全國7月自學考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題

課程代碼：04184

說明：本卷中，A7表示矩陣A的轉置，表示向量a的轉置，E表示單位矩陣，|川表示方陣A

的行列式小7表示方陣A的逆矩陣，r（A）表示矩陣A的秩.

一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后

的括號內.錯選、多選或親選均無分.

1.設A為三階矩陣，且|A-”=3,則|-3A|()

A.-9B.-1C.1D.9

2.設A=[%,。2，4]，其中1，2,3)是三維列向量，若|川=1,

則l[45,2a「3a2，。311=()

A.-24B.-12C.12D.24

3.諛A、B均為方陣，則下列結論中正確的是()

A.若|八3|=0,則A=O或5=0B.若|AB|二O,則|A|=0或|B|=0

C.若AB=0.則A=0或B=OD.若ABH0.則|A|H0或|B+聲0

4.設為〃階可逆陣，則下列等式成立的是()

A.(AB)l=A1B.(A+B)“=A'+B”

D.|(A-fB)'1|=|A-*l-i-lB'1I

5.設人為mX”矩陣，且〃iV”，則齊次方程AX=O必（）

A.無解B.只有唯一解C.有無窮解D.不能確定

123-

6.設A=:\\?則r(A)=()

0o3

A.1B.2C.3D.4

7.若A為正交矩陣，則下列矩陣中不早正交陣的是（）

A.A-B.2A*C.A=D.Ar

8.設三階矩陣A有特征值0、1、2,其對應特征向量分別為多、金、勖，令P=［品，0，2&」,則

P'AP=()

20o'「w00o-00O'20o'

A.010B.000c.010D.000

000_I)0100L002.

9.設A、3為同階方陣?且MA）=r（B）/Q（）

A.A與B等階B.A與5合同C.|A|=|B|D.A與B相似

10.實二次型f工（1，工2?x3）+2xt-2xixt4-X3，則/是（

A.負定B.正定C.半正定D.不定

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

請在每小題的空格中填上正確答案，錯填、不填均無分。

11.設A、B均為三階方陣，|川=4,|5|=5,則12ABi=

21203

12.設A=.B=測ATB=

,310.101

201

13.設A=010則

[002

[22

14.若A=124，且r(A)=2,貝ljt=

4

15.設4=，則由所生成的線性空間上（四聞2,4）的維數(shù)

是

16.設A為三階方陣，其特征他分別為l,2,3.]iPJ|A“一E|=

17.設a=，且a與P正交，則t=

18.方程與十英一工3=1的通解是.

19.二次型/（工1,工2，工3，4）=工1工2+工2工3+X3Xt+5X4所對應的對稱矩陣是

ri11

尤0顯

20.若A=00是正交矩陣，則?

驚10

三、計算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）

1112

21.計算行列式；11

211

2111

■010-1-r

22.設A=-111,B=2o，且X滿足X=AX+5,求X.

■

-10-10

23.求線性方程組＜2?+5+孫+2=1的通解.

24.求向量組4=(2,4,2),%=(1?1,034=(2,3,D,4=(3.5,2)的一個極大線性無關組,

并把其余向量用該極大線性無關組表示.

12-11

25.設A=32A—1，已知r(A)=2,求人"的值.

,563t,

3—20

26.已知A=-260，求可逆陣p使PUP為對角陣.

.003

四、證明題(本大題共1小題，6分)

27.設a.,見,a；是四維向量，且線性無關，證明我=5+/弧=%+%也+a.,

仇=4+5線性相關.

2012年7月高等教育自學考試全國統(tǒng)一命題考試

線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案及評分參考

《課程代碼04184）

一、隼項透抒短（本大II共10小18.葬小超2分?共20分）

1.A2.H3.B4.C5.C

6.C7.B8.B9.A10.B

二、培蟲It（本大限共10小H?鄲小園2分.共20分）

11.160

U.11

16.0

0

1

2

）9.

0

0

三、計Jllft（本大題共6小箱網(wǎng)小1?9分.共54分）

5S55

1121

21.筑：原式力+r,+r,+r?

""1711

2

=5

2

2

00I

000

-5I0

0I0

00

100

-5

22.M.VX-AX-II

M(E-A>X-B

AX-(E-AJ'B

p100

2-9

Io-222-22

2L°。，

—?0-112-9

[oOO-2-4]

00I?！?/p>

—?01-1013

[oOOlzJ

"-Xi-8

x,為由未知依」人+13

x.-2

13

?

二結構ci+,其中c力任常我

0

Jia.~yai+a,

3-X

26.M,|A-X￡I6f

—)《2一》(7X)

/?Ai2.kt-3.X,-7

fxi-2j??0

當X-2時有特征方利t

x>-0

???/特征向僦Pi

0

當入=7時

[201

令1o-2

1011

[200]

?/*'4P=030

1007J

四、證明箱（本大翅共1小箱,6分）

00

100

27.證][同?P：??艮]■[a；,a：(Oi?a】=[5?a：?a>?a】C

010

01

????：.?：.PMB.線性相關

全國10月自考《線性代數(shù)（經(jīng)管類）》試題

課程代碼：04184

闡明：本卷中，A”表達方陣4的逆矩陣，內4）表達矩陣4的秩，||a||表達向量。的長度，a

表達向量a的轉置，E表達單位矩陣，⑷表達方陣A的行列式.

一、單項選擇題(本大題共1。小題，每題2分，共20分)

在每題列出的四個備選項中只有一種是符合題目規(guī)定的，請將其代碼填寫在題后的括

號內。錯選、多選或未選均無分。

陽的34

=()

設行列式的七2/3=2,貝jI-<l31

a”

A.-6B.-3

C.3D.6

2.設矩陣A,X為同階方陣，且人可逆,若A<X-E)=E,貝！矩陣X=()

A.E+AB.E-A

E+AD.E-A

3.設矩陣A,。均為可逆方陣，則如下結論對的的是(

AA

A.可逆，且其逆為B.不可逆

ABAA1

C.可逆，且其逆為D.n可逆，且其逆為

BA'R;B-

4.設ai，。2,…，。人是〃維列向量，則a”…，a左線性無關的充足必要條件是

()

A.向量組a1，。2，…，a人中任意兩個向量線性無關

B.存在一組不全為。的數(shù)八，B…,B使得八。i+/2a2+…+4a/0

C.向量組ai，。2，…，a人中存在一種向量不能由其他向量線性表達

D.向量組。2，…，a人中任意一種向量都不能由其他向量線性表達

5.已知向量2。+/=(1,-2,-2,-11,3。+2/=(1,一4,一3,0)「,則。+/=()

A.(0.-2.-1.1)1B(-2.0,-1.I)T

C.(1,-1,-2,0)丁D.(2,6-5,-1)1

6.實數(shù)向量空間占｛(x,y,z)|3x+2y+5z=O｝的維數(shù)是(

A.B.2

C.3D.4

7.設a是非齊次線性方程組A戶方的解,P是其導出組Ax=O的解，則如下結論對的的是

()

A.a+夕是Ax=O的解B.a+夕是Ax*的解

C.6-a是的解D.a-6是Ar=O的解

8.設三階方陣A的特性值分別為53,則M的特性值為，)

C.-,-,3D.2,4,3

24

1

9.設矩陣A=2,則與矩陣A相似的矩陣是()

-1

1-101

A.-12B.10

32

-21

C.1D.-2

II

10.如下有關正定矩陣論述對的的是()

A.正定矩陣的乘積一定是止定矩陣B.正定矩陣的嚀列式一定不不小于零

C.正定矩陣的行列式一定不小于零D.正定矩陣的差一定是止定矩陣

二、填空題(本大題共10小題，每空2分，共20分)

請在每題的空格中填上對的答案，錯填、不填均無分。

11.設det(A)=-l,det(5)=2,且4,8為同階方陣，則det((48戶戶

12-2

12.設3階矩陣A=4t3,"為3階非零矩陣，且A5=0,則片

3-11

13.設方陣A滿足這里k為正整數(shù)，則矩陣A的逆.

14.實向量空間肥的維數(shù)是.

15.設A是〃iX〃矩陣，r(A)=r,則Ax=O的基礎解系中含解向量的個數(shù)為.

16.非齊次線性方程組Ax=b有解的充足必要條件是.

17.設a是齊次線性方程組Ax=O的解，而尸是非齊次線性方程組Ax=b的解，則

A(3a+2fl)=?

18.設方陣A有一種特性值為8,則del(-8E+A)=.

19.設P為〃階正交矩陣，x是〃維單位長的列向量，則||尸刈=.

23

20.二次型/(xl,x2,x3)=xl+5xj+6宕+4與占-2x}xi-2x2x)的正慣性指數(shù)是.

三、計算題(本大題共6小題，每題9分，共54分)

11-12

21.計算行列式-1J-1-41.

24-61

1242

2

22.設矩陣4=3,且矩陣。滿足4氏4L4A/+BAL求矩陣

5

23.設向量組a=(3,1,2,0),a.=(0,7,l,3),a.=(-l,2,0,l).a4=(6,9,4,3),求其一種極大線性無

關組，并將其他向量通過極大線性無關組表達出來.

-143

24.設三階矩陣A=-253,求矩陣A的特性值和特性向量.

2-4-2

25.求下列齊次線性方程組的通解.

%+/-5%=0

2%+&-3X4=0

X+*2-￡+25=0

2-24-2()

306-1

26.求矩陣A：。3I的秩.

00

1-1210

四、證明題(本大題共1小題，6分)

a\\a\2a\y

27.設三階矩陣A=%旬,3的行列式不等于°，證明:

a32仆3

全國10月自考《線性代數(shù)（經(jīng)管類）》答案

一、單項選擇JS（本大題共10小題，卷小題2分，共20分）

1.D2.A3.D4.D5.A

6.B7.B8.A9.B10.C

、填空題（本大題共】0小JS,每小H2分供20分）

11.-812.-313.Atl14.n15.n-

16.r(A,b)=r(A)17.2b18.019.1

20.3

三、計真題（本大題共6小髭，每小fig9分，共54分）

11-1211-12

00-530150

21.解：原行列式=N-

02-4-302-4-3

015000-53

11-12112-1112-1

015001050105

00-14-300-3-1100-3-14

00-53003-5000-19

=57-

22.解：由條件ABA1=4A"+BA",得

(A-E)BA-*=4A

從而（小E）“;4E

故，4是極大線性無關組，且

4=4+2%-3,?

24.解：矩陣A的特征多項式為：

A+1-4-3

|AE-A|=2A-5-3=A(A-1)X

-24A+2

故A的特征值為A=O，Z=兒=1?

對于為=0,求解齊次線性方程組(OEA)x=O

■r

得一個基礎解系為:4=1，故屬于A=o的全部特征向量為:

,-i.

?r

舟q=用ia層o）

.-i.

對特征值入=h=l,考慮齊次線性方程組（1岳A）x=0

求解得，其一個基礎解系為:

故屬于特征值％=入=1的全部特征向量為

3

23a3=410，其中44不全為0

0.2.

25.解：對該齊次線性方程組的系數(shù)矩陣實行初等行變換得

由于r(A)=2V4,基礎解系含2個自由未知量.

佃1=口3+544

原方程組等價于Y與，工為自由未知量.

[xt=2xi-7xt

X3)(10)

令=，得方程組的一個基礎解系為

I。1

故原方程組的通解為:

”=cEi+c%=Ci，其中G，q為任意常數(shù).

26.解:對A施行初等行變換將其化成階梯形

由于A的非0行數(shù)為3.

故A的法為3......................................................（9分）

四、證明題（本大題共1小建，6分）

27.證明：設有一組數(shù).出，心，使-%+用%+設%-0.......................<2分）

即《5,0,,.）3=0.

亦即A%.即是Ax-0的解.............................（4分）

注意到0只有零解，因為A的秩等于3=未知量的個數(shù).

故人■心■*,■（>.從而見??，/線性無關.........................（6分）

全國10月高等教育自學考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題課程代

碼：04184

一、單項選擇題（本大題共5小題，每題1分，共5分）

1.設行列式60=1，4G=-2,則《?+G=（）

a2b2a2c2a2b2+c2

A.-3B.-1C.iD.3

100

\_

2.設矩陣A=00,則()

2

J

00

3>

’001、'100]q00、'003、

A.020B.020C.020D.020

3000000

103,XJ化

3.設A為〃?X〃矩陣，4的秩為八則()

A.r=m時，Ax=O必有非零解B.r=〃時，Ax=O必有非零解

C.r<m時>Ax=O必有非零解D.X〃時，Ax=O必有非零解

4.設4階矩陣4的元素均為3,則r(4)=)

A.IB.2C.3D.4

5.設1為3階實對稱矩陣A的2重特性值，則A的屬于1的線性無關的特性向量個數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

二、填空題(本大題共10小題，每題2分，共20分)

6.設A為2階矩陣，將H的第1行加到第2行得到&若3=(；則4=

7.設A為3階矩陣，且⑷=2,則12Al=.

8.若向量組a=(2,l,a)],%=(4,a,4);線性無關，則數(shù)a的取值必滿足.

9.設向量a=(l,O,l)T,/?=(3,5』)T,則￡-2a=

a”a\

10.設4=%，b=瓦，若非齊次線性方程組Ax沖有解.，則增廣矩陣彳的行列式

葉-------

II.齊次線性方程組X|+X2+X3=0的基礎解系中所含解向量的個數(shù)為

12.設向量0=(3,-4)匚則a的長度|同=.

n-2\

13.已知-2是矩陣A=.的特性值，則數(shù)戶___________

(2X)

f\22、M00、

14.已知矩陣4=212與對角矩陣。=0-10相似，則數(shù)

、221,、00

15.已知二次型/(0工2，芻)=x；+￥+a；正定，則實數(shù)/的取值范圍是

三、計算題(本大題共7小題，每題9分，共63分)

a-b-c2a2a

16.計算行列式。=2bb-a-c2b.

2c2cc-a-b

17.已知向量a=(l,2?),夕=且仇，=3.A=a/,求

(1)數(shù))的值:(2)屋.

Q23、

I0-1

18.已知矩防人一231,B-，求矩陣X,使褥M4-&

200

<340,

19.求向量組里=(1。2,0)1,生=(-1,-1,-2,01,q=(-3,4,<1式區(qū)=(-6,14,-6,3)1的秩和一

種極大線性無關組，并將向量組中的其他向量由該極大線性無關組線性表出.

心2)(3、

20.已知齊次線性方程組Ax=0的一種基礎解系為。=I看2=0，求r(A)及該齊次線性

方程組.

21.設向量組風=(1,-1,-LI)，,%=(110,0)1%=0,T2。)匚求一種非零向量Q,，使得火與

%,%,%均止交.

22.用配措施化二次型/(為心.為)=2再2-2石-43七+8々七為原則形，并寫出所用的可逆性

變換.

四、證明題(本題7分)

23.設A是，，i乂〃矩陣，證明齊次線性方程組Ax-0與ATAA-0同解.

全國10月線性代數(shù)(經(jīng)管類)試題答案課程代碼：04184

一、單項選擇題（本大題共5小題，每題1分，共5分）

1-5BBDAC

二、填空題（本大題共10小題，每題2分，共20分）

(\2、

6.7.168.。=29.(1,5.-1)T10.0II.212.513.-414.5

122

15.(0,-t-oo)

三、計算題（本大題共7小題，每題9分，共63分）

16解

11I

原式=Ca+b+c)2bb-a-c=(?+/?+c)0

2c2c()

17.解：（1）由于加「=1+1+*=3,貝收=3.

PlJ%陰

(2)A10=(a'^),0=a'(^a)9/?=39a'/?=392(l./，X)=3921%

UJL%I,

rl2312‘123121(12312

18.解；(A'BT)=23400-0-1-2-2-4t0-1-2-2-4

-6)1001

.310-100-5-9-4614

‘120-17-40、rl0038、

-^0-101024->010-10-24

001614z,001614,

，38、

-106、

則XT=-10-24故乂=

-2414,

614z

19?解

」-1-3-6、」-1-3-6、」-1-3-6、

0-14140-141401-4-14

(aj,a,oi3,oc4)=一—>

22-2-4-600260013

013,、0013,、0000,

I-I03、」0O1、

010-2010-2

00I300I3

、000°>、0000,

向量組的秩為3,一種極大線性無關組為四，。？，氣，且

ct4=CC|-2012+3OC3.

20.解：易知〃=3,且〃一，?（八）=2,則r（4）=l

又自由未知量為々，/，則Ar=0同解方程組為5=-82+3七，即玉+2%-3七=。

為所求方程組.

21.解:設。4=（司”均，修，工4），由于。4與,“2，。3均正交，則

JT,-X,-Jt34-X4=0

菁系數(shù)矩陣

+x2=0

內

-x2+2xy=0

1-1-11)1-1-11

A=110OO21-1

1-120><0O3-1

02>00,

1-1-11-13。

—>0T1—>010101°4

-2'J

00110011001

-3>-3;-3>

X=T5

同解方程組為1X2=3X4，冗4為自由未知量

工3小

一種基礎解系為（-1,1,1,3）T,即4=（一1」」,3）T.

22.解:2

配措施得/（X|,大2，8）=2（西一心）2—2（必-2X3）+6xj,

/\

?二$73y\1o-ly.Vj

令’乃=電-2與即可逆線性變換為）'201-2工2

）'3=向，OOH?

故原則行為/（%,必力）=2>'i2-2力2+6代.

四、證明題（本題7分）

23.證明：

設&=0,則不純=0,即專是A，Al=0的解.

若十4〃=0,則rj1A1Ar/=（Ar/）rAr/=0,

令A,=（q,a2,…,a），,則（A/7）'A〃=a：+Q；+…+a~=0,

故4=0.=1,2,???二）,即他二0,〃是Ar=0的解.

綜上可知，-=0和浦4大=0同解.

io月高等教育自學考試全國統(tǒng)一命題考試

04184線性代數(shù)（經(jīng)管類）試卷

本試卷共8頁，滿分100分，考試時間150分鐘。

闡明：本試卷中，4,表達矩I年A的轉置矩陣，A”表達矩陣A的伴隨矩陣，￡是單位矩陣,

同表達方陣A的行列式，34）表達矩陣A的秩。

一、單項選擇題（本大題共5小題，每題2分，共10分）

在每題列出的四個備選項中只有一種是符合題目規(guī)定的，請將其代碼填寫在題后的括

號內。錯選、多選或未選均無分。

Cl\\a\la\3

1.設3階行列式。21%23=2,若元素%的代數(shù)余子公式為4（i,j=l,2,3）,則

111

An+42+A33=【】

A.-lB.OC.lD.2

2.設A為3階矩陣，將A的第3行乘以-,得到單位矩陣E,

2

則|牛［

A.-2D.2

3.設向量組四，4,4的秩為2，則中【】

A.必有一?種零向量

B.B.任意兩個向量都線性無關

C.存在一種向量可由其他向量線性表出

D.每個向量均可由其他向量線性表出

1-33、

4.設3階矩陣4=3-53，則下列向量中是A的屬于特性值-2的特性向量為

(6-64J

一、"1

B.0C.0D.1

29

5.二次型/($,0小)=匹2+4+后+4X,X2的正慣性指數(shù)為【】

A.OB.lC.2D.3

二、填空題(本大題共10小題，每題2分，共20分)

請在每題的空格中填上對的答案。錯誤、不填均無分、

9-r-1

6.設/@)=，則方程/(x)=0的根是_________________

31

<on*

7.設矩陣A=，則4*=________________________

(20J

8.設A為3階矩陣，M=-g,則行列式|(2A)牛

(\2、(\0、

9.設矩陣8=，尸=，若矩陣A滿足PA=&則人=

(34)(02)~

10.設向量4=(-1,4)。%=(1,2)。出二(4⑵,，則由由四，%線性表出

的表達式為__________________________________________

11.設向量組%=(3,1,1)7,%=(4,1,0)，,%=(1,0,幻,線性有關,

則數(shù)________________

x.+x,=0

12.3元齊次線性方程組112八的基礎解系中所含解向量的個數(shù)

,X2~X3=°

為______________

13.設3階矩陣A滿足|3E+2A|=0,則A必有一種特性值為

14.設2階實對稱矩陣A的特性值分別為-1和1,則A?=

15.設二次型/（4,與）=tx\+正定，

則實數(shù)1的取值范圍是

三、計算題（木大題共7小題，每題9分，共63分）

3100

1310

16.計算4階行列式。=的值。

0131

0013

ar

/a10

17.已知矩陣4—,求AL

a100

Jo00,

-in

18.設矩陣4=110，且矩陣X滿足AX+E=A?+X,求X。

、.()1U

19.設向量

%=(1,1,1,1)7,%=(121?,4=伏+11次次+1)丁，==(公+U,U),試確定當］取何

值時萬能由四,線性表出，并寫出表達式。

X,+X2++X4=0

20.求線性方程組卜2+2.q+2.口=1的通解（規(guī)定用其一種特解和導出組的基礎解系

%1+2X2+3xy+3X4=1

表達）。

1I)(\00、

21.設矩陣4=13-1與對角矩陣8=020相似，求數(shù)X與可逆矩陣尸，使

??JI。。2）

得

22.用正交變換將二次型/（打工2，為）=4+2石+21]七化為原則形，寫出原則形和

所作的正交變換。

四、證明題（本題7分）

23.設向量組3,見,外線性有關，且其中任意兩個向量都線性無關。證明：存在全不為當?shù)?/p>

常數(shù)％],&,自使得占囚+&。2+自%=°。

10月高等教育自學考試全國統(tǒng)一命題考試

線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案及評分參照

（課程代碼04184）

一、單項選擇題（本大題共5小題，每題2分，共10分）

I.D2.A3.C4.B5.C

二、填空題（本大題共10小題，每題2分，共20分）

6.5

(\2\

10.ay=-%+3%

11.-I

12.I

14.E

15.0</<1

三、計和題（本大題共7小題，每題9分，共63分）

31001310

13103100

16席D==—3分

01310131

00130013

1310

0131

=559分

0013

000-55

2<

%，aa11000、10000001)

/。1o0100a1000010

17.解……2分

a1000010a~a10()100

2

J0000001,aa11000,

"1000000I

0100001-c

->7分

001001-c0

ko0011-a00

‘000

.001-a

從向=9分

01-a0

k1-a0

18.解由4X+E=/V+x、得(A—E)X=2分

‘1-1n(\00、/0-1r

又由A-E=I1o-oI0=10o可逆5分

、01