第37頁（共37頁）2026年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)難題速遞之常用邏輯用語（2025年11月）一．選擇題（共8小題）1．“a﹣b＞0”是“a2＞b2”的（）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．已知函數(shù)f（x）＝（t2﹣2t﹣2）xt，則“f（x）為冪函數(shù)”是“t＝3”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知0＜a＜1，0＜b＜1，則“a＜b”是“ab＜ba”成立的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．命題“對?x∈{x|1≤x≤2}，ax2﹣x+a＞0”為真命題的一個充分不必要條件是（）A．a(chǎn)≥12 B．a(chǎn)＞12 C．a(chǎn)5．設(shè)p：x≥a，q：x2+3x﹣10＞0，且p是q成立的充分不必要條件，則a的取值范圍是（）A．（0，2） B．（2，+∞） C．[2，+∞） D．（2，5]6．已知r，s，t，q均為正整數(shù)，這下列序號中，命題A是命題B的充要條件的有（）①：命題A：等差數(shù)列{an}且r+s＝t+q命題B：ar+as＝at+aq②：命題A：等比數(shù)列{bn}且r+t＝2s命題B：bA．①② B．①②都不是 C．① D．②7．設(shè)a、b、c、p為實數(shù)．若同時滿足不等式ax2+bx+c＞0、bx2+cx+a＞0與cx2+ax+b＞0的全體實數(shù)x所組成的集合等于（p，+∞），則關(guān)于結(jié)論：①abc＝0；②p＝0，下列判斷中正確的是（）A．①和②都正確 B．①和②都錯誤 C．①正確；②錯誤 D．①錯誤，②正確8．設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2）為不同的兩點，直線l：ax+by+c＝0，δ=a①不論δ為何值，點N都不在直線l上；②若δ＝1，則過點M，N的直線與直線l平行；③若δ＝﹣1，則直線l經(jīng)過MN的中點；④若δ＞1，則點M，N在直線l的同側(cè)且直線l與線段MN的延長線相交．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二．多選題（共4小題）（多選）9．下列說法正確的是（）A．在空間直角坐標(biāo)系中，點A（1，2，3）關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為（1，﹣2，﹣3） B．在空間直角坐標(biāo)系中，n→=(1，0C．已知{a→，bD．以A（4，1，9），B（10，﹣1，6），C（2，4，3）為頂點的三角形是等邊三角形（多選）10．下列說法正確的是（）A．函數(shù)f（x）＝x+1與g(xB．命題“?x∈R，x2+x+1≥0”的否定是“?x∈R，x2+x+1＜0” C．若函數(shù)f(x)=kx2+kx+1的值域為[0，D．若函數(shù)f(x)=1kx2+（多選）11．下列說法正確的是（）A．“a＞1”是“1a＜1B．“x≤1且y≤1”是“x+y≤2”的充要條件 C．某文具店搞活動，1個筆記本與2支圓珠筆價格之和大于6元，而2個筆記本與1支圓珠筆價格之和小于4元，則3個筆記本的價格比2支圓珠筆的價格低 D．購買同一種物品，可以用兩種不同的策略．第一種是不考慮物品價格的升降，每次購買這種物品的數(shù)量一定；第二種是不考慮物品價格的升降，每次購買這種物品所花的錢數(shù)一定．則用第一種方式購買更實惠（多選）12．下列命題錯誤的是（）A．|a→|﹣|b→|＜|a→+b→|B．在空間四邊形ABCD中，AB→?C．在棱長為1的正四面體A﹣BCD中，AB→D．設(shè)A，B，C三點不共線，O為平面ABC外一點，若OP→=13OA→+23三．填空題（共4小題）13．在下列四個命題中，正確的命題的有．①已知直線ax+by+c﹣1＝0（bc＞0）經(jīng)過圓x2+y2﹣2y﹣5＝0的圓心，則4b+1②若圓（x﹣3）2+（y+5）2＝r2上有且只有兩個點到直線4x﹣3y＝2的距離為1，則4＜r＜6；③若實數(shù)x，y滿足x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0，則y-4x④點M在圓（x﹣3）2+（y﹣2）2＝2上運動，點N（0，﹣2）為定點，則|MN|的最大值是7．14．如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，P，Q分別是線段AD1和B1C上的動點，且滿足AP＝B1Q，則下列命題正確的序號是．①存在P，Q的某一位置，使AB∥PQ；②△BPQ的面積為定值；③當(dāng)PA＞0時，直線PB1與AQ是異面直線；④無論P，Q運動到任何位置，均有BC⊥PQ．15．已知命題“?x∈R，4x2+(a-2)x+116．設(shè)全集U＝R，用?x?表示不小于實數(shù)x的最小整數(shù)，如?3.5?＝4，?﹣1?＝﹣1．則下列命題正確的是（寫出所有正確命題的序號）．①若A＝{x|?x?＝﹣2}，則?UA＝{x|x＜﹣3或x＞﹣2}；②?x，y∈R，?x?＝?y?，則﹣1＜x﹣y＜1；③?x∈R，?2x?＝2?x?；④?x，y∈R，?x+y?≤?x?+?y?；⑤﹣1＜x﹣?x?≤0．四．解答題（共4小題）17．已知命題p：x2≤5x﹣4，命題q：x2﹣（a+2）x+2a≤0．（1）求命題p中對應(yīng)x的范圍；（2）若p是q的必要不充分條件，求a的取值范圍．18．已知命題p：?x∈R，不等式2tx2+2tx+1＞0恒成立，命題q：關(guān)于x的方程x2﹣4x+t＝0有兩個不相等的正實數(shù)根．（1）若命題p為真命題，求實數(shù)t的取值范圍；（2）若命題p，q均為假命題，求實數(shù)t的取值范圍．19．已知p：實數(shù)x滿足x2+x﹣12≤0，q：實數(shù)x滿足2x2﹣5mx+2m2≤0．（1）若m＝2，且p和q至少有一個為真命題，求實數(shù)x的取值范圍；（2）若m＞0，且q是p的充分不必要條件，求實數(shù)m的取值范圍．20．已知命題p：?x∈{x|2≤x≤3}，x2﹣a≥0，命題q：?x∈R，ax2+3x﹣1＝0．（1）若命題?p為真命題，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若命題p和q有且僅有一個是真命題，求實數(shù)a的取值范圍．

2026年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)難題速遞之常用邏輯用語（2025年11月）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號12345678答案DBCCBBAD二．多選題（共4小題）題號9101112答案ACBCACACD一．選擇題（共8小題）1．“a﹣b＞0”是“a2＞b2”的（）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【考點】充分不必要條件的判斷．【專題】整體思想；綜合法；簡易邏輯；數(shù)學(xué)抽象．【答案】D【分析】結(jié)合充分必要條件的定義即可求解．【解答】解：當(dāng)a﹣b＞0?a＞b，a2＞b2?|a|＞|b|，a﹣b＞0是a2＞b2的既不充分也不必要條件．故選：D．【點評】本題主要考查了充分必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題．2．已知函數(shù)f（x）＝（t2﹣2t﹣2）xt，則“f（x）為冪函數(shù)”是“t＝3”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【考點】充分條件必要條件的判斷；求冪函數(shù)的解析式．【專題】整體思想；綜合法；簡易邏輯；數(shù)學(xué)抽象．【答案】B【分析】結(jié)合冪函數(shù)定義檢驗充分條件，即可求解．【解答】解：若f（x）＝（t2﹣2t﹣2）xt為冪函數(shù)，則t2﹣2t﹣2＝1，解得t＝3或t＝﹣1，故“f（x）為冪函數(shù)”是“t＝3”的必要不充分條件．故選：B．【點評】本題主要考查了冪函數(shù)定義，充分條件必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題．3．已知0＜a＜1，0＜b＜1，則“a＜b”是“ab＜ba”成立的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【考點】充分不必要條件的判斷．【專題】對應(yīng)思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；運算求解．【答案】C【分析】依題意ab＜ba等價于lnaa＜lnbb，設(shè)f(x)=lnxx，求導(dǎo)可得f（x【解答】解：因為0＜a＜1，0＜b＜1，則ab＜ba等價于blna＜alnb，等價于lnaa設(shè)f(x)=lnxx，x∈（0當(dāng)x∈（0，1）時，有f′（x）＞0，所以f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，所以f（a）＜f（b）等價于a＜b，故“a＜b”是“ab＜ba”成立的充要條件．故選：C．【點評】本題考查充分條件與必要條件的判斷、導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用等，屬于中檔題．4．命題“對?x∈{x|1≤x≤2}，ax2﹣x+a＞0”為真命題的一個充分不必要條件是（）A．a(chǎn)≥12 B．a(chǎn)＞12 C．a(chǎn)【考點】充分不必要條件的判斷．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；簡易邏輯；運算求解．【答案】C【分析】可得出a＞1x【解答】解：由ax2﹣x+a＞0得：a＞函數(shù)1x+1x在∴x＝1時，1x+1∴原命題為真命題的充要條件是a＞12，充分不必要條件是a故選：C．【點評】本題考查了對勾函數(shù)的單調(diào)性，減函數(shù)的定義，充分條件和必要條件的定義，是中檔題．5．設(shè)p：x≥a，q：x2+3x﹣10＞0，且p是q成立的充分不必要條件，則a的取值范圍是（）A．（0，2） B．（2，+∞） C．[2，+∞） D．（2，5]【考點】充分不必要條件的應(yīng)用．【專題】集合思想；綜合法；簡易邏輯；運算求解．【答案】B【分析】設(shè)滿足條件p，q的集合分別為集合A，B，由p是q成立的充分不必要條件，則集合A是集合B的真子集，根據(jù)集合的包含關(guān)系可得答案．【解答】解：由q：x2+3x﹣10＞0，得x＜﹣5或x＞2，設(shè)集合B＝（﹣∞，﹣5）∪（2，+∞），設(shè)：滿足p：x≥a的集合為A，則A＝[a，+∞），由p是q成立的充分不必要條件，則集合A是集合B的真子集，所以a＞2，故a的取值范圍是（2，+∞）．故選：B．【點評】本題考查由充分不必要條件求參數(shù)取值范圍，屬于基礎(chǔ)題．6．已知r，s，t，q均為正整數(shù)，這下列序號中，命題A是命題B的充要條件的有（）①：命題A：等差數(shù)列{an}且r+s＝t+q命題B：ar+as＝at+aq②：命題A：等比數(shù)列{bn}且r+t＝2s命題B：bA．①② B．①②都不是 C．① D．②【考點】充分條件必要條件的判斷；運用基本不等式求最值．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；邏輯思維．【答案】B【分析】根據(jù)充分、必要條件的判斷方法，結(jié)合等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)判定即可．【解答】解：已知r，s，t，q均為正整數(shù)．①：若r+s＝t+q，設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則r﹣t＝q﹣s，所以（r﹣t）d＝（q﹣s）d，所以ar﹣at＝aq﹣as，即ar+as＝at+aq，所以命題A是命題B的充分條件；若ar+as＝at+aq，則ar﹣at＝aq﹣as.若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d．即（r﹣t）d＝（q﹣s）d．當(dāng)d≠0時，r﹣t＝q﹣s，即r+s＝t+q，當(dāng)d＝0時，（r﹣t）d＝（q﹣s）d恒成立，所以r﹣t＝q﹣s不一定成立，r+s＝t+q不一定成立．若數(shù)列{an}不是等差數(shù)列，如數(shù)列{an}各項為：1，2，3，3，2，1．a(chǎn)1+a2＝a5+a6，此時數(shù)列{an}不是等差數(shù)列且1+2≠5，所以命題A不是命題B的必要條件．綜上所述，命題A是命題B的充分不必要條件．②：若數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，設(shè)公比為q（q≠0），由r+t＝2s得：（r﹣1）+（t﹣1）＝2（s﹣1）．所以q（r﹣1）+（t﹣1）＝q2（s﹣1），所以(b1qr-1)?(b若bs2=bt?br.若數(shù)列{因為a1≠0，所以q（r﹣1）+（t﹣1）＝q2（s﹣1）．當(dāng)q≠1時，（r﹣1）+（t﹣1）＝2（s﹣1），所以r+t＝2s；當(dāng)q＝1時，q（r﹣1）+（t﹣1）＝q2（s﹣1）恒成立，r+t＝2s不一定成立；若數(shù)列{bn}不是等比數(shù)列，如：數(shù)列{bn}各項均為零，則bs2=bt?br恒成立，不能推出數(shù)列{bn}所以命題A不是命題B的必要條件．綜上所述，命題A是命題B的充分不必要條件．故選：B．【點評】本題主要考查充要條件、等差和等比數(shù)列，屬于難題．7．設(shè)a、b、c、p為實數(shù)．若同時滿足不等式ax2+bx+c＞0、bx2+cx+a＞0與cx2+ax+b＞0的全體實數(shù)x所組成的集合等于（p，+∞），則關(guān)于結(jié)論：①abc＝0；②p＝0，下列判斷中正確的是（）A．①和②都正確 B．①和②都錯誤 C．①正確；②錯誤 D．①錯誤，②正確【考點】命題的真假判斷與應(yīng)用；一元二次不等式及其應(yīng)用；判斷元素與集合的屬于關(guān)系．【專題】計算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；運算求解．【答案】A【分析】根據(jù)題意，將三個不等式相加可得：（a+b+c）（x2+x+1）＞0，結(jié)合一元二次不等式解法分類討論研究一元二次不等式的解集即可求解．【解答】解：根據(jù)題意，不等式ax2+bx+c＞0、bx2+cx+a＞0與cx2+ax+b＞0的全體實數(shù)x所組成的集合等于（p，+∞），將三個不等式相加可得：（a+b+c）（x2+x+1）＞0，又由x2+x+1＞0恒成立，則a+b+c＞0，故a，b，c中至少有一個為正數(shù)，不妨設(shè)a＞0，若b＞0，c＞0，則原三個不等式的解集都是（﹣∞，x1）∪（x2，+∞），（x1≤x2），或R的形式，它們的交集不可能為（p，+∞）的形式；若b＜0，則bx2+cx+a＞0的解集是（x1，x2），或?形式，它們的交集也不可能為（p，+∞）的形式；同理若c＜0，也不滿足題意，綜合可得b，c中至少有一個為0，不妨設(shè)b＝0，則有ax當(dāng)c＜0時，解得-ca＜當(dāng)c≥0時，解得x＞0，滿足題意，故p＝0，綜上所述可得：①②都正確．故選：A．【點評】本題考查一元二次不等式的解集的求解問題，注意分類討論思想的應(yīng)用，屬中檔題．8．設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2）為不同的兩點，直線l：ax+by+c＝0，δ=a①不論δ為何值，點N都不在直線l上；②若δ＝1，則過點M，N的直線與直線l平行；③若δ＝﹣1，則直線l經(jīng)過MN的中點；④若δ＞1，則點M，N在直線l的同側(cè)且直線l與線段MN的延長線相交．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【考點】命題的真假判斷與應(yīng)用；恒過定點的直線．【專題】方程思想；綜合法；直線與圓；運算求解．【答案】D【分析】考慮分式的分母不為0可判斷①；由兩直線平行的條件可判斷②；由中點坐標(biāo)公式和直線的方程可判斷③；由一元二次不等式表示的區(qū)域可判斷④．【解答】解：對于①，由題意可得ax2+by2+c≠0，即不論δ為何值，點N都不在直線l上，故①正確；對于②，當(dāng)δ＝1時，得ax1+by1+c＝ax2+by2+c，設(shè)ax1+by1+c＝ax2+by2+c＝m，則ax1+by1+c﹣m＝0，ax2+by2+c﹣m＝0，則點M，N都滿足直線方程ax+by+（c﹣m）＝0，所以M，N都在這方程表示的直線上，即此直線過點M，N．因為m不為0，所以直線ax+by+（c﹣m）＝0與直線l是平行的，所以過M，N的直線與直線l平行，故②正確；對于③，當(dāng)δ＝﹣1時，ax1+by1+c＝﹣（ax2+by2+c），即a（x1+x2）+b（y1+y2）+2c＝0，所以a（x1+x22）+b（y1即直線l經(jīng)過MN的中點，故③正確；對于④，若δ＞1，即ax1+by1+cax2+by2+c＞1，所以ax1所以點M、N在直線l的同側(cè)；又|ax1+by1+c|＞|ax2+by2+c|，可得M，N到直線l的距離不相等，即有直線l與線段MN的延長線相交，故④正確．故選：D．【點評】本題考查直線的方程和兩直線平行的判斷，以及一元二次不等式表示的區(qū)域，考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力、推理能力，屬于中檔題．二．多選題（共4小題）（多選）9．下列說法正確的是（）A．在空間直角坐標(biāo)系中，點A（1，2，3）關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為（1，﹣2，﹣3） B．在空間直角坐標(biāo)系中，n→=(1，0C．已知{a→，bD．以A（4，1，9），B（10，﹣1，6），C（2，4，3）為頂點的三角形是等邊三角形【考點】命題的真假判斷與應(yīng)用；空間向量基本定理及空間向量的基底；平面的法向量．【專題】計算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；運算求解．【答案】AC【分析】根據(jù)題意，由空間點坐標(biāo)的對稱性分析A，由平面法向量的定義分析B，用反證法分析C，由空間兩點間距離公式分析D，綜合可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：對于A，在空間直角坐標(biāo)系中，點A（1，2，3）關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為（1，﹣2，﹣3），A正確；對于B，坐標(biāo)平面Oxy的一個法向量為（0，0，1），該向量與n→=（1，0，0）則n→=（1，0，0）不是坐標(biāo)平面Oxy的一個法向量，對于C，已知{a→，b→，c假設(shè)a→、b→-則有a→=x（b→-a→）+y（變形可得（x﹣y+1）a→=xb→-yc→，則三個向量a那么與已知{a→，b→對于D，|AB|=36+4+9=7，|BC|=64+25+9=72，則△故選：AC．【點評】本題考查平面向量的應(yīng)用，涉及平面法向量的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．（多選）10．下列說法正確的是（）A．函數(shù)f（x）＝x+1與g(xB．命題“?x∈R，x2+x+1≥0”的否定是“?x∈R，x2+x+1＜0” C．若函數(shù)f(x)=kx2+kx+1的值域為[0，D．若函數(shù)f(x)=1kx2+【考點】求存在量詞命題的否定；判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)；函數(shù)的值域．【專題】函數(shù)思想；分類法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運算求解．【答案】BC【分析】通過分析函數(shù)定義域、存在量詞命題的否定、二次函數(shù)的恒成立與值域條件，逐一判斷選項對錯．【解答】解：選項A，f（x）＝x+1定義域為R，g(x)=(x+1)2定義域不同，不是同一函數(shù)，A錯誤．選項B，特稱命題“?x∈R，x選項C，函數(shù)f(x)=kx2+kx+1值域為[0，+∞），當(dāng)k當(dāng)k≠0時，需k＞0且Δ＝k2﹣4k≥0，解得k≥4，C正確．選項D，函數(shù)f(x)=1kx2+kx+1定義域為當(dāng)k＝0時，1＞0恒成立；當(dāng)k≠0時，需k＞0且Δ＝k2﹣4k＜0，解得0＜k＜4，故k的取值范圍是[0，4），D錯誤．故選：BC．【點評】本題主要考查函數(shù)的概念、命題的否定、二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．（多選）11．下列說法正確的是（）A．“a＞1”是“1a＜1B．“x≤1且y≤1”是“x+y≤2”的充要條件 C．某文具店搞活動，1個筆記本與2支圓珠筆價格之和大于6元，而2個筆記本與1支圓珠筆價格之和小于4元，則3個筆記本的價格比2支圓珠筆的價格低 D．購買同一種物品，可以用兩種不同的策略．第一種是不考慮物品價格的升降，每次購買這種物品的數(shù)量一定；第二種是不考慮物品價格的升降，每次購買這種物品所花的錢數(shù)一定．則用第一種方式購買更實惠【考點】充分不必要條件的判斷；充要條件的判斷；等式與不等式的性質(zhì)．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；簡易邏輯；運算求解．【答案】AC【分析】A解出1aBx+y≤2找一組特例，就可以分析出和x≤1且y≤1關(guān)系，C設(shè)筆記本價格為a，圓珠筆價格為b，根據(jù)條件判斷3a﹣2b正負(fù)，D用調(diào)和平均數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的不等關(guān)系求解，【解答】解：A選項，1a＜1，則a∈（﹣∞，0）∪（1a＞1推出1a＜1，1a＜1推不出a＞1，所以?a＞1是1B選項，x≤1且y≤1能推出x+y≤2；x+y≤2（比如x＝0，y＝2）推不出x≤1且y≤1，x≤1且y≤1是x+y≤2的充分不必要條件，B錯誤．C選項，設(shè)筆記本價格a元，圓珠筆價格b元，a+2令a+2b＝X，2a+b＝Y(jié)，得a=3a﹣2b=8Y-7X3，Y＜3a﹣2b＜0，則3個筆記本的價格比2支圓珠筆的價格低，C正確．D選項，設(shè)第一次價格為A1，第二次價格為A2，第三次價格為A3．第一種是不考慮物品價格的升降，每次購買這種物品的數(shù)量一定，平均價格A1第二種是不考慮物品價格的升降，每次購買這種物品所花的錢數(shù)一定，平均價格n1由調(diào)和平均數(shù)≤算術(shù)平均數(shù)，得第二種優(yōu)惠，D錯．故選：AC．【點評】本題考查不等式的內(nèi)容，屬于中檔題．（多選）12．下列命題錯誤的是（）A．|a→|﹣|b→|＜|a→+b→|B．在空間四邊形ABCD中，AB→?C．在棱長為1的正四面體A﹣BCD中，AB→D．設(shè)A，B，C三點不共線，O為平面ABC外一點，若OP→=13OA→+23【考點】命題的真假判斷與應(yīng)用．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；簡易邏輯；邏輯思維；運算求解．【答案】ACD【分析】直接利用命題真假的判定，四點共面的充要條件，向量的數(shù)量積的應(yīng)用判斷A、B、C、D的結(jié)論．【解答】解：對于A：根據(jù)三角不等式|a→|﹣|b→|＜|a→+b→|與向量對于B：AB→?CD→對于C：在棱長為1的正四面體A﹣BCD中，故AB→?BC對于D：設(shè)A，B，C三點不共線，O為平面ABC外一點，若OP→=13OA→+23OB→+OC→，滿足故選：ACD．【點評】本題考查的知識要點：命題真假的判定，四點共面的充要條件，向量的數(shù)量積，主要考查學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題．三．填空題（共4小題）13．在下列四個命題中，正確的命題的有②③．①已知直線ax+by+c﹣1＝0（bc＞0）經(jīng)過圓x2+y2﹣2y﹣5＝0的圓心，則4b+1②若圓（x﹣3）2+（y+5）2＝r2上有且只有兩個點到直線4x﹣3y＝2的距離為1，則4＜r＜6；③若實數(shù)x，y滿足x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0，則y-4x④點M在圓（x﹣3）2+（y﹣2）2＝2上運動，點N（0，﹣2）為定點，則|MN|的最大值是7．【考點】命題的真假判斷與應(yīng)用．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；直線與圓；簡易邏輯．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】利用基本不等式，求出4b+1c的最小值，可判斷①；根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，可判斷②；k=y-4x-2，則k可看作圓上的動點P到定點A（2【解答】解：①已知直線ax+by+c﹣1＝0（bc＞0）經(jīng)過圓x2+y2﹣2y﹣5＝0的圓心（0，1），故b+c＝1，則4b+1c=（4b+1c）（即4b+1②圓（x﹣3）2+（y+5）2＝r2的圓心（3，﹣5）到直線4x﹣3y＝2的距離為5，若圓（x﹣3）2+（y+5）2＝r2上有且只有兩個點到直線4x﹣3y＝2的距離為1，則4＜r＜6，故正確；③由題意，x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1表示圓心在（1，1）半徑為1的圓．作出如下圖形：令k=y-4x-2，則k可看作圓上的動點P到定點A（2，4）的連線的斜率．設(shè)直線方程為：y﹣4＝化為直線一般式為：kx﹣y﹣2k+4＝0，利用直線與圓相切建立關(guān)于k的方程為：|k-1-2k而有題意及點P所在的位置圖可以知道斜率k臨界下時斜率為43，而由于點A的橫坐標(biāo)與圓在x軸的交點橫坐標(biāo)一樣，此時過點A與單位圓相切的直線的傾斜角為90綜合可得，k≥4∴y-4x④圓（x﹣3）2+（y﹣2）2＝2的圓心（3，2）到N（0，﹣2）的距離為5，點M在圓（x﹣3）2+（y﹣2）2＝2上運動，點N（0，﹣2）為定點，則|MN|的最大值是5+2故答案為：②③．【點評】本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了直線與圓的位置關(guān)系，難度中檔．14．如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，P，Q分別是線段AD1和B1C上的動點，且滿足AP＝B1Q，則下列命題正確的序號是①③④．①存在P，Q的某一位置，使AB∥PQ；②△BPQ的面積為定值；③當(dāng)PA＞0時，直線PB1與AQ是異面直線；④無論P，Q運動到任何位置，均有BC⊥PQ．【考點】命題的真假判斷與應(yīng)用．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯思維；運算求解．【答案】①③④．【分析】考慮P，Q分別是AD1與B1C的中點時，可判斷①；分別計算當(dāng)P在A處，Q在B1處時，當(dāng)P，Q分別是AD1與B1C的中點時，△BPQ的面積，可判斷②；由反證法可判斷③；考慮PQ在平面ABCD內(nèi)的射影與BC的位置關(guān)系可判斷④．【解答】解：對于①，當(dāng)P，Q分別是AD1與B1C的中點時，在平行四邊形C1D1中，AB∥PQ，所以①符合題意；對于②，當(dāng)P在A處，Q在B1處時，△BPQ的面積為12；當(dāng)P，Q分別是AD1與B1C△BPQ的面積為12?12?1?22對于③，當(dāng)PA＞0時，若直線PB1與AQ是共面直線，則AP與B1Q共面，與直線AP與B1Q異面矛盾，③符合題意；對于④，由于AP＝B1Q，可得BC垂直于PQ在平面ABCD內(nèi)的射影MN，所以易知BC⊥PQ，④符合題意．故答案為：①③④．【點評】本題考查命題的真假判斷，主要是空間線線的位置關(guān)系和三角形的面積的求法，考查轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，以及運算能力和推理能力，屬于中檔題．15．已知命題“?x∈R，4x2+(a-2)x+14＞0”是假命題，則實數(shù)【考點】全稱量詞和全稱量詞命題；命題的真假判斷與應(yīng)用．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用；簡易邏輯；邏輯思維；運算求解．【答案】（﹣∞，0]∪[4，+∞）．【分析】直接利用全稱命題和特稱命題的轉(zhuǎn)換，命題真假的判斷和一元二次不等式有根的充要條件求出實數(shù)a的取值范圍．【解答】解：命題“?x∈R，4x則命題“?x∈R，4x故Δ=(a-2)2-4×4×1解得a≥4或a≤0，故實數(shù)a的取值范圍為（﹣∞，0]∪[4，+∞）．故答案為：（﹣∞，0]∪[4，+∞）．【點評】本題考查的知識要點：全稱命題和特稱命題，命題真假的判斷，一元二次不等式有根的充要條件，主要考查學(xué)生的理解能力和計算能力，屬于中檔題．16．設(shè)全集U＝R，用?x?表示不小于實數(shù)x的最小整數(shù)，如?3.5?＝4，?﹣1?＝﹣1．則下列命題正確的是②③④⑤（寫出所有正確命題的序號）．①若A＝{x|?x?＝﹣2}，則?UA＝{x|x＜﹣3或x＞﹣2}；②?x，y∈R，?x?＝?y?，則﹣1＜x﹣y＜1；③?x∈R，?2x?＝2?x?；④?x，y∈R，?x+y?≤?x?+?y?；⑤﹣1＜x﹣?x?≤0．【考點】命題的真假判斷與應(yīng)用；全稱量詞命題的真假判斷；存在量詞命題的真假判斷．【專題】計算題；方程思想；綜合法；簡易邏輯；運算求解；新定義類．【答案】②③④⑤．【分析】根據(jù)題意，由?x?定義依次分析5個命題，綜合可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，依次分析5個命題：對于①，A＝{x|?x?＝﹣2}＝{x|﹣3＜x≤﹣2}，則?UA＝{x|x≤﹣3或x＞﹣2}，①錯誤；對于②，?x，y∈R，若?x?＝?y?，設(shè)?x?＝?y?＝t，則x≤t＜x+1，y≤t＜y+1，變形可得﹣y﹣1＜﹣t≤﹣y，兩式相加可得：﹣1＜x﹣y＜1，②正確；對于③，當(dāng)x＝1時，2x＝2，則?x?＝?1?＝1，?2x?＝?2?＝2，③正確；對于④，設(shè)x＝a+m，（a是不大于x的最大整數(shù)，0≤m＜1），y＝b+n，（b是不大于y的最大整數(shù)，0≤n＜1），則x+y＝a+b+m+n，易得0≤m+n＜2，當(dāng)m＝n＝0時，有?x+y?＝?x?+?y?，當(dāng)m＝0且n≠0時，?x?＝a，?y?＝b+1，有?x+y?＝a+b+1，此時?x+y?＝?x?+?y?，當(dāng)m≠0且n＝0時，同理有?x+y?＝?x?+?y?，當(dāng)m、n都不為0時，則有a+b+1≤?x+y?≤a+1+b+1＝a+b+2，而?x?+?y?＝a+1+b+1＝a+b+2，故?x+y?≤?x?+?y?，綜合可得：?x+y?≤?x?+?y?，④正確；對于⑤，由于x≤?x?＜x+1，則有﹣1＜x﹣?x?≤0，⑤正確．故答案為：②③④⑤．【點評】本題考查命題真假的判斷，涉及集合的表示方法，屬于中檔題．四．解答題（共4小題）17．已知命題p：x2≤5x﹣4，命題q：x2﹣（a+2）x+2a≤0．（1）求命題p中對應(yīng)x的范圍；（2）若p是q的必要不充分條件，求a的取值范圍．【考點】充分條件與必要條件；一元二次不等式及其應(yīng)用．【專題】規(guī)律型．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式的解法，即可求命題p中對應(yīng)x的范圍；（2）利用p是q的必要不充分條件，建立條件關(guān)系，即可求a的取值范圍．【解答】解：（1）∵x2≤5x﹣4，∴x2﹣5x+4≤0，即（x﹣1）（x﹣4）≤0，∴1≤x≤4，即命題p中對應(yīng)x的范圍為1≤x≤4；（2）設(shè)命題p對應(yīng)的集合為A＝{x|1≤x≤4}．由x2﹣（a+2）x+2a≤0，得（x﹣2）（x﹣a）≤0，當(dāng)a＝2時，不等式的解為x＝2，對應(yīng)的解集為B＝{2}，當(dāng)a＞2時，不等式的解為2≤x≤a，對應(yīng)的解集為B＝{x|2≤x≤a}，當(dāng)a＜2時，不等式的解為a≤x≤2，對應(yīng)的解集為B＝{x|a≤x≤2}，若p是q的必要不充分條件，則B?A，當(dāng)a＝2時，滿足條件．當(dāng)a＞2時，∵A＝{x|1≤x≤4}，B＝{x|2≤x≤a}，要使B?A，則滿足2＜a≤4，當(dāng)a＜2時，∵A＝{x|1≤x≤4}，B＝{x|2≤x≤a}，要使B?A，則滿足1≤a＜2，綜上：1≤a≤4．【點評】本題主要考查一元二次不等式的解法，以及充分條件和必要條件的應(yīng)用，涉及的知識點較多．18．已知命題p：?x∈R，不等式2tx2+2tx+1＞0恒成立，命題q：關(guān)于x的方程x2﹣4x+t＝0有兩個不相等的正實數(shù)根．（1）若命題p為真命題，求實數(shù)t的取值范圍；（2）若命題p，q均為假命題，求實數(shù)t的取值范圍．【考點】復(fù)合命題及其真假．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；簡易邏輯；運算求解．【答案】（1）[0，2）；（2）（﹣∞，0]∪[4，+∞）．【分析】（1）分t＝0和t≠0討論二次不等式恒成立的情況求t的范圍；（2）先求命題q為真時t的范圍，再求p、q均為假時t的交集．【解答】解：（1）當(dāng)t＝0時，不等式1＞0恒成立．當(dāng)t≠0時，需2t＞0(2t)2故命題p為真時，t∈[0，2）．（2）對于命題q，方程x2﹣4x+t＝0有兩個不相等正實根，需16-4t＞0t＞因p、q均為假，故t＜0或t≥2t≤0或所以t的取值范圍是（﹣∞，0]∪[4，+∞）．【點評】本題主要考查命題的真假判斷與二次不等式、二次方程的綜合應(yīng)用，涉及二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．19．已知p：實數(shù)x滿足x2+x﹣12≤0，q：實數(shù)x滿足2x2﹣5mx+2m2≤0．（1）若m＝2，且p和q至少有一個為真命題，求實數(shù)x的取值范圍；（2）若m＞0，且q是p的充分不必要條件，求實數(shù)m的取值范圍．【考點】充分條件與必要條件；復(fù)合命題及其真假．【專題】整體思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；簡易邏輯；運算求解．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)題意解一元二次不等式得命題p，q，結(jié)合命題真假確定取值范圍；（2）利用充分條件、必要條件的定義解不等式即可．【解答】解：（1）p：實數(shù)x滿足x2+x﹣12≤0，解得﹣4≤x≤3．當(dāng)m＝2時，q：x2﹣5x+4≤0，解得1≤x≤4，∵p和q至少有一個為真命題，∴﹣4≤x≤4，∴實數(shù)x的取值范圍為[﹣4，4]．（2）∵m＞0，∴由2x2﹣5mx+2m2≤0，解得12即q：∵q是p的充分不必要條件，∴12∴-8又m＞0，∴0＜故實數(shù)m的取值范圍為(0，【點評】本題主要考查了一元二次不等式的求解，復(fù)合命題的真假判斷，充分必要條件與集合包含關(guān)系的轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．20．已知命題p：?x∈{x|2≤x≤3}，x2﹣a≥0，命題q：?x∈R，ax2+3x﹣1＝0．（1）若命題?p為真命題，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若命題p和q有且僅有一個是真命題，求實數(shù)a的取值范圍．【考點】存在量詞命題真假的應(yīng)用．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；簡易邏輯；邏輯思維；運算求解．【答案】（1）（4，+∞）；（2）（-∞，-94）或（4，【分析】（1）根據(jù)題意知?x∈{x|2≤x≤3}，x2﹣a＜0為真命題，結(jié)合x的范圍，即可得答案；（2）討論命題p，q的真假，由此可得實數(shù)a的取值范圍．【解答】解：（1）因為命題?p為真命題，即?x∈{x|2≤x≤3}，x2﹣a＜0為真命題，即?x∈{x|2≤x≤3}，a＞x2，由于x2∈[4，9]，故a＞4；故實數(shù)a的取值范圍（4，+∞）．（2）p：?x∈{x|2≤x≤3}，x2﹣a≥0為真命題時，由于x2∈[4，9]，則此時a≤x2恒成立，故a≤4；命題q：?x∈R，ax2+3x﹣1＝0為真命題時，當(dāng)a＝0時，x=當(dāng)a≠0時，Δ＝9+4a≥0，解得a≥-94且a綜上，a≥-所以，當(dāng)p真q假時，故a＜-當(dāng)p假q真時a＞4．實數(shù)a的取值范圍為（-∞，-94）或（4，故實數(shù)a的取值范圍為（-∞，-94）或（4，【點評】本題考查的知識點：命題真假的判定，恒成立和存在性問題，主要考查學(xué)生的運算能力，屬于中檔題．

考點卡片1．判斷元素與集合的屬于關(guān)系【知識點的認(rèn)識】元素與集合的關(guān)系：一般地，我們把研究對象稱為元素，把一些元素組成的總體稱為集合，簡稱集．元素一般用小寫字母a，b，c表示，集合一般用大寫字母A，B，C表示，兩者之間的關(guān)系是屬于與不屬于關(guān)系，符號表示如：a∈A或a?A．【解題方法點撥】明確集合定義：了解集合的定義及其包含的元素范圍．驗證條件：檢查元素是否滿足集合的定義條件．符號表示：用∈表示元素屬于某集合，用?表示元素不屬于某集合．【命題方向】驗證元素是否是集合的元素已知集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}．求證：（1）3∈A；（2）偶數(shù)4k﹣2（k∈Z）不屬于A．分析：（1）根據(jù)集合中元素的特性，判斷3是否滿足即可；（2）用反證法，假設(shè)屬于A，再根據(jù)兩偶數(shù)的積為4的倍數(shù)；兩奇數(shù)的積仍為奇數(shù)得出矛盾，從而證明要證的結(jié)論．解答：解：（1）∵3＝22﹣12，3∈A；（2）設(shè)4k﹣2∈A，則存在m，n∈Z，使4k﹣2＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）成立，1、當(dāng)m，n同奇或同偶時，m﹣n，m+n均為偶數(shù)，∴（m﹣n）（m+n）為4的倍數(shù)，與4k﹣2不是4的倍數(shù)矛盾．2、當(dāng)m，n一奇，一偶時，m﹣n，m+n均為奇數(shù)，∴（m﹣n）（m+n）為奇數(shù)，與4k﹣2是偶數(shù)矛盾．綜上4k﹣2?A．點評：本題考查元素與集合關(guān)系的判斷．分類討論的思想．2．充分條件與必要條件【知識點的認(rèn)識】1、判斷：當(dāng)命題“若p則q”為真時，可表示為p?q，稱p為q的充分條件，q是p的必要條件．事實上，與“p?q”等價的逆否命題是“￢q?￢p”．它的意義是：若q不成立，則p一定不成立．這就是說，q對于p是必不可少的，所以說q是p的必要條件．例如：p：x＞2；q：x＞0．顯然x∈p，則x∈q．等價于x?q，則x?p一定成立．2、充要條件：如果既有“p?q”，又有“q?p”，則稱條件p是q成立的充要條件，或稱條件q是p成立的充要條件，記作“p?q”．p與q互為充要條件．【解題方法點撥】充要條件的解題的思想方法中轉(zhuǎn)化思想的依據(jù)；解題中必須涉及兩個方面，充分條件與必要條件，缺一不可．證明題目需要證明充分性與必要性，實際上，充分性理解為充分條件，必要性理解為必要條件，學(xué)生答題時往往混淆二者的關(guān)系．判斷題目可以常用轉(zhuǎn)化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的既不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關(guān)系．【命題方向】充要條件是學(xué)生學(xué)習(xí)知識開始，或者沒有上學(xué)就能應(yīng)用的，只不過沒有明確定義，因而幾乎年年必考內(nèi)容，多以小題為主，有時也會以大題形式出現(xiàn)，中學(xué)階段的知識點都相關(guān)，所以命題的范圍特別廣．3．充分條件必要條件的判斷【知識點的認(rèn)識】1、判斷：當(dāng)命題“若p則q”為真時，可表示為p?q，稱p為q的充分條件，q是p的必要條件．2、充要條件：如果既有“p?q”，又有“q?p”，則稱條件p是q成立的充要條件，或稱條件q是p成立的充要條件，記作“p?q”．p與q互為充要條件．【解題方法點撥】充要條件的解題的思想方法中轉(zhuǎn)化思想的依據(jù)；解題中必須涉及兩個方面，充分條件與必要條件，缺一不可．證明題目需要證明充分性與必要性，實際上，充分性理解為充分條件，必要性理解為必要條件，學(xué)生答題時往往混淆二者的關(guān)系．判斷題目可以常用轉(zhuǎn)化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的既不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關(guān)系．【命題方向】充要條件是學(xué)生學(xué)習(xí)知識開始，或者沒有上學(xué)就能應(yīng)用的，只不過沒有明確定義，因而幾乎年年必考內(nèi)容，多以小題為主，有時也會以大題形式出現(xiàn)，中學(xué)階段的知識點都相關(guān)，所以命題的范圍特別廣．4．充分不必要條件的判斷【知識點的認(rèn)識】充分不必要條件是指如果條件P成立，則條件Q必然成立，但條件Q成立時，條件P不一定成立．用符號表示為P?Q，但Q?P．這種條件在數(shù)學(xué)中表明某個條件足以保證結(jié)果成立，但不是唯一條件．【解題方法點撥】要判斷一個條件是否為充分不必要條件，可以先驗證P?Q，然后找反例驗證Q成立但P不成立．舉反例是關(guān)鍵步驟，找到一個Q成立但P不成立的例子即可證明P不是Q的必要條件．例如，可以通過幾何圖形性質(zhì)驗證某些充分不必要條件．【命題方向】充分不必要條件的命題方向包括幾何圖形的特殊性質(zhì)、函數(shù)的特定性質(zhì)等．已知命題p：x2﹣4x+3＜0，那么命題p成立的一個充分不必要條件是（）A．x≤1B．1＜x＜2C．x≥3D．2＜x＜3解：由x2﹣4x+3＜0，解得1＜x＜3，則1＜x＜2和2＜x＜3都是1＜x＜3的充分不必要條件．故選：BD．5．充要條件的判斷【知識點的認(rèn)識】充要條件是指條件P和條件Q之間互為充分必要條件．即若P成立，則Q成立，若Q成立，則P也成立．用符號表示為P?Q．充要條件在數(shù)學(xué)中非常重要，因為它們表示兩個條件是等價的．【解題方法點撥】要判斷一個條件是否為充要條件，需要分別驗證P?Q和Q?P．如果兩者都成立，則P和Q互為充要條件．通?？梢酝ㄟ^邏輯推理和實例驗證來進(jìn)行判斷．對于復(fù)雜問題，可以分步驟進(jìn)行驗證，確保每一步推理的正確性．【命題方向】充要條件的命題方向包括幾何圖形的判定條件、函數(shù)的性質(zhì)等．例如，矩形的對角線相等且互相平分是矩形的充要條件．“方程x2﹣2x+m＝0至多有一個實數(shù)解”的一個充要條件是（）A．m≥1B．m≤1C．m≥2D．m≥0解：“方程x2﹣2x+m＝0至多有一個實數(shù)解”的充要條件為“（﹣2）2﹣4m≤0”即“m≥1”．故選：A．6．充分不必要條件的應(yīng)用【知識點的認(rèn)識】充分不必要條件是指如果條件P成立，則條件Q必然成立，但條件Q成立時，條件P不一定成立．用符號表示為P?Q，但Q?P．這種條件在數(shù)學(xué)中表明某個條件足以保證結(jié)果成立，但不是唯一條件．【解題方法點撥】充要條件的解題的思想方法中轉(zhuǎn)化思想的依據(jù)；解題中必須涉及兩個方面，充分條件與必要條件，缺一不可．證明題目需要證明充分性與必要性，實際上，充分性理解為充分條件，必要性理解為必要條件，學(xué)生答題時往往混淆二者的關(guān)系．判斷題目可以常用轉(zhuǎn)化思想、反例、特殊值等方法解答即可．若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；【命題方向】充要條件是學(xué)生學(xué)習(xí)知識開始，或者沒有上學(xué)就能應(yīng)用的，只不過沒有明確定義，因而幾乎年年必考內(nèi)容，多以小題為主，有時也會以大題形式出現(xiàn)，中學(xué)階段的知識點都相關(guān)，所以命題的范圍特別廣．集合A＝{x|x2+（a+2）x+2a＜0}，B＝{x|x2+2x﹣3＜0}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．{a|﹣1≤a≤3}B．{a|﹣1≤a＜2或2＜a≤3}C．{a|2＜a≤3}D．{a|a≥2}解：因為A＝{x|x2+（a+2）x+2a＜0}＝{x|（x+2）（x+a）＜0}，B＝{x|x2+2x﹣3＜0}＝{x|﹣3＜x＜1}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件，則A?B且A≠?，當(dāng)﹣a＜﹣2時，A＝{x|﹣a＜x＜﹣2}，B＝{x|﹣3＜x＜1}，則﹣a≥﹣3，解得2＜a≤3，當(dāng)﹣a＞﹣2時，A＝{x|﹣2＜x＜﹣a}，B＝{x|﹣3＜x＜1}，則﹣a≤1，解得﹣1≤a＜2，所以﹣1≤a＜2或2＜a≤3．故選：B．7．全稱量詞和全稱量詞命題【知識點的認(rèn)識】全稱量詞：短語“對所有的”“對任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞．符號：?應(yīng)熟練掌握全稱命題與特稱命題的判定方法1．全稱量詞與存在量詞（1）全稱量詞：對應(yīng)日常語言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任給”、“對每一個”等詞，用符號“?”表示．（2）存在量詞：對應(yīng)日常語言中的“存在一個”、“至少有一個”、“有個”、“某個”、“有些”、“有的”等詞，用符號“?”表示．全稱命題含有全稱量詞的命題．“對任意一個x∈M，有p（x）成立”簡記成“?x∈M，p（x）”．同一個全稱命題、特稱命題，由于自然語言的不同，可以有不同的表述方法，現(xiàn)列表如下命題全稱命題?x∈M，p（x）特稱命題?x0∈M，p（x0）表述方法①所有的x∈M，使p（x）成立①存在x0∈M，使p（x0）成立②對一切x∈M，使p（x）成立②至少有一個x0∈M，使p（x0）成立③對每一個x∈M，使p（x）成立③某些x∈M，使p（x）成立④對任給一個x∈M，使p（x）成立④存在某一個x0∈M，使p（x0）成立⑤若x∈M，則p（x）成立⑤有一個x0∈M，使p（x0）成立【解題方法點撥】該部分內(nèi)容是《課程標(biāo)準(zhǔn)》新增加的內(nèi)容，要求我們會判斷含有一個量詞的全稱命題和一個量詞的特稱命題的真假；正確理解含有一個量詞的全稱命題的否定是特稱命題和含有一個量詞的特稱命題的否定是全稱命題，并能利用數(shù)學(xué)符號加以表示．應(yīng)熟練掌握全稱命題與特稱命題的判定方法．【命題方向】該部分內(nèi)容是《課程標(biāo)準(zhǔn)》新增加的內(nèi)容，幾乎年年都考，涉及知識點多而且全，多以小題形式出現(xiàn)．8．全稱量詞命題的真假判斷【知識點的認(rèn)識】全稱量詞：短語“對所有的”“對任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞．符號：?應(yīng)熟練掌握全稱命題的判定方法全稱量詞：對應(yīng)日常語言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任給”、“對每一個”等詞，用符號“?”表示．含有全稱量詞的命題．“對任意一個x∈M，有p（x）成立”簡記成“?x∈M，p（x）”．命題全稱命題?x∈M，p（x）表述方法①所有的x∈M，使p（x）成立②對一切x∈M，使p（x）成立③對每一個x∈M，使p（x）成立④對任給一個x∈M，使p（x）成立⑤若x∈M，則p（x）成立﹣【解題方法點撥】判斷全稱量詞命題的真假時，可以從反例入手，尋找一個使得命題不成立的例子．例如，要判斷“所有奇數(shù)都是質(zhì)數(shù)”是否為真，只需找到一個奇數(shù)不是質(zhì)數(shù)（如9）即可證明該命題為假．【命題方向】全稱量詞命題的真假判斷常見于代數(shù)和幾何性質(zhì)的判定．例如，判斷一個數(shù)列的全稱性質(zhì)是否成立，或判斷幾何圖形的某個性質(zhì)是否對所有相關(guān)對象成立．這類題型要求學(xué)生能夠靈活應(yīng)用定義和性質(zhì)進(jìn)行驗證．判斷下列全稱量詞命題的真假：（1）所有素數(shù)都是奇數(shù)；（2）?x∈R，|x|+1≥1；（3）對任意一個無理數(shù)x，x2也是無理數(shù)．解：（1）2是素數(shù)，但2不是奇數(shù)，∴所有素數(shù)都是奇數(shù)是假命題；（2）?x∈R，總有|x|≥0，∴|x|+1≥1，∴?x∈R，|x|+1≥1是真命題；（3）2是無理數(shù)，但（2）2＝2是有理數(shù)，∴全稱量詞命題“對每一個無理數(shù)x，x2也是無理數(shù)”是假命題．9．存在量詞命題的真假判斷【知識點的認(rèn)識】存在量詞：對應(yīng)日常語言中的“存在一個”、“至少有一個”、“有個”、“某個”、“有些”、“有的”等詞，用符號“?”表示．特稱命題：含有存在量詞的命題．“?x0∈M，有p（x0）成立”簡記成“?x0∈M，p（x0）”．“存在一個”，“至少有一個”叫做存在量詞．命題特稱命題?x0∈M，p（x0）表述方法①存在x0∈M，使p（x0）成立②至少有一個x0∈M，使p（x0）成立③某些x∈M，使p（x）成立④存在某一個x0∈M，使p（x0）成立⑤有一個x0∈M，使p（x0）成立﹣【解題方法點撥】判斷存在量詞命題的真假時，可以通過具體實例來驗證．例如，要判斷“存在一個數(shù)是3的倍數(shù)”是否為真，只需找到一個3的倍數(shù)（如6）即可證明該命題為真．如果無法找到任何一個符合條件的對象，則命題為假．【命題方向】存在量詞命題的真假判斷常見于代數(shù)和幾何性質(zhì)的判定．例如，判斷一個方程是否有解，或判斷幾何圖形的某個性質(zhì)是否對某些對象成立．這類題型要求學(xué)生能夠靈活應(yīng)用定義和性質(zhì)進(jìn)行驗證．下列存在量詞命題中，為真命題的是（）A．?x∈Z，x2﹣2x﹣3＝0B．至少有一個x∈Z，使x能同時被2和3整除C．?x∈R，|x|＜0D．有些自然數(shù)是偶數(shù)解：選項A：因為方程x2﹣2x﹣3＝0的兩根為3和﹣1，所以x∈Z，故A正確；選項B：因為6能同時被2和3整除，且6∈Z，故B正確；選項C：根據(jù)絕對值的意義可得|x|≥0恒成立，不存在x滿足|x|＜0，故C錯誤；選項D：2，4等既是自然數(shù)又是偶數(shù)，故D正確；故選：ABD．10．存在量詞命題真假的應(yīng)用【知識點的認(rèn)識】存在量詞：對應(yīng)日常語言中的“存在一個”、“至少有一個”、“有個”、“某個”、“有些”、“有的”等詞，用符號“?”表示．特稱命題：含有存在量詞的命題．“?x0∈M，有p（x0）成立”簡記成“?x0∈M，p（x0）”．“存在一個”，“至少有一個”叫做存在量詞．命題特稱命題?x0∈M，p（x0）表述方法①存在x0∈M，使p（x0）成立②至少有一個x0∈M，使p（x0）成立③某些x∈M，使p（x）成立④存在某一個x0∈M，使p（x0）成立⑤有一個x0∈M，使p（x0）成立﹣【解題方法點撥】在應(yīng)用存在量詞命題時，首先要準(zhǔn)確判斷命題的真假，然后根據(jù)判斷結(jié)果進(jìn)行推理．例如，在解決代數(shù)問題時，可以先驗證存在量詞命題的真假，然后根據(jù)真假性進(jìn)行相應(yīng)的計算和推導(dǎo)．【命題方向】存在量詞命題真假的應(yīng)用在代數(shù)和幾何題中廣泛存在．例如，利用存在量詞命題的真假來推導(dǎo)方程的解的存在性、幾何圖形的某些特性．這類題型要求學(xué)生具備扎實的基礎(chǔ)知識和邏輯推理能力．若命題“?x0∈[﹣1，2]，x0﹣a＞0”為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是_____．解：“?x0∈[﹣1，2]，x0﹣a＞0”是假命題，則它的否定命題：“?x∈[﹣1，2]，x﹣a≤0”是真命題；所以x∈[﹣1，2]，a≥x恒成立，所以a≥2，即實數(shù)a的取值范圍是[2，+∞）．故答案為：[2，+∞）．11．求存在量詞命題的否定【知識點的認(rèn)識】一般地，對于含有一個量詞的特稱命題的否定，有下面的結(jié)論：特稱命題p：?x0∈M，p（x0）它的否命題?p：?x∈M，?p（x）．【解題方法點撥】寫特稱命題的否定的方法：（1）更換量詞，將存在量詞換為全稱量詞，即將“存在”改為“任意”；（2）將結(jié)論否定，比如將“＞”改為“≤”．值得注意的是，特稱命題的否定的全稱命題．【命題方向】存在量詞命題否定的求解在代數(shù)和幾何中廣泛存在．例如，代數(shù)中關(guān)于方程解的存在性命題的否定，幾何中關(guān)于圖形性質(zhì)的存在性命題的否定等．這類題型要求學(xué)生能夠靈活運用邏輯思維進(jìn)行否定命題的改寫和判斷．寫出下列存在量詞命題的否定：（1）某箱產(chǎn)品中至少有一件次品；（2）方程x2﹣8x+15＝0有一個根是偶數(shù)；（3）?x∈R，使x2+x+1≤0．解：（1）某箱產(chǎn)品中都是正品；（2）方程x2﹣8x+15＝0每一個根都不是偶數(shù)；（3）?x∈R，使x2+x+1＞0．12．復(fù)合命題及其真假【知識點的認(rèn)識】含有邏輯連接詞“或”“且”“非”的命題不一定是復(fù)合命題．若此命題的真假滿足真值表，就是復(fù)合命題，否則就是簡單命題．邏輯中的“或”“且”“非”與日常用語中的“或”“且”“非”含義不盡相同．判斷復(fù)合命題的真假要根據(jù)真值表來判定．【解題方法點撥】能判斷真假的、陳述句、反詰疑問句都是命題，而不能判斷真假的陳述句、疑問句以及祈使句都不是命題．能判斷真假的不等式、集合運算式也是命題．寫命題P的否定形式，不能一概在關(guān)鍵詞前、加“不”，而要搞清一個命題研究的對象是個體還是全體，如果研究的對象是個體，只須將“是”改成“不是”，將“不是”改成“是”即可．如果命題研究的對象不是一個個體，就不能簡單地將“是”改成“不是”，將“不是”改成“是”，而要分清命題是全稱命題還是存在性命題（所謂全稱命題是指含有“所有”“全部”“任意”這一類全稱量訶的命題；所謂存在性命題是指含有“某些”“某個”“至少有一個”這一類存在性量詞的命題，全稱命題的否定形式是存在性命題，存在性命題的否定形式是全稱命題．因此，在表述一個命題的否定形式的時候，不僅“是”與“不是”要發(fā)生變化，有關(guān)命題的關(guān)鍵詞也應(yīng)發(fā)生相應(yīng)的變化，常見關(guān)鍵詞及其否定形式附表如下：關(guān)鍵詞等于（＝）大于（＞）小于（＜）是能都是沒有至多有一個至少有一個至少有n個至多有n個任意的任兩個P且QP或Q否定詞不等于（≠）不大于（≤）不小于（≥）不是不能不都是至少有一個至少有兩個一個都沒有至多有n﹣1個至少有n+1個某個某兩個?P或?Q?P且?Q若原命題P為真，則?P必定為假，但否命題可真可假，與原命題的真假無關(guān)，否命題與逆命題是等價命題，同真同假．13．命題的真假判斷與應(yīng)用【知識點的認(rèn)識】判斷含有“或”、“且”、“非”的復(fù)合命題的真假，首先要明確p、q及非p的真假，然后由真值表判斷復(fù)合命題的真假．注意：“非p”的正確寫法，本題不應(yīng)將“非p”寫成“方程x2﹣2x+1＝0的兩根都不是實根”，因為“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要認(rèn)真區(qū)分．【解題方法點撥】1．判斷復(fù)合命題的真假，常分三步：先確定復(fù)合命題的構(gòu)成形式，再指出其中簡單命題的真假，最后由真值表得出復(fù)合命題的真假．2．判斷一個“若p則q”形式的復(fù)合命題的真假，不能用真值表時，可用下列方法：若“pq”，則“若p則q”為真；而要確定“若p則q”為假，只需舉出一個反例說明即可．3．判斷逆命題、否命題、逆否命題的真假，有時可利用原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假這一關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化判斷．【命題方向】該部分內(nèi)容是《課程標(biāo)準(zhǔn)》新增加的內(nèi)容，幾乎年年都考，涉及知識點多而且全，多以小題形式出現(xiàn)．14．等式與不等式的性質(zhì)【知識點的認(rèn)識】1．不等式的基本性質(zhì)（1）對于任意兩個實數(shù)a，b，有且只有以下三種情況之一成立：①a＞b?a﹣b＞0；②a＜b?a﹣b＜0；③a＝b?a﹣b＝0．（2）不等式的基本性質(zhì)①對稱性：a＞b?b＜a；②傳遞性：a＞b，b＞c?a＞c；③可加性：a＞b?a+c＞b+c．④同向可加性：a＞b，c＞d?a+c＞b+d；⑤可積性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc；⑥同向整數(shù)可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd；⑦平方法則：a＞b＞0?an＞bn（n∈N，且n＞1）；⑧開方法則：a＞b＞0?na＞nb（n∈N，且15．運用基本不等式求最值【知識點的認(rèn)識】基本不等式主要應(yīng)用于求某些函數(shù)的最值及證明不等式．其可表述為：兩個正實數(shù)的幾何平均數(shù)小于或等于它們的算術(shù)平均數(shù)．公式為：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），變形為ab≤（a+b2）2【解題方法點撥】在運用均值不等式求最值時，可以將代數(shù)式分解成可以應(yīng)用均值不等式的形式．例如，要求代數(shù)式x+1x的最小值，可以利用均值不等式x+1x≥2從而得出最小值為2【命題方向】均值不等式求最值的命題方向包括代數(shù)表達(dá)式的最值求解、幾何圖形的最優(yōu)設(shè)計等．例如，求解一個代數(shù)式的最小值，或設(shè)計一個幾何圖形使其面積最大．這類題型要求學(xué)生能夠靈活運用均值不等式進(jìn)行最值求解，并能正確代入和計算．已知正數(shù)a，b滿足a+b＝1，則a+1+b解：因為正數(shù)a，b滿足a+b＝1，所以a+1+b+1＝3，則a+1當(dāng)且僅當(dāng)a＝b=1故答案為：6．16．一元二次不等式及其應(yīng)用【知識點的認(rèn)識】含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的不等式