高考數(shù)學(xué)解題秘籍——統(tǒng)計(jì)概率6第二章概率【同源練習(xí)】(遼寧高三開(kāi)學(xué)考試)關(guān)于圓周率π,數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過(guò)許多很有創(chuàng)意的求法,如著名的浦豐實(shí)驗(yàn)和查理斯實(shí)驗(yàn).受其啟發(fā),我們也可以通過(guò)設(shè)計(jì)下面的實(shí)驗(yàn)來(lái)估計(jì)π的值:先請(qǐng)100名同學(xué)每人隨機(jī)寫(xiě)下一個(gè)x,y都小于1的正實(shí)數(shù)對(duì)x,y;再統(tǒng)計(jì)兩數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì)x,y的個(gè)數(shù)m;最后再根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)m估計(jì)解:∵0<x畫(huà)出圖像:弓形面積:28100（3）三個(gè)變量【例】已知一根繩子長(zhǎng)度為1m,隨機(jī)剪成三段,則三段剛好圍成三角形的概率為_(kāi)__解:隨機(jī)剪成三段,如果引入3個(gè)變量x,y,z,則需建立空間坐標(biāo)系,不易于求解?？紤]減少變量個(gè)數(shù),由于三段的和為1,設(shè)其中兩段為x,y,則第三段為0<x<10A滿足0<x<1(二)面積【經(jīng)典例題】如圖來(lái)自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形.此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成,三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC,直角邊AB,I,II,III的概率分別記為p1A.p1=p2B.p法一:設(shè)直角三角形ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b12π×b2法二:不妨設(shè)△ABC為等腰直角三角形,AB=AC=的面積,為S1S2=π根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式,得p1=pp2【例1】已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,H是邊DA的中點(diǎn),在正方形ABCD內(nèi)部隨機(jī)取一點(diǎn)P,則滿足解:PH<2可理解為以H為圓心,2為半徑的圓的內(nèi)部,通過(guò)作圖可得概率為陰影部分面積所占正方形面積的比例?？蓪㈥幱安糠植馂橐粋€(gè)扇形與兩個(gè)直角三角形,可計(jì)算其面積為S′=【例2】如圖,點(diǎn)P等可能分布在菱形ABCD內(nèi),則AP?A.12B.C.16D.解:AC乘以AP在AC上的投影,不妨將投影設(shè)為l,則AP?AC=l?AC≤MN//BD,所以MN⊥AC且垂足四等分AC【變式訓(xùn)練】在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1解:由幾何概型的計(jì)算公式得p=【例3】已知P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),PB+PC+2解:以PB,PC為鄰邊作平行四邊形PBDC,則PB+PC=PD,因?yàn)镻B+PC+2PA=0,所以PB+PC=?2PA,得PD=?2PA,由此可得,P是△ABC邊【變式訓(xùn)練】在邊長(zhǎng)為1的正方形內(nèi)隨意畫(huà)一個(gè)三角形,若此三角形內(nèi)任意一點(diǎn)到正方形各邊距離d≥m的概率為4解:因?yàn)槿切蝺?nèi)任意一點(diǎn)到正方形各邊距離d所以三角形所在區(qū)域?yàn)檫呴L(zhǎng)為1?2m的正方形,所以1【例4】在區(qū)間0,1上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)x,y,記p1為事件“x+y≥1A.p1<C.p3<解:因?yàn)閤,y∈0,對(duì)事件“x?y≤對(duì)事件“xy≤12由圖知,陰影部分的面積從下到大依次是S2<S根據(jù)幾何概型可得p2(1)（2）(3)(三)體積【例1】一只蜜蜂在一個(gè)棱長(zhǎng)為3的正方體內(nèi)自由飛行,若蜜蜂在飛行過(guò)程中始終保持與正方體6個(gè)表面的距離均大于1,稱其為“安全飛行”,則蜜蜂“安全飛行”的概率為()解:由已知條件可知,蜜蜂只能在一個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正方體內(nèi)飛行結(jié)合幾何概型可得蜜蜂“安全飛行”的概率為p=【例2】在區(qū)間0,1任取三個(gè)數(shù)a,b,解:m2在坐標(biāo)系中,空間點(diǎn)a,b,c構(gòu)成以1為棱的正方體,體積為1,而滿足m≤1的點(diǎn)a,b,c【例3】一個(gè)多面體的直觀圖和三視圖所示,M是AB的中點(diǎn),一只蝴蝶在幾何體ADF?BCE內(nèi)自由飛翔,由它飛入幾何體a主(俯)視圖左視圖解:所求概率為棱錐F?AMCD的體積與棱柱AD=DF=VADF?BCESADCM=12【例4】已知P,E,G,F都在球面C上,且P在△EFG所在平面外,PE解:如圖,在三角形EGF中,由已知可得EG=GF=設(shè)三角形EFG的外接圓的半徑為r,由23sin120再設(shè)△EGF的外心為G1,過(guò)G1作底面EGF的垂線G1O則22為三棱錐P則球的體積為V=V則該點(diǎn)落在三棱錐P?EFG內(nèi)的概率為(四)隨機(jī)數(shù)模擬法【例1】下圖是2002年8月中國(guó)成功主辦的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo),是我們古代數(shù)學(xué)家趙爽為證明勾股定理而繪制的,在我國(guó)最早的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中有詳細(xì)的記載.若圖中大正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,小正方形的邊長(zhǎng)為2,現(xiàn)作出小正方形的內(nèi)切圓,向大正方形所在區(qū)域模擬隨機(jī)投擲n個(gè)點(diǎn),有m個(gè)點(diǎn)落在中間的圓內(nèi),由此可估計(jì)π的所似值為()A.16mnB.8mnC.4m解:大正方形的邊長(zhǎng)為4,總面積為16,小正方形的邊長(zhǎng)為2,其內(nèi)切圓的半徑為1,面積為π;則π16=m【例2】從區(qū)間0,1隨機(jī)抽取2n個(gè)數(shù)x1,x2,…,xn(A)4nm(B)2nm(C)4m解:由題意得:xi小于1的點(diǎn)均在如圖所示的陰影中由幾何概型概率計(jì)算