專題18平面向量的概念及其線性運算

考擁雇攵

1.平面向量的實際背景及基本概念

（1）了解向量的實際背景.

（2）理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義.

（3）理解向量的幾何表示.

2.向量的線性運算

（1）掌握向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義.

（2）掌握向量數(shù)乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義.

（3）/解向量線性運算的性質及其幾何意義.

禽知識整多

一、平面向量的相關概念

名稱j乂表小方法注意事項

既有大小又有方向的量叫做向量；向量或。；

向量平面向量是自由向量

向量的大小叫做向量的長度（或模）模1A8|或|a|

零向量長度等于。的向量，方向是任意的記作0零向量的方向是任意的

非零向量。的單位向量是言

單位向量長度等于1個單位的向量常用e表示

平行向量方向相同或相反的非零向量。與b共線可記

0與任一向量平行或共線

共線向量平行向量又叫共線向量為。=勸

兩向量只有相等或不等，不能

相等向量長度相等且方向相同的向量a=b

比較大小

相反向量長度相等且方向相反的向量a=-b0的相反向量為0

二、向量的線性運算

1.向量的加法、減法、數(shù)乘運算及其幾何意義、運算律

向量

定義法則(或幾何意義)運算律

運算

(1)交換律：

求兩個向a+b=b+a

加法量和的運(2)結合律：

算(a卜b)+c=a+

平行命I形法則(b+c)

求a與b

的相反向

量一人的和

減法a-b=a+(-ft)

的運算叫

三角形法則

做。與b

的差

(1)|I=|入||。|;

求實數(shù)；I(2)當A>0時?入。的

(A+^)a=Aa+

與向量a方向與a的方向相

數(shù)乘flci；

的積的運回；當A<0時?相的

A(a+&)=Ao+

算方向與a的方向擔

Ab

區(qū)；當A=0時,；Ui=?

2.共線向量定理

向量a(a對)與b共線，當且僅當有唯一的一個實數(shù)九使得力=勿.

【注】限定值0的目的是保證實數(shù)Z的存在性和唯一性.

考向一平面向量的基本概念

解決向量的概念問題應關注以下七點：

(I)上確理解向量的相關概念及其含義是解題的關鍵.

(2)用等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.

⑶共線向量即平行向量，它們均與起點無關.

(4)用等向量不僅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量.

(5)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量.解題時，不要把它與函數(shù)圖象移動混為一談.

(6)非零向量。與‘L的關系：/二是。方向.上的單位向量.

1?11〃1

(7)向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量則不能，但向量的模是非負實數(shù)，故可以比較大小.

典例引領

典?例1卜列命題正確的是

A.單位向量都相等B.模為。的向量與任意向量共線

C.平行向量不一定是共線向量D.任一向量與它的相反向量不相等

【答案】B

【解析】對于A,單位向量的模長相等，方向不一定相同，???A錯誤：

對于B,模為()的向量為零向量，零向量和任一向量平行，JB正確；

對于C,共線向后是方向相同或相反的向品，也叫平行向后，???c錯誤；

對于D,例如零向量，與它的相反向量相等，???D錯誤.

故選B.

變式拓展

1.給出卜.列四個命題:

①若何=BI，則°=力：

②若A8,co是不共線的四點，則AB=。。是四邊形A3CO為平行四邊形的充要條件；

③若a=b,b=c,則。=c；

?a=b的充要條件是同=例且a//b.

其中正確命題的序號是

A.①②B.②③

C.③④D.②④

考向二向量的線性運算

平面向量線性運算問題的求解策略：

(I)進行向量運算時，要盡可能地將它們轉化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量，三

角形的中位線及相似三角形對應邊成比例等性質，把未知向量用已知向量表示出來.

(2)向量的線性運算類似于代數(shù)多項式的運算，實數(shù)運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變

形手段在線性運算中同樣適用.

(3)用幾個基本向量表示某個向量問題的基本技巧：

①觀察各向量的位置；

②尋找相應的三角形或多邊形；

③運用法則找關系；

④化簡結果.

典例引領

典例2若A、B、C、。是平面內任意四點，給出下列式子：

①A8+CD=3C+O4,②=+③AC-BD=OC+A3.

其中正確的有

A.3個B.2個

C.I個D.0個

【答案】B

【解析】①AB+CO=BC+D4的等價式是A8-OA=8C-CQ,左邊=AB+A。，右邊=BC+DC,

不一定相等；

②AC+3。=8C+A。的等價式是4C-A。=8C-B。，左邊=右邊=。。，故正確;

③：4乙—3。=。。+4后的等價式是4。一43=8。+。。，左邊=右邊=BC,故正確.

所以正確的有2個，故選B.

【名師點睛】熟練掌握向量的線性運算法則是解題的關鍵.

變式拓展

2.如圖所示，在正方形ABCD中，七為AB的中點，F(xiàn)為CE的中點,則萬：二

3一|一

A.—+—AD

44

1---

C.-AB+AD

2

典例引領

典例3如圖，在平行四邊形A8CO中，對角線AC與8D交于點0,AB+AD=AAO,財4=

【答案】2

【解析】由平行四邊形法則，褥A3+AO=AC=2AO,故42.

變式拓展

__21_._.

3.如圖，在△ABC中，AD=-AC,BP=-PD,若AP=+,則義+〃的值為

D

乂5

3

-

A.4

B.

87

CD.

9-9-

考向三共線向量定理的應用

共線向量定理的主要應用：

(1)證明向量共線：對于非零向量。，b,若存在實數(shù)九使。二乃，則。與力共線.

(2)證明三點共線：若存在實數(shù)九使=則A,B,C三點共線.

【注】證明三點共線時，需說明共線的兩向量有公共點.

(3)求參數(shù)的值：利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值.

典例引領

S________r

典例4已知兩個非零向量。與力不共線.

(1)若而二。+兒說=2。+8力，而=31。一》),求證:A,氏。三點共線；

(2)試確定實數(shù)A,使履小和。共線.

【解析】(I)VAB=a+bJBC=2a+Sh,'CD=3(a-h\

???麗=BC+CD=2a+Sb+3(a-b)=5(a+b)=5AB,

,而，麗共線，

又?:它們有公共點B,

.??4反。三點共線.

(2)??乂〃+6與。+人力共線，

，存在實數(shù)A使得ka+b=Ma+kb),

(k-X)a=(/.k-1)b.

Tab是兩個不共線的非零向量，

k-k=).k-1=0,

/.Ic-\=0,

/.A=l或-1.

【名師點睛】利用向量證明三點共線時,一般是把問題轉化為證明過同一點的兩條有向線段所在的向量共線.

對于第(2)問，解決此類問題的關鍵在于利用向量共線的條件得出疆+〃=蜘+助,再利用對應系數(shù)相等這一

條件，列出方程組，解出參數(shù).

變式拓展

4.如圖,MJV是平行四邊形ARCD的邊AD,CD的中點，石尸是對角線AC的三等分點,求證:三點共線，

且仇F,N三點共線.

、.手點沖關上

I.下列說法正確的是

A.向量AS與向量CD是共線向量，則點A氏C,。必在同一條直線上

B.兩個有共同終點的向量，一定是共線向量

C.長度相等的向量叫做相等向量

D.兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同

2.已知。是正六邊形ABC7)石尸的中心，則與向量Q4平行的向量為

A.AB+ACB.AB+BC+CD

c.AB-^AF+CDD.AB+CD+DE

3.設M是平行四邊形ABC。的對角線的交點，。為任意一點（且不與M重合），則OA+O8+OC+OO

等于

A.0MB.20M

C3OMD.40M

4.設。為AABC所在平面內一點，BC=4CQ，則

一1一4一

A.AD=——AB+-ACB.AD=~AB+-AC

3344

144

C.AD=-AB+-ACD.AD=-AB-

553嚴

5.已知〃3為非零不共線向量，句量一妙與一總+力共線，則上=

A.2A/2B.-2>/2

C.±272D.8

6.已知〃力為兩非零向量，若|。+同=|。一可，則。與力的夾角的大小是

A.90B.60

C.45D.30

7.已知非零向量。,力，且A3=a+2瓦3。=一5。+64CO=7a-2〃，則一定共線的三點是

A.A、B、DB.A、B、C

C.B、C、DD.A、C、D

8.如圖，。在ZiA3c的內部，。為A3的中點，且OA+O8+2OC=0,則八43c的面積與△AOC的

面積的比值為

AB

A.3B.4

C.5D.6

9.已知。為△ABC內一點，且AO=：（O8+OC）,AD=tAC^若3.0,0三點共線，則，的值為

\1

A.—B.—

43

、12

C.-D.一

23

10.已知等邊三角形A3c中，。是線段AC的中點，DE±AB,垂足為民廠是線段8。的中點，則￡＞七=

3一5—?3—、一?

A.--BD+-FCB.-BD一一FC

8484

1—3—1—3—

C.-BD--FCD.一一BD+-FC

8484

11.在“BC中，點例，N滿足戒=2就，麗=配.若麗三Jg+y無，貝心=;產.

12.設向量〃，〃不平行，向量癡+〃與。+28平行，則實數(shù)幾二.

13.已知正方形4BCO的邊長為1,設AB=。，BC=b,AC=C則小一％+/=.

14.設。，。是不共線的兩個非零向量，若0A=ka+12b，08=4。+55，0C二一切+10〃，且點A,

B，。在同一直線上，則％=

|直通高考

1.（2018年高考新課標I卷理科）在A48C中，AO為3c邊上的中線，E為AO的中點，則砧=

3—1—1—?3

A.—AB—ACB.-AB--AC

4444

3113

C.—ABH—ACD.-AB+-AC

4444

能參考答案.

變式拓展

1.【答案】B

【解析】①時二可，即〃，》的模的大小相等，但方向不一定相同，故兩個向量不一定相等，故①錯誤;

②若AB,C,D是不共線的四點，則AB=DC<^AB//。。且A3=CDo四邊形ABCD為平行四邊

形，故②正確；

③若。=〃，則〃的模的大小相等，方向相同，若〃=c,則4c的模的大小相等，方向相同，故a,c

的模的大小相等，方向相同，即a=c,故③正確：

④?！钡某湟獥l件是同=例且〃力同向，故④錯誤.

故正確命題的序號是②③，故迷B.

2.【答案】D

.1——?—.一|—

【解析】根據題意得：+又A。=AB+A。，AE=-AB,

1?一1-3-1

所以Ab=5（45+4。+耳43）=1/13+/4。.

故選D.

【名師點睛】高考對向量加法、減法運算的考查，重在對加法法則、減法法則的理解，要特別注意首尾

順次相接的若干向量的和為0H勺情況.一般將向量放在具體的幾何圖形中，常見的有三角形、四邊形（平

行四邊形、矩形、菱形、梯形）、正六邊形等.

在解決這類問題時，要注意向量加法、減法和共線（相等）向量的應用.當運用三角形加法法則時，要注

意兩個向量首尾順次相接，當兩個向量共起點時，可以考慮用減法.

3.【答案】A

【解析】由題意得：AP=AB^BP=AB-^-BD=AB+-（AD-AB\=-AB+-AD

44、744

312—3-1

=-AB+-x-AC=-AB+-AC,

44346

3111

又AP=2A8+〃AC,可知：2+//=—+—=—.

故選A.

【名師點睛】本題考杳向量的線性運算問題，涉及向量的數(shù)乘運算、加法運算、減法運算，屬于常規(guī)題

型.

4.【解析】設而=〃,而="則4M=，，菠==/。+力），

：.~BE=AE-AB=^（a+b）-a=^b-2a）^BM=AM-AB=^）-a=^b-2a\

由的=弓片反得B,E,M三點共線，

同理可得麗=|喬，所以B.F,N三點共線.

專題沖關

1.【答案】D

【解析】對于A,若向量A8與向量C。是共線向量，則CO或點AB,C。在同一條直線上，故

A錯誤；

對于B,共線向量是指方向相同或相反的向量，兩個有共同終點的向量，其方向可能既不相同又不相反，

故B錯誤：

對于C,長度相等的向量不一定是相等向量，還需要方向相同，故C錯誤；

對于D,相等向量是大小相等、力向相同的向量，故兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同，

故D正確.

故選D.

【名師點睛】本題考查向量的基本定義，關鍵是理解向量有關概念的定義.解題時，根據題意，結合向

量的定義依次分析四個命題，綜合即可得答案.

2.【答案】B

【解析】如圖，AB+BC+CD=AD=2AO=-2OA-

故選B.

【名師點睛】該題考查的是有關向量共線的條件，在正六邊形中，首先利用向量的加法運算法則，結合

向量共線的條件，對選項逐個分析，求得正確結果.

3.【答案】D

【解析】???0為任意一點，不妨把A點看成。點，則QA+OB+OC+OO=0+A4+4C+A。,

???M是平行四邊形ABCD的對角線的交點，/.0+AB+AC+A。=2AC=40M-

故選D.

4.【答案】B

【解析】AO=A8+8D=A8+9BC=48+*（4。-48）二-l48+*4。.故選8.

44、>44

5.【答案】C

【解析】???向量一姑與—%+b共線，

???存在實數(shù)之，使得一姑=〃一妨+力），即80-幼=一〃勿+力，

又?為非零不共線向最，

[8=-U「

???,]，解得左=_L28-

—K=A

故選C.

6.【答案】A

【解析】因為|。+耳=|。一耳，即所圍成的平行四邊形的對角線長度相等，所以該平行四邊形為正方形或

長方形，由此可得〃，〃的夾角為90。，故選A.

【名師點睛】根據向量的加減法則，結合幾何圖象特征即可.

7.【答案】A

【解析】由向量的加法法則可用BD=BC+CD=-5a+6b+7a-2b=2a+4b=2AB，

所以AB與8萬共線，又兩線段過同一點8,所以4仇。三點一定共線.故選A.

【名師點睛】本題考查平面向量共線定理的應用，向量的加法法則，考查利用向量的共線來證明三點共

線，意在考食靈活運用所學知識解決問題的能力.解本題時，由向量加法的“三角形”法則，可得30=243，

從而可得結果.

8.【答案】B

【解析】???。為48的中點，??.QA+O3=2O。，???0A+OB+2OC=O,，0C=—0。，，。是。。

的中點，SAAOC=SAAOD=—SAAOB=—S”8c.故選B.

24

【名師點睛】本題考杳了平面向量的幾何運算，屬于中檔題.解決向量小題的常用方法有：數(shù)形結合，

向量的三角形法則、平行四邊形法則等；建系將向量坐標化；向量基底化，選基底時一般選擇已知大小

和方向的向量為基底.解決本題時，根據平面向量的幾何運算可知。為C。的中點，從而得出答案.

9.【答案】B

【解析】設線段的中點為M，則0B+0C=20M，因為2Ao=OB+OC，所以A0=0M，

則40=，4知=，(48+40)=，(43+140]=，48+'/1￡),由氏0.0三點共線，得，+,=1,

24、74^t)A-4f44/

解得'=T?故選B-

3

【名師點睛】利用平面向量判定三點共線往往有以下兩種方法:

①AB,C三點共線0AB=2AC；

②。為平面上任一點，43,C三點共線004=208+〃。。，且4+4=1.

10.【答案】C

【解析】???廠是線段50的中點，???CE=:（CD+CB）=4C4+[C3=LRA-WBC.

2、74244

???。是線段AC的中點，???BD=J（BA+8C）.

OO111

乂DE=BE-BD=-BA-BD=-BA一一（BA^BC\=-BA一一BC,

442V742

令DE=2、BD+NFC，

則，BA—，BC=4（8A+8C）+也BC—幺84=（--^）BA+（-+^）BC,

422、7442424

.144I%3〃31

42422448

???DE=-BD--FC,

84

故選C.

II.【答案