第43頁（共43頁）2026年中考數(shù)學復習難題速遞之三角形（2025年11月）一．選擇題（共10小題）1．如圖所示的“畫圖儀”由兩根有軌道槽的木條QP，QR組成，兩根木條在點Q處相連并可繞點Q轉(zhuǎn)動，另有長度與QS相等的兩根木條MS，MT，其中木條MS的一端S固定在木條QP上的相應位置，木條MS可繞點S轉(zhuǎn)動，分別調(diào)整點M和點T在相應軌道槽中的位置可改變∠PQR的大?。粜∪A同學借助“畫圖儀”畫圖，擺出的位置恰好滿足∠PQR＝40°時，下列判斷正確的是（）A．QT＝QM B．MS平分∠QMT C．∠PTM＝120° D．∠RMT＝120°2．在△ABC中，①若AB＝BC＝CA，則△ABC為等邊三角形；②若∠A＝∠B，CA＝CB，則△ABC為等邊三角形；③有兩個角都是60°的三角形是等邊三角形；④一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形．上述結論中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．如圖，下面是利用尺規(guī)作圖的方式過直線外一點作已知直線平行線的方法：①在直線AB上任取一點Q，過點P，Q作直線PQ；②以Q為圓心，適當長度為半徑畫弧，交直線AB、直線PQ于點E，F(xiàn)，再以P為圓心，相同長度為半徑畫弧，交直線PQ于點M；③以M圓心，截取EF長度為半徑畫弧，與弧交于點N，過點P，N作直線即為所求的直線．在這一過程中，證明∠FQE＝∠MPN時用到的三角形全等的判定方法是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．MAS4．如圖，為了讓電線桿垂直于地面，工程人員的操作方法通常是：從電線桿DE上一點A往地面拉兩條長度相等的固定繩AB與AC，當固定點B，C到桿腳E的距離相等，且點B，E，C在同一直線上時，電線桿DE⊥BC．工程人員這種操作方法的依據(jù)是（）A．等角對等邊 B．等腰三角形三線合一的性質(zhì) C．兩點之間線段最短 D．垂線段最短5．如圖，D為等腰三角形ABC內(nèi)一點，AC＝BC＝BP，AD＝BD，∠DBP＝∠DBC，∠C＝62°，則∠BPD的度數(shù)為（）A．20° B．28° C．30° D．31°6．如圖，AB＝AC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)，CF與BE交于點D，有下列結論：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③點D在∠BAC的平分線上；④AB＝DF+DB．其中所有正確結論的序號是（）A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④7．（1）小明回顧用尺規(guī)作一個角等于已知角的作圖過程（如圖①所示）．（2）工人師傅經(jīng)常利用角尺平分一個任意角，如圖②所示，∠AOB是一個任意角，在邊OA，OB上分別取OD＝OE，移動角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與D，E重合，這時過角尺頂點P的射線OP就是∠AOB的平分線．（3）如圖③，小敏做了一個角平分儀ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，將儀器上的點與∠PRQ的頂點R重合，調(diào)整AB和AD，使它們分別落在角的兩邊上，過點A，C畫一條射線AE，AE就是∠PRQ的平分線．（4）小穎在作業(yè)本上畫的△ABC被墨跡污染（如圖④），小穎想用尺規(guī)作一個與原來完全一樣的△ABC．以上作圖過程都用到了三角形全等的判定，其中，判定方法不一樣的是（）A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）8．如圖，在△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝90°，BD平分∠ABO，交AO于點D，AE⊥BD交BD的延長線于點E．則下列結論：①∠EAD＝22.5°；②BD＝2AE；③AB＝OB+OD；④S△A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④9．如圖，△ABC的面積為8cm2，AP垂直∠B的平分線BP于P，則△PBC的面積為（）A．1cm2 B．2cm2 C．3cm2 D．4cm210．等腰三角形的腰長與其底邊長的比值稱為這個等腰三角形的“和諧比”，若等腰△ABC的周長為20，其中一邊長為6，則它的“和諧比”為（）A．34 B．76 C．34或76 D二．填空題（共5小題）11．把“Z”形薄板分割為長方形FHIJ，長方形AQEJ和長方形BCDQ，S長方形FHIJ＝10×30＝300，S長方形AQEJ＝10×50＝500，S長方形BCDQ＝10×20＝200．長方形FHIJ重心為G1（15，45），長方形AQEJ重心為G2（35，25），長方形BCDQ重心為G3（50，5）．根據(jù)杠桿原理和加權平均數(shù)，“Z”形薄板重心G的坐標為．12．如圖，在△ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC，BE⊥AC，AD與BE相交于點F，連接并延長CF交AB于點G，∠AEB的平分線交CG的延長線于點H，連接AH．則下列結論：①∠EBD＝45°；②△ABD≌△CFD；③AB⊥CH；④AH＝HF；⑤CH＝AB+AH．其中正確的序號是．13．如圖，在直角平面坐標系中，A（6，0），B（0，﹣3），點C在第四象限內(nèi)，BA＝BC，∠ABC＝90°，則點C的坐標是．14．如圖，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1，以A為圓心，AB為半徑畫弧，交網(wǎng)格線于點D，則ED的長為．15．如圖，在△ABC中，AB＞AC＞BC，∠ACB＝70°，若點D、E都在直線AB上，且AD＝AC，BE＝BC，則∠DCE的度數(shù)為．三．解答題（共5小題）16．（1）如圖1，C、A、E在一條直線上，∠BAD＝90°，AB＝AD，BC⊥CA于點C，DE⊥AE于點E．求證：BC＝AE．（2）如圖2，EA⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，直接寫出實線所圍成的圖形ABCDE的面積．17．嘉祺同學，用下列尺規(guī)作圖步驟作圖：①AD∥BC，∠BAD＝90°；②以點B為圓心，BC長為半徑畫弧，與射線AD相交于點E，連接BE；③過點C作CF⊥BE，垂足為點F．這時候他發(fā)現(xiàn)了與AE相等的線段．請你幫他：（1）在方框中填空，以補全已知和求證；（2）按嘉淇的想法寫出證明過程．已知：如圖，AD∥BC，∠BAD＝90°，BC＝，CF⊥BE．求證：AE＝．18．如圖，△ABC和△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，連接BD、CE．（1）如圖1，當點D在△ABC的內(nèi)部時，求證：BD＝CE；（2）如圖2，∠BAC＝∠DAE＝120°，BC＝10，且點E落在BC邊上．若M為BC上的一點，且∠BAM+∠CAE＝60°，求△BDM的周長；（3）如圖3，∠BAC＝∠DAE＝120°，點H為底邊BC的中點，過點H作DH的垂線HF（點F在直線BC下方），連接CF．當∠ACF＝∠CBD時，求∠EAF的度數(shù)．19．如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC邊上的兩個動點，其中點P從點A開始沿A→B方向運動，且速度為每秒1cm，點Q從點B開始沿B→C→A方向運動，且速度為每秒2cm，它們同時出發(fā)，設出發(fā)的時間為t秒．（1）BP＝（用t的代數(shù)式表示）（2）當點Q在邊BC上運動時，出發(fā)幾秒后，△PQB是等腰三角形？（3）當點Q在邊CA上運動時，出發(fā)秒后，△BCQ是以BC或BQ為底邊的等腰三角形？20．如圖，△ABC中，AC＝6，BC＝8，∠C＝90°．點P從點C出發(fā)，沿折線CA﹣AB運動，速度為2個單位長度/秒．點D為BC的中點，連接PD、PC．點P運動時間為t秒．（1）AB的長度為；（2）當t＝7時，求線段AP的長；（3）數(shù)學小組在探究“當t為何值時，△PCD為等腰三角形”：①小彤推斷：當點P在CA邊上運動時，∠DCP為直角，故若△PCD為等腰三角形，只能是CD＝CP．請你按照她的思路，求出此時的t值；②小園推斷：當點P在AB邊上運動時，DP有可能等于CD．請你延續(xù)她的思路，直接寫出此時的t值；③小南猜想：當點P在AB邊上運動時，不可能出現(xiàn)CP＝CD的情況．請你證明她的猜想是正確的．

2026年中考數(shù)學復習難題速遞之三角形（2025年11月）參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案DCABDCDDDC一．選擇題（共10小題）1．如圖所示的“畫圖儀”由兩根有軌道槽的木條QP，QR組成，兩根木條在點Q處相連并可繞點Q轉(zhuǎn)動，另有長度與QS相等的兩根木條MS，MT，其中木條MS的一端S固定在木條QP上的相應位置，木條MS可繞點S轉(zhuǎn)動，分別調(diào)整點M和點T在相應軌道槽中的位置可改變∠PQR的大?。粜∪A同學借助“畫圖儀”畫圖，擺出的位置恰好滿足∠PQR＝40°時，下列判斷正確的是（）A．QT＝QM B．MS平分∠QMT C．∠PTM＝120° D．∠RMT＝120°【考點】全等三角形的應用；等腰三角形的性質(zhì)；角平分線的定義．【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和外角定理求解．【解答】解：由題意得：QS＝SM＝MT，∴∠Q＝∠SMQ，∵∠PQR＝40°，∴∠SMQ＝40°，∴∠QSM＝100°，∴∠TSM＝80°，∴∠STM＝80°，∴∠SMT＝20°，∴∠TMR＝180°﹣20°﹣40°＝120°，故選：D．【點評】本題考查了作圖的應用與設計，掌握等腰三角形的性質(zhì)和外角定理是解題的關鍵．2．在△ABC中，①若AB＝BC＝CA，則△ABC為等邊三角形；②若∠A＝∠B，CA＝CB，則△ABC為等邊三角形；③有兩個角都是60°的三角形是等邊三角形；④一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形．上述結論中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【考點】等邊三角形的判定；等腰三角形的判定與性質(zhì)．【專題】等腰三角形與直角三角形；運算能力；推理能力．【答案】C【分析】①根據(jù)AB＝BC＝CA得△ABC為等邊三角形，由此可對結論①進行判斷；②根據(jù)∠A＝∠B，CA＝CB，此時無法判定△ABC為等邊三角形，由此可對結論②進行判斷；③不妨假設∠A＝∠B＝60°，由三角形內(nèi)角和定理得∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝60°，進而得∠A＝∠B∠C＝60°，則△ABC是等邊三角形，由此可對結論③進行判斷；④不妨假設AB＝AC，則∠B＝∠C，再分兩種情況討論如下：①當頂角∠A＝60°時，∠B＝∠C＝60°，進而得∠A＝∠B∠C＝60°，則△ABC是等邊三角形；②當?shù)捉恰螧＝∠C＝60°，由三角形內(nèi)角和定理得∠A＝60°，進而得∠A＝∠B∠C＝60°，則△ABC是等邊三角形，據(jù)此即可對結論④判斷，綜上所述即可得出答案．【解答】解：①在△ABC，AB＝BC＝CA，∴△ABC為等邊三角形，故結論①正確；②∵∠A＝∠B，∴CA＝CB，∴無法判定△ABC為等邊三角形，故結論②正確；③∵△ABC有兩個角都是60°，∴不妨假設∠A＝∠B＝60°，由三角形內(nèi)角和定理得：∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝60°，∴∠A＝∠B∠C＝60°，∴△ABC是等邊三角形，故結論③正確；④在△ABC中，不妨假設AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∵有一個角是60°，∴有以下兩種情況：①當頂角∠A＝60°時，由三角形內(nèi)角和定理得：∠A+∠B+∠C＝180°，∴60°+2∠B＝180°，∴∠B＝60°，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴△ABC是等邊三角形；②當?shù)捉恰螧＝∠C＝60°，由三角形內(nèi)角和定理得：∠A＝180°﹣（∠B+∠C）＝60°，∴∠A＝∠B∠C＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形，故結論④正確，綜上所述：正確的結論有①③④，共3個．故選：C．【點評】此題主要考查了等邊三角形的判定，熟練掌握等邊三角形的判定，三角形內(nèi)角和定理是解決問題的關鍵．3．如圖，下面是利用尺規(guī)作圖的方式過直線外一點作已知直線平行線的方法：①在直線AB上任取一點Q，過點P，Q作直線PQ；②以Q為圓心，適當長度為半徑畫弧，交直線AB、直線PQ于點E，F(xiàn)，再以P為圓心，相同長度為半徑畫弧，交直線PQ于點M；③以M圓心，截取EF長度為半徑畫弧，與弧交于點N，過點P，N作直線即為所求的直線．在這一過程中，證明∠FQE＝∠MPN時用到的三角形全等的判定方法是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．MAS【考點】全等三角形的判定．【專題】圖形的全等；推理能力．【答案】A【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法，即可解答．【解答】解：連接MN，F(xiàn)E，由題意得：QF＝QE＝PM＝PN，F(xiàn)E＝MN，在△FQE和△MPN中，F(xiàn)Q=∴△FQE≌△MPN（SSS），∴∠FQE＝∠MPN，故選：A．【點評】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．4．如圖，為了讓電線桿垂直于地面，工程人員的操作方法通常是：從電線桿DE上一點A往地面拉兩條長度相等的固定繩AB與AC，當固定點B，C到桿腳E的距離相等，且點B，E，C在同一直線上時，電線桿DE⊥BC．工程人員這種操作方法的依據(jù)是（）A．等角對等邊 B．等腰三角形三線合一的性質(zhì) C．兩點之間線段最短 D．垂線段最短【考點】等腰三角形的性質(zhì)；線段的性質(zhì)：兩點之間線段最短；垂線段最短；線段垂直平分線的性質(zhì)．【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結論．【解答】解：工程人員這種操作方法的依據(jù)是：等腰三角形“三線合一”，故選：B．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關鍵．5．如圖，D為等腰三角形ABC內(nèi)一點，AC＝BC＝BP，AD＝BD，∠DBP＝∠DBC，∠C＝62°，則∠BPD的度數(shù)為（）A．20° B．28° C．30° D．31°【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】圖形的全等；推理能力．【答案】D【分析】先根據(jù)SSS證明△BCD≌△ACD，得出∠BCD＝∠ACD＝31°，然后根據(jù)SAS證明△BCD≌△BPD，即可得出結論．【解答】解：連接CD，在△BCD和△ACD中，∵AD=∴△BCD≌△ACD（SSS），∴∠BCD又∵∠ACB＝62°，∴∠BCD＝31°．在△BCD和△BPD中，∵BD=∴△BCD≌△BPD（SAS），∴∠BCD＝∠BPD＝31°，故選：D．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定是結合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件．6．如圖，AB＝AC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)，CF與BE交于點D，有下列結論：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③點D在∠BAC的平分線上；④AB＝DF+DB．其中所有正確結論的序號是（）A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④【考點】全等三角形的判定；角平分線的定義；垂線．【專題】圖形的全等；推理能力．【答案】C【分析】根據(jù)垂直的定義得到∠AFC＝∠AEB＝90°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠B＝∠C，由全等三角形的判定定理得到△ABE≌△ACF（ASA），故①選項正確，由AE＝AF，AC＝AB，得BF＝CE，于是得到△BDF≌△CDE（AAS），選項②正確，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE＝AF，AC＝AB，連接AD，證得Rt△AFD≌Rt△AED（HL），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠DAF＝∠DAE，即點D在∠BAC的平分線上，選項③正確，由DE＝DF，得到DF+BD＝DE+BD＝BE，根據(jù)AB＞BE，AB＞DF+DB，選項④錯誤，進而得到答案．【解答】解：∵AB＝AC，BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠AFC＝∠AEB＝90°，在Rt△AEB中，∠B＝90°﹣∠A，在Rt△AFC中∠C＝90°﹣∠A，∴∠B＝∠C，在△ABE和△ACF中，∠A∴△ABE≌△ACF（ASA），故①選項正確；∵△ABE≌△ACF，∴AE＝AF，∵AC＝AB，得BF＝CE，在△BDF和△CDE中，∠BFD∴△BDF≌△CDE（AAS），選項②正確；∵△ABE≌△ACF，∴AE＝AF，AC＝AB，連接AD，在Rt△AFD和Rt△AED中，AE=∴Rt△AFD≌Rt△AED（HL），∴∠DAF＝∠DAE，即點D在∠BAC的平分線上，選項③正確；∵△BDF≌△CDE，∴DE＝DF，∴DF+BD＝DE+BD＝BE，∵AB＞BE，∴AB＞DF+DB，選項④錯誤；故正確的為①②③，故選：C．【點評】本題主要考查了垂直定義，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的判定，熟記三角形判定定理是解決問題的關鍵．7．（1）小明回顧用尺規(guī)作一個角等于已知角的作圖過程（如圖①所示）．（2）工人師傅經(jīng)常利用角尺平分一個任意角，如圖②所示，∠AOB是一個任意角，在邊OA，OB上分別取OD＝OE，移動角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與D，E重合，這時過角尺頂點P的射線OP就是∠AOB的平分線．（3）如圖③，小敏做了一個角平分儀ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，將儀器上的點與∠PRQ的頂點R重合，調(diào)整AB和AD，使它們分別落在角的兩邊上，過點A，C畫一條射線AE，AE就是∠PRQ的平分線．（4）小穎在作業(yè)本上畫的△ABC被墨跡污染（如圖④），小穎想用尺規(guī)作一個與原來完全一樣的△ABC．以上作圖過程都用到了三角形全等的判定，其中，判定方法不一樣的是（）A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）【考點】三角形綜合題．【答案】D【分析】（1）（2）（3）是“SSS”，（4）是“SAS”．【解答】解：（1）從作圖可知：OD′＝OC′＝OD＝OC，C′D′＝CD，根據(jù)“SSS”可得：△C′OD′≌△COD，所以∠A′O′B′＝∠AOB；（2）從操作可得：OE＝OD，PE＝PD，又因為OP＝OP，根據(jù)“SSS”得△POE≌△POD，所以∠AOP＝∠BOP；（3）因為AB＝AD，BC＝CD，又因為AC＝AC，根據(jù)“SSS”得△ABC≌△ADC，所以∠BAC＝∠DAC，所以AE是∠PRQ（∠BAD）的平分線；（4）從圖形可知：應該先畫∠MB′N＝90°，然后邊B′M和B′N上分別截取B′A′＝BA，B′C′＝BC，連接A′C′，根據(jù)“SAS”得出△A′B′C′≌△ABC，故選D．【點評】本題考查了全等三角形的判定方法，解決問題的關鍵是熟練掌握全等三角形判定的基礎知識．8．如圖，在△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝90°，BD平分∠ABO，交AO于點D，AE⊥BD交BD的延長線于點E．則下列結論：①∠EAD＝22.5°；②BD＝2AE；③AB＝OB+OD；④S△A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；等腰直角三角形；三角形的面積．【專題】圖形的全等；推理能力．【答案】D【分析】根據(jù)等角的余角相等，證明∠EAD＝∠OBD＝22.5°，可判斷①；證明△AOF≌△BOD（ASA），△ABE≌△FBE（ASA）可判斷②；根據(jù)三角形全等性質(zhì)和可判定③；根據(jù)三角形的面積公式，等腰三角形的判定和性質(zhì)可判定④．【解答】解：∵∠AOB＝90°，OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，∵BD平分∠ABO，∴∠OBD＝∠ABD＝22.5°，∵AE⊥BD，∴∠AED＝∠AOB＝90°，∵∠ODB＝∠ADE，∴∠EAD＝∠OBD＝22.5°，∴①正確，符合題意；延長AE，BO，相交于點F，∠FAO∴△AOF≌△BOD（ASA），∴AF＝BD，∠ABE∴△ABE≌△FBE（ASA），∴AE＝EF，∴AF＝2AE，∴BD＝2AE；故②正確，符合題意；過點D作DH⊥AB于點H，∵BD平分∠ABO，DO⊥BO，DH⊥AB，∴DH＝OD，∵OA＝OB，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠ADH＝45°，∴AH＝OD，∵∠DBO＝∠DBH，∠DOB＝∠DHB＝90°，BD＝BD，∴△BDO≌△BDH（AAS），∴OB＝BH，∴OB+OD＝BH+AH＝AB，故③正確，符合題意；∵△ABD，△OBD是底邊AD、OD上的等高三角形，∴，過點D作DH⊥AB于點H，∵DH⊥AB，平分∠ABO，DO⊥OB，∴DH＝DO，∴S△∴S△故④正確，符合題意；故選：D．【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，余角的性質(zhì)，三角形面積的性質(zhì)，熟練掌握各種性質(zhì)是解題的關鍵．9．如圖，△ABC的面積為8cm2，AP垂直∠B的平分線BP于P，則△PBC的面積為（）A．1cm2 B．2cm2 C．3cm2 D．4cm2【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；三角形的角平分線、中線和高．【專題】圖形的全等；幾何直觀；推理能力．【答案】D【分析】延長AP交BC于E，利用全等三角形的性質(zhì)證明AP＝EP，再根據(jù)三角形的中線平分面積，即可解決問題．【解答】解：如圖，AP垂直于∠B的平分線BP于P，延長AP交BC于E，∴∠ABP＝∠EBP，∠APB＝∠EPB＝90°，在△ABP與△EBP中，∠ABP∴△ABP≌△EBP（ASA），∴AP＝EP，S△ABP＝S△EBP，∴CP為△AEC的中線，∴S△APC＝S△CPE，∴S△故選：D．【點評】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的角平分線、中線和高，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解答本題的關鍵．10．等腰三角形的腰長與其底邊長的比值稱為這個等腰三角形的“和諧比”，若等腰△ABC的周長為20，其中一邊長為6，則它的“和諧比”為（）A．34 B．76 C．34或76 D【考點】等腰三角形的性質(zhì)．【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】C【分析】分6為腰長和底邊長，兩種情況進行討論即可．【解答】解：當6為腰長時，∵等腰△ABC的周長為20，∴△ABC的底邊長為：20﹣6﹣6＝8，∴“和諧比”為68=3△ABC的腰長為：12∴“和諧比”為76；故選：C【點評】本題考查等腰三角形的定義，熟練掌握等腰三角形的兩腰相等，是解題的關鍵，注意分類討論．二．填空題（共5小題）11．把“Z”形薄板分割為長方形FHIJ，長方形AQEJ和長方形BCDQ，S長方形FHIJ＝10×30＝300，S長方形AQEJ＝10×50＝500，S長方形BCDQ＝10×20＝200．長方形FHIJ重心為G1（15，45），長方形AQEJ重心為G2（35，25），長方形BCDQ重心為G3（50，5）．根據(jù)杠桿原理和加權平均數(shù)，“Z”形薄板重心G的坐標為（32，27）．【考點】三角形的重心；矩形的性質(zhì)；加權平均數(shù)；坐標確定位置．【專題】三角形；推理能力．【答案】（32，27）．【分析】先求出“Z”形薄板的總面積，再根據(jù)加權平均數(shù)的定義分別求解橫縱坐標即可．【解答】解：根據(jù)題意“Z”形薄板的總面積為：300+200+500＝1000，則重心橫坐標為15×300+35×500+50×200重心縱坐標為：45×300+25×500+5×2001000∴重心G（32，27），故答案為：（32，27）．【點評】本題考查了坐標與圖形，加權平均數(shù)，正確理解題意是解題的關鍵．12．如圖，在△ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC，BE⊥AC，AD與BE相交于點F，連接并延長CF交AB于點G，∠AEB的平分線交CG的延長線于點H，連接AH．則下列結論：①∠EBD＝45°；②△ABD≌△CFD；③AB⊥CH；④AH＝HF；⑤CH＝AB+AH．其中正確的序號是①②③④⑤．【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)．【專題】線段、角、相交線與平行線；三角形；圖形的全等；運算能力；推理能力．【答案】①②③④⑤．【分析】①利用三角形內(nèi)角和定理即可說明其正確；②利用等腰三角形的判定和性質(zhì)及SAS判定全等即可；③根據(jù)三角形的三條高交于一點判斷即可；④首先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得CF＝AB，再根據(jù)等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，可證得△AEF為等腰直角三角形，EH為AF的垂直平分線，再結合等量代換和等式的性質(zhì)，即可得出結論；⑤利用②中的結論結合等量代換和等式的性質(zhì)，即可得出結論．【解答】解：設EH與AD交于點M，如圖，∵BE⊥AC，∠ACB＝45°，∴∠EBD＝90°﹣∠ACD＝45°，故①正確，符合題意；∵∠ACD＝∠EBC＝45°，AD⊥BC，∴△ADC、△BDF都是等腰直角三角形，∴AD＝CD，BD＝DF，在△ABD和△CFD中，AD=∴△ABD≌△CFD（SAS），故②正確，符合題意；∵AD⊥BC，BE⊥AC，連接并延長CF交AB于點G，∴AB⊥CH，故③正確，符合題意；∵△ABD≌△CFD，∴AB＝CF，∵AD⊥BC，∠EBD＝45°，∴∠BFD＝45°，∴∠AFE＝∠BFD＝45°，∵BE⊥AC，∴∠FAE＝∠AFE＝45°，∴△AEF為等腰直角三角形．∵EM是∠AEF的平分線，∴AM＝MF，EM⊥AF，即EH為AF的垂直平分線，∴AH＝HF，故④正確，符合題意；∵CH＝CF+HF，∴CH＝AB+AH，故⑤正確，符合題意．故答案為：①②③④⑤．【點評】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關鍵．13．如圖，在直角平面坐標系中，A（6，0），B（0，﹣3），點C在第四象限內(nèi)，BA＝BC，∠ABC＝90°，則點C的坐標是（3，﹣9）．【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；坐標與圖形性質(zhì)．【專題】圖形的全等；推理能力．【答案】（3，﹣9）．【分析】過C作CE⊥y軸于E，利用AAS證明△AOB與△BEC全等，進而解答即可．【解答】解：過C作CE⊥y軸于E，由題意可知，∠BEC＝∠AOB＝90°，∴∠CBE+∠EBC＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠EBC+∠ABO＝90°，∴∠CBE＝∠ABO，在△AOB與△BEC中，∠AOB∴△AOB≌△BEC（AAS），∴OA＝BE＝6，OB＝EC＝3，∴點C坐標為（3，﹣9）．故答案為：（3，﹣9）．【點評】此題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，關鍵是利用AAS證明△AOB與△BEC全等解答．14．如圖，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1，以A為圓心，AB為半徑畫弧，交網(wǎng)格線于點D，則ED的長為5．【考點】勾股定理．【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】5．【分析】連接AD，在Rt△ADE中，由勾股定理計算即可得出ED的長．【解答】解：如圖，連接AD，則AD＝AB＝3，在Rt△ADE中，由勾股定理得：ED=A故答案為：5．【點評】本題考查了勾股定理在幾何圖形問題中的應用，數(shù)形結合、熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．15．如圖，在△ABC中，AB＞AC＞BC，∠ACB＝70°，若點D、E都在直線AB上，且AD＝AC，BE＝BC，則∠DCE的度數(shù)為35°或55°或125°．【考點】等腰三角形的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理．【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】35°或55°或125°．【分析】分四種情況分類討論后，利用等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和和外角的性質(zhì)即可得到結論．【解答】解：①當點D在線段AB上點E在AB的延長線時，如圖1，∵BE＝BC，∴∠E＝∠BCE=12∠∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD=12（180°﹣∠∵∠DCE＝∠ADC﹣∠E，∴∠DCE=12（∠180°﹣∠BAC）-1＝90°-12（∠BAC+∠＝90°-12（180°﹣∠=12＝35°；②當D、E都在線段AB上，如圖2，∵BE＝BC，∴∠BEC＝∠BCE=12（180°﹣∠∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD=12（180°﹣∠∵∠DCE＝180°﹣∠ADC﹣∠BEC，∴∠DCE＝180°-12（180°﹣∠ABC）-12（=12（∠ABC+∠=12（180°﹣∠＝90°﹣∠ACB＝90°﹣×70°＝90°﹣35°＝55°．③當點D在BA的延長線上，點E在AB上時，如圖3，∵BE＝BC，∴∠BEC＝∠BEC=12（180°﹣∠∵AD＝AC，∴∠ACD＝∠ADC=12（180°﹣∠DAC）=1又∵∠DCE＝∠BEC﹣∠ADC，∴∠DCE=12（∠180°﹣∠ABC）-=12（180°﹣∠=1＝55°．④當點D在BA的延長線上，點E在AB的延長線時，如圖4，∵AD＝AC，BE＝BC，∴∠ACD＝∠D，∠BCE＝∠E，∵∠ACB＝70°，∴∠CAB+∠CBA＝110°，∴∠CDA+∠BCE=12（∠CAB+∠CBA）＝∴∠DCE＝125°，綜上，∠DCE的度數(shù)為35°或55°或125°．故答案為：35°或55°或125°．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，難度較大．三．解答題（共5小題）16．（1）如圖1，C、A、E在一條直線上，∠BAD＝90°，AB＝AD，BC⊥CA于點C，DE⊥AE于點E．求證：BC＝AE．（2）如圖2，EA⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，直接寫出實線所圍成的圖形ABCDE的面積50．【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形．【專題】三角形；圖形的全等；幾何直觀；運算能力；推理能力．【答案】（1）證明：∵BC⊥CA于點C，DE⊥AE于點E，∴∠C＝∠E＝90°，∴∠B+∠CAB＝90°，又∵∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠CAB+∠EAD＝90°，∴∠B＝∠EAD，在△ABC和△DAE中，∠C∴△ABC≌△DAE（AAS），∴BC＝AE；（2）50．【分析】（1）依題意得∠C＝∠E＝90°，先證明∠B＝∠EAD，進而可依據(jù)“AAS”判定△ABC和△DAE全等，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結論；（2）同（1）證明△AEP和△BAG全等，△CBG和△DCH全等得PE＝AG＝6，PA＝BG＝3，CG＝DP＝4，BG＝CH＝3，進而得PH＝16，AC＝10，由三角形的面積公式分別求出S△AEP=12PA?PE＝9，S△BAC=12AC?BG＝15，S△CDH=12CH?DH＝6，則S△AEP+S△BAC+S△CDH＝30，證明四邊形EPHD是直角梯形，再由梯形面積公式得S梯形EPHD=12（PE+DH【解答】（1）證明：∵BC⊥CA于點C，DE⊥AE于點E，∴∠C＝∠E＝90°，∴∠B+∠CAB＝90°，又∵∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠CAB+∠EAD＝90°，∴∠B＝∠EAD，在△ABC和△DAE中，∠C∴△ABC≌△DAE（AAS），∴BC＝AE；（2）解：依題意得：PE＝6，BG＝3，DH＝4，EP⊥PH，BG⊥PH，DH⊥PH，∠EAB＝∠BCD＝90°，同（1）證明：△AEP≌△BAG（AAS），△CBG≌△DCH（AAS），∴PE＝AG＝6，PA＝BG＝3，CG＝DP＝4，BG＝CH＝3，∴PH＝PA+AG+CG+CH＝3+6+4+3＝16，AC＝AG+CG＝6+4＝10，∴S△AEP=12PA?PE=12×3×6＝9，S△BAC=12AC?BG=12×10×3＝15，S△CDH=∴S△AEP+S△BAC+S△CDH＝6+15+6＝30，∵EP⊥PH，DH⊥PH，∴EP∥DH，∴四邊形EPHD是直角梯形，∴S梯形EPHD=12（PE+DH）?PH=12×（6+4∴圖中實線所圍成的圖形ABCDE的面積的面積為：S梯形EPHD﹣（S△AEP+S△BAC+S△CDH）＝80﹣30＝50．【點評】此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，準確識圖，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積公式，梯形的面積公式是解決問題的關鍵．17．嘉祺同學，用下列尺規(guī)作圖步驟作圖：①AD∥BC，∠BAD＝90°；②以點B為圓心，BC長為半徑畫弧，與射線AD相交于點E，連接BE；③過點C作CF⊥BE，垂足為點F．這時候他發(fā)現(xiàn)了與AE相等的線段．請你幫他：（1）在方框中填空，以補全已知和求證；（2）按嘉淇的想法寫出證明過程．已知：如圖，AD∥BC，∠BAD＝90°，BC＝BE，CF⊥BE．求證：AE＝BF．【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；作圖—基本作圖；平行線的性質(zhì)．【專題】圖形的全等；尺規(guī)作圖；幾何直觀；推理能力．【答案】（1）BE；BF；（2）∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠FBC，∵∠BAD＝90°，CF⊥BE，∴∠BAE＝∠CFB＝90°，在△BAE和△CFB中，∠A∴△BAE≌△CFB（AAS），∴AE＝BF．【分析】（1）由作圖過程可知BC＝BE，與AE相等的線段是BF，由此即可得出答案；（2）根據(jù)AD∥BC得∠AEB＝∠FBC，根據(jù)∠BAD＝90°，CF⊥BE得∠A＝∠CFB＝90°，由此可依據(jù)“AAS”判定△BAE和△CFB全等得AE＝BF．【解答】（1）解：已知：如圖，AD∥BC，∠BAD＝90°，BC＝BE，CF⊥BE．求證：AE＝BF．故答案為：BE；BF；（2）證明：∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠FBC，∵∠BAD＝90°，CF⊥BE，∴∠BAE＝∠CFB＝90°，在△BAE和△CFB中，∠A∴△BAE≌△CFB（AAS），∴AE＝BF．【點評】此題主要考查了尺規(guī)作圖，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，理解平行線的性質(zhì)，熟練掌握尺規(guī)作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)是解決問題的關鍵．18．如圖，△ABC和△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，連接BD、CE．（1）如圖1，當點D在△ABC的內(nèi)部時，求證：BD＝CE；（2）如圖2，∠BAC＝∠DAE＝120°，BC＝10，且點E落在BC邊上．若M為BC上的一點，且∠BAM+∠CAE＝60°，求△BDM的周長；（3）如圖3，∠BAC＝∠DAE＝120°，點H為底邊BC的中點，過點H作DH的垂線HF（點F在直線BC下方），連接CF．當∠ACF＝∠CBD時，求∠EAF的度數(shù)．【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．【專題】三角形；圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；幾何直觀；運算能力；推理能力．【答案】（1）證明見解答；（2）10；（3）60°．【分析】（1）先證明∠BAD＝∠CAE，證明△ABD≌△ACE即可得出結論；（2）先證明△ABD≌△ACE，得出BD＝CE，∠C＝∠ABD＝30°，∠BAD＝∠CAE，再證明△ADM≌△AEM，即可求出結論；（3）延長DH到點I，使IH＝DH，連接FD，F(xiàn)I，F(xiàn)E，CI，證明△BHD≌△CHI，得出BD＝Cl，∠HBD＝∠HCI，再證明△CEF≌△CIF，從而證明△AFD≌△AFE，可得出∠EAF【解答】（1）證明：∵AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE；（2）解：∵AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，∠ABC＝∠ACB＝30°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠C＝∠ABD＝30°，∠BAD＝∠CAE，∵∠BAC＝∠DAE＝120°，∠BAM+∠CAE＝60°，∴∠BAM+∠BAD＝∠DAM＝60°＝∠EAM，∵AD＝AE，AM＝AM，∴△ADM≌△AEM（SAS），∴DM＝EM，∴△BDM的周長＝BM+DM+BD＝BM+EM+CE＝BC＝10；（3）解：如圖，延長DH到點I，使IH＝DH，連接FD，F(xiàn)I，F(xiàn)E，CI，由（2）知△ABD≌△ACE，∠ABC＝∠ACB＝30°，∴∠ABD＝∠ACE，CE＝BD，∵點H為底邊BC的中點，F(xiàn)H⊥DH，∴BH＝CH，F(xiàn)D＝FI，∵∠BHD＝∠CHI，∴△BHD≌△CHI（SAS），∴BD＝Cl，∠HBD＝∠HCI，∵∠ACF＝∠CBD，∠ABD＝∠ACE，∴∠ACF＝∠HCI，∠ACF﹣∠ACE＝∠CBD﹣∠ABD，即∠ECF＝∠CBA＝30°，∴∠ACF﹣∠HCF＝∠HCl﹣∠HCF，∴∠ACB＝∠FCI＝30°，∴∠ECF＝∠ICF＝30°，∵BD＝CI，BD＝CE，∴CE＝CI，∵CF＝CF，∴△CEF≌△CIF（SAS），∴FI＝FE＝FD，∵AF＝AF，AD＝AE，∴△AFD≌△AFE（SAS），∴∠EAF【點評】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題關鍵．19．如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC邊上的兩個動點，其中點P從點A開始沿A→B方向運動，且速度為每秒1cm，點Q從點B開始沿B→C→A方向運動，且速度為每秒2cm，它們同時出發(fā)，設出發(fā)的時間為t秒．（1）BP＝（16﹣t）cm（用t的代數(shù)式表示）（2）當點Q在邊BC上運動時，出發(fā)幾秒后，△PQB是等腰三角形？（3）當點Q在邊CA上運動時，出發(fā)11秒或12秒后，△BCQ是以BC或BQ為底邊的等腰三角形？【考點】等腰三角形的判定；列代數(shù)式．【專題】動點型；分類討論；等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)題意即可用t可分別表示出BP；（2）結合（1），根據(jù)題意再表示出BQ，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得到BP＝BQ，可得到關于t的方程，可求得t；（3）用t分別表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性質(zhì)可分CQ＝BC和BQ＝CQ三種情況，分別得到關于t的方程，可求得t的值．【解答】解：（1）由題意可知AP＝t，BQ＝2t，∵AB＝16cm，∴BP＝AB﹣AP＝（16﹣t）cm，故答案為：（16﹣t）cm；（2）當點Q在邊BC上運動，△PQB為等腰三角形時，則有BP＝BQ，即16﹣t＝2t，解得t=16∴出發(fā)163秒后，△PQB（3）①當△BCQ是以BC為底邊的等腰三角形時：CQ＝BQ，如圖1所示，則∠C＝∠CBQ，∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．∠A+∠C＝90°，∴∠A＝∠ABQ，∴BQ＝AQ，∴CQ＝AQ＝10（cm），∴BC+CQ＝22（cm），∴t＝22÷2＝11；②當△BCQ是以BQ為底邊的等腰三角形時：CQ＝BC，如圖2所示，則BC+CQ＝24（cm），∴t＝24÷2＝12，綜上所述：當t為11或12時，△BCQ是以BC或BQ為底邊的等腰三角形．故答案為：11秒或12．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、方程思想及分類討論思想等知識．用時間t表示出相應線段的長，化“動”為“靜”是解決這類問題的一般思路，注意方程思想的應用．20．如圖，△ABC中，AC＝6，BC＝8，∠C＝90°．點P從點C出發(fā)，沿折線CA﹣AB運動，速度為2個單位長度/秒．點D為BC的中點，連接PD、PC．點P運動時間為t秒．（1）AB的長度為10；（2）當t＝7時，求線段AP的長；（3）數(shù)學小組在探究“當t為何值時，△PCD為等腰三角形”：①小彤推斷：當點P在CA邊上運動時，∠DCP為直角，故若△PCD為等腰三角形，只能是CD＝CP．請你按照她的思路，求出此時的t值；②小園推斷：當點P在AB邊上運動時，DP有可能等于CD．請你延續(xù)她的思路，直接寫出此時的t值；③小南猜想：當點P在AB邊上運動時，不可能出現(xiàn)CP＝CD的情況．請你證明她的猜想是正確的．【考點】三角形綜合題．【專題】代數(shù)幾何綜合題；幾何直觀；運算能力；推理能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）利用勾股定理求解即可；（2）根據(jù)t＝7求出點P的位置，從而得解；（3）①按照小彤的思路，根據(jù)CD＝CP列出方程求解即可；②按照小彤的思路，根據(jù)DP＝CD列出方程求解即可；③按照小南的思路，利用垂線段最短和②中的結論可知CP≥4.8＞4＝CD，從而證明．【解答】（1）解：∵△ABC中，AC＝6，BC＝8，∠C＝90°，∴AB=故答案為：10；（2）解：當t＝7時，路程為2t＝14，又∵AC＝6，BC＝8，∴AC+BC＝6+8＝14，∴此時點P即為點B，∴AP＝14﹣6＝8；（3）①解：∵點D為BC的中點，BC＝8，∴BD=當點P在CA邊上運動時，∠DCP為直角，故若△PCD為等腰三角形，只能是CD＝CP，又依題意得到：CP＝2t，∴2t＝4，解得：t＝2，②解：當點P在AB邊上運動時，AP+AC＝2t，∴AP＝2t﹣6，連接CP，如圖，假設DP等于CD成立，則有BD＝CD＝DP，∴∠B＝∠BPD，∠BCP＝∠CPD，又∵∠B+∠BPD+∠BCP+∠CPD＝180°，∴∠BPD+∠CPD＝90°，即∠BPC＝90°∴S△ABC=∴CP＝4.8，∴AP=解得：t＝4.8，即DP有可能等于CD，此時的t值為4.8；③證明：由②可知點C到AB的距離為4.8，∴當點P在AB邊上運動時，CP≥4.8，又∵CD＝4，∴CP≥4.8＞4＝CD，∴當點P在AB邊上運動時，不可能出現(xiàn)CP＝CD的情況．【點評】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，垂線段最短，勾股定理，正確作圖和作輔助線，以及掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關鍵．

考點卡片1．列代數(shù)式（1）定義：把問題中與數(shù)量有關的詞語，用含有數(shù)字、字母和運算符號的式子表示出來，就是列代數(shù)式．（2）列代數(shù)式五點注意：①仔細辨別詞義．列代數(shù)式時，要先認真審題，抓住關鍵詞語，仔細辯析詞義．如“除”與“除以”，“平方的差（或平方差）”與“差的平方”的詞義區(qū)分．②分清數(shù)量關系．要正確列代數(shù)式，只有分清數(shù)量之間的關系．③注意運算順序．列代數(shù)式時，一般應在語言敘述的數(shù)量關系中，先讀的先寫，不同級運算的語言，且又要體現(xiàn)出先低級運算，要把代數(shù)式中代表低級運算的這部分括起來．④規(guī)范書寫格式．列代數(shù)時要按要求規(guī)范地書寫．像數(shù)字與字母、字母與字母相乘可省略乘號不寫，數(shù)與數(shù)相乘必須寫乘號；除法可寫成分數(shù)形式，帶分數(shù)與字母相乘需把代分數(shù)化為假分數(shù)，書寫單位名稱什么時不加括號，什么時要加括號．注意代數(shù)式括號的適當運用．⑤正確進行代換．列代數(shù)式時，有時需將題中的字母代入公式，這就要求正確進行代換．【規(guī)律方法】列代數(shù)式應該注意的四個問題1．在同一個式子或具體問題中，每一個字母只能代表一個量．2．要注意書寫的規(guī)范性．用字母表示數(shù)以后，在含有字母與數(shù)字的乘法中，通常將“×”簡寫作“?”或者省略不寫．3．在數(shù)和表示數(shù)的字母乘積中，一般把數(shù)寫在字母的前面，這個數(shù)若是帶分數(shù)要把它化成假分數(shù)．4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除號），而是寫成分數(shù)的形式．2．坐標確定位置平面內(nèi)特殊位置的點的坐標特征（1）各象限內(nèi)點P（a，b）的坐標特征：①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0．（2）坐標軸上點P（a，b）的坐標特征：①x軸上：a為任意實數(shù)，b＝0；②y軸上：b為任意實數(shù)，a＝0；③坐標原點：a＝0，b＝0．（3）兩坐標軸夾角平分線上點P（a，b）的坐標特征：①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b．3．坐標與圖形性質(zhì)1、點到坐標軸的距離與這個點的坐標是有區(qū)別的，表現(xiàn)在兩個方面：①到x軸的距離與縱坐標有關，到y(tǒng)軸的距離與橫坐標有關；②距離都是非負數(shù)，而坐標可以是負數(shù)，在由距離求坐標時，需要加上恰當?shù)姆枺?、有圖形中一些點的坐標求面積時，過已知點向坐標軸作垂線，然后求出相關的線段長，是解決這類問題的基本方法和規(guī)律．3、若坐標系內(nèi)的四邊形是非規(guī)則四邊形，通常用平行于坐標軸的輔助線用“割、補”法去解決問題．4．線段的性質(zhì)：兩點之間線段最短線段公理兩點的所有連線中，可以有無數(shù)種連法，如折線、曲線、線段等，這些所有的線中，線段最短．簡單說成：兩點之間，線段最短．5．角平分線的定義（1）角平分線的定義從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線叫做這個角的平分線．（2）性質(zhì)：若OC是∠AOB的平分線則∠AOC＝∠BOC=12∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠（3）平分角的方法有很多，如度量法、折疊法、尺規(guī)作圖法等，要注意積累，多動手實踐．6．垂線（1）垂線的定義當兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足．（2）垂線的性質(zhì)在平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直．注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”“過一點”的點在直線上或直線外都可以．7．垂線段最短（1）垂線段：從直線外一點引一條直線的垂線，這點和垂足之間的線段叫做垂線段．（2）垂線段的性質(zhì)：垂線段最短．正確理解此性質(zhì)，垂線段最短，指的是從直線外一點到這條直線所作的垂線段最短．它是相對于這點與直線上其他各點的連線而言．（3）實際問題中涉及線路最短問題時，其理論依據(jù)應從“兩點之間，線段最短”和“垂線段最短”這兩個中去選擇．8．平行線的性質(zhì)1、平行線性質(zhì)定理定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等．簡單說成：兩直線平行，同位角相等．定理2：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補．簡單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等．簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯角相等．2、兩條平行線之間的距離處處相等．9．三角形的角平分線、中線和高（1）從三角形的一個頂點向底邊作垂線，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高．（2）三角形一個內(nèi)角的平分線與這個內(nèi)角的對邊交于一點，則這個內(nèi)角的頂點與所交的點間的線段叫做三角形的角平分線．（3）三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線．（4）三角形有三條中線，有三條高線，有三條角平分線，它們都是線段．（5）銳角三角形的三條高在三角形內(nèi)部，相交于三角形內(nèi)一點，直角三角形有兩條高與直角邊重合，另一條高在三角形內(nèi)部，它們的交點是直角頂點；鈍角三角形有兩條高在三角形外部，一條高在三角形內(nèi)部，三條高所在直線相交于三角形外一點．10．三角形的面積（1）三角形的面積等于底邊長與高線乘積的一半，即S△=1（2）三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分．11．三角形的重心（1）三角形的重心是三角形三邊中線的交點．（2）重心的性質(zhì)：①重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1．②重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等．③重心到三角形3個頂點距離的和最?。ǖ冗吶切危?2．三角形內(nèi)角和定理（1）三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角．每個三角形都有三個內(nèi)角，且每個內(nèi)角均大于0°且小于180°．（2）三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．（3）三角形內(nèi)角和定理的證明證明方法，不唯一，但其思路都是設法將三角形的三個內(nèi)角移到一起，組合成一個平角．在轉(zhuǎn)化中借助平行線．（4）三角形內(nèi)角和定理的應用主要用在求三角形中角的度數(shù)．①直接根據(jù)兩已知角求第三個角；②依據(jù)三角形中角的關系，用代數(shù)方法求三個角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角．13．全等三角形的判定（1）判定定理1：SSS﹣﹣三條邊分別對應相等的兩個三角形全等．（2）判定定理2：SAS﹣﹣兩邊及其夾角分別對應相等的兩個三角形全等．（3）判定定理3：ASA﹣﹣兩角及其夾邊分別對應相等的兩個三角形全等．（4）判定定理4：AAS﹣﹣兩角及其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等．（5）判定定理5：HL﹣﹣斜邊與直角邊對應相等的兩個直角三角形全等．方法指引：全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對應相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對應相等，則必須再找一組對邊對應相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個角的另一組對應鄰邊．14．全等三角形的判定與性質(zhì)（1）全等三角形的判定是結合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件．（2）在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角形．15．全等三角形的應用（1）全等三角形的性質(zhì)與判定綜合應用用全等尋找下一個全等三角形的條件，全等的性質(zhì)和判定往往是綜合在一起應用的，這需要認真分析題目的已知和求證，分清問題中已知的線段和角與所證明的線段或角之間的聯(lián)系．（2）作輔助線構造全等三角形常見的輔助線做法：①把三角形一邊的中線延長，把分散條件集中到同一個三角形中是解決中線問題的基本規(guī)律．②證明一條線段等于兩條線段的和，可采用“截長法”或“補短法”，這些問題經(jīng)常用到全等三角形來證明．（3）全等三角形在實際問題中的應用一般方法是把實際問題先轉(zhuǎn)化為數(shù)