第四章隨機變量的數(shù)字特征習(xí)題課四習(xí)題課四中,歸納第四章的概念、理論與方法等內(nèi)容.在“例題分類解析”部分,講解:直接按定義計算隨機變量的數(shù)學(xué)期望;利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)及常見分布的期望進行計算.直接按定義計算隨機變量的方差;利用方差的性質(zhì)及常見分布的數(shù)字特征進行計算;習(xí)題課四內(nèi)容簡介：

5.對較復(fù)雜的隨機變量進行分解,化為簡單隨機變量之和進行計算.

6.一維隨機變量函數(shù)的數(shù)字特征;

7.二維隨機變量及其函數(shù)的數(shù)字特征;

8.相關(guān)性與獨立性問題;

9.有關(guān)數(shù)字特征的證明問題.

介紹學(xué)習(xí)與研究方法所謂隨機變量的數(shù)字特征是指聯(lián)系于分布函數(shù)的某些數(shù),它們反映隨機變量的某方面的特征.找到這些特征,往往分布函數(shù)(或概率分布,概率密度函數(shù))隨之就確定了.不過在許多實際問題中,我們并不需要完全知道分布函數(shù),只需要知道隨機變量的某些數(shù)字特征就夠了.隨機變量的數(shù)字特征在理論和實際中均具有重要作用. 內(nèi)容簡介

在本章中,首先,給出了數(shù)學(xué)期望的定義,介紹了關(guān)于隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望的定理,然后討論了數(shù)學(xué)期望的性質(zhì).其次,給出了方差的定義,討論了方差的性質(zhì).最后,定義了相關(guān)系數(shù)、協(xié)方差和矩.本章重點:1.數(shù)學(xué)期望的概念和性質(zhì);2.方差的概念和性質(zhì);3.相關(guān)系數(shù)的概念和計算.本章難點:1.隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望的計算;2.方差的計算;

3.隨機變量的相關(guān)性和獨立性的關(guān)系.

4.1主要內(nèi)容歸納1.一維隨機變量的數(shù)學(xué)期望表4-1一維隨機變量的數(shù)學(xué)期望若X的概率密度為則(2)若隨機變量函數(shù)為則連續(xù)型隨機變量

若X的分布律為則(2)若隨機變量函數(shù)為則離散型隨機變量

(1)(為常數(shù));(2)(3)(4)(5)若X與Y相互獨立,則數(shù)學(xué)期望性質(zhì)

2.一維隨機變量的方差表4-2一維隨機變量的方差連續(xù)型離散型

若X的概率密度為則若X的分布律為則(1)(2)(C為常數(shù));(3)(4)(5)若X與Y相互獨立,則.方差性質(zhì)

表4-3二維隨機變量的數(shù)學(xué)期望與方差設(shè)的聯(lián)合分布律為則(2)二維離散型隨機變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于數(shù)學(xué)期望

離散型隨機變量3.二維隨機變量的數(shù)學(xué)期望與方差(1)設(shè)的概率密度為,則(2)二維隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于數(shù)學(xué)期望連續(xù)型隨機變量方差方差

(1)-1≤≤1;(2)若X,Y相互獨立，則(3)以概率1與X線性相關(guān),即存在常數(shù)a,b,使相關(guān)系數(shù)(1)(2)(3)(4)(5)協(xié)方差表4-4協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)

4.協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)

5.矩和協(xié)方差矩陣X的k階原點矩X的k階中心矩連續(xù)型X的k階原點矩X的k階中心矩離散型矩

表4-5矩和協(xié)方差矩陣

（X,Y）的協(xié)方差矩陣其中協(xié)方差矩陣6.常用分布的數(shù)學(xué)期望和方差表4-6常用分布的數(shù)學(xué)期望和方差泊松分布

二項分布

兩點分布

方差

期望

分布律或概率密度

分布

均勻分布

正態(tài)分布

幾何分布

指數(shù)分布

7.重要結(jié)論和常用公式表4-7重要結(jié)論和期望、方差計算時常用公式(1)特別地,當(dāng)X與Y獨立時(2)(3)X與Y獨立但反過來不成立.(4)若服從二維正態(tài)分布,則X與Y獨立X與Y不相關(guān).重要結(jié)論

(1)(2)

(3)

-函數(shù)的性質(zhì):

其中(5)常用公式

4.2例題分類解析1.直接按定義計算隨機變量的數(shù)學(xué)期望

例4.1

設(shè)隨機變量X的概率密度為,求因此只需按照數(shù)學(xué)期望的定義計算即可.這里隨機變量X的概率密度已知,分析解由定義

例4.2

已知隨機變量X的分布函數(shù)為求我們由此求得其概率密度,進而得到數(shù)學(xué)期望.分析這里給出的是隨機變量的分布函數(shù)解隨機變量X的概率密度為由此次數(shù)的數(shù)學(xué)期望.相互獨立的,其概率均為

例4.3

設(shè)從學(xué)校乘汽車到火車站的途中有3個交通崗,又設(shè)在各個交通崗遇到紅燈的事是試求途中遇到紅燈解令X表示途中遇到紅燈的次數(shù),由題意即X的分布律為P3210X從而

2.利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)及常見分布的期望進行計算

例4.4

已知X服從參數(shù)為2的泊松分布,即則隨機變量的數(shù)學(xué)期望____.

分析本題涉及泊松分布的數(shù)學(xué)期望和數(shù)學(xué)期望的運算性質(zhì).由于所以因此解這里由于未給出分布律,所以須先由試驗寫出分布律,然后計算.

例4.5

對某目標進行射擊,直到擊中為止.若每次命中概率為p(0<p<1),求射擊次數(shù)的期望和方差.分析解以X表示射擊的次數(shù),則X的分布律為P321X3.直接按定義計算隨機變量的方差又故有

4.利用方差的性質(zhì)及常見分布的數(shù)字特征進行計算

例4.6

設(shè)隨機變量相互獨立,其中[0,6]上服從均勻分布,在服從正態(tài)分布服從參數(shù)為的指數(shù)分布.記求和分析差和由它們所構(gòu)成的線性函數(shù)的方差問題.本題涉及幾種常用分布的期望、方由題設(shè)知解由期望的性質(zhì)可得由于相互獨立,所以

例4.7

設(shè)隨機變量X與Y獨立,且試求的概率密度.分析組合的計算.涉及用數(shù)字特征表示隨機變量函數(shù)的概率密度問題.涉及獨立正態(tài)隨機變量函數(shù)的線性因此解由題設(shè)知,故有

例4.8

設(shè)二維隨機變量(X,Y)在區(qū)域內(nèi)服從均勻分布,求關(guān)于X的邊緣概率密度及隨機變量的方差分析本題涉及邊緣概率密度的計算和函數(shù)方差的計算.易知D的面積為1.解因此(X,Y)的概率密度為由關(guān)于X的邊緣概率密度討論如下:(1)當(dāng)x≤0或x≥1時,(2)當(dāng)0<x<1時,所以由此可得此外于是有最后,由方差的性質(zhì)可得5.對較復(fù)雜的隨機變量進行分解,化為簡單隨機變量之和進行計算

例4.9

設(shè)某人先寫了n封投向不同地址的信,再寫n個標有這n個地址的信封,然后在每個信封內(nèi)隨意裝入一封信.試求信與地址配對的個數(shù)的數(shù)學(xué)期望.這是一個“配對”問題.若采用先求分布再按定義計算期望的方法將十分麻煩.下面我們將這個比較復(fù)雜的隨機變量分解為簡單隨機變量之和.分析首先定義如下：則解進而再設(shè)X表示配對的個數(shù),則故有

例4.10

若有n把看上去樣子相同的鑰匙,其中只有一把能打開門上的鎖,用它們?nèi)ピ囬_門上的鎖.設(shè)取到每把鑰匙是等可能的.若每把鑰匙試開一次后除去,試用下面兩種方法求試開次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望.(1)寫出X的分布律;(2)不寫出X的分布律.分析就意味著前次所取的鑰匙均未能打開門,而第k次所取的鑰匙能將門打開.據(jù)此我們可以寫出X的分布律.解(1)以表示事件“第k次試開成功”.表示前k-1次所取的鑰匙均未能打開門,第k次所取的鑰匙能將門打開.即有即X的分布律為故(2)引入隨機變量如下:則沿用(1)中的記號,

則有故有6.一維隨機變量函數(shù)的數(shù)字特征分析

例4.11

設(shè)X表示10次獨立重復(fù)射擊命中目標的次數(shù),每次射中目標的概率為0.4,則的數(shù)學(xué)期望____.

解,得到所以本題涉及二項分布及函數(shù)的數(shù)字

特征.

例4.12

設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布,求分析本題涉及一維隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望的計算.解由題設(shè)可知X的概率密度于是因此,7.二維隨機變量及其函數(shù)的數(shù)字特征的分布律為

例4.13

設(shè)和是相互獨立且服從同一分布的兩個隨機變量,已知

又設(shè)(1)寫出二維隨機變量(X,Y)的分布律;

(2)求分析本題涉及二維離散隨機變量的函數(shù)的分布律和期望.解(1)下面實際計算一下注意到因此類似地計算,可得的分布律如下表332121YX000所以(2)由的分布律可得關(guān)于X的321X邊緣分布律和

例4.14

設(shè)二維隨機變量(X,Y)的概率密度為求分析由于概率密度中含有待定參數(shù),所以應(yīng)首先根據(jù)求得A.解由得因此,于是有利用對稱性,有由于所以,協(xié)方差的兩個隨機變量,則_____.

分析注意到相互獨立的正態(tài)隨機變量的線性函數(shù)仍服從正態(tài)分布,得X,Y的分布是確解記U=X-Y,則

由此可知

例4.15設(shè)X和Y是相互獨立且服從正態(tài)分布于是8.相關(guān)性和獨立性問題

例4.16

設(shè)二維隨機變量(X,Y)服從二維正態(tài)分布,則隨機變量與不相關(guān)的充分必要條().(A)

(B)(C)

(D)分析本題涉及協(xié)方差的計算,因為不相關(guān)等價于協(xié)方差為零.解而等價于與不相關(guān),

所以選(B).(A)不相關(guān)的充分條件,但不是必要條件.(B)獨立的充分條件,但不是必要條件.

例4.17

設(shè)隨機變量X和Y的方差存在且不是X與Y().等于0,

則(C)不相關(guān)的充分必要條件.(D)獨立的充分必要條件.兩個隨機變量不相關(guān)的充要條件是它們的相關(guān)系數(shù)為零,而后者只是兩個隨機變量立的必要條件.分析解因為故選項(C)正確.所以X和Y不相關(guān)的充分必要條件是即分析本題涉及知識點很多,包括期望、方差和相關(guān)系數(shù)及獨立性等.

例4.18

已知隨機變量且X與Y的相關(guān)系數(shù)設(shè)(1)求和(2)求X與Z的相關(guān)系數(shù)(3)問X與Z是否相互獨立?為什么?解(1)由于所以而因此(2)由于所以(3)由知X與Z不相關(guān),因Z不一定服從正態(tài)分布,(X,Z)更不一定服從正態(tài)分布,X與Z不一定相互獨立..

9.有關(guān)數(shù)字特征的證明問題分析事實上就是一個以C為參數(shù)的二次函數(shù).

在

例4.19

設(shè)X是隨機變量,C是常數(shù),證明處取得最小值函數(shù)≥

取得最小值等號僅當(dāng)時成立,所以在處證由于分析本題涉及隨機變量的方差的性質(zhì).證由于所以從而有

例4.20

證明:對于任意兩個隨機變量X和Y,則有

若稱做事件A和B的相關(guān)系數(shù).(1)證明事件A和B相互獨立的充分必要條件是其相關(guān)系數(shù)等于零;(2)利用隨機變量相關(guān)系數(shù)的基本性質(zhì)證明≤1.分析這里定義了隨機事件的相關(guān)系數(shù),并討論了它的某些性質(zhì).證(1)由的定義可知

例4.21

對于任意二事件A,B,即二事件A和B獨立.因此是A和B獨立的充分必要條件.(2)考慮隨機變量由條件知,X,Y都服從0-1分布

于是.這樣,可知隨機事件A和B的相關(guān)系數(shù)就等于隨機變量X和Y的相關(guān)系數(shù).因此≤1.

例4.22

設(shè)A,B是二隨機事件,隨機變量

試證明隨機變量X和Y不相關(guān)的充要條件是隨機事件A和B相互獨立.分析本問題涉及隨機變量的相關(guān)性和隨機事件的獨性.證記由數(shù)學(xué)期望的定義有注意到XY的可能取值為-1,1,又

因此從而由此可見即故X和Y不相關(guān)的充要條件是A和B相關(guān)獨立.關(guān)系是一個非常重要的問題,在以往研究生考試中曾多次涉及,參見第三節(jié)歷年考研真題詳解.

注2.隨機變量的獨立性和不相關(guān)性的概念和隨機事件獨立的概念.切記,相互獨立的隨機變量一定是不相關(guān)的,但反之不然.

注1.

本題考查了隨機變量的不相關(guān)的10.應(yīng)用題

例4.23

假設(shè)一部機器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.2,機器發(fā)生故障時全天停止工作.若一周5個工作日里機器無故障企業(yè)可獲利10萬元;機器發(fā)生一次故障企業(yè)仍可獲利潤5萬元;機器發(fā)生二次故障企業(yè)所獲利潤0元;機器發(fā)生三次或者三次以上故障企業(yè)就虧損2萬元,求一周內(nèi)企業(yè)期望利潤是多少?分析本題涉及離散型隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望.易知一周內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)服從二項分布,而所獲利潤是它的函數(shù).

解以X表示一周5天內(nèi)機器發(fā)生故障天數(shù),

則X服從參數(shù)為5,0.2的二項分布

于是≥以Y表示所獲利潤,則因此

=5.216(萬元).例4.24

假設(shè)由自動生產(chǎn)線加工的某種零件

的內(nèi)徑X(單位:mm)服從正態(tài)分布內(nèi)徑小于10或大于12為不