2025數(shù)學(xué)步步高大一輪復(fù)習(xí)講義人教A版第十章§10.5

離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)字特征§10.5離散型隨機(jī)變

量及其分布列、數(shù)字特征

【課標(biāo)要求】1.理解取有限個值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念2理解并會求離散型隨

機(jī)變量的數(shù)字特征.

■落實主干知識

【知識梳理】

I.離散型隨機(jī)變量

一般地，對于隨機(jī)試驗樣衣空間Q中的每個樣本點①，都有唯二的實數(shù)X(⑹與之對應(yīng)，我們

稱X為隨機(jī)變量；可能取值為有限個或可以一一列舉的隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量.

2.離散型隨機(jī)變量的分布列

一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為內(nèi)，也，…，X”，稱X取每一個值方的概率P(X

=M)=p”i=l,2,…，〃為X的概率分布列，簡稱分布列.

3.離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)

(l)p屋0,/'=1,2,小

(2)pi+p2+…+p〃=L

4.離散型隨機(jī)變量的均值(數(shù)學(xué)期望)與方差

一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為

???

XX|X2X”

???

PPiP2Pn

(1)均值(數(shù)學(xué)期望)

稱E(X、=xm…產(chǎn)小,為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，數(shù)學(xué)期望簡稱期

/=1

望.它反映了隨機(jī)變最取值的壬均

(2)方差

稱/)(%)=(用一印0)2〃|+(電一印0)2〃2+...+(4一印0)2〃產(chǎn)￡(為一印0)2〃［為隨機(jī)變量1，的方

1=1

差,并稱而又為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差,記為。(X),它們都可以度量隨機(jī)變量取值與其均值

的偏離程度.

5.均值(數(shù)學(xué)期望)與方差的性質(zhì)

(l)E(aX+b)=aE(X)+b.

(2)D(aX+b)=a2D(X)(a,b為常數(shù)).

【常用結(jié)論】

1.E(k)=k,。(火)=0,其中&為常數(shù).

2.E(XI+X2)=E(XI)+E(X2).

3.D(X)=E(X2)-(E(X))2.

4.若Xi，X?相互獨立，則E(X|X2)=E(XI>￡(X2).

【自主診斷】

1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“J”或“X”)

(1)在離散型隨機(jī)變量的分布列中，隨機(jī)變量取各個值的概率之和可以小于1.(X)

(2)離散型隨機(jī)變量的各個可能值表示的事件是彼此互斥的.(V)

(3)隨機(jī)試驗的結(jié)果與隨機(jī)變量是對應(yīng)關(guān)系，即至一公試驗結(jié)果都有唯一的隨機(jī)變量的值與之

對應(yīng).(V)

(4)方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則隨機(jī)變量的偏離程度越小.(J)

2.(選擇性必修第三冊P66Tl改編)已知X的分布列為

X-101

111

P

236

設(shè)Y=2X+3,則E(X)的值為()

7

A.TB.4C.-1D.1

答案A

解析E(X)=~Ix1+0x|+1x1=-1,

27

E(X)=E(2X+3)=2E(X)+3=—§+3=?

3.(2023?遼陽模擬)已知隨機(jī)變量X滿足尸(X=l)=P(X=2)=0.4,P(X=4)=0.2,則E(X)=

，D(X)=.

答案21.2

解析E(X)=(l+2)X0.4+4X0.2=2,

D(X)=(l-2)2X0.4+(2-2)2X0.4+(4-2)2X0.2=1.2.

4.(選擇性必修第三冊P67T3改編)甲、乙兩工人在一天生產(chǎn)中出現(xiàn)的廢品數(shù)分別是兩個隨機(jī)

變量X，匕其分布列分別為

X0123

P0.40.30.20.1

Y01

P0.30.50.2

若甲、乙兩人的日產(chǎn)量相等，則甲、乙兩人中技術(shù)較好的是.

答案乙

解析￡(X)=OX0.4+1X0.3+2X0.2+3X0.1=1,E(F)=OX0.3+1X0.5+2X0.2=09

???E(y)vE(X),???乙技術(shù)較好.

■探究核心題型

題型一分布列的性質(zhì)

例1(1)(多選)已知隨機(jī)變量X的分布列如表(其中。為常數(shù)):

X01234

P0.10.20.40.2a

則下列計算結(jié)果正確的是()

A.。=0.1B.尸(XW2)=0.7

C.P(X23)=0.4D.P(XW1)=0.3

答案ABD

解析因為0.1+0.2+0.4+0.2+a=l,解得。=0.1,故A正確；

由分布列知P(XW2)=P(X=0)+P(X=l)+P(X=2)=0.1+0.2+0.4=0.7,故B正確；

P(X23)=P(X=3)+P(X=4)=O2+0.1=O3,故C錯誤;

P(XWl)=P(X=0)+P(X=l)=0.1+0.2=0.3,故D正確.

(2)離散型隨機(jī)變量X的概率分布規(guī)律為P(X=〃)=加[[)(〃=1,2,3,4),其中a是常數(shù)，則

等于()

A1B4C5Dl

答案D

解析因為P(X=〃)=〃(/工)(〃=123,4),

所以介/噲+為=1,即

2I3

???P(X22)=P(X=2)+尸(X=3)=亍+,=亍.

題型二離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)字特征

命題點I求離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)字特征

例2(1)(2024.杭州模擬)已知甲、乙兩名員工分別從家中趕往工作單位的時間互不影響，經(jīng)統(tǒng)

計，甲、乙一個月內(nèi)從家中到工作單位所用時間在各個時間段內(nèi)的頻率如下：

時間/分鐘10?2020?3030?4040?50

甲的頻率0.10.40.20.3

乙的頻率00.30.60.1

某日工作單位接到一項任務(wù)，需要甲在30分鐘內(nèi)到達(dá)，乙在40分鐘內(nèi)到達(dá)，用X表示甲、

乙兩人在要求時間內(nèi)從家中到達(dá)單位的人數(shù)，用頻率估計概率，則X的均值和方差分別是

()

A.E(X)=1.5,D(X)=0.36

B.E(X)=1.4,D(X)=0.36

C.E(X)=1.5,D(X)=0.34

D.DW=L4,D(X)=0.34

答案D

解析設(shè)事件A表示甲在規(guī)定的時間內(nèi)到達(dá)，8表示乙在規(guī)定的時間內(nèi)到達(dá)，

P(A)=O5,尸(8)=09,A,B相互獨立，

：.P(X=())=P('A'~B)=PCA)P(~B)=(l-0.5)X(|-0.9)=0.05.

P(X=\)=PC\)

=P(A)P(8)+P(A)P(9)

=(1-0.5)X0.9+0.5X(I-0.9)=0.5,

P(X=2)=P{AB)=P(A)P(B)=0.5X0.9=0.45,

:.E(X)=0X0.05+1X0.5+2X0.45=1.4,

D(Y)=(0-l4)2X005+(1-1.4)2X0.5+(?.-14)2X045=0.34

(2)(2023?沈陽模擬)己知某離散型隨機(jī)變量X的分布列如表：

X-1012

Pabc

3

37

若E(X)=G，P(X21)=萬，則Q(X)等于()

A16B8Cl6D-4

答案C

解析由題意，得a+/，+c+(=l,

2

所以a+b+c=Q.①

J

13

因為￡(%)=(-l)X〃+0X0+lXe+2X§=j,

所以一.②

由P(X21)=c+q=j^,得c=：,

代入①②解得a],/?=1.

所以。⑶=(-1-3&+(。-{)乂+(1—滬；+(2一鼾乂卜普

■微拓展

均值、方差的大小比較、最值（范圍）問題

關(guān)于隨機(jī)變量的均值與方差，近幾年均以選擇題的形式考查，除考查均值、方差的直接計算,

還經(jīng)常從下列幾個角度進(jìn)行考查：（1）均值、方差及概率的大小比較；（2）均值、方差的增減性

分析；（3）均值、方差的最值；（4）解均值、方差的不等式求字母的范圍.

典例（1）設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如下（其中Ovp<l）,O（X）表示X的方差，則當(dāng)〃從0增大到

1時（）

X012

1

Pl-p2

222

A.D（X）增大B.D（X）減小

C.O（X）先減后增D.Q（X）先增后減

答案D

解析由分布列可得E(X)=0X三+lx1+2X^=；+p,

4J44

則OC50="4^G+〃)2+X；+P-+船+〃-2)2=_/+〃+；=_(〃_；＞+=

因為ovpvl,所以￡>（X）先增后減.

（2）（多選）已知某商場銷售一種商品的單件銷售利潤為X=O,〃,2,根據(jù)以往銷售經(jīng)驗可得

0<a<2,隨機(jī)變量X的分布列為

X0a2

21

h

P26

下列結(jié)論正確的是()

A.b=\

B.若該商場俏售該商品5件，其中3件儲售利潤為0的概率端

C.D(X)min=1

D.當(dāng)"X)min最小時，E(X)=|

答案ABC

解析由題意;+6+9=1,???〃=/故選項A正確；該商場銷售該商品5件，其中3件銷售

利潤為0的概率為仁乂七戶吩=高故選項B正確；隨機(jī)變量X的均值E(X)=Ox￡+aX；

+2乂1=；(〃+1),可知方差D(X)=[o—1(a+l)2x；+[a-；(a+l)}x；+2—|(6t+l)2x1=

5X(12/-12a+30)=(x[12(a—分+27],當(dāng)a=；時，￡>(X)min=5，故選項C正確；當(dāng)

￡)(X)min=T時，E(X)=|XQ+1^=1,故選項D錯誤.

命題點2均值(數(shù)學(xué)期望)與方差的性質(zhì)應(yīng)用

例3設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(X=A)=#jU=125),E(X),。(用分別為隨機(jī)變量

X的均值與方差，則下列結(jié)論正確的是()

A.P(O<X<3,5)=|

B.E(3X+2)=7

C.D(X)=2

D.O(3X+1)=6

答案C

解析因為隨機(jī)變量X的分布列為P(X=Z)=#Y(A=125),

由分布列的性質(zhì)可知，P(X=1)+P(X=2)+P(X=5)=畀葉5=1,解得a=L

P(0<Xv3.5)=P(X=l)+P(X=2)=}+；='，故A不正確；

41U

因為E(X)=1XT+2XT+5X-=2,

所以E(3X+2)=3E(X)+2=3X2+2=8,故B不正確；

由O(X)=：X(1—2)2+；X[2—2)2+\X(5—2戶=2,故C正確;

4JU

因為D(X)=2,

所以O(shè)(3X+1)=9D(X)=13,故D不正確.

思維升華求離散型隨機(jī)變量小的均使與方差的步㈱

(1)理解j的意義，寫出c的所有可能取值.

⑵求E取每個值的概率.

(3)寫出。的分布列.

(4)由均值、方差的定義求E(J,

跟蹤訓(xùn)練2(1)(多選)已知隨機(jī)變量X的分布列為

X-101

Pm3m

3

下列結(jié)論正確的有()

B.E(X)=^

A./??=7

C.E(2X-1)=|?9

D")與

答案ABD

解析由分布列的性質(zhì)得;+4加=1,解得〃?=:，故A正確;

E(X)=—1x|+OX：+1X)=N，故B正確；

JuLIJ

2

E(2X-l)=2E(X)-l=-z,故C不正確；

D(X)=|xf-l

京，故D正確.

(2)學(xué)習(xí)強(qiáng)國新開通一項“爭上游答題”欄目，其規(guī)則是比賽兩局，首局勝利積3分，第二局

勝利積2分，失敗均積1分，某人每局比賽勝利的概率為設(shè)他參加一次答題活動得分為。,

則O?=.

解析由題意知，E的所有可能取值為543,2,

P(k5)=；X卜七

尸e=4)=3(1-￡)=看

W=3)=(1-1)XZ=4

p(口)=(T)x(T)4,

i33911

則E(a=5X-+4X-+3X-+2X-=-

砥=(5-.+(3-吩X4+(2-吩X磊=磊

題型三均值與方差中的決策問題

例4(2023?上海七寶中學(xué)模擬)隨著五一黃金周的到來，各大旅游景點熱鬧非凡，為了解4,B

兩個旅游景點游客的滿意度，某研究性學(xué)習(xí)小組采用隨機(jī)抽樣的方法，獲得關(guān)于A旅游景點

的問卷100份，關(guān)旅游景點的問卷80份.問卷中，對景點的滿意度等級劃分為：非常

滿意、滿意、一般、不滿意，對應(yīng)分?jǐn)?shù)分別為：4分、3分、2分、1分，數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下:

非常滿意滿意一般不滿意

A景點5030515

8景點353078

假設(shè)用頻率估計概率，目游客對A,B兩個旅游景點的滿意度評價相互獨立.

(1)從所有(人數(shù)足夠多)在A旅游景點的游客中隨機(jī)抽取2人，從所有(人數(shù)足夠多)在B旅游

景點的游客中隨機(jī)抽取2人，估計這4人中恰有2人給巴“非常滿意”的概率；

(2)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，你若旅游，你會選擇A,8哪個旅游景點？說明理由.

解(1)設(shè)“這4人中恰有2人給出‘非常滿意'的評價”為事件C,由表中數(shù)據(jù)可知，游客

在A景點給出“非常滿意”評價的概率為羔

1UU乙

游客在3景點給出“非常滿意”評價的概率為3言5=￡7,

oU10

則P(0=(新-款+C或1-加點1V)+(l-分㈤2=晶.

(2)設(shè)一位游客對人景點的滿意度評分為X,一位游客對B景點的滿意度評分為匕

由數(shù)表中數(shù)據(jù)得X的分布列為

X4321

1313

P

2102020

y的分布列為

Y4321

7371

P

*16880To

1313

則七(X)=4X￡+3X元+2X而+1X行=3.15,

1313

5X)=0.852X]+(-0.15)2x而+(—1.15)2乂詬+(-2.15)2乂而一1.]275,

7371

E(r)=4Xm+3Xg+2X赤+1X而=3.15,

7371

D(r)=0.852X77+(-0.15)2X^+(-1.15)2X—+(-2J5)2X-T7；=0.9025,

10ooU1U

顯然E(X)=E(K),￡)(X)>"y),所以選擇8景點.

思維升華隨機(jī)變量的均值和方差從整體和全局上刻畫了隨機(jī)變量，是生產(chǎn)實際中用于方案取

舍的重要理論依據(jù).一般先比較均值，若均值相同，再月方差來決定.

跟蹤訓(xùn)練3(2021?新高考全國I)某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽，有A,B兩類問題.每

位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個問題回答，若回答錯誤則該

同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個問題回答，無論回答正確與否,

該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得。分；8類問題中的每個

問題回答正確得80分，否則得。分.

已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8,能正確回答4類問題的概率為0.6,且能正確回

答問題的概率與問答次序無關(guān).

(1)若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列；

(2)為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.

解(1)由題意得,X的所有可能取值為0,20,100,

P(X=0)=l-0,8=0.2,

P(X=20)=0.8X(l-0.6)=032,

P(X=100)=0.8X0.6=0.48,

所以X的分布列為

X02010()

p0.20.320.48

(2)當(dāng)小明先回答A類問題時，由⑴可得￡(X)=OXO.2+2OXO.32+100X0.48=54.4.

當(dāng)小明先回答8類問題時，記y為小明的累計得分，

則y的所有可能取值為o,8o,ioo,

P(y-0)-l-0.6-0.4,

P(r=80)=0.6X(l-0.8)=0.I2,

P(y=100)=0.6X0.8=0.48,

所以y的分布列為

Y080100

P0.40.120.48

E(y)=0X0.4+80X0.124-100X0.48=57.6.

因為57.6>54.4,即E(K)>E(X),所以為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答8類問題.

課時精練

ID知識過關(guān)

一、單項選擇題

i.已知閑散型隨機(jī)變量x的分布列為

X123

31

Pa

5To

則X的均值E(X)等于()

35

-2C-3

A.213.2D.

答案A

解析由題意得］3+〃+言1=1,解得。=毒3

3313

故E(X)=IX§+2X行+3X而=].

2.已知甲、乙兩種產(chǎn)業(yè)收益的分布列分別為:

甲產(chǎn)業(yè)收益分布列

收益X/億元-102

概率0.1().30.6

乙產(chǎn)業(yè)收益分布列

收益17億元012

概率0.30.4().3

則下列說法正確的是()

A.甲產(chǎn)業(yè)收益的期望大，風(fēng)險高

B.甲產(chǎn)業(yè)收益的期望小，風(fēng)險小

C.乙產(chǎn)業(yè)收益的期望大，風(fēng)險小

D.乙產(chǎn)業(yè)收益的期望小，風(fēng)險高

答案A

解析由題意可得E(X)=7X0.1+0X().3+2X().6=l.l,

￡)(%)=(-1-1.1)2X0.1+(0-IJ)2X0.3+(2-I.l)2X0.6=1.29；

F(y)=0X0.3+lX0.4+2X0.3=l,

D(K)=(0-l)2X0.3+(l-l)2X0.4+(2-l)2X0.3=0.6,

故員X)>七(K),Q(X)>Q(K),

即甲產(chǎn)業(yè)收益的期望大，風(fēng)險高.

3.(2023?南寧模擬)己知X的分布列為

X-101

111

P

236

7

且y=〃X+3,E(Y)=y則。為()

A.1B.2C.3D.4

答案B

解析E(X)=(—l)X；+0xg+lX^=一；,

由y=aX+3得E(y)=〃E(X)+3,

.?]=aX(—；)+3,解得a=2.

4.現(xiàn)有3道單選題，學(xué)生李明對其中的2道題有思路，I道題完全沒有思路，有思路的題答

對的概率為去沒有思路的題只好任意猜一個答案，猜對答案的概率為:，若每題答對得5分,

不答或答錯得0分，則李明這3道題得分的均值為()

A以B衛(wèi)C型D組

從100420

答案B

解析記李明這3道題的得分為隨機(jī)變量X,則X的所有可能取值為0510,15,

3

X-

P(X=0)=(§24-

41311

/X5\O"X-X-X-+=-

X(/1-'554i44

P(X=

i4

?2義廠后

所以E(X)=0Xa+5X(+]0乂景+15乂&

37

了

5.（2023?洛陽模擬）隨機(jī)變量。的分布列為尸（4=攵）=言工，攵=1,2,3,其中c是常數(shù)，則。（紇

一3）的值為（）

A.10B.117C.38D.35

答案C

解析,??F(4=%)=冒口，2=123,

-3+2=1

??2十6十12I'

4

解得C=y

2

-193

9

???°?=（L綁，（2得卜圻（3_孰言,

???D（紇-3）=9?D?=81Q?=38.

6.（2024?桂林模擬）設(shè)0＜。＜1.隨機(jī)變星X的分布列為

X0a1

11

P333

當(dāng)。在（0,1）上增大時，則（）

A.鳳X）不變

B.E（X）減小

C.Q（X）先增大后減小

D.D（X）先減小后增大

答案D

解析E（X）=0xg+〃X；+1

???當(dāng)。在（0,1）上增大時,E（X）增大,

"X)=(晝＞X；+Q—燮卜桿(］一空/

==1(。+1)2+(2。-1)2+(2-6/)2]

，當(dāng)。在(0,1)上增大時,D(X)先減小后增大.

二、多項選擇題

7.已知隨機(jī)變量X和匕其中y=12X+7,且E(V)=34,若X的分布列如表:

X1234

11

m

P4nn

則下列正確的是()

9

A.E(X)=12B.E(X)=W

C\

C.〃?=QD-n=3

答案BCD

ii2

解析根據(jù)分布列可知m+〃=?一￡-75=十①

因為y=12X+7,所以&Z)=l2E(X)+7=34,

9

解得E(X)=/

IIQ

又由分布列可得E(X)=1XW+2X〃?+3X〃+4X^=W，

整理得2〃?+3〃=*②

聯(lián)立①②解得"=!.

8.某校欲舉辦運動會，為了組建一支朝氣蓬勃、訓(xùn)練有素的賽會志愿者隊伍，運動會組織委

員會欲從4名男志愿者，3名女志愿者中隨機(jī)抽取3人聘為志愿者隊的隊長.下列說法正確

的有()

A.設(shè)事件A：“抽取的3人中既有男志愿者，也有女志愿者”，則P(4)=與

B.設(shè)事件A：”抽取的3人中至少有一名男志愿者”，事件4：“抽取的3人中全是男志愿

2

者”，則尸(陰4)=F

C.用X表示抽取的3人中女志愿者的人數(shù)，則瓜％)=￥

D.用y表示抽取的3人中男志愿者的人數(shù)，則。（r）=而

答案ABD

解析所有可能的情況有C：=35（種），其中既有男志愿者，也有女志愿者的情況有

cjc+aa=3o（種），

6

確

故

-正

^A*

故尸（A尸豆/9

Ci4

"(A6)=d=4，

c!cHcic}+dM

P(A)=35'

所以尸（始尸^^看書，故B正確;

X的所有可能取值為0,1,23,

4

則P（X=0）=百=亞

pzX_n_CiCi_18

RXT）一丁一35，

C]C\12

P(X=2)=C：-35'

P(X=3)=手C?藥I

4IRI?I9

所以E(X)=OX4+1X行+2X4+3X行=亍故C錯誤;

4中+導(dǎo)停9—21|2+.L-L

由C知，D(X)=^XX2X

735—49,

因為Y=3~X,

74

所以。（M=Q（X）=而，故D正確.

三、填空題

9.已知離散型隨機(jī)變量J的分布列如表所示.

-202

Pab

若隨機(jī)變量的均值￡?=3，則。（2。+1）=.

答案11

1

解析由表中數(shù)據(jù)得石（J=-2a+0X〃+2xg=B，解得--

4

又a+Z?+g=l,所以b=；,

所以D?=(―2—今x；+(。一。X4+(2-2)2><2=V

所以。(20+1)=22"。=”.

10.根據(jù)以往的經(jīng)驗，某工程施工期間的降水量X(單位：mm)對工期的影響如表所示:

降水量XX<300300WX<700700^X<900X2900

工期延誤天數(shù)y02610

歷年氣象資料表明，該工程施工期間降水量X小于300,700.900的概率分別為03,0.7,0.9,則

工期延誤天數(shù)丫的均值為.

答案3

解析由題意可知P(X<300)=0.3,

P(300^X<700)=P(X<700)-P(X<300)=0.7-0.3=0.4,

產(chǎn)(700WX<900)=尸(X<900)一尸(X<700)=0.9-0.7=0.2,

P(X2900)=1-P(X<900)=l-0.9=0.1.

所以隨機(jī)變量y的分布列為

Y02610

P0.30.40.20.1

所以E(r)=0X0.3+2X0.4+6X0.2+10X0.1=3,所以工期延誤天數(shù)丫的均值為3.

11.己知排球發(fā)球考試規(guī)則：每位考生最多可發(fā)球三次，若發(fā)球成功，則停止發(fā)球，否則一

直發(fā)到3次結(jié)束為止.某考生一次發(fā)球成功的概率為MCv/Xl),發(fā)球次數(shù)為X,若X的均值

E(X)>1.75,則〃的取值范羽為.

答案()<〃<!

解析由題意知。(X=I)=P，P(x=2)=p(l-p),P(X=3)=(l-p)2,

所以E(X)=/?+2p(l-p)4-3(l-p)2>1,75,

解得或P<y

又呷0,1),所以p《o,0.

12.(2024.稽陽模擬)已知甲盒中有3個紅球2個白球，乙盒中有4個紅球1個白球，從甲盒

中隨機(jī)取1球放入乙盒，然后再從乙盒中隨機(jī)取2球，記取到紅球的個數(shù)為隨機(jī)變量X,則

X的均值為.

答案

解析若從甲盒中隨機(jī)取到的為紅球且概率為a

則X的可能取值為1,2,

則P(X=1)=普斗

R(X=2)=以=1,

若從甲盒中隨機(jī)取到的為白球且概率為程2

則X的可能取值為0.1,2,

則P2(X=0)=**，

P2(X=1)=^$，

Pz(X=2)=寥=,,

22

綜上，P(X=O)=5X/>2(X=O)=方，

3231

P(X=1)=/P(X=1)+/Pz(X=1)=污

3214

P(X=2)=,XP](X=2)+§XPz(X=2)=不，

2311423

故E(X)=0X—4-1X—+2X—=—

四、解答題

13.從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設(shè)隨機(jī)變量X表示所選3人中女生的

人數(shù)，求：

(1)“所選3人中女生人數(shù)XW1”的概率；

(2)X的均值與方差.

解(1)”所選3人中女生人數(shù)XW1”的概率

P=P(x=o)+P(x=|)=會+等中H.

(2)因為從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，隨機(jī)變量X表示所選3人中女生的

人數(shù)，

所以X的可能取值為0,1,2,

P(X=0)=§=|,

del3

P(X=1)=~CF-5,

C1C51

P(x=2)=b=5,

所以X的分布列為

X012

131

P

555

所以f(X)=Ox]+1x|+2x1=1.

i312

D(X)=(0-1)2XJ+(1-1)2乂亍+(2—l)2x5一亍

14.(2023?泰安模擬)某公司為活躍氣氛、提升士氣，年終擬通過抓閹兌獎的方式對所有員工

進(jìn)行獎勵.規(guī)定：每位員工從一個裝有4個標(biāo)有面值的閻的袋中一次性隨機(jī)摸出2個閹，閹

上所標(biāo)的面值之和為該員工獲得的獎勵金額.

(I)若袋中所裝的4個閘中有I個所標(biāo)的面值為800元，其余3個均為20()元，求：

①員工所獲得的獎勵金額為1000元的概率；

②員工所獲得的獎勵金額的分布列及均值；

(2)公司對獎勵金額的預(yù)算是人均I000元,并規(guī)定袋中的4個陶只能由標(biāo)有面值20()元和800

元的兩種聞或標(biāo)有面值400元和600元的兩種鬧組成.為了使員工得到的獎勵金額盡可能符

合公司的預(yù)算且每位員工所獲得的獎勵金額相對均衡，請對袋中的4個閹的面值給出一個合

適的設(shè)計，并說明理由.

解(1)設(shè)員工所獲得的獎勵金額為X,

Q\I

①P(X=1000)=^^=2，

???員工所獲得的獎勵金額為1000元的概率為今

②X所有可能的取值為400,1000,

P(X=400)=M=5，

???X的分布列為

X4001000

11

p

22

???員工所獲得的獎勵金額的均值為E(X)=400x1+l000X：=700(元).

(2)根據(jù)公司預(yù)算，每個員工的平均獎勵金額為1000元，

???先尋找均值為1000元的可能方窠，

對于面值由800元和200元組成的情況，

如果選擇(200,200,200,800)的方案，

1000元是面值之和的最大值，

???均值不可能為1000元，

如果選擇(800,800,800,200)的方案，

V1000元是面值之和的最小值，

???均值不可能為1000元，

因此可能的方案是(800,800,2()0,200),記為方案I；

同理，對于面值由600元加400元組成的情況，

排除(600,600,600,400)和(400,400,400,600)的方案,

，可能的方案是(400,400,600,600),記為方案2.

對于方案1,設(shè)員工所獲得的獎勵金額為Xi,X可取400,1000,1600,

Ci1

P(X)=400)=g=^,

ClCJ2

P(Xi=looo)=-^=3，

c21

P(X|=1600)=己=不

1?1

.\￡(X|)=4OOX-+1oooxq+l600X-=l000,

I21

D(X))=(400-1000)2X--|-(l000-1(X)0)2X-+(l600-1(X)0)2X-=120(X)0；

對于方案2,設(shè)員工所獲得的獎勵金額為X2,X2可取800J()()()1200,

P(X2=800)=魯=:，

CJCJ2

P(X2=1000)=-§^=3，

ClI

P(X2=1200)=1=3,

121

/.￡(X2)=800X^4-1000X/1200X^=l000,

222

D(X2)=1X(800-1ooo)-i-|x(i000-1000)+1x(l200-1000)=^p^,

由于兩種方案的獎勵金額都符合預(yù)算要求，但方案2的力差比方案1小，

，應(yīng)選擇方案2.

能力拓展

15.(多選)(2023?武漢模擬)已知隨機(jī)變量X的取值為不大于〃(〃￡N")的非負(fù)整數(shù)，它的分布

列為

X0123???n

???

P加PlP2P3P"

定義由X生成的函數(shù)FpHHFpX，g(x)為函數(shù)段)的導(dǎo)函數(shù)，

E(X)為隨機(jī)變量X的均值.現(xiàn)有一枚質(zhì)地均勻的正四面體型骰子，四個面分別標(biāo)有123,4四

個點數(shù)，這枚骰子連續(xù)拋擲兩次，向下點數(shù)之和為X,此時由X生成的函數(shù)為力(x),貝U()

A.E(X)=g(2)B.f\(2)=~2

225

C.E(X)=g(DD.力(2)=亍

答案CD

解析因為fix)=p()+p\x-\-pvr+pvc,-\--------------------

則g(x)=f(x)=pi+2P噓+3〃42+…+ip*r+…+即,/「，

E(X)=j)\+2P2+3.3H-----Fip(-\------F〃p”，

當(dāng)x=l時，E(X)=g(l),故A錯誤，C正確；

連續(xù)拋擲兩次骰孑，向下點數(shù)之和為X,則X的分布列為

X2345678

1234321

P

16161616161616

17343?!

力(2)=而X22+RX23+^X24+而X2§+啟X26+京X27+而X28=亍，故B錯誤，D正確.

16.(多選)(2023?山東省實臉中學(xué)模擬)隨機(jī)變量。的分布列如表，其中孫W0,下列說法正確

的是()

0012

12x

PX

33

A.x+y=1

B.E(9T5v

C.0(9有最大值

D.。(口隨)，的增大而減小

答案ABC

解析由題意可知x+1+亨=1,即x+y=l,故A正確;

E(<)=0Xx+lX^4-2Xy=^L,故B正確；

陽=*司領(lǐng)T>+翼-歌=s)g舒+如舒+第卷」豺

+3y,

因為xy^O,x+y=1,易得Ov.y<1,

2s97

而函數(shù)心尸一號2+3),的圖象開口向下，對稱軸為產(chǎn)檢

所以心)在(0,匐上單調(diào)遞增，在島I)上單調(diào)遞減，

故")在尸卷97處取得最大值，

所以D(給隨著)，的增大先漕大后減小，

當(dāng)產(chǎn)幼77時取得最大值，故C正確，D錯誤.

§10.6二項分布、超幾何分布與正態(tài)分布

【課標(biāo)要求】1.理解二項分布、超幾何分布的概念，能解決一些簡單的實際問題.2.借助正態(tài)曲

線了解正態(tài)分布的概念，并進(jìn)行簡單應(yīng)用.

主干知識

【知識梳理】

1.二項分布

(1)伯努利試驗

只包含西仝可能結(jié)果的試驗叫做伯努利試驗；將一個伯努利試驗獨立地重復(fù)進(jìn)行〃次所組成

的隨機(jī)試驗稱為〃重伯努利試驗.

(2)二項分布

一般地，在〃重伯努利試驗中，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為〃(0<〃<1),用X表示事件

A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P(X=N=0//(1一〃)"%%=01,2,.

如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機(jī)變量X服從二項分布，記作X?B(m

辦

(3)兩點分布與二項分布的均值、方差

①若隨機(jī)變量X服從兩點分布，則上(％)=?D(X)=p(\-p).

②若X?8(〃，p),則E(X)=w，D(X)=np(l-p).

2.超幾何分布

一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取〃件(不放回),

用X表示抽取的〃件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為p(x=k)=C*

，k=tn,m4-1,m

LN

+2,…，r,其中n,N,A1￡N”,MWM，〃=max{0,N+M},r=min{〃，M].如

果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.

3.正態(tài)分布

⑴定義

1(XT))

若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為4[)=1=?2。'，x￡R,其中〃￡R,b>0為參數(shù),

則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為X?N(u,/).

⑵正態(tài)曲線的特點

①曲線是單峰的，它關(guān)于直線正上對稱；

②曲線在x=u處達(dá)到峰值最岔：

③當(dāng)R無限增大時，曲線無限接近x軸.

(3)3a原則

①P(/L?7WXW"+O)P0.6827；

②P(/L2(7WXW〃+20、O.9545；

③P(〃一3oWXW〃+3o)%0.9973.

(4)正態(tài)分布的均值與方差

若X?N",4)，則E(X)=?Q(X)=《.

【常用結(jié)論】

1.“二項分布”與“超幾何分布”的區(qū)別：有放回抽取問題對應(yīng)二項分布，不放回抽取問題

對應(yīng)超幾何分布，當(dāng)總體容量很大時，超兒何分布可近似為二項分布來處理.

2.超幾何分布有時也記為X?HQi,M,N)，其均值用幻=丁,

方差Q(X尸哪1一日昌)

【自主診斷】

1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“J”或“X”)

(1)兩點分布是二項分布當(dāng)〃=1時的特殊情形.(J)

(2)若X表示〃次重復(fù)拋擲1枚骰子出現(xiàn)點數(shù)是3的倍數(shù)的次數(shù)，則X服從二項分布.(J)

(3)從裝有3個紅球、3個白球的盒中有放回地任取一個球，連取3次，則取到紅球的個數(shù)X

服從超幾何分布.(X)

(4)當(dāng)〃取定值時，正態(tài)曲愛的形狀由。確定，。越小，曲線越“矮胖”.(X)

2

2.如果某一批玉米種子中，每粒發(fā)芽的概率均為昌那么播下5粒這樣的種子，恰