2025～2026學年度第一學期高二年級六校聯(lián)數(shù)學科試題注意事項：1.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘。4.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.在空間直角坐標系中，點(-3,2,5)關于平面Oxy對稱的點的坐標是A.(—3,—2,-5)B.(—3,2,-5)2.圓x2+y2—2x—4y+4=0與圓(x—1)2+(y+2)2=9的位置關系為A.內切B.相交C.外切D.相離3.已知向量a=(0,1,1),b=(1,1,0),則向量b在向量a上的投影向量為A.(0,-1,-1)B.(-1,0,-1)5.設F?,F?是橢的左、右焦點，過F?的直線交橢圓于A,B兩點，若AF?|+|BF?|的最大值為5,則橢圓的離心率為6.已知O為正方形ABCD的中心，E,F分別為BC,AD的中點，若將正方形ABCD沿對角線7.已知直線l?:mx+y-m—3=0與l2:x-my+m-3=0相交于點M,線段AB是圓A.6√2+2B.6√2+4C.8√2+4D.8√2+2【高二年級六校聯(lián)合學業(yè)質量檢測數(shù)學卷第1頁(共4頁)】6163B則下列結論不正確的是A.點D(2√2,0)在曲線C上二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。A.已知{a,b,c}是空間的一個基底，若m=a+c,則{a,b,m}也是空間的一個基底B.對空間任意一點O和不共線的三點A,B,C,若OP=2OA+2OB-3OC,則P,A,B,C四點共面C.直線3x+4y+5=0的方向向量可以是n=(3,4)10.若實數(shù)x,y滿足(x-2)2+y2=1,則C.2x+y≤5D.|3x+4y+10|≤2111.如圖，正方體ABCD-A?B?C?D?的棱長為2,點P在側面BB?C?C的邊界及其內部運動.下列說法正確的是C.若點O為底面ABCD的中心，且D?OLOP,則△D?C?P面積的最D.若tan∠PDC=2tan∠PAB,則點P的軌跡的長度12.已知直線4x+3y+2m=0與圓C:(x+3)2+(y-1)2=1相交，則整數(shù)m的一個取值可能的斜率為2.若△PF?F?是直角三角形，且面積為8,則雙曲線的方程為【高二年級六校聯(lián)合學業(yè)質量檢測數(shù)學卷第2頁(共4頁)】14.畫法幾何的創(chuàng)始人——法國數(shù)學家蒙日發(fā)現(xiàn)：橢圓C(a>b>0)的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，它的圓心是橢圓的中心，半徑等于長、短半軸平方和的算術平方根，這個圓就稱為橢圓C的蒙日圓，其方程為x2+y2=a2+b2.已知橢圓C的離心率,點A,B均在橢圓C上，則動點A與橢圓C的蒙日圓上任意一點的距離最小值為 (用含b的式子表示);若b=1,橢圓C的蒙日圓上存在點M滿足MA⊥MB,則AB|的取值范圍為.(第一空2分，第二空3分)四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟。15.(本小題滿分13分)已知等腰三角形ABC的一個頂點為A(2,4),底邊的一個端點為B(-2,0).(1)求AB的中垂線l的一般方程；(2)求底邊的另一個端點C的軌跡.16.(本小題滿分15分)(1)求證：四邊形AEC?F為平行四邊形；(2)若底面ABCD為正方形，且AB=4,AA?=3,∠A?AB=∠A?AD=60°,AC?與EF相交于點M,求點M到直線AB的距離.17.(本小題滿分15分)雙曲線C上任意一點.(1)求雙曲線C的方程；(3)若雙曲線C的左頂點為A?,右焦點為F?,求PA?·PF?的最小值.【高二年級六校聯(lián)合學業(yè)質量檢測數(shù)學卷第3頁(共4頁)】18.(本小題滿分17分)(2)若點P,A,B,C都在半徑為√5的球O的表面上.(ii)求平面PAB與平面PCB夾角的余弦值.19.(本小題滿分17分)我們約定，如果一個橢圓的長軸和短軸分別是另一條雙曲線的實軸和虛軸，則稱它們互為C的離心率(1)求橢圓C的方程；(2)試確定m的取值范圍，使得橢圓C上有兩個不同的點關于直線y=4x+m對稱；(3)若A,B是橢圓C上的兩動點(A,B兩點不關于x軸對稱),O為坐標原點，OA,OB的斜率分別為k?,k?,問是否存在非零常數(shù)λ,使得k?·k?=λ時，△AOB的面積S為定值?【高二年級六校聯(lián)合學業(yè)質量檢測數(shù)學卷第4頁(共4頁)】6163B題號12345678答案BCCADADB題號9答案2.C圓C?:x2+y2—2x—4y+4=0,即(x—1)2+(y—2)2=1,表示以C?(1,2)為圓心，半徑等于1的圓，圓為圓心，半徑等于3的圓，∴兩圓的圓心距d=√(1-1)2+(2+2)2=4,∵4=3+1,∴兩個圓外切.所以向量b在向量a上的投影向量.故選C.|n+2|=3,解得n=1或n=-5,故m+n=2+1=3或m+n=2-5=—3,即m+n=±3.,所以8—b2=5,解得b=√3,所以c=√a2—b2=1,.故選D.6.A如圖所示，易知OA⊥BD,OC⊥BD,所以結合已知有OA⊥OB,OC⊥OD,<OB,OD>=π,設正方形邊長為2,所以OA=OB=OC=OD=√2,OE=OF=1,,故選A.7.D依題意得C(-1,-1),半徑r=2,設M點坐標為(x,y),易知直線l?:mx+y-m-3=0恒過點E(1,3),直線l2:x—my+m—3=0恒過點F(3,1),所以點M的軌跡是以EF為直徑的圓，EF的中點為故點M的軌跡為圓G:(x—2)2+(y-2)2=2,但是去掉點(1,1),【高二年級六校聯(lián)合學業(yè)質量檢測·數(shù)學卷參考答案第1頁(共6頁)】6163B故點D在以(-1,-1)為圓心，半徑為1的圓上，|CG|=√(-1-2)2+(-1-2)2=3√2,直線CG為y=x,聯(lián)立y=x與G:(x—2)2+(y—2)2=2得或(舍去),M(3,3).8.B對于A,因為|DF?||DF?|=(2√2+2)(2√2-2)=4,由定義知D∈C,故A正確；化簡得x?—6x2+9=0,所以x=√3,|MF?|=√(3+2)2+1≠2√2,B錯誤；故選B.對于C,直線3x+4y+5=0的斜率,C錯誤； ,故A正確；對于B,由(x—2)2+y2≥2(x—2)y知,當且僅當或時對于C,設2x+y=t,則直線2x+y-t=0與圓(x-2)2+y2=1有公共點，,圓上的點到直線l:3x+4y+10=0的距離的5倍的最大值等于則A?(2,0,2),A(2,0,0),B(2,2,0),C0,2,0),B?(2,2,2),D?(0,0,2對于AB,由,則A?B=(0,2,-2),,設平面A?BP的法向量為n=(a,b,c),則,取b=c=2,得a=1,故平面A?BP的一個法向量為n=(1,2,2).又D?A?=(2,0,0),則點D?到平面A?BP的距離為,B錯誤；正方體ABCD-A?B?CD?的棱長為2,所以B?F=BF=1,DO=BO=OC=√2,由OC∩OF=O可得OD?⊥平面OCF,所以OD?⊥CF,所以點P的軌跡為線段CF,又C?F=√B?C+B?F2=√5>C?C=2,所以△D?C?P面積的最大值√5,C正確；(C選項建系方法更快)對于D,BC⊥平面CDD?C,BC⊥平面ABB?A?,所以△PDC,△PAB都是直角三角形.在側面BCC?B?中以點B為坐標原點，以BC,BB?所在的直線分別為x,y軸建立如圖所示的平面直角坐標系，則BC0,0),C(2,0),設P(x,y),則整理得到，圓,所以點P是在以為圓心，以為半徑的圓上.又因為P在側面BCC?B?(含邊界)上運動，所以點P軌跡是圓上的一段劣弧MN(M,N分別是圓Q與BC,BB?的交點),因為,所以,則點P的軌跡長三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.3(或4,5,6,只需填寫一個答案即可)圓心C(-3,1)到直線4x+3y+2m=0的距離,由,得2<m<7,所以整數(shù)m的所有可能取值為3,4,5,6.13.如圖，由題可知，點P必落在第四象限，∠F?PF?=90°,設|PF?|=m,∠PF?F?=θ?,因為∠F?PF?=90°,所以kpF?·kpF?=-1,得,即,sinθ?由正弦定理可得|PF?|:|PF?|:|F?F?|=sinθ?:sinθ?:sin90°=2:1:√5,【高二年級六校聯(lián)合學業(yè)質量檢測·數(shù)學卷參考答案第3頁(共6頁)】6163B若b=1,則橢圓C的方程,即x2+3y2=3,蒙日圓方程為x2+y2=4,故直線MA的方程為x1x+3yy=3,直線MB則AE=FC?,即AE=FC?且AE//FC?,所以四邊形AEC?F為平行四邊形.……………5分………9分則點M到直線AB的距離為14分…7分函數(shù)的對稱軸為又PC二平面PAC,所以AB⊥PC.……(i)設O(a,b,c),c>0,由AO=BO=CO=√5,得a2+b2+c2=(a-2)2+b2+c2=a2+(b—2)2+c2=5,由PC=2,OP=√5,得(d-2)2+e2=22,(0-1)2+(d-1)2+(e—√3)2解得d=3,e=√3,∴P(0,3,√3),………8分PA=√(0—0)2+(3—0)2+(√3-0)2=2√3.………9取z1=√3,則y?=-1,得n=(0,-1,√3),………………12分第5頁(共6頁)】19.解：(1)由已知可設橢圓C的方程,則,解得b2=1,∴橢圓C的方程為……………3分(2)令橢圓上M(xi,y1),N(x2,y2)兩點關于直線y=4x+m對稱，MN的中點為Q(x?,yo),則.因為點M,N在橢圓上，所以,兩式相減得 ,又因為x?+x2=2x?,y?+y?=2y?,所即yo=xo,所以