數(shù)學(xué)科目試卷說明：考試時間分鐘，試卷滿分分.開考前，請在試卷上和答題卡上都要填寫好自己的個人信息，然后用鉛筆在答題卡的規(guī)定區(qū)域填寫，用黑色簽字筆在答題卡的指定區(qū)域書寫.考試結(jié)束后，只交回答題卡即可.85分在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)集合并集運算的定義即可求出答案．【詳解】，∴，故選：B．2.已知復(fù)數(shù)，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的公式及除法法則求解即可.【詳解】.故選：D.3.若命題“”的否定是真命題，則實數(shù)的取值范圍是（）第1頁/共18頁【答案】C【解析】【分析】得到命題的否定后結(jié)合根的判別式計算即可得.【詳解】命題“”的否定是“”，則“”是真命題，則有，解得故選：C.4.已知，，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】將弦化切，即可求出，再由二倍角公式計算可得.【詳解】因為，所以，解得或，又，所以，則，所以.故選：C5.已知點在在上的投影向量為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】量的定義計算可得.第2頁/共18頁【詳解】設(shè)，又，則，，，因為，所以，即，解得，所以，則，，所以，，所以在上的投影向量為.故選：D6.如圖，把邊長為4的正方形紙片沿著對角線折成直二面角，分別為的中點，則點到直線的距離為（）A.2B.C.D.【答案】B【解析】的中點,系，利用空間向量法求出點到直線的距離.【詳解】取的中點，連接，因為、均為等腰直角三角形，所以,由二面角是直二面角，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，如圖，以為原點,所在直線分別為軸、軸、軸,建立如圖所第3頁/共18頁則,所以,所以,所以,,設(shè)直線的單位方向向量為，則,所以點到直線的距離為.故選：B7.已知，分別是橢圓PQ是C上位于x軸上方的任意兩點，且．若，則C的離心率的取值范圍是（）AB.C.D.【答案】C【解析】第4頁/共18頁交橢圓另一交點為徑的性質(zhì)有即可得解.【詳解】由點P，Q是C上位于x軸上方的任意兩點，延長交橢圓另一交點為，由再結(jié)合橢圓的對稱性，易知，所以，由橢圓過焦點的弦通徑最短，所以當(dāng)垂直軸時，最短，所以，所以，解得.故選：C8.記銳角三角形的內(nèi)角所對的邊分別為，已知，，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】公式和二倍角公式化簡式子，結(jié)合銳角三角形角的范圍解得的取值范圍．【詳解】因，所以．由正弦定理，有所以．因為．第5頁/共18頁所以．因為是銳角三角形，所以所以，所以．所以，即的取值范圍是，故選：D．二、多選題：本題共3小題，共分在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.9.某研究所研究耕種深度（單位：）與水稻每公頃產(chǎn)量（單位：）的關(guān)系，所得數(shù)據(jù)資料如下表：耕種深度810121416每公頃產(chǎn)量6.07.57.89.29.5經(jīng)計算可知每公頃產(chǎn)量與耕種深度的線性回歸方程為，則下列說法中正確的是（）A.每公頃產(chǎn)量與耕種深度呈負(fù)相關(guān)B.耕種深度的平均數(shù)為12C.每公頃產(chǎn)量的平均數(shù)為7.8D.【答案】BD【解析】A即可判斷BC代入方程求出即可判斷D.【詳解】A：對于，，所以每公頃產(chǎn)量與耕種深度呈正相關(guān)，故A錯誤；B：由題意知，，故B正確；C：由題意知，，故C錯誤；D：將點代入方程，第6頁/共18頁故選：BD10.已知是等差數(shù)列的前項和，，，則（）A.B.C.當(dāng)時，取最大值D.的最小值是0【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式和前項和公式求解即可.【詳解】因為，所以，設(shè)數(shù)列的公差為，所以，對于A：，故A選項錯誤；對于B：，故B選項正確；對于C：，所以當(dāng)或時，取得最大值，，故C正確；對于D：由C選項可知，當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以沒有最小值，所以D錯誤；故選：BC在棱長為的正方體E，F(xiàn)分別是棱BC的是（）A.直線EF與所成的角為B.平面AEF截正方體所得的截面面積為C.若點P滿足其中則三棱錐的體積為定值第7頁/共18頁D.以為球心，4為半徑作一個球，則該球面與三棱錐表面相交的交線長為【答案】BCD【解析】ABC過P點在線段上D兩個面的交線和為以為圓心，圓心角為以4為半徑的圓弧，是直角三角形，球面與這個面的交線是以B2以為圓心，圓心角，半徑為4的圓弧，進(jìn)而可求解；【詳解】解：對于A，連接因為E，F(xiàn)分別是棱BC，的中點，所以所以直線EF與所成的角為因為幾何體是正方體，所以為等邊三角形，所以，即直線EF與所成的角為，故A錯誤；對于B，連接因為平行且相等，故四邊形為平行四邊形，所以，所以所以平面AEF截正方體所得的截面為梯形因為，，梯形的高為，所以梯形的面積為故B正確.第8頁/共18頁對于C，因為其中，所以，所以，所以P點在線段上，又因為與平行平面平面所以P到平面的距離為定值，三角形的面積為定值，所以為定值.故C正確；對于D，因為是直角三角形，球面與這兩個面的交線和為以為圓心，圓心角為以4為半徑的圓弧，其弧長為，是直角三角形，球面與這個面的交線是以B為圓心，圓心角，半徑為2的圓弧，其弧長為，是等邊三角形，球面與這個面的交線是以為圓心，圓心角，半徑為4的圓弧，其弧長為所以球面與三棱錐表面的交線長為，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.12.函數(shù)的最小值為_________.【答案】##【解析】【分析】應(yīng)用對數(shù)的運算性質(zhì)得，再應(yīng)用換元法及二次函數(shù)的性質(zhì)求最小值.【詳解】由題設(shè)，且，令，則，當(dāng)，即時，.第9頁/共18頁故答案為：13.已知向量，，且，則__________.【答案】【解析】【分析】由，則，得到，再根據(jù)模長公式求解即可．【詳解】由題意知，∴，即，∴，．故答案為：．14.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)滿足：，且，當(dāng)時，恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是______________．【答案】【解析】【分析】先構(gòu)造函數(shù)，利用，最終求得，即時，恒成立，參變分離后使用切線放縮，最后求得的取值范圍.【詳解】設(shè)，則，故，則，，，所以在上恒成立，其中得：得：，當(dāng)?shù)茫?，故在處取的極小值，也是最小值，，從而得證.第10頁/共18頁故答案為：【點睛】切線放縮是一種很重要的方法，再使用導(dǎo)函數(shù)證明不等式或者求參數(shù)的取值范圍時，經(jīng)常使用，常見的切線放縮有以下幾個：，，，等，在做題中做到靈活運用，可以有很好的效果.四、解答題：本題共5小題，共分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在中，角所對的邊分別為，且，.（1）證明：；（2）若，求邊上中線的長.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】1）運用正弦定理邊角互化，再用余弦定理可解.（2）運用余弦定理，結(jié)合邊角互化可解.【小問1詳解】證明：因為，由正弦定理得，，所以，因為，由余弦定理，，代入得，，化簡得，所以，即證；【小問2詳解】因為，所以，所以，，在中，由余弦定理，第11頁/共18頁16.已知函數(shù)圖象與直線的兩個相鄰交點間的距離為.（1）求的值；（2）若，求函數(shù)的值域.【答案】（1）；（2）.【解析】1）應(yīng)用三角恒等變換化簡函數(shù)式為，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)確定函數(shù)的周期，進(jìn)而求參數(shù)值；（2）由正弦型函數(shù)的性質(zhì)求區(qū)間值域即可.【小問1詳解】由題意由直線的兩個相鄰交點間的距離為，結(jié)合正弦函數(shù)圖象性質(zhì)知，函數(shù)的最小正周期為，故，所以.【小問2詳解】由（1）知，，因為，所以，第12頁/共18頁所以函數(shù)的值域為.17.如圖所示，在矩形ABCD中，，，E是CD的中點，O為AE的中點，以AE為折痕將向上折起，使D點折到P點，且．（1）求證：面ABCE；（2）求AC與面PAB所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】1）取的中點，連，，證明，，得到面，從而證明，然后可得面；（2）作交于，則，然后以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用向量求解即可.【小問1詳解】由題意，可得，，則，取BC的中點F，連OF，，可得，所以，因為，，且，所以平面，又因為平面，所以．又由BC與AE為相交直線，所以平面．第13頁/共18頁【小問2詳解】作交于，則如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為，則，所以可取，所以與面所成角的正弦值.18.已知a，，，（1）當(dāng)時，討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，若在上有極值，求b的取值范圍并證明此極值小于b．【答案】（1）答案見解析（2），證明見解析【解析】10a的取值進(jìn)行分類討論；（2在(1,2)和b的取值范圍，再分析極值點，方法一、根據(jù)即可證明；方法二、通過構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，再令，根據(jù)單調(diào)性證明即可．【小問1詳解】由題意知的定義域為，第14頁/共18頁當(dāng)時，，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，由，解得；由，解得.即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】由題意得，所以的定義域為，在上有極值等價于在上有變號零點.令，即在上有變號零點.當(dāng)時，顯然在上恒成立，無變號零點，不滿足題意；當(dāng)時，上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，令，解得，此時在上有唯一零點.∵上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即，故在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增，故是的極小值點.方法一：由上分析，，∵，∴，即極小值小于b.方法二：第15頁/共18頁因，由，可得，則，令，顯然在上單調(diào)遞減，則，即，故，即極小值小于b．19.記與分別是數(shù)列與的前n項和，已知，，，，.（1）證明：是等比數(shù)列并求；（2）數(shù)列是等差數(shù)列嗎？若是，求出的通項公式，若不是，說明理由；（3）設(shè)，判斷是否存在互不相等的正整數(shù)j，k，m，使得j，k，m成等差數(shù)列，并且，，成等比數(shù)列.【答案】（1）證明見解析，（2）是，（3）不存在【解析】1變形為為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列通項公式求法求解即可.（2）方法一：利用與的關(guān)系化簡判定是等差數(shù)列，然后利用等差數(shù)列通項公式求解即可；方法二：通過前幾項的結(jié)構(gòu)猜想，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.（3）先利用與的關(guān)系求得，進(jìn)而，然后利用反證法思想解答即可.【小問1詳解】∵，∴，∵，第16頁/共18頁∴是首項為4，公比為2的等比數(shù)列.∴，即.【小問2詳解】方法一：∵，∴（兩式相減得，整理得，∴，兩式相減