第46頁（共46頁）2026年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)難題速遞之橢圓（2025年11月）一．選擇題（共6小題）1．設(shè)橢圓E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，橢圓E上點(diǎn)P滿足PF1⊥PF2，直線PF1A．32 B．53 C．104 2．已知橢圓C：x24+y2=1與直線l：A．3 B．352 C．212 3．一動(dòng)圓與圓x2+y2+6x+5＝0外切，同時(shí)與圓x2+y2﹣6x﹣91＝0內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程是（）A．x236+y2C．x216+y4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如圖，已知橢圓x29+y25=1的左、右頂點(diǎn)為A、B，右焦點(diǎn)為F．設(shè)過點(diǎn)T（9，m）的直線TA、TB與此橢圓分別交于點(diǎn)M（x1，y1）、N（x2，y2），其中m＞0，y1＞0，A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（0，﹣1） D．（0，1）5．已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為橢圓C上不與左右頂點(diǎn)重合的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)I，GA．12 B．13 C．12或13 D6．直線l過點(diǎn)M（﹣1，1）且與橢圓x24+y23=1相交于A、BA．45 B．34 C．53 二．多選題（共6小題）（多選）7．如圖，圓F1：(x+2)2+y2=4，圓F2：(x-2A．C的方程為x2B．∠MPN的最小值為120° C．MP→D．曲線C在點(diǎn)P處的切線與線段MN垂直（多選）8．已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，短軸長(zhǎng)為A．△PF1F2的面積最大值為2 B．1|PFC．若以PR為直徑的圓經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，則R點(diǎn)的軌跡方程為4x2+3y2＝16（x≠±2） D．橢圓C上存在點(diǎn)P，使得∠（多選）9．已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，我們把圓x2+y2＝a2+bA．|PQ|的最大值為a2B．若P為OQ的中點(diǎn)，則C的離心率的最小值為63C．過點(diǎn)Q不可能作兩條互相垂直的直線都與C相切 D．若點(diǎn)（2，1）在C上，則C的蒙日?qǐng)A面積最小為9π（多選）10．橢圓具有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線通過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)．請(qǐng)根據(jù)橢圓的這一光學(xué)性質(zhì)解決以下問題：已知橢圓C：x264+y236=1，其左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，直線l與橢圓C相切于點(diǎn)P，且|PF1|＝4，F(xiàn)1關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為F′1A．∠FB．|PMC．點(diǎn)F′1在以F2為圓心，16為半徑的圓上 D．|F1M|：|F2M|＝1：2（多選）11．如圖，已知橢圓x24+y22=1的左、右頂點(diǎn)分別是A1，A2，上頂點(diǎn)為B，點(diǎn)P是橢圓上的一點(diǎn)（不同于A1，A2），直線A1P與直線x＝2交于點(diǎn)M，直線OM交直線A2P于點(diǎn)G（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），記直線PA1，PA2A．k1k2=-B．OM⊥PA2 C．|GB|的最小值為2-D．tan∠OMA1的最大值為2（多選）12．已知橢圓E：x24A．當(dāng)﹣3≤c≤3時(shí)，直線l與橢圓E有兩個(gè)公共點(diǎn) B．當(dāng)c＝0時(shí)，橢圓E上到直線l的距離為3的點(diǎn)恰有4個(gè) C．當(dāng)c=52時(shí)，橢圓E上的點(diǎn)到直線l的最短距離小于D．當(dāng)直線l與橢圓E相交時(shí)，直線l被橢圓E截得的線段的中點(diǎn)可能為(三．填空題（共4小題）13．我們規(guī)定：在四面體P﹣ABC中，取其異面的兩條棱的中點(diǎn)連線稱為P﹣ABC的一條“內(nèi)棱”，三條內(nèi)棱兩兩垂直的四面體稱為“垂棱四面體”，如圖1．如圖2，在空間直角坐標(biāo)系中，xOy平面內(nèi)有橢圓C：x2+y22=1，F(xiàn)1為其下焦點(diǎn)，經(jīng)過F1的直線y＝kx+m與C交于A，B兩點(diǎn)，P為xOy平面下方一點(diǎn)，若P﹣ABO為垂棱四面體，則其外接球表面積（1）S（k）的定義域是；（2）S（k）的最小值是．14．橢圓x216+y29=1的離心率，過右焦點(diǎn)F2作直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，F(xiàn)1是橢圓的左焦點(diǎn)，則△AF115．橢圓x212+y23=1的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上，如果線段PF1的中點(diǎn)在y16．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B，C為橢圓x22+y2=1上三個(gè)不同的點(diǎn)（A，B，C依次逆時(shí)針排列）．若∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°，則|OA四．解答題（共4小題）17．已知平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是阿波羅尼斯圓（動(dòng)點(diǎn)M與兩定點(diǎn)A，B的距離之比|MA||MB|=λ，（λ＞0且λ≠1的常數(shù)），其方程為x2+y2＝4，定點(diǎn)分別為橢圓C：y2a2+x2b2=1（a＞b＞0）的上焦點(diǎn)F與上頂點(diǎn)D，且橢圓C與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為42，過點(diǎn)D作斜率為k（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若∠SOT為銳角（其中O是原點(diǎn)），求斜率k的取值范圍；（3）設(shè)橢圓C的下焦點(diǎn)為E，求△EST面積的最大值．18．已知橢圓C：x2a2+（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）若A(-52，0)，直線l：x=ty+3219．已知橢圓E：x2a2（Ⅰ）求橢圓E的方程；（Ⅱ）若直線l：3x-3y+m=0(m∈R)與橢圓E交于P，Q兩點(diǎn)，線段PQ的中點(diǎn)為（Ⅲ）點(diǎn)A，B兩點(diǎn)在橢圓E上，且關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱，過點(diǎn)A與AB垂直的直線與橢圓E的另一個(gè)交點(diǎn)為C，AM⊥x軸，垂足為M，直線BC與x軸交于點(diǎn)N，△AOM的面積和△BON的面積分別記為S1，S2，求S120．如圖，圓E：（x+1）2+y2＝16，F(xiàn)（1，0）是圓E內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，M是圓E上任意一點(diǎn)．線段MF的垂直平分線l和半徑EM相交于點(diǎn)N，當(dāng)點(diǎn)M在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記動(dòng)點(diǎn)N的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的方程；（2）設(shè)曲線C與x軸從左到右的交點(diǎn)為點(diǎn)A，B，點(diǎn)P為曲線C上異于A，B的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)PA交直線x＝﹣4于點(diǎn)T，連結(jié)BT交曲線C于點(diǎn)Q，直線BP，BQ的斜率分別為kBP，kBQ．（i）求證：kBP?kBQ為定值；（ii）證明：直線PQ經(jīng)過x軸上的定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

2026年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)難題速遞之橢圓（2025年11月）參考答案與試題解析一．選擇題（共6小題）題號(hào)123456答案DCAACB二．多選題（共6小題）題號(hào)789101112答案BCDBCDABDABCABDAD一．選擇題（共6小題）1．設(shè)橢圓E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，橢圓E上點(diǎn)P滿足PF1⊥PF2，直線PF1A．32 B．53 C．104 【考點(diǎn)】求橢圓的離心率．【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】令∠PF1F2＝θ，|F1A|＝2m，|F2B|＝3m，得|PF1|＝2ccosθ，|PF2|＝2csinθ，|F2A|＝2a﹣2m，|F1B|＝2a﹣3m，結(jié)合橢圓的定義及勾股定理得e（sinθ+cosθ）＝1、2ecosθ﹣3esinθ＝1，即可求離心率．【解答】解：由題設(shè)，令∠PF1F2＝θ，故得|PF1|＝2ccosθ，|PF2|＝2csinθ，所以|PF1|+|PF2|＝2c（cosθ+sinθ）＝2a，故e（sinθ+cosθ）＝1①，由|F1A||F2B|=23，令|F1A|＝2m，|F2B|＝3m則|F2A|＝2a﹣2m，由|PA|2+|PF2|2=|F2A|2，則（2ccosθ+2m）2+（2csinθ）2＝（2a﹣2m）2，整理得由|PB|2+|PF1|2=|F1B|2，則（2csinθ+3m）2+（2ccosθ）2＝（2a﹣3m）2，整理得所以2m（ccosθ+a）＝3m（csinθ+a），整理得2ecosθ﹣3esinθ＝1②，聯(lián)立①②，得ecosθ=45，esinθ=15，故tanθ=1所以e=17故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用橢圓的定義和三角函數(shù)求橢圓的離心率，屬于中檔題．2．已知橢圓C：x24+y2=1與直線l：A．3 B．352 C．212 【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合．【專題】計(jì)算題；整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】將直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立，求出兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，結(jié)合弦長(zhǎng)公式可求得|PQ|的值．【解答】解：設(shè)點(diǎn)P（x1，y1）、Q（x2，y2），直線l的方程可化為y=聯(lián)立y=32解一元二次方程x2-3所以根為x1＝0，x2由弦長(zhǎng)公式可得|PQ故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與橢圓的綜合，屬于中檔題．3．一動(dòng)圓與圓x2+y2+6x+5＝0外切，同時(shí)與圓x2+y2﹣6x﹣91＝0內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程是（）A．x236+y2C．x216+y【考點(diǎn)】橢圓相關(guān)動(dòng)點(diǎn)軌跡．【專題】計(jì)算題；整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】由圓與圓的位置關(guān)系及橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程可得結(jié)果．【解答】解：設(shè)動(dòng)圓圓心為M（x，y），半徑為R，設(shè)已知圓的圓心分別為O1、O2，將圓的方程配方得：（x+3）2+y2＝4，圓心O1（﹣3，0），半徑為2，圓x2+y2﹣6x﹣91＝0同理化為（x﹣3）2+y2＝100，圓心O2（3，0），半徑為10，當(dāng)動(dòng)圓與圓O1相外切時(shí)，有|O1M|＝R+2①，當(dāng)動(dòng)圓與圓O2相內(nèi)切時(shí)，有|O2M|＝10﹣R②，將①②兩式相加，得|O1M|+|O2M|＝12＞|O1O2|，因此動(dòng)圓圓心M（x，y）到點(diǎn)O1（﹣3，0）和O2（3，0）的距離和是常數(shù)12，因此動(dòng)圓圓心點(diǎn)M的軌跡是焦點(diǎn)為點(diǎn)O1（﹣3，0）、O2（3，0），長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于12的橢圓，因此a＝6，c＝3，b2＝27，因此x2故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓相關(guān)動(dòng)點(diǎn)軌跡，屬于中檔題．4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如圖，已知橢圓x29+y25=1的左、右頂點(diǎn)為A、B，右焦點(diǎn)為F．設(shè)過點(diǎn)T（9，m）的直線TA、TB與此橢圓分別交于點(diǎn)M（x1，y1）、N（x2，y2），其中m＞0，y1＞0，A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（0，﹣1） D．（0，1）【考點(diǎn)】直線與橢圓的位置關(guān)系及公共點(diǎn)個(gè)數(shù)．【專題】分類討論；對(duì)應(yīng)思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】通過聯(lián)立方程組求得M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而確定定點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：因?yàn)闄E圓x29+y25=1則A（﹣3，0），B（3，0），F(xiàn)（2，0），直線TA的方程為y=聯(lián)立方程組y=m12(x+3)x29+y25=1，化簡(jiǎn)得（m2+80）則Δ＝36m4﹣4（m2+80）（9m2﹣720）＞0，所以xA則y1所以M(3直線TB的方程為y=聯(lián)立方程組y=m6(x-3)x29+y25=1，化簡(jiǎn)得（m2+20）所以Δ＝36m2﹣4（m2+20）（9m2﹣180）＞0，則xB所以y2所以N(若x1≠x2，依題意y1≠y2，所以直線MN的方程為y-即y-化簡(jiǎn)得y=-=-所以直線MN過點(diǎn)（1，0）；若x1＝x2，即3-即80-m2m2+80=m2-20m2+20，即（80﹣m2）（因?yàn)閙＞0，解得：m=2則3-6m2m2+80=3-240此時(shí)直線MN過點(diǎn)（1，0），綜上，直線MN過定點(diǎn)（1，0）．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的性質(zhì)及直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于難題．5．已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為橢圓C上不與左右頂點(diǎn)重合的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)I，GA．12 B．13 C．12或13 D【考點(diǎn)】橢圓的幾何特征．【專題】綜合題；方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯思維．【答案】C【分析】由題意，GI垂直于x軸（或平行于x軸）時(shí)，IG的傾斜角不隨P的變化而變化，所以IG始終垂直于x軸（或平行于x軸），設(shè)P的坐標(biāo)，由重心性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)可得MN：ME的比值，由△MIN與△MEP相似可得I的坐標(biāo)，再由△PF1F2的面積相等，將內(nèi)切圓的半徑代入可得a，c的關(guān)系，求出離心率．【解答】解：當(dāng)直線IG的傾斜角不隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而變化時(shí)，取P特殊情況在上頂點(diǎn)時(shí)，內(nèi)切圓的圓心在y軸上，重心在y軸上，由此可得不論P(yáng)在何處，GI始終垂直于x軸，設(shè)內(nèi)切圓與邊的切點(diǎn)分別為Q，N，A，如圖所示：設(shè)P在第一象限，坐標(biāo)為（x0，y0），連接PO，則重心G在PO上，連接PI并延長(zhǎng)交x軸于M點(diǎn)，連接GI并延長(zhǎng)交軸于N，則GN⊥x軸，作PE垂直于x軸交于E，可得重心G（x03，x03），所以I的橫坐標(biāo)也為x03由內(nèi)切圓的性質(zhì)可得，PG＝PA，F(xiàn)1Q＝F1N，NF2＝AF2，所以PF1﹣PF2＝（PQ+QF1）﹣（PA+AF2）＝F1N﹣NF2＝（F1O+ON）﹣（OF2﹣ON）＝2ON=2而PF1+PF2＝2a，所以PF1＝a+x03，PF2＝由角平分線的性質(zhì)可得：PF1P可得OM=c所以可得MN＝ON﹣OM=x所以ME＝OE﹣OM=x所以INPE=MNME=a-c3a所以S△PF1F2=12（PF1+F1F2+PF2）?即12（2a+2c）?a-c3a-c?y0=整理為：ca同理，當(dāng)IG始終平行于x軸時(shí)，同以上的方法，可得ca故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的性質(zhì)及其內(nèi)切圓的性質(zhì)，屬于較難的題目．6．直線l過點(diǎn)M（﹣1，1）且與橢圓x24+y23=1相交于A、BA．45 B．34 C．53 【考點(diǎn)】橢圓的中點(diǎn)弦．【專題】計(jì)算題；整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】設(shè)A，B點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓中，作差化簡(jiǎn)可得答案．【解答】解：設(shè)A（x1，y1）和B（x2，y2）為直線與橢圓的交點(diǎn)，因?yàn)镸（﹣1，1）是AB的中點(diǎn)，所以x1+x2＝﹣2，y1+y2＝2，點(diǎn)A（x1，y1）和B（x2，y2）滿足橢圓方程：x1將方程（1）減去（2）：x1因式分解：(x代入中點(diǎn)坐標(biāo)：(x得：-1整理得：4（y1﹣y2）＝3（x1﹣x2），因此，斜率k=故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的中點(diǎn)弦，屬于中檔題．二．多選題（共6小題）（多選）7．如圖，圓F1：(x+2)2+y2=4，圓F2：(x-2)A．C的方程為x2B．∠MPN的最小值為120° C．MP→D．曲線C在點(diǎn)P處的切線與線段MN垂直【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合；圓錐曲線的軌跡問題；由圓與圓的位置關(guān)系求解圓的方程或參數(shù)．【專題】綜合題；對(duì)應(yīng)思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】BCD【分析】直接根據(jù)橢圓的定義即可判斷選項(xiàng)A；利用∠MPN與∠F1PF2互補(bǔ)，求出∠F1PF2的最大角即可判斷選項(xiàng)B；結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可判斷選項(xiàng)C；求出點(diǎn)P處的切線斜率，再利用PN→=-r6NF2→，PM【解答】解：易知圓F1的圓心為F1（﹣2，0），半徑為r1＝2，圓F2的圓心為F2（2，0），半徑為r2＝6，對(duì)于選項(xiàng)A：設(shè)動(dòng)圓P的半徑為r，因?yàn)閯?dòng)圓P與圓F1外切于點(diǎn)M，與圓F2內(nèi)切于點(diǎn)N，圓心P的軌跡記為曲線C，易知|PF1|＝r+2，|PF2|＝6﹣r，此時(shí)|PF1|+|PF2|＝8＞|F1F2|，且P，M，N不重合，所以點(diǎn)P的軌跡為以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓（去掉P，M，N重合的點(diǎn)），則曲線C的方程為x216+對(duì)于選項(xiàng)B：由圖可知∠MPN與∠F1PF2互補(bǔ)，設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n，在△F1PF2中，m+n＝2a＝8，|F1F2|＝4，由余弦定理得cos∠因?yàn)閙n≤所以cos∠當(dāng)且僅當(dāng)m＝n時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)?＜∠F1PF2＜π，所以∠F則∠MPN的最小值為120°，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：由橢圓的方程知F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0），因?yàn)镸P→當(dāng)且僅當(dāng)r＝1時(shí)，等號(hào)成立，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：設(shè)P（x0，y0），M（x1，y1），N（x2，y2），聯(lián)立x2a2+y此時(shí)Δ=4又b2所以Δ＝0，可得過點(diǎn)P（x0，y0）的橢圓的切線方程為x0x16因?yàn)閨PN所以PN→即(x此時(shí)x2解得x2所以kMN又r=(因?yàn)椹?＜x0≤4，所以r=此時(shí)kMN所以-3則曲線C在點(diǎn)P處的切線與線段MN垂直，故選項(xiàng)D正確．故選：BCD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的方程以及直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力，屬于中檔題．（多選）8．已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，短軸長(zhǎng)為A．△PF1F2的面積最大值為2 B．1|PFC．若以PR為直徑的圓經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，則R點(diǎn)的軌跡方程為4x2+3y2＝16（x≠±2） D．橢圓C上存在點(diǎn)P，使得∠【考點(diǎn)】橢圓的幾何特征；橢圓的焦點(diǎn)弦及焦半徑；軌跡方程．【專題】綜合題；對(duì)應(yīng)思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】BCD【分析】由題意，求橢圓方程，當(dāng)點(diǎn)P位于短軸頂點(diǎn)時(shí)，△PF1F2的面積最大，進(jìn)而可判斷選項(xiàng)A；證明四邊形PF1QF2為平行四邊形，再結(jié)合基本不等式進(jìn)而可判斷選項(xiàng)B；設(shè)過點(diǎn)P，A，B的圓的一般方程，將P，A，B三點(diǎn)坐標(biāo)代入求出圓方程，利用P，R關(guān)于圓心對(duì)稱，求出R點(diǎn)坐標(biāo)，再利用消參思想求出軌跡方程，進(jìn)而可判斷選項(xiàng)C；當(dāng)點(diǎn)P位于短軸頂點(diǎn)時(shí)符合題意，此時(shí)可判斷選項(xiàng)D．【解答】解：因?yàn)闄E圓C的短軸長(zhǎng)為23，離心率為1所以2b=23又a2＝b2+c2，解得a=2則C：x24+y23=1，F(xiàn)1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），A（﹣2當(dāng)點(diǎn)P位于短軸頂點(diǎn)時(shí)，△PF1F2的面積最大，最大值S=12×2×因?yàn)辄c(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以四邊形PF1QF2為平行四邊形，此時(shí)|QF1|＝|PF2|，因?yàn)閨PF1|+|PF2|＝4，所以1=1當(dāng)且僅當(dāng)||PF1|＝|PF2|＝2時(shí)，等號(hào)成立，故選項(xiàng)B正確；設(shè)過點(diǎn)P，A，B的圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F＝0，P（x0，y0），因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，所以x024+y023=1，x此時(shí)x02+y02+Dx0+Ey0+F=0解得D＝0，F(xiàn)＝﹣4，E=則過點(diǎn)P，A，B的圓的方程為x2+y因?yàn)镻R為圓M的直徑，所以P，R關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，此時(shí)R(令x=解得x0因?yàn)閤0所以4x2+3y2＝16，因?yàn)閤0≠±2，所以R點(diǎn)的軌跡方程為4x2+3y2＝16（x≠±2），故選項(xiàng)C正確；當(dāng)點(diǎn)P位于短軸頂點(diǎn)時(shí)，此時(shí)△F1PF2為等邊三角形，∠F1P故選：BCD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的方程以及直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力，屬于中檔題．（多選）9．已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，我們把圓x2+y2＝a2+bA．|PQ|的最大值為a2B．若P為OQ的中點(diǎn)，則C的離心率的最小值為63C．過點(diǎn)Q不可能作兩條互相垂直的直線都與C相切 D．若點(diǎn)（2，1）在C上，則C的蒙日?qǐng)A面積最小為9π【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合．【專題】計(jì)算題；整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】ABD【分析】根據(jù)圓及橢圓的幾何性質(zhì)判斷A，根據(jù)P為OQ的中點(diǎn)建立關(guān)于a，b的齊次不等式，從而得到離心率的最值可判斷B，舉反例排除C，利用點(diǎn)在橢圓上與基本不等式“1”的妙用可判斷D．【解答】解：對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)閳Ax2+y2＝a2+b2的圓心為O（0，0），半徑為r=又橢圓C：x2a2+y因此|PQ|=|OQ對(duì)于B選項(xiàng)，若P為OQ的中點(diǎn)，則|OP則a2≥3b2，因此e=1-b對(duì)于C選項(xiàng)，取Q（a，b），則直線x＝a，y＝b互相垂直，且都與C相切，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)辄c(diǎn)（2，1）在C上，因此4a則r2當(dāng)且僅當(dāng)4b2a因此C的蒙日?qǐng)A面積最小為9π，D選項(xiàng)正確．故選：ABD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與橢圓的綜合，涉及解齊次不等式，屬于中檔題．（多選）10．橢圓具有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線通過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)．請(qǐng)根據(jù)橢圓的這一光學(xué)性質(zhì)解決以下問題：已知橢圓C：x264+y236=1，其左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，直線l與橢圓C相切于點(diǎn)P，且|PF1|＝4，F(xiàn)1關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為F′1A．∠FB．|PMC．點(diǎn)F′1在以F2為圓心，16為半徑的圓上 D．|F1M|：|F2M|＝1：2【考點(diǎn)】橢圓的焦點(diǎn)三角形；橢圓的定義；橢圓的幾何特征．【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；解三角形；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】ABC【分析】對(duì)A：根據(jù)橢圓的定義結(jié)合余弦定理計(jì)算即可得；對(duì)B：根據(jù)題意結(jié)合橢圓的光學(xué)性質(zhì)可得PM為∠F1PF2的角平分線，再利用等面積法計(jì)算即可得；對(duì)C：借助橢圓的光學(xué)性質(zhì)計(jì)算即可得；對(duì)D：根據(jù)題意結(jié)合正弦定理運(yùn)算即可得．【解答】解：對(duì)A：因?yàn)闄E圓C：x264+y2又直線l與橢圓C相切于點(diǎn)P，所以|PF1|+|PF2|＝16，|F又|PF1|＝4，則|PF2|＝12，所以cos∠又∠F1PF2∈[0，π），則∠F1P對(duì)B：由橢圓光學(xué)性質(zhì)結(jié)合MP⊥l可得PM為∠F1PF2的角平分線，又S△則12化簡(jiǎn)得4|PM|=123，即|對(duì)C：由橢圓光學(xué)性質(zhì)可得F′1在直線PF2上，且|PF′1|＝|PF1|＝4，則|F2F′1|＝16，故點(diǎn)F′1在以F2為圓心，16為半徑的圓上，故C正確；對(duì)D：由正弦定理可得|F1M即有|F1M又∠F1PM＝∠F2PM、∠F1MP+∠F2MP＝π，故sin∠F1即|F1M||F2M|=|PF1||PF2故選：ABC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的性質(zhì)，正余弦定理，直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于難題．（多選）11．如圖，已知橢圓x24+y22=1的左、右頂點(diǎn)分別是A1，A2，上頂點(diǎn)為B，點(diǎn)P是橢圓上的一點(diǎn)（不同于A1，A2），直線A1P與直線x＝2交于點(diǎn)M，直線OM交直線A2P于點(diǎn)G（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），記直線PA1，PA2A．k1k2=-B．OM⊥PA2 C．|GB|的最小值為2-D．tan∠OMA1的最大值為2【考點(diǎn)】橢圓的幾何特征．【專題】計(jì)算題；整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】ABD【分析】設(shè)點(diǎn)P（x0，y0）且y0≠0，由橢圓方程可得A1，A2的坐標(biāo)，由點(diǎn)P在橢圓上及兩點(diǎn)求斜率公式可得k1?k2值；由直線A1P與直線x＝2的交點(diǎn)得點(diǎn)M的坐標(biāo)，直線OM，PA2的斜率用k1來表示，進(jìn)而可得OM⊥PA2；將|OG|用∠BOM來表示，再利用余弦定理，輔助角公式，正弦函數(shù)的最小值來求得|GB|的最小值；將利用∠OMA1＝∠MOA2﹣∠MA1A2和直線A1P，OM的斜率關(guān)系得到11tanθ+2tanθ，再利用基本不等式討論tan【解答】解：已知橢圓x24+y22=1的左、右頂點(diǎn)分別是A1，A2，上頂點(diǎn)為B，點(diǎn)P直線A1P與直線x＝2交于點(diǎn)M，直線OM交直線A2P于點(diǎn)G（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），記直線PA1，PA2的斜率分別為k1，k2，對(duì)于A選項(xiàng)，由橢圓x24+y22=1，可得A1（﹣2，0），設(shè)點(diǎn)P（x0，y0）且y0≠0，k1所以k1又點(diǎn)P是橢圓上的一點(diǎn)，則x0化簡(jiǎn)得x02-故k1?k對(duì)于B選項(xiàng)，直線A1P的方程為y＝k1（x+2），因直線A1P與直線x＝2交于點(diǎn)M，由y=k1(x+2)x=2得M（由k1?k因?yàn)閗OM所以O(shè)M⊥PA2，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，記∠BOM＝α，則∠MO所以在△OBG中，|OG由余弦定理可得|=2+2(1-cos2所以|BG當(dāng)且僅當(dāng)2α+φ=π2時(shí)|BG|=3對(duì)于D選項(xiàng)，記∠MA1A2＝θ且θ≠0，則k1＝tanθ，kOM＝tan∠MOA2＝2k1＝2tanθ，所以tan∠當(dāng)θ∈(0，π2)時(shí)，則11tanθ+2tanθ≤當(dāng)θ∈(π2，π)時(shí)，﹣則1-(1tanθ+2tanθ)≤1綜上tan∠OMA1的最大值為24，故D故選：ABD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的性質(zhì)，屬于難題．（多選）12．已知橢圓E：x24A．當(dāng)﹣3≤c≤3時(shí)，直線l與橢圓E有兩個(gè)公共點(diǎn) B．當(dāng)c＝0時(shí)，橢圓E上到直線l的距離為3的點(diǎn)恰有4個(gè) C．當(dāng)c=52時(shí)，橢圓E上的點(diǎn)到直線l的最短距離小于D．當(dāng)直線l與橢圓E相交時(shí)，直線l被橢圓E截得的線段的中點(diǎn)可能為(【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合．【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】AD【分析】聯(lián)立x24+y29=1y=32x+c，利用判別式大于0可求出-32【解答】解：對(duì)于A，聯(lián)立x24+y29=1y=32x+c令Δ＝36c2﹣36（2c2﹣18）＝36（18﹣c2）＞0，得-3此時(shí)直線l與橢圓E有兩個(gè)公共點(diǎn)，由于當(dāng)﹣3≤c≤3時(shí)，必有-3故當(dāng)﹣3≤c≤3時(shí)，直線l與橢圓E有兩個(gè)公共點(diǎn)，A正確；對(duì)于B，當(dāng)c＝0時(shí)，直線l：y=設(shè)和直線l：y=32聯(lián)立x24+y29=1y=32x+t令Δ＝36t2﹣36（2t2﹣18）＝36（18﹣t2）＝0，解得t=不妨取y=32x+32，求其和而d=故此時(shí)橢圓E上不存在到直線l的距離為3的點(diǎn)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)c=52時(shí)，直線l：結(jié)合A的分析可知此時(shí)直線和橢圓沒有公共點(diǎn)；結(jié)合B的分析可知和直線l：y=32顯然y=32x+3計(jì)算l：y=32x+5故此時(shí)橢圓E上的點(diǎn)到直線l的最短距離大于1，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)直線l與橢圓E相交時(shí)，設(shè)兩交點(diǎn)為A（x1，y1），B（x2，y2），結(jié)合A的分析可知x1+x令x1+x22=-c3=23故直線l被橢圓E截得的線段的中點(diǎn)可能為(23，故選：AD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線與橢圓的綜合，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．三．填空題（共4小題）13．我們規(guī)定：在四面體P﹣ABC中，取其異面的兩條棱的中點(diǎn)連線稱為P﹣ABC的一條“內(nèi)棱”，三條內(nèi)棱兩兩垂直的四面體稱為“垂棱四面體”，如圖1．如圖2，在空間直角坐標(biāo)系中，xOy平面內(nèi)有橢圓C：x2+y22=1，F(xiàn)1為其下焦點(diǎn)，經(jīng)過F1的直線y＝kx+m與C交于A，B兩點(diǎn)，P為xOy平面下方一點(diǎn)，若P﹣ABO為垂棱四面體，則其外接球表面積（1）S（k）的定義域是(-22，22)；（2）S（【考點(diǎn)】直線與橢圓的位置關(guān)系及公共點(diǎn)個(gè)數(shù)；函數(shù)的定義域及其求法．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線中的最值與范圍問題；運(yùn)算求解．【答案】(-22【分析】根據(jù)題設(shè)新定義證明“垂棱四面體”P﹣ABC可補(bǔ)為長(zhǎng)方體，將P﹣ABO補(bǔ)成長(zhǎng)方體，設(shè)長(zhǎng)寬高分別為a，b，c，則S=π(a2+b2+c2)=12(AB2+BO2+AO2)π，設(shè)A（x【解答】解：如圖，連接M1M2，M3M4，M1M3，M1M4，M3M2，M4M2，由題知，M1M3∥12PB，M4M2∥12PB，且M1M3=12PB所以M1M3∥M4M2，M1M3＝M4M2，故四邊形M1M3M2M4為平行四邊形，所以對(duì)角線M1M2∩M3M4＝O，則O是M1M2，M3M4的中點(diǎn)，同理O也是M5M6的中點(diǎn)，故“垂棱四面體”的三條內(nèi)棱交于一點(diǎn)，由三條內(nèi)棱兩兩垂直，易知M1M3M2M4為菱形，則M1M3＝M1M4，顯然PB＝2M1M3，AC＝2M1M4，故PB＝AC，同理PA＝BC，PC＝AB，所以“垂棱四面體”P﹣ABC可補(bǔ)為如下圖示的長(zhǎng)方體，綜上，題設(shè)右圖可將P﹣ABO補(bǔ)成長(zhǎng)方體，設(shè)長(zhǎng)寬高分別為a，b，c，則外接球半徑為該長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)的一半，為R=所以S＝4πR2＝π（a2+b2+c2），顯然AB2＝a2+b2，BO2＝b2+c2，AO2＝a2+c2，則S=設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），因?yàn)橹本€y＝kx+m過橢圓焦點(diǎn)F1，所以m＝﹣1，聯(lián)立x2得（2+k2）x2﹣2kx﹣1＝0，則Δ＝4k2+4（2+k2）＞0，所以x1+x又AB2=(x1所以S=則S=[4=6即S(由A，B，O為某長(zhǎng)方體的三個(gè)頂點(diǎn)，結(jié)合題設(shè)新定義，易知△ABO中A，B為銳角，所以只需角O為銳角，即OA→則x1x2由S(所以11k2+14(2+k令t=11則11k由y=t+64t所以S(故答案為：(-22【點(diǎn)評(píng)】本題考查的結(jié)構(gòu)特征，考查聯(lián)立直線與橢圓方程的以及，韋達(dá)定理的應(yīng)用，考查利用函數(shù)單調(diào)性求最值，屬于難題．14．橢圓x216+y29=1的離心率74，過右焦點(diǎn)F2作直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，F(xiàn)1是橢圓的左焦點(diǎn)，則△AF【考點(diǎn)】橢圓的焦點(diǎn)三角形；求橢圓的離心率．【專題】計(jì)算題；整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】74；16【分析】根據(jù)方程可得a，b，c，即可得離心率；根據(jù)橢圓定義求△AF1B的周長(zhǎng)．【解答】解：對(duì)于橢圓x216+y29=1，其中a2＝則a＝4，c=因此橢圓的離心率e=因此△AF1B的周長(zhǎng)|AB|+|AF1|+|BF1|＝|AF2|+|BF2|+|AF1|+|BF1|＝|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|＝4a＝16．故答案為：74；16【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的焦點(diǎn)三角形及求橢圓的離心率，屬于中檔題．15．橢圓x212+y23=1的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上，如果線段PF1的中點(diǎn)在y【考點(diǎn)】橢圓的焦點(diǎn)弦及焦半徑．【專題】計(jì)算題；整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】7．【分析】由題意可得PF2平行y軸，然后結(jié)合橢圓方程和橢圓的定義整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果．【解答】解：∵原點(diǎn)O是F1F2的中點(diǎn)，∴PF2平行y軸，即PF2垂直于x軸，∵c＝3，∴|F1F2|＝6，設(shè)|PF1|＝x，根據(jù)橢圓定義可知|P∴(43-x|P∴|P∴PF故答案為：7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的焦點(diǎn)弦及焦半徑，屬于中檔題．16．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B，C為橢圓x22+y2=1上三個(gè)不同的點(diǎn)（A，B，C依次逆時(shí)針排列）．若∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°，則|OA【考點(diǎn)】橢圓上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離．【專題】計(jì)算題；整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】14449【分析】利用極坐標(biāo)方程和權(quán)方和不等式求解即可．【解答】解：已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B，C為橢圓x22+y2=1上三個(gè)不同的點(diǎn)（A，B，C依次逆時(shí)針排列），若∠AOB＝∠設(shè)|OA|＝ρ1，|OB|＝ρ2，|OC|＝ρ3，∴A（ρ1cosθ，ρ1sinθ），B（ρ2cos（θ+120°），ρ2sin（θ+120°）），C（ρ3cos（θ+240°），ρ3sin（θ+240°）），∴ρ1cos2θ+cos2（θ+120°）+cos2（θ+240°）=cossin2∴1ρ?ρ∴|OA當(dāng)且僅當(dāng)1ρ即ρ12=則|OA|2故答案為：14449【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓中的最值問題，屬于中檔題．四．解答題（共4小題）17．已知平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是阿波羅尼斯圓（動(dòng)點(diǎn)M與兩定點(diǎn)A，B的距離之比|MA||MB|=λ，（λ＞0且λ≠1的常數(shù)），其方程為x2+y2＝4，定點(diǎn)分別為橢圓C：y2a2+x2b2=1（a＞b＞0）的上焦點(diǎn)F與上頂點(diǎn)D，且橢圓C與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為42，過點(diǎn)D作斜率為k（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若∠SOT為銳角（其中O是原點(diǎn)），求斜率k的取值范圍；（3）設(shè)橢圓C的下焦點(diǎn)為E，求△EST面積的最大值．【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合；根據(jù)橢圓的幾何特征求標(biāo)準(zhǔn)方程．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線中的最值與范圍問題；運(yùn)算求解．【答案】（1）y2（2）k∈（3）3．【分析】（1）由阿波羅尼斯圓定義可得|MF||MD|（2）聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理求解即可；（3）設(shè)lD：y=kx【解答】解：（1）取M（0，±2），由阿波羅尼斯圓定義可得|MF由題知，a=22，代入上式可解得c2＝所以b2＝8﹣2＝6，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2（2）由題設(shè)可知k存在且不為零，設(shè)lD則y=得(1+k設(shè)兩交點(diǎn)S（x1，y1），T（x2，y2），Δ＝32k2﹣16（k2+1）＞0，解得k2＞1，x1+x若使∠SOT為銳角，則滿足OS→OS→即OS→?OT解得1＜k2＜3，即k∈（3）由題知D(0，22)，顯然由則y=得(1+k設(shè)兩交點(diǎn)S（x1，y1），T（x2，y2），Δ＝32k2﹣16（k2+1）＞0，解得k2＞1，x1+x由圖知，S△可知x1，x2同號(hào)，所以S=3令k2S△=62×t所以S△max＝3，所以△EST面積的最大值3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓方程的綜合應(yīng)用，考查運(yùn)算能力，屬于難題．18．已知橢圓C：x2a2+（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）若A(-52，0)，直線l：x=ty+32【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合；根據(jù)橢圓的幾何特征求標(biāo)準(zhǔn)方程．【專題】計(jì)算題；整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】（Ⅰ）x2（Ⅱ）2．【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意得出a，b的值，進(jìn)而可得結(jié)果；（Ⅱ）首先設(shè)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），根據(jù)直線與橢圓聯(lián)立，結(jié)合根系關(guān)系得到|y1-y2|=16t2【解答】解：（Ⅰ）由題意可得e=ca=222b=2橢圓C的方程為x2（Ⅱ）由題意設(shè)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），如圖所示：聯(lián)立x=整理得(t2+2)則y1+y故|y設(shè)直線l與x軸的交點(diǎn)為D(又A(-5故S△結(jié)合t＞0，解得t=【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與橢圓的綜合與求標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于中檔題．19．已知橢圓E：x2a2（Ⅰ）求橢圓E的方程；（Ⅱ）若直線l：3x-3y+m=0(m∈R)與橢圓E交于P，Q兩點(diǎn)，線段PQ的中點(diǎn)為（Ⅲ）點(diǎn)A，B兩點(diǎn)在橢圓E上，且關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱，過點(diǎn)A與AB垂直的直線與橢圓E的另一個(gè)交點(diǎn)為C，AM⊥x軸，垂足為M，直線BC與x軸交于點(diǎn)N，△AOM的面積和△BON的面積分別記為S1，S2，求S1【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合．【專題】方程思想；定義法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯思維．【答案】（Ⅰ）x2（Ⅱ）xR的取值范圍為(-3，3)（Ⅲ）12【分析】（Ⅰ）結(jié)合已知求解橢圓方程即可．（Ⅱ）聯(lián)立直線l和橢圓方程，設(shè)出點(diǎn)P，Q，M的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），（xM，yM），進(jìn)而結(jié)合根的判別式和韋達(dá)定理求解．（Ⅲ）設(shè)A（x0，y0），B（﹣x0，﹣y0），M（x0，0），直線BC的方程為y+y0＝k（x+x0），點(diǎn)C（xc，yc），聯(lián)立直線BC和橢圓方程進(jìn)而求解．【解答】解：（Ⅰ）因?yàn)闄E圓E的離心率為63，所以c所以a2=32c2，所以a2=因?yàn)闄E圓E經(jīng)過點(diǎn)(3，1)，所以3所以b2＝2，所以a2＝6．所以橢圓E的方程為x2（Ⅱ）由方程組3x-3y+設(shè)點(diǎn)P，Q，M的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），（xM，yM），所以Δ＝12m2﹣24（m2﹣18）＞0，解得﹣6＜m＜6．所以x1+x所以y1因?yàn)榫€段PQ的中點(diǎn)為R（xR，yR），所以xR因?yàn)椹?＜m＜6，所以-3＜x所以xR的取值范圍為(-3，3)（Ⅲ）因?yàn)辄c(diǎn)A，B兩點(diǎn)在橢圓E上，且關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱，AM⊥x軸，垂直為M，所以設(shè)A（x0，y0），B（﹣x0，﹣y0），M（x0，0），設(shè)直線BC的方程為y+y0＝k（x+x0），點(diǎn)C（xc，yc），由方程組y+y0=k所以-x所以xC因?yàn)锳C⊥AB，所以O(shè)A→所以(x整理得（y0﹣kx0）（y0﹣3kx0）＝0，解得y0＝kx0或y0＝3kx0，當(dāng)y0＝kx0時(shí)，BC過原點(diǎn)，不符合題意．當(dāng)y0＝3kx0時(shí)，直線BC的方程為y＝kx﹣2kx0．所以N（2x0，0），所以S1=12|【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與橢圓的綜合應(yīng)用以及橢圓方程的求解，屬于難題．20．如圖，圓E：（x+1）2+y2＝16，F(xiàn)（1，0）是圓E內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，M是圓E上任意一點(diǎn)．線段MF的垂直平分線l和半徑EM相交于點(diǎn)N，當(dāng)點(diǎn)M在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記動(dòng)點(diǎn)N的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的方程；（2）設(shè)曲線C與x軸從左到右的交點(diǎn)為點(diǎn)A，B，點(diǎn)P為曲線C上異于A，B的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)PA交直線x＝﹣4于點(diǎn)T，連結(jié)BT交曲線C于點(diǎn)Q，直線BP，BQ的斜率分別為kBP，kBQ．（i）求證：kBP?kBQ為定值；（ii）證明：直線PQ經(jīng)過x軸上的定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合；軌跡方程；橢圓的定義．【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；圓錐曲線中的最值與范圍問題；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】（1）x2（2）（i）證明見解析；（ii）證明見解析．【分析】（1）由橢圓的定義及性質(zhì)即可得解；（2）（i）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），T（﹣4，m），由題可得kBP=y1x1-2，kBQ=kBT=-（ii）由題意可知，直線PQ與x軸不平行，設(shè)直線PQ的方程為x＝ty+n（﹣2＜n＜2），P（x1，y1），Q（x2，y2），聯(lián)立直線與橢圓的方程，然后由根與系數(shù)的關(guān)系可得y1+y2=-6tn3t2【解答】解：（1）由題意可知，|NE|+|NF|＝|NM|+|NE|＝4＞|EF|＝2，由橢圓定義可得，點(diǎn)N的軌跡是以E，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a＝4，焦距2c＝|EF|＝2，所以b2＝a2﹣c2＝3，故曲線C方程為x2（2）證明：（i）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），T（﹣4，m），由題可知A（﹣2，0），B（2，0），如下圖所示，則kBP=y而kAP=k所以kBP又x12因此kBP（ii）由題意可知，直線PQ與x軸不平行，設(shè)直線PQ的方程為x＝ty+n（﹣2＜n＜2），P（x1，y1），Q（x2，y2），聯(lián)立方程組x=ty+nx24+y23=1，化簡(jiǎn)得（3t2+4）則Δ＝（6m）2﹣4（3t2+4）（3n2﹣12）＞0，即3t2﹣n2+4＞0，所以y1由（i）可知，kBP又kBP?kBQ==y=3=-化簡(jiǎn)得3n解得：n＝﹣1或n＝2（舍去），所以直線PQ的方程為x＝ty﹣1，因此直線PQ經(jīng)過定點(diǎn)（﹣1，0）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的性質(zhì)及直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于難題．

考點(diǎn)卡片1．函數(shù)的定義域及其求法【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】函數(shù)的定義域就是使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍．求解函數(shù)定義域的常規(guī)方法：①分母不等于零；②根式（開偶次方）被開方式≥0；③對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零，以及對(duì)數(shù)底數(shù)大于零且不等于1；④指數(shù)為零時(shí)，底數(shù)不為零．⑤實(shí)際問題中函數(shù)的定義域；【解題方法點(diǎn)撥】求函數(shù)定義域，一般歸結(jié)為解不等式組或混合組．（1）當(dāng)函數(shù)是由解析式給出時(shí)，其定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合．（2）當(dāng)函數(shù)是由實(shí)際問題給出時(shí)，其定義域的確定不僅要考慮解析式有意義，還要有實(shí)際意義（如長(zhǎng)度、面積必須大于零、人數(shù)必須為自然數(shù)等）．（3）若一函數(shù)解析式是由幾個(gè)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算得到的，則函數(shù)定義域應(yīng)是同時(shí)使這幾個(gè)函數(shù)有意義的不等式組的解集．若函數(shù)定義域?yàn)榭占瑒t函數(shù)不存在．（4）抽象函數(shù)的定義域：①對(duì)在同一對(duì)應(yīng)法則f下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要滿足的范圍是一樣的；②函數(shù)g（x）中的自變量是x，所以求g（x）的定義域應(yīng)求g（x）中的x的范圍．【命題方向】高考會(huì)考中多以小題形式出現(xiàn)，也可以是大題中的一小題．2．由圓與圓的位置關(guān)系求解圓的方程或參數(shù)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】﹣方程或參數(shù)：根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系，可以確定圓的方程或參數(shù)，如圓心位置和半徑．【解題方法點(diǎn)撥】﹣確定方程：1．分析位置關(guān)系：根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系確定方程形式．2．代入條件：根據(jù)位置關(guān)系求解方程的參數(shù)和具體形式．【命題方向】﹣方程參數(shù)求解：考查如何根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系確定圓的方程或參數(shù)，涉及幾何解釋和代數(shù)計(jì)算．3．橢圓的定義【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．橢圓的第一定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)2a（2a＞|F1F2|）的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡叫做橢圓，其中，這兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)之間的距離|F1F2|叫做焦距．2．橢圓的第二定義平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)的距離和到一條定直線的距離之比是常數(shù)e=ca（0＜e＜1，其中a是半長(zhǎng)軸，c是半焦距）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，定點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，定直線叫橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)3．注意要點(diǎn)橢圓第一定義中，橢圓動(dòng)點(diǎn)P滿足{P||PF1|+|PF2|＝2a}．（1）當(dāng)2a＞|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是橢圓；（2）當(dāng)2a＝|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是線段F1F2；（3）當(dāng)2a＜|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P沒有運(yùn)動(dòng)軌跡．【命題方向】利用定義判斷動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡，需注意橢圓定義中的限制條件：只有當(dāng)平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的和2a＞|F1F2|時(shí)，其軌跡才為橢圓．1．根據(jù)定義判斷動(dòng)點(diǎn)軌跡例：如圖，一圓形紙片的圓心為O，F(xiàn)是圓內(nèi)一定點(diǎn)，M是圓周上一動(dòng)點(diǎn)，把紙片折疊使M與F重合，然后抹平紙片，折痕為CD，設(shè)CD與OM交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡是（）A．橢圓B．雙曲線C．拋物線D．圓分析：根據(jù)CD是線段MF的垂直平分線．可推斷出|MP|＝|PF|，進(jìn)而可知|PF|+|PO|＝|PM|+|PO|＝|MO|結(jié)果為定值，進(jìn)而根據(jù)橢圓的定義推斷出點(diǎn)P的軌跡．解答：由題意知，CD是線段MF的垂直平分線．∴|MP|＝|PF|，∴|PF|+|PO|＝|PM|+|PO|＝|MO|（定值），又顯然|MO|＞|FO|，∴根據(jù)橢圓的定義可推斷出點(diǎn)P軌跡是以F、O兩點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓．故選A點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的定義的應(yīng)用．考查了學(xué)生對(duì)橢圓基礎(chǔ)知識(shí)的理解和應(yīng)用．2．與定義有關(guān)的計(jì)算例：已知橢圓x24+y23=1A．25B．23C．5D．3分析：先由橢圓的第一定義求出點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離，再用第二定義求出點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離d．解答：由橢圓的第一定義得點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離等于4-32=5再由橢圓的第二定義得52d=∴點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離d＝5，故選C．點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的第一定義和第二定義，以及橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．4．根據(jù)橢圓的幾何特征求標(biāo)準(zhǔn)方程【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】橢圓的幾何特征包括長(zhǎng)軸2a、短軸2b、焦點(diǎn)(±【解題方法點(diǎn)撥】1．提取幾何特征：從題目中得到長(zhǎng)軸、短軸或焦距．2．代入標(biāo)準(zhǔn)方程：使用幾何特征計(jì)算a和b，代入標(biāo)準(zhǔn)方程：x2【命題方向】﹣由橢圓的幾何特征（如長(zhǎng)軸、短軸）求標(biāo)準(zhǔn)方程．﹣根據(jù)焦點(diǎn)位置和長(zhǎng)短軸所在位置推導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)方程．5．橢圓上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】橢圓上任意點(diǎn)（x1，y1）到焦點(diǎn)的距離可以用以下公式計(jì)算：距離=【解題方法點(diǎn)撥】1．計(jì)算距離：代入點(diǎn)坐標(biāo)和焦點(diǎn)位置計(jì)算距離．【命題方向】﹣給定橢圓上的點(diǎn)和焦點(diǎn)，計(jì)算距離．﹣利用橢圓的幾何性質(zhì)計(jì)算點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離．6．橢圓的幾何特征【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．橢圓的范圍2．橢圓的對(duì)稱性3．橢圓的頂點(diǎn)頂點(diǎn)：橢圓與對(duì)稱軸的交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn)．頂點(diǎn)坐標(biāo)（如上圖）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）其中，線段A1A2，B1B2分別為橢圓的長(zhǎng)軸和短軸，它們的長(zhǎng)分別等于2a和2b，a和b分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)．4．橢圓的離心率①離心率：橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比ca叫做橢圓的離心率，用e表示，即：e=ca，且0＜e②離心率的意義：刻畫橢圓的扁平程度，如下面兩個(gè)橢圓的扁平程度不一樣：e越大越接近1，橢圓越扁平，相反，e越小越接近0，橢圓越圓．當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，c＝0，橢圓變?yōu)閳A，方程為x2+y2＝a2．5．橢圓中的關(guān)系：a2＝b2+c2．7．求橢圓的離心率【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】橢圓的離心率e由公式e=ca【解題方法點(diǎn)撥】1．計(jì)算離心率：使用公式e=【命題方向】﹣給定a和b，求橢圓的離心率．﹣計(jì)算橢圓的離心率，并分析其含義．8．橢圓相關(guān)動(dòng)點(diǎn)軌跡【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】動(dòng)點(diǎn)在橢圓上的軌跡問題通常涉及到橢圓的參數(shù)和方程的變換．【解題方法點(diǎn)撥】1．求解軌跡：設(shè)定動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，找到對(duì)應(yīng)的橢圓方程或參數(shù)．2．方程變換：通過變換確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．【命題方向】﹣給定動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，求橢圓的軌跡．﹣分析動(dòng)點(diǎn)在橢圓上的運(yùn)動(dòng)特征．9．直線與橢圓的綜合【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】直線與橢圓的位置判斷：將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去x（或y）的一元二次方程，則：直線與橢圓相交?Δ＞0；直線與橢圓相切?Δ＝0；直線與橢圓相離?Δ＜0；【解題方法點(diǎn)撥】（1）直線與橢圓位置關(guān)系的判斷方法①聯(lián)立方程，借助一元二次方程的判別式來判斷；②借助直線和橢圓的幾何性質(zhì)來判斷．根據(jù)直線系方程抓住直線恒過定點(diǎn)的特征，將問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)和橢圓的位置關(guān)系，也是解決此類問題的難點(diǎn)所在．（2）弦長(zhǎng)的求法設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為A（x1，y1），B（x2，y2），則|AB|=(1+k2注意：利用公式計(jì)算直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)是在方程有解的情況下進(jìn)行的，不要忽略判別式．（3）中點(diǎn)弦、弦中點(diǎn)常見問題①過定點(diǎn)被定點(diǎn)平分的弦所在直線的方程；②平行弦中點(diǎn)的軌跡；③過定點(diǎn)的弦的中點(diǎn)的軌跡．解決有關(guān)弦及弦中點(diǎn)問題常用方法是“韋達(dá)定理”和“點(diǎn)差法”，這兩種方法的前提都必須保證直線和橢圓有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)．（4）橢圓切線問題①直線與橢圓相切，有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)；②過橢圓外一點(diǎn)可以作兩條直線與橢圓相切；③過橢圓上一點(diǎn)只能作一條切線．（5）最值與范圍問題的解決思路①構(gòu)造關(guān)于所求量的函數(shù)，通過求函數(shù)的值域來獲得問題的解；②構(gòu)造關(guān)于所求量的不等式，通過解不