∴，故答案為：．三、解答題7．（23-24七年級下·江西九江·期中）利用公式計算：(1)(2)【答案】(1)(2)1【分析】本題考查了平方差公式、完全平方公式，熟練掌握平方差公式、完全平方公式是解題的關(guān)鍵．（1）先利用平方差公式，再利用完全平方公式計算即可；（2）利用平方差公式計算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．8．（24-25七年級下·安徽安慶·期末）定義為二階行列式，規(guī)定它的運(yùn)算法則為：．例如：．(1)求的值；(2)若，求的值．【答案】(1)1(2)【分析】本題考查新定義運(yùn)算，平方差公式，完全平方公式，根據(jù)新定義進(jìn)行計算是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)二階行列式的運(yùn)算法則進(jìn)行計算即可求解；（2）根據(jù)二階行列式的運(yùn)算法則建立方程，根據(jù)完全平方公式進(jìn)行計算，解方程即可求解．【詳解】（1）解：；（2）解：∵，∴，即，解得．9．（24-25七年級下·貴州銅仁·階段練習(xí)）關(guān)于x的代數(shù)式化簡后不含的項和常數(shù)項．(1)分別求m、n的值；(2)求的值．【答案】(1)，(2)【分析】本題考查了整式的混合運(yùn)算，冪的乘方與積的乘方，熟練掌握運(yùn)算法則是解此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)整式的混合運(yùn)算法則將括號打開，再合并同類項即可化簡，再由題意可得，，求解即可；（2）將，代入式子計算即可得解．【詳解】（1）解：，∵關(guān)于x的代數(shù)式化簡后不含的項和常數(shù)項，∴，，∴，；（2）解：∵，，∴10．（24-25七年級下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）若（且，m、n是正整數(shù)），則．利用上面結(jié)論解決下面的問題：(1)如果，求x的值；(2)如果，求x的值；(3)若，，用含x的代數(shù)式表示y（結(jié)果需要化簡）．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了逆用冪的乘方法則，逆用同底數(shù)冪的乘法則，解題關(guān)鍵是掌握逆用冪的乘方法則和逆用同底數(shù)冪的乘法則．（1）利用逆用冪的乘方法則計算；（2）逆用同底數(shù)冪的乘法計算；（3）逆用冪的乘方法則計算．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，∴，解得：；（2）∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴；（3）∵，，∴，，∴，∴，∴，即．11．（24-25八年級上·全國·期末）定義：任意兩個數(shù)a，b，按規(guī)則運(yùn)算得到一個新數(shù)c，稱c為a，b的“和方差數(shù)”．(1)求的“和方差數(shù)”．(2)若兩個非零數(shù)a，b的積是a，b的“和方差數(shù)”，求的值．(3)若，求a，b的“和方差數(shù)”c．【答案】(1)19(2)0(3)【分析】本題考查了含乘方的有理數(shù)的運(yùn)算，完全平方公式的應(yīng)用．掌握“和方差數(shù)”的定義是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)新定義計算即可；（2）根據(jù)新定義，可得，即，再將其代入中計算即可；（3）根據(jù)題意，可知，再將代入計算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：∵兩個非零數(shù)a，b的積是a，b的“和方差數(shù)”，∴，∴，∴，∴；（3）解：∵，∴．12．（24-25八年級上·廣東東莞·期末）如圖①所示，邊長為的正方形中有一個邊長為的小正方形，如圖②所示是由圖①中的陰影部分拼成的一個長方形．(1)設(shè)圖①中陰影部分的面積為，圖②中陰影部分的面積為，請直接用含，的式子表示，；并寫出上述過程所揭示的公式；(2)拓展提升：試?yán)眠@個公式計算：(3)遷移應(yīng)用：計算【答案】(1)，，(2)(3)2【分析】本題考查的是平方差公式的幾何應(yīng)用，平方差公式的應(yīng)用，熟練地推導(dǎo)平方差公式與運(yùn)用平方差公式解決問題是關(guān)鍵．（1）圖①陰影部分的面積等于大的正方形的面積減去小的正方形面積，圖②陰影部分的面積為長方形的面積，從而可得答案；由圖①與圖②陰影部分的面積相等可得公式；（2）先把原式乘以，再利用平方差公式依次從左至右的進(jìn)行計算即可．（3）先把原式乘以，再利用平方差公式依次從左至右的進(jìn)行計算即可．【詳解】（1）解：，，∵，∴；（2）解：；（3）解：.13．（24-25七年級下·四川雅安·階段練習(xí)）所謂完全平方式，就是對于一個整式A，如果存在另一個整式B，使，則稱A是完全平方式，例如：，，所以，就是完全平方式．請解決下列問題：(1)已知，，則_______；(2)如果是一個完全平方式，則k的值為_______；(3)若x滿足，求的值．【答案】(1)6(2)5或(3)60【分析】本題考查完全平方公式的應(yīng)用，包括完全平方公式的展開與變形，完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征，熟練掌握完全平方公式是解決本題的關(guān)鍵．（1）利用完全平方公式將展開式，利用已知條件即可求出；（2）根據(jù)