第23頁（共23頁）2026年中考數(shù)學復(fù)習難題速遞之無理數(shù)與實數(shù)（2025年11月）一．選擇題（共10小題）1．據(jù)說著名數(shù)學家華羅庚有次搭乘飛機時，看到鄰座的乘客閱讀的雜志上有一道智力題：一個數(shù)是50653，求它的立方根．華羅庚脫口而出，鄰座的乘客十分驚奇，忙問計算的奧妙．你知道華羅庚是怎樣迅速準確地計算出來的嗎？【發(fā)現(xiàn)與思考】∵103＝1000，1003＝1000000；1000＜50653＜1000000，∴350653∵50653的個位數(shù)字是3，∴350653的個位數(shù)字是7∵303＝27000，403＝64000；27000＜50653＜64000，∴350653的十位數(shù)字是3．∴3【運用并解決】類比上述的分現(xiàn)與思考，推理求出681472的立方根是（）A．72 B．78 C．88 D．922．若一個正數(shù)的兩個不同的平方根分別為2m﹣5與m+2，則這個正數(shù)為（）A．9 B．8 C．3 D．13．下面無理數(shù)中，大于4，且小于5的是（）A．π B．15 C．17 D．264．已知432＝1849，442＝1936，452＝2025，462＝2116．若n為整數(shù)，且n＜2024＜A．43 B．44 C．45 D．465．實數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A．a(chǎn)﹣b＞0 B．a(chǎn)+b＜0 C．a(chǎn)b＞0 D．|a|＜|b|6．在實數(shù)：3.1415926，364，1.010010001…（相鄰兩個1之間0的個數(shù)依次增加1），2-5，π2，A．1 B．2 C．3 D．47．如圖為一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器，某次輸入x后經(jīng)過兩次取算術(shù)平方根運算，輸出的y值為3，則x為（）A．3 B．9 C．27 D．818．下列說法正確的是（）A．64=±8 B．0的平方根是0C．(-2)2=-2 D．|9．無理數(shù)的產(chǎn)生不僅是數(shù)學史上的一個重要里程碑，也對整個科學和哲學產(chǎn)生了深遠的影響．下列四個數(shù)是無理數(shù)的是（）A．0.1313 B．13 C．38 D10．下列各式中，計算正確的是（）A．(-7)2=-7C．32-2=32 二．填空題（共5小題）11．如圖，是一個數(shù)值轉(zhuǎn)化器，其工作原理如圖所示．當輸入的x值為10時，則輸出的y值為．若輸出的y值是5且10≤|x|≤30，則輸入的x的值為．12．如圖，通過畫邊長為1的正方形，就能準確地把2表示在數(shù)軸上點A1處，記A1右側(cè)最近的整數(shù)點為B1，以點B1為圓心，A1B1為半徑畫半圓，交數(shù)軸于點A2，記A2右側(cè)最近的整數(shù)點為B2，以點B2為圓心，A2B2為半徑畫半圓，交數(shù)軸于點A3，如此繼續(xù)，則A8B8的長為．13．任何實數(shù)a，可用[a]表示不超過a的最大整數(shù)，如[4]＝4，[3]＝1，現(xiàn)對72進行如下操作：72→第1次[72]=8①對100只需進行次操作后變?yōu)?；②只需進行3次操作后變?yōu)?的所有正整數(shù)中，最大的數(shù)與最小數(shù)的和是．14．如圖，由內(nèi)到外依次為正方形A，B，C，若A的面積為2，C的面積為5，則B的邊長可以是整數(shù)．15．二次根式除法可以這樣做：如果2+32-3①將式子15-2②若a是2的小數(shù)部分，則3a的值為2③比較兩個二次根式的大?。?6④計算：23+3+以上結(jié)論正確的是．（寫出所有正確的序號）三．解答題（共5小題）16．a(chǎn)、b、c均為實數(shù)，且a+1+(b（1）則a的值為；b的值為；c的值為；（2）求a﹣2b+3c的平方根．17．如圖，請用尺規(guī)作圖法，在下面的數(shù)軸上畫出表示13的點C．（保留作圖痕跡，不寫作法）18．閱讀理解：我們知道2是無理數(shù)，無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此2的小數(shù)部分不可能全部寫出來，小樂同學用2-1來表示2的小數(shù)部分，并給出了理由：因為12＜2＜22，所以1＜2＜2，則（1）19的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是．（2）若7-19的整數(shù)部分是x，小數(shù)部分是y，求x﹣19．已知2a-1=3，3a﹣b+1的平方根是±4，（1）求a，b，c的值；（2）求3a+10b+c的平方根．20．如圖，把兩個面積均為37cm2的小正方形紙片分別沿圖（1）中的虛線裁剪后拼成一個大的正方形紙片，如圖（2）．（1）大正方形紙片的邊長為cm；（2）若沿此大正方形紙片邊的方向裁剪出一個長方形紙片，能否使裁剪出的長方形紙片的長是寬的3倍，且面積為27cm2？若能，求剪出的長方形紙片的長和寬；若不能，試說明理由．

2026年中考數(shù)學復(fù)習難題速遞之無理數(shù)與實數(shù)（2025年11月）參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案CACBBCBBDC一．選擇題（共10小題）1．據(jù)說著名數(shù)學家華羅庚有次搭乘飛機時，看到鄰座的乘客閱讀的雜志上有一道智力題：一個數(shù)是50653，求它的立方根．華羅庚脫口而出，鄰座的乘客十分驚奇，忙問計算的奧妙．你知道華羅庚是怎樣迅速準確地計算出來的嗎？【發(fā)現(xiàn)與思考】∵103＝1000，1003＝1000000；1000＜50653＜1000000，∴350653∵50653的個位數(shù)字是3，∴350653的個位數(shù)字是7∵303＝27000，403＝64000；27000＜50653＜64000，∴350653的十位數(shù)字是3．∴3【運用并解決】類比上述的分現(xiàn)與思考，推理求出681472的立方根是（）A．72 B．78 C．88 D．92【考點】立方根．【專題】實數(shù)；運算能力．【答案】C【分析】仿照例題，進行推理得結(jié)論，通過比較立方數(shù)的大小范圍確定立方根是兩位數(shù)，再根據(jù)個位數(shù)字對應(yīng)關(guān)系確定個位數(shù)字，最后通過估算十位數(shù)字的立方值確定十位數(shù)字．【解答】解：由條件可知3681472∵681472的個位數(shù)字是2，且83＝512（個位為2），∴3681472的個位數(shù)字是8∵803＝512000，903＝729000，且803＝512000，903＝729000，?ò512000＜681472＜729000，∴3681472的十位數(shù)字是8∴3681472故選：C．【點評】本題考查了立方根及數(shù)字常識，解決本題的關(guān)鍵是理解例題，并能根據(jù)例題的格式進行運算．2．若一個正數(shù)的兩個不同的平方根分別為2m﹣5與m+2，則這個正數(shù)為（）A．9 B．8 C．3 D．1【考點】平方根．【專題】實數(shù)；運算能力．【答案】A【分析】根據(jù)題意得出方程，求出方程的解即可．【解答】解：由題意可得：2m﹣5+m+2＝0，m＝1，∴2m﹣5＝﹣3，∴這個正數(shù)為：（﹣3）2＝9．故選：A．【點評】本題考查了平方根的應(yīng)用，注意：一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)，正確進行計算是解題關(guān)鍵．3．下面無理數(shù)中，大于4，且小于5的是（）A．π B．15 C．17 D．26【考點】實數(shù)大小比較．【專題】計算題；運算能力．【答案】C【分析】利用實數(shù)的大小比較方法解答．【解答】解：根據(jù)題意可知4＜17＜故選：C．【點評】本題考查了實數(shù)的大小比較，解題的關(guān)鍵是掌握實數(shù)的大小比較方法．4．已知432＝1849，442＝1936，452＝2025，462＝2116．若n為整數(shù)，且n＜2024＜A．43 B．44 C．45 D．46【考點】估算無理數(shù)的大?。緦ｎ}】實數(shù)；數(shù)感．【答案】B【分析】首先估算被開方數(shù)在哪兩個相鄰的平方數(shù)之間，再估算該無理數(shù)在哪兩個相鄰的整數(shù)之間．【解答】解：∵1936＜2014＜1025，∴1936＜即44＜又∵n＜2024＜∴n＝44，故選：B．【點評】本題考查的是無理數(shù)的估算，熟練掌握無理數(shù)的估算是關(guān)鍵．5．實數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A．a(chǎn)﹣b＞0 B．a(chǎn)+b＜0 C．a(chǎn)b＞0 D．|a|＜|b|【考點】實數(shù)與數(shù)軸；絕對值．【專題】計算題；運算能力．【答案】B【分析】利用數(shù)軸知識和絕對值的定義解答．【解答】解：由數(shù)軸圖可知﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，∴a﹣b＜0，a+b＜0，ab＜0，|a|＞|b|，∴只有選項B正確，符合題意．故選：B．【點評】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，絕對值，解題的關(guān)鍵是掌握數(shù)軸知識和絕對值的定義．6．在實數(shù)：3.1415926，364，1.010010001…（相鄰兩個1之間0的個數(shù)依次增加1），2-5，π2，A．1 B．2 C．3 D．4【考點】無理數(shù)．【專題】實數(shù)；運算能力．【答案】C【分析】先化簡，再根據(jù)有理數(shù)、無理數(shù)的定義判斷即可．【解答】解：364=無理數(shù)有：1.010010001…（相鄰兩個1之間0的個數(shù)依次增加1），2-5，π2故選：C．【點評】此題主要考查了無理數(shù)的定義，注意帶根號的要開不盡方才是無理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)為無理數(shù)，如π，6，0.8080080008…（每兩個8之間依次多1個0）等形式．7．如圖為一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器，某次輸入x后經(jīng)過兩次取算術(shù)平方根運算，輸出的y值為3，則x為（）A．3 B．9 C．27 D．81【考點】算術(shù)平方根．【專題】數(shù)與式；運算能力．【答案】B【分析】根據(jù)兩次取算術(shù)平方根運算，輸出的y值為3，返回運算兩次平方可得x的值；【解答】解：當y=3時，（3）2＝3，32＝9，則x＝9故選：B．【點評】本題考查了算術(shù)平方根，正確計算算術(shù)平方根是關(guān)鍵．8．下列說法正確的是（）A．64=±8 B．0的平方根是0C．(-2)2=-2 D．|【考點】算術(shù)平方根；平方根．【專題】實數(shù)；應(yīng)用意識．【答案】B【分析】選項A混淆了平方根與算術(shù)平方根；選項C算術(shù)平方根結(jié)果應(yīng)為正；選項D忽略了負平方根；選項B正確．【解答】解：∵平方根有正負兩個值（a＞0時）或0（a＝0時）．A：64表示算術(shù)平方根，應(yīng)為8，而非±8，所以此項錯誤，不符合題意；B：0的平方根是0，正確，所以此項正確，符合題意；C：(-2)2D：|﹣4|＝4，4的平方根是±2，選項說“是2”不完整，所以此項錯誤，不符合題意．故選：B．【點評】本題考查平方根和算術(shù)平方根的概念．算術(shù)平方根是非負的，平方根有兩個值（0除外），正確進行計算是解題關(guān)鍵．9．無理數(shù)的產(chǎn)生不僅是數(shù)學史上的一個重要里程碑，也對整個科學和哲學產(chǎn)生了深遠的影響．下列四個數(shù)是無理數(shù)的是（）A．0.1313 B．13 C．38 D【考點】無理數(shù)；立方根．【專題】實數(shù)；數(shù)感．【答案】D【分析】因為無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)，如圓周率，據(jù)此解答．【解答】解：對于A，0.1313是有限小數(shù)，是有理數(shù)；對于B，13對于C，38=2，所以對于D，π是無線不循環(huán)小數(shù)，是無理數(shù)，所以-π故選：D．【點評】本題考查了無理數(shù)、立方根，解決本題的關(guān)鍵是知道無理數(shù)的定義．10．下列各式中，計算正確的是（）A．(-7)2=-7C．32-2=32 【考點】實數(shù)的運算；立方根．【專題】計算題；運算能力．【答案】C【分析】根據(jù)運算法則以及立方根的定義，對每個選項進行分析判斷．【解答】解：A、(-B、（﹣2）3＝﹣8，所以3-8=-2C、32-D、6×故選：C．【點評】本題考查了實數(shù)的運算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)立方根和平方根的定義來計算．二．填空題（共5小題）11．如圖，是一個數(shù)值轉(zhuǎn)化器，其工作原理如圖所示．當輸入的x值為10時，則輸出的y值為2．若輸出的y值是5且10≤|x|≤30，則輸入的x的值為19或﹣11．【考點】實數(shù)的運算；代數(shù)式求值．【專題】實數(shù)；運算能力．【答案】2，19或﹣11【分析】把x＝10代入進行計算即可；根據(jù)題意可得：|x+6|＝5或25，根據(jù)10≤|x|≤30，即可得出結(jié)論．【解答】解：輸入的x值為10時，|x+6|＝|10+6|＝16，取算術(shù)平方根為16=4則返回4=2是有理數(shù)，返回取算術(shù)平方根為2則y的值為2，故答案為：2；輸出的y是5，且10≤|x|≤30，上一步應(yīng)該是5或25，當|x+6|＝5或25時，x＝﹣1或﹣11或19或﹣31，∴x＝19或﹣11，故答案為：19或﹣11．【點評】本題主要考查了實數(shù)的混合運算，程序圖，解題的關(guān)鍵是理解題目所給程序的運算順序以及實數(shù)混合運算的運算順序和運算法則．12．如圖，通過畫邊長為1的正方形，就能準確地把2表示在數(shù)軸上點A1處，記A1右側(cè)最近的整數(shù)點為B1，以點B1為圓心，A1B1為半徑畫半圓，交數(shù)軸于點A2，記A2右側(cè)最近的整數(shù)點為B2，以點B2為圓心，A2B2為半徑畫半圓，交數(shù)軸于點A3，如此繼續(xù)，則A8B8的長為2-1【考點】估算無理數(shù)的大?。粚崝?shù)與數(shù)軸．【專題】實數(shù)；運算能力．【答案】2-【分析】根據(jù)題意，依次求出點A1，A2，A3，…，和點B1，B2，B3，…，表示的數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題．【解答】解：由題知，點A1表示的數(shù)為2，則點B1表示的數(shù)為2，所以A1B1=2-則2+2-所以點A2表示的數(shù)為4-則點B2表示的數(shù)為3，依此類推，點A3表示的數(shù)為2+2，點B3表示的數(shù)為4，點A4表示的數(shù)為6-2，點B4由此可見，點A2n表示的數(shù)為2n+2-2，點B2n表示的數(shù)為當2n＝8時，點A8表示的數(shù)為10-2，點B8表示的數(shù)為9所以A8B8=9-故答案為：2-【點評】本題主要考查了估算無理數(shù)的大小及數(shù)軸，能通過計算發(fā)現(xiàn)點A2n表示的數(shù)為2n+2-2，點B2n表示的數(shù)為13．任何實數(shù)a，可用[a]表示不超過a的最大整數(shù)，如[4]＝4，[3]＝1，現(xiàn)對72進行如下操作：72→第1次[72]=8①對100只需進行3次操作后變?yōu)?；②只需進行3次操作后變?yōu)?的所有正整數(shù)中，最大的數(shù)與最小數(shù)的和是271．【考點】估算無理數(shù)的大小．【專題】實數(shù)；運算能力．【答案】①3；②271．【分析】①根據(jù)所給變換方式，進行計算即可；②結(jié)合所給變換方式，進行計算即可．【解答】解：①由題知，100經(jīng)過第1次操作后變?yōu)?0，經(jīng)過第2次操作后變?yōu)?，經(jīng)過第3次操作后變?yōu)?，所以對100只需進行3次操作后變?yōu)?；②由題知，因為22﹣1＝3，42﹣1＝15，162﹣1＝255，所以進行3次操作后變?yōu)?的所有正整數(shù)中最大的數(shù)為255；因為22＝4，42＝16，所以進行3次操作后變?yōu)?的所有正整數(shù)中最小的數(shù)為16，則255+16＝271．故答案為：271．【點評】本題主要考查了估算無理數(shù)的大小，理解題中所給計算方式是解題的關(guān)鍵．14．如圖，由內(nèi)到外依次為正方形A，B，C，若A的面積為2，C的面積為5，則B的邊長可以是整數(shù)2．【考點】算術(shù)平方根．【專題】實數(shù)；運算能力．【答案】2．【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義易得2＜B的邊長＜【解答】解：∵A的面積為2，C的面積為5，∴A的邊長為2，C的邊長為5，∴2＜B的邊長＜∴B的邊長可以是整數(shù)2，故答案為：2．【點評】本題考查算術(shù)平方根，結(jié)合已知條件得到2＜B的邊長＜15．二次根式除法可以這樣做：如果2+32-3①將式子15-2②若a是2的小數(shù)部分，則3a的值為2③比較兩個二次根式的大?。?6④計算：23+3+以上結(jié)論正確的是①③④．（寫出所有正確的序號）【考點】估算無理數(shù)的大?。灰?guī)律型：數(shù)字的變化類；平方差公式；分母有理化；二次根式的混合運算；實數(shù)大小比較．【專題】二次根式；運算能力．【答案】①③④．【分析】①類比示例，利用分式的基本性質(zhì)進行分母有理化；②估計無理數(shù)的整數(shù)部分，求出小數(shù)部分a=2③通過分母有理化，比較兩個二次根式的大小；④通過分母有理化找到題中無理式求和的運算規(guī)律，從而化簡求出值．【解答】解：利用平方差公式將二次根式分母有理化得：①（5-2）（5+2）＝5﹣2＝3，故將式子15②∵a是2的小數(shù)部分，∴a=2∴3a=32-1=③∵1615∵（6+2）2＞（5+3∴6+2∴16-2④2=2(3-＝（1-33）+（33-55）+（55＝1-1133，故綜上，①③④正確．故答案為：①③④．【點評】本題考查利用分式的基本性質(zhì)、平方差公式進行分母有理化．三．解答題（共5小題）16．a(chǎn)、b、c均為實數(shù)，且a+1+(b（1）則a的值為﹣1；b的值為3；c的值為6；（2）求a﹣2b+3c的平方根．【考點】估算無理數(shù)的大??；非負數(shù)的性質(zhì)：偶次方；平方根；非負數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根．【專題】實數(shù)；數(shù)感．【答案】（1）﹣1；3；6；（2）±11【分析】（1）根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)可得a+1＝0，b﹣3＝0，從而求出a，b的值，再利用無理數(shù)大小估算求出c的值；（2）把a，b，c的值代入a﹣2b+3c，再根據(jù)平方根的定義解答即可．【解答】解：（1）由條件可知a+1＝0，b﹣3＝0，∴a＝﹣1，b＝3，∵36＜37＜49，∴6＜∴c＝6；故答案為：﹣1；3；6；（2）當a＝﹣1，b＝3，c＝6時，a﹣2b+3c＝﹣1﹣2×3+3×6＝11，∴a﹣2b+3c的平方根為±11【點評】本題考查了平方根，無理數(shù)大小估算，算術(shù)平方根和偶次冪非負性，熟練掌握相關(guān)概念及運算是解題的關(guān)鍵．17．如圖，請用尺規(guī)作圖法，在下面的數(shù)軸上畫出表示13的點C．（保留作圖痕跡，不寫作法）【考點】實數(shù)與數(shù)軸．【專題】計算題；運算能力．【答案】．【分析】根據(jù)實數(shù)的運算和數(shù)軸知識解答．【解答】解：22+32＝13，．【點評】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，解題的關(guān)鍵是掌握數(shù)軸知識和實數(shù)的運算．18．閱讀理解：我們知道2是無理數(shù)，無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此2的小數(shù)部分不可能全部寫出來，小樂同學用2-1來表示2的小數(shù)部分，并給出了理由：因為12＜2＜22，所以1＜2＜2，則（1）19的整數(shù)部分是4，小數(shù)部分是19-4（2）若7-19的整數(shù)部分是x，小數(shù)部分是y，求x﹣【考點】估算無理數(shù)的大??；代數(shù)式求值．【專題】實數(shù)；運算能力．【答案】（1）4，19-（2）19-【分析】（1）先利用“夾逼法”估算出19的范圍，進而確定出整數(shù)部分和小數(shù)部分；（2）先估算7-19的范圍，求出整數(shù)部分和小數(shù)部分x，和y的值，然后把x，y的值代入x﹣【解答】解：（1）∵16＜∴4＜∴19的整數(shù)部分是4，小數(shù)部分是19-故答案為：4，19-（2）∵16＜∴4＜∴-5∴7-5＜∴7-19的整數(shù)部分x＝2，小數(shù)部分y∴x﹣y=2-【點評】本題考查了估算無理數(shù)的大小，代數(shù)式求值，掌握“夾逼法”估算無理數(shù)的大小是解題的關(guān)鍵．19．已知2a-1=3，3a﹣b+1的平方根是±4，（1）求a，b，c的值；（2）求3a+10b+c的平方根．【考點】估算無理數(shù)的大??；平方根．【專題】整式；運算能力．【答案】（1）a＝5，b＝0，c＝10；（2）±5．【分析】（1）先根據(jù)算術(shù)平方根的定義求出a，再根據(jù)平方根的定義求出b，最后估算出113的范圍求出c即可；（2）根據(jù)（1）所求求出3a+10b+c的值，再根據(jù)平方根的定義求出答案即可．【解答】解：（1）∵2a∴2a﹣1＝32＝9，∴a＝5，∵3a﹣b+1的平方根是±4，∴3a﹣b+1＝（±4）2＝16，∴15﹣b+1＝16，∴b＝0，∵100＜113＜121，∴10＜∴113的整數(shù)部分是10，∴c＝10；（2）∵a＝5，b＝0，c＝10，∴3a+10b+c＝3×5+10×0+10＝25，∵25的平方根是±5，∴3a+10b+c的平方根是±5．【點評】本題主要考查了算術(shù)平方根，平方根，無理數(shù)的估算，熟知算術(shù)平方根和平方根的定義是解題的關(guān)鍵．20．如圖，把兩個面積均為37cm2的小正方形紙片分別沿圖（1）中的虛線裁剪后拼成一個大的正方形紙片，如圖（2）．（1）大正方形紙片的邊長為74cm；（2）若沿此大正方形紙片邊的方向裁剪出一個長方形紙片，能否使裁剪出的長方形紙片的長是寬的3倍，且面積為27cm2？若能，求剪出的長方形紙片的長和寬；若不能，試說明理由．【考點】算術(shù)平方根．【專題】實數(shù)；運算能力．【答案】（1）74；（2）沿此大正方形紙片邊的方向，不能裁剪出符合要求的長方形紙片，理由見解析．【分析】（1）由正方形的面積公式即可求解；（2）設(shè)長方形紙片的長和寬分別是3xcm，xcm，得到3x2＝27，求出x的值，即可解決問題．【解答】解：（1）由題意得：大正方形的面積為37×2＝74cm2，∴大正方形紙片的邊長為74cm故答案為：74；（2）沿此大正方形紙片邊的方向，不能裁剪出符合要求的長方形紙片，理由如下：由條件可設(shè)長方形紙片的長和寬分別是3xcm，xcm，∴3x?x＝27，∴x2＝9，∵x＞0，∴x＝3，∴長方形紙片的長是9cm，∵9＞∴沿此大正方形紙片邊的方向，不能裁剪出符合要求的長方形紙片．【點評】本題考查算術(shù)平方根，正方形面積公式，關(guān)鍵是由題意求出長方形紙片的長和寬．

考點卡片1．絕對值（1）概念：數(shù)軸上某個數(shù)與原點的距離叫做這個數(shù)的絕對值．①互為相反數(shù)的兩個數(shù)絕對值相等；②絕對值等于一個正數(shù)的數(shù)有兩個，絕對值等于0的數(shù)有一個，沒有絕對值等于負數(shù)的數(shù)．③有理數(shù)的絕對值都是非負數(shù)．（2）如果用字母a表示有理數(shù)，則數(shù)a絕對值要由字母a本身的取值來確定：①當a是正有理數(shù)時，a的絕對值是它本身a；②當a是負有理數(shù)時，a的絕對值是它的相反數(shù)﹣a；③當a是零時，a的絕對值是零．即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）2．非負數(shù)的性質(zhì)：偶次方偶次方具有非負性．任意一個數(shù)的偶次方都是非負數(shù)，當幾個數(shù)或式的偶次方相加和為0時，則其中的每一項都必須等于0．3．平方根（1）定義：如果一個數(shù)的平方等于a，這個數(shù)就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一個正數(shù)有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數(shù)，零的平方根是零，負數(shù)沒有平方根．（2）求一個數(shù)a的平方根的運算，叫做開平方．一個正數(shù)a的正的平方根表示為“a”，負的平方根表示為“-a正數(shù)a的正的平方根，叫做a的算術(shù)平方根，記作a．零的算術(shù)平方根仍舊是零．平方根和立方根的性質(zhì)1．平方根的性質(zhì)：正數(shù)a有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負數(shù)沒有平方根．2．立方根的性質(zhì)：一個數(shù)的立方根只有一個，正數(shù)的立方根是正數(shù)，負數(shù)的立方根是負數(shù)，0的立方根是0．4．算術(shù)平方根（1）算術(shù)平方根的概念：一般地，如果一個正數(shù)x的平方等于a，即x2＝a，那么這個正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根．記為a．（2）非負數(shù)a的算術(shù)平方根a有雙重非負性：①被開方數(shù)a是非負數(shù)；②算術(shù)平方根a本身是非負數(shù)．（3）求一個非負數(shù)的算術(shù)平方根與求一個數(shù)的平方互為逆運算，在求一個非負數(shù)的算術(shù)平方根時，可以借助乘方運算來尋找．5．非負數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根（1）非負數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根具有非負性．（2）利用算術(shù)平方根的非負性求值的問題，主要是根據(jù)被開方數(shù)是非負數(shù)，開方的結(jié)果也是非負數(shù)列出不等式求解．非負數(shù)之和等于0時，各項都等于0利用此性質(zhì)列方程解決求值問題．6．立方根（1）定義：如果一個數(shù)的立方等于a，那么這個數(shù)叫做a的立方根或三次方根．這就是說，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．記作：3a（2）正數(shù)的立方根是正數(shù)，0的立方根是0，負數(shù)的立方根是負數(shù)．即任意數(shù)都有立方根．（3）求一個數(shù)a的立方根的運算叫開立方，其中a叫做被開方數(shù)．注意：符號3a中的根指數(shù)“3”不能省略；對于立方根，被開方數(shù)沒有限制，正數(shù)、零、負數(shù)都有唯一一個【規(guī)律方法】平方根和立方根的性質(zhì)1．平方根的性質(zhì)：正數(shù)a有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負數(shù)沒有平方根．2．立方根的性質(zhì)：一個數(shù)的立方根只有一個，正數(shù)的立方根是正數(shù)，負數(shù)的立方根是負數(shù)，0的立方根是0．7．無理數(shù)（1）、定義：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)．說明：無理數(shù)是實數(shù)中不能精確地表示為兩個整數(shù)之比的數(shù)，即無限不循環(huán)小數(shù)．如圓周率、2的平方根等．（2）、無理數(shù)與有理數(shù)的區(qū)別：①把有理數(shù)和無理數(shù)都寫成小數(shù)形式時，有理數(shù)能寫成有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，比如4＝4.0，13=0.33333…而無理數(shù)只能寫成無限不循環(huán)小數(shù)，比如2②所有的有理數(shù)都可以寫成兩個整數(shù)之比；而無理數(shù)不能．（3）學習要求：會判斷無理數(shù)，了解它的三種形式：①開方開不盡的數(shù)，②無限不循環(huán)小數(shù)，③含有π的數(shù)，如分數(shù)π2是無理數(shù)，因為π無理數(shù)常見的三種類型（1）開不盡的方根，如2，（2）特定結(jié)構(gòu)的無限不循環(huán)小數(shù)，如0.303003000300003…（兩個3之間依次多一個0）．（3）含有π的絕大部分數(shù)，如2π．注意：判斷一個數(shù)是否為無理數(shù)，不能只看形式，要看化簡結(jié)果．如16是有理數(shù)，而不是無理數(shù)．8．實數(shù)與數(shù)軸（1）實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)關(guān)系．任意一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示；反之，數(shù)軸上的任意一個點都表示一個實數(shù)．數(shù)軸上的任一點表示的數(shù)，不是有理數(shù)，就是無理數(shù)．（2）在數(shù)軸上，表示相反數(shù)的兩個點在原點的兩旁，并且兩點到原點的距離相等，實數(shù)a的絕對值就是在數(shù)軸上這個數(shù)對應(yīng)的點與原點的距離．（3）利用數(shù)軸可以比較任意兩個實數(shù)的大小，即在數(shù)軸上表示的兩個實數(shù)，右邊的總比左邊的大，在原點左側(cè)，絕對值大的反而小．9．實數(shù)大小比較實數(shù)大小比較（1）任意兩個實數(shù)都可以比較大?。龑崝?shù)都大于0，負實數(shù)都小于0，正實數(shù)大于一切負實數(shù)，兩個負實數(shù)比大小，絕對值大的反而?。?）利用數(shù)軸也可以比較任意兩個實數(shù)的大小，即在數(shù)軸上表示的兩個實數(shù)，右邊的總比左邊的大，在原點左側(cè)，絕對值大的反而?。?0．估算無理數(shù)的大小估算無理數(shù)大小要用逼近法．思維方法：用有理數(shù)逼近無理數(shù)，求無理數(shù)的近似值．11．實數(shù)的運算（1）實數(shù)的運算和在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣，值得一提的是，實數(shù)既可以進行加、減、乘、除、乘方運算，又可以進行開方運算，其中正實數(shù)可以開平方．（2）在進行實數(shù)運算時，和有理數(shù)運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按