第一部分

知識(shí)梳理課程重構(gòu)

第二章方程(組)與不等式(組)本章知識(shí)導(dǎo)圖2.3一元二次方程及其應(yīng)用

熱身小練B2.已知關(guān)于x的一元二次方程x2－4mx＋3m2＝0.(1)求證：該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；解：(1)由題意知Δ＝(－4m)2－4×1×3m2＝4m2≥0，∴該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.(2)若該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的和為2，求m的值.

3.如圖所示，在寬為20m、長(zhǎng)為32m的矩形耕地上，修筑同樣寬的三條道路，兩條縱向與一條橫向互相垂直，且把耕地分成大小相等的六塊作試驗(yàn)田.若試驗(yàn)田面積為570m2，則道路寬為多少?解：設(shè)道路寬為xm.根據(jù)題意，得(20－x)(32－2x)＝570，解得x1＝1，x2＝35.∵35＞20，∴不符合題意，舍去.答：道路寬為1m.你的小練習(xí)全部過(guò)關(guān)了嗎?請(qǐng)?jiān)诖擞涗浵挛凑莆盏目键c(diǎn)，接下來(lái)設(shè)法突破它哦!知識(shí)梳理考點(diǎn)1

一元二次方程及其解法1.一元二次方程的定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程.2.一元二次方程的一般形式為ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是常數(shù)，且a≠0)，其中ax2叫做二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù)，bx叫做一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c叫做常數(shù)項(xiàng).3.一元二次方程的解法

解法名稱內(nèi)容解法的選擇直接開(kāi)平方法形如ax2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程，兩邊開(kāi)平方，即可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程當(dāng)方程可化為x2＝p(p≥0)的形式時(shí)，優(yōu)先考慮用直接開(kāi)平方法配方法通過(guò)配方將一般方程化成(x＋h)2＝k的形式，再用直接開(kāi)平方法當(dāng)方程的二次項(xiàng)系數(shù)是1，一次項(xiàng)系數(shù)是偶數(shù)時(shí)，優(yōu)先考慮用配方法因式分解法若方程左邊可以分解為兩個(gè)一次因式的積，右邊等于0，則原方程可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程當(dāng)方程變形后一邊為0，另一邊易于分解因式，或方程中缺少常數(shù)項(xiàng)或一次項(xiàng)時(shí)，優(yōu)先考慮用因式分解法公式法一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式：x＝①

(b2－4ac≥0)當(dāng)方程無(wú)明顯特征，用以上三種方法都不易求解時(shí)，考慮用公式法求解

考點(diǎn)2

一元二次方程根的判別式1.Δ＝b2－4ac＞0?方程有兩個(gè)②

的實(shí)數(shù)根；

2.Δ＝b2－4ac＝0?方程有兩個(gè)③

的實(shí)數(shù)根；

3.Δ＝b2－4ac＜0?方程④

實(shí)數(shù)根.

無(wú)

相等

不相等

考點(diǎn)3

一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1，x2，那么x1＋x2＝⑤

，x1·x2＝⑥

.

考點(diǎn)4

一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用

列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟：(1)審題，找等量關(guān)系；(2)設(shè)未知數(shù)；(3)列一元二次方程；(4)解方程；(5)檢驗(yàn)并寫(xiě)出答案.

跟蹤訓(xùn)練例1

解方程：(1)x2－6x＋5＝0；解法1(因式分解法)：解法2(配方法)：解法3(公式法)：解法1(因式分解法)：原方程可以變形為(x－1)(x－5)＝0，∴x－1＝0或x－5＝0，∴x1＝1，x2＝5.解法2(配方法)：原方程化為x2－6x＝－5，配方，得x2－6x＋9＝－5＋9，即(x－3)2＝4，∴x－3＝±2，∴x1＝1，x2＝5.

(2)(x－1)2＝4(x－1).移項(xiàng)，得(x－1)2－4(x－1)＝0，因式分解，得(x－1)(x－5)＝0，解得x1＝1，x2＝5.例2

[2025·蕪湖南陵一模改編]已知關(guān)于x的一元二次方程x2＋2(m－1)x＋m2＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，分別記為x1，x2.(1)求m的取值范圍；

思路導(dǎo)引：(1)由題意知Δ＞0，即可求m的取值范圍；

例3

[2025·四川瀘州]某超市購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品，2022年甲、乙兩種商品每件的進(jìn)價(jià)均為125元，隨著生產(chǎn)成本的降低，甲種商品每件的進(jìn)價(jià)年平均下降25元，乙種商品2024年每件的進(jìn)價(jià)為80元.(1)求乙種商品每件進(jìn)價(jià)的年平均下降率；

【參考答案】(1)設(shè)乙種商品每件進(jìn)價(jià)的年平均下降率為x.根據(jù)題意，得125(1－x)2＝80，解得x1＝0.2＝20%，x2＝1.8(不符合題意，舍去).答：乙種商品每件進(jìn)價(jià)的年平均下降率為20%.(2)2024年該超市用不超過(guò)7800元的資金一次購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品共100件，求最少購(gòu)進(jìn)多少件甲種商品.(2)設(shè)購(gòu)進(jìn)y件甲種商品，則購(gòu)進(jìn)(100－y)件乙種商品.根據(jù)題意，得(125－25×2)y＋80(100－y)≤7800，解得y≥40，∴y的最小值為40.答：最少購(gòu)進(jìn)40件甲種商品.歸納總結(jié)

命題點(diǎn)1真題精練解一元二次方程

1.[2024·安徽第15題]解方程：x2－2x＝3.解：原方程變形，得x2－2x－3＝0.因式分解，得(x－3)(x＋1)＝0.解得x1＝3，x2＝－1.2.[2019·安徽第15題]解方程：(x－1)2＝4.解：直接開(kāi)平方，得x－1＝±2，解得x1＝3，x2＝－1.3.[2025·安徽第5題]下列方程中，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的是(

)A.x2＋1＝0B.x2－2x＋1＝0C.x2＋x＋1＝0D.x2＋x－1＝0一元二次方程根的判別式

D命題點(diǎn)24.[2018·安徽第7題]若關(guān)于x的一元二次方程x(x＋1)＋ax＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的值為(

)A.－1B.1C.－2或2D.－3或1A5.[2017·安徽第8題]一種藥品原價(jià)每盒25元，經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)后每盒16元.