一、選擇題1.（2015四川省遂寧市，15，4分）下列命題：①對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形；②點(diǎn)G是△ABC的重心，若中線AD＝6，則AG＝3；③若直線y＝kx＋b經(jīng)過第一、二、四象限．則k＜0，b＞0；④定義新運(yùn)算：a?b＝2a－b2，若(2x)?(x－3)＝0，則x＝1或9；⑤拋物線y＝－2x2＋4x＋3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1，1)．其中真命題有＿＿＿．(只填序號(hào))【答案】③④．【解析】對(duì)于①，對(duì)角線互相垂直的平行四邊形才是菱形，故①錯(cuò)；對(duì)于②，重心到頂點(diǎn)的距離是到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍，所以AD＝4，故②錯(cuò)；對(duì)于③，畫出草圖易知，顯然成立，故③正確；對(duì)于④，(2x)?(x－3)＝0，要得4x－(x－3)2＝0，得x2－10x＋9＝0，解得x＝1或9，故④正確；對(duì)于⑤，y＝－2x2＋4x＋3＝－2(x2－2x＋1－1)＋3＝－2(x－1)2＋5，頂點(diǎn)為(1，5)，故⑤錯(cuò)誤．2.（2015浙江省金華市，8，3分）圖2是圖1中拱形大橋的示意圖，橋拱與橋面的交點(diǎn)為O，B，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，水平直線OB為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，橋的拱形可以近似看成拋物線，橋拱與橋墩AC的交點(diǎn)C恰好在水面，有AC⊥x軸，若干OA＝10米，則橋面離水面的高度AC為( )A.米 B.米 C.米 D.米【答案】B3.（2015浙江嘉興，10，4分）如圖，拋物線交x軸于點(diǎn)A（a，0）和B（b，0），交y軸于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為D.下列四個(gè)判斷：①當(dāng)時(shí)，；②若a=－1，則b=4；③拋物線上有兩點(diǎn)和若且，則；④點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為E，點(diǎn)G，F(xiàn)分別在x軸和y軸上，當(dāng)m=2時(shí)，四邊形EDFG周長(zhǎng)最小值為.其中正確判斷的序號(hào)是（）A.①B.②C.③D.④【答案】C二、填空題1.（2015浙江省衢州市，16，4分）如圖，已知直線分別交x軸，y軸于點(diǎn)A、B，P是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其橫坐標(biāo)是a，過點(diǎn)P且平行y軸的直線交直線于點(diǎn)Q，則PQ=BQ時(shí)，a的值是__________。【答案】4或【解析】解：P點(diǎn)橫坐標(biāo)為a，因?yàn)镻點(diǎn)在拋物線上，所以P點(diǎn)坐標(biāo)為，又PQy軸，且Q點(diǎn)在函數(shù)上，所以點(diǎn)Q坐標(biāo)為，B點(diǎn)坐標(biāo)為根據(jù)平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式，知道PQ＝，BQ=,根據(jù)題意，PQ=BQ，所以＝，解得a的值分別為4或.三、解答題1.（2015年四川省宜賓市，24，12分）如圖，拋物線與x軸分別交于點(diǎn)A（－2，0）、B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為點(diǎn)P。（1）求拋物線的解析式；（2）動(dòng)點(diǎn)M、N從點(diǎn)O同時(shí)出發(fā)，都以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度分別在線段OB、OC上向點(diǎn)B、C方向運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)M作x軸的垂線交BC于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)H。①當(dāng)四邊形OMHN為矩形時(shí)，求點(diǎn)H的坐標(biāo)；②是否存在這樣的點(diǎn)F，使△PFB為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由?！敬鸢浮浚?）拋物線的解析式為：（2）①H（，）②存在點(diǎn)F（，），使△PFB為直角三角形【解析】解：（1）由題意得：，解得：，∴拋物線的解析式為：（2）①設(shè)點(diǎn)M、N從點(diǎn)O同時(shí)出發(fā)t秒后四邊形OMHN為矩形，則M（t，0）、N（0，t）、H（t，t）∵點(diǎn)H在拋物線上，∴解得：∴H（，）②設(shè)存在點(diǎn)F，使△PFB為直角三角形如圖，連結(jié)PF，BP，過點(diǎn)F作FQ⊥對(duì)稱軸于點(diǎn)Q∵c=4，A（－2，0），B（4，0），∴∠OBC=45°，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，∵點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)，∴y=,P（1，），∴∵∠OBC=45°，M（t，0），∴MF=BM=4－t即在Rt△PQF中，F(xiàn)Q=1－t，PQ=，∴PF2=∵△PFB為直角三角形，∴Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)F為直角頂點(diǎn)時(shí)，=+整理得：∵△=，∴該方程無(wú)解Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)時(shí)，=+解得：t=，F(xiàn)（，）綜上所述：存在點(diǎn)F（，），使△PFB為直角三角形。2.（2015浙江省麗水市，24，12分）某乒乓球館使用發(fā)球機(jī)進(jìn)行輔助訓(xùn)練，出球口在桌面中線端點(diǎn)A處的正上方，假設(shè)每次發(fā)出的乒乓球的運(yùn)動(dòng)路線固定不變，且落在中線上．在乒乓球運(yùn)行時(shí)，設(shè)乒乓球與端點(diǎn)A的水平距離為（米），與桌面的高度為（米），運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（秒），經(jīng)過多次測(cè)試后，得到如下部分?jǐn)?shù)據(jù)：（秒）00.60.640.8…（米）00.40.511.51.62…（米）0.250.3780.40.450.40.3780.25…（1）當(dāng)為何值時(shí)，乒乓球達(dá)到最大高度？（2）乒乓球落在桌面時(shí)，與端點(diǎn)A的水平距離是多少？（3）乒乓球落在桌面上彈起，與滿足＝．①用含的代數(shù)式表示；②球網(wǎng)高度為0.14米，球桌長(zhǎng)（1.4×2）米．若球彈起后，恰好有唯一的擊球點(diǎn)，可以將球沿直線扣殺到點(diǎn)A，求的值．【答案】解：以點(diǎn)A為原點(diǎn)，以桌面中線為軸，乒乓球運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檎较颍⑵矫嬷苯亲鴺?biāo)系．（1）由表格中的數(shù)據(jù)，可得＝0.4（秒）．答：當(dāng)為0.4秒時(shí)，乒乓球達(dá)到最大高度．（2）由表格中數(shù)據(jù)，可畫出關(guān)于的圖象，根據(jù)圖象的形狀，可判斷是的二次函數(shù)．可設(shè)＝．將（0，0.25）代入，可得＝．∴＝．當(dāng)＝0時(shí)，＝，＝（舍去），即乒乓球與端點(diǎn)A的水平距離是米．（3）①由（2）得乒乓球落在桌面上時(shí)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（，0）．代入＝，得＝0，化簡(jiǎn)整理，得＝．②由題意可知，扣殺路線在直線＝上．由①，得＝．令＝，整理，得＝0．當(dāng)＝＝0時(shí)符合題意．解方程，得＝，＝．當(dāng)＝時(shí)，求得＝，不符合題意，舍去．當(dāng)＝時(shí)，求得＝，符合題意．答：當(dāng)＝時(shí)，能恰好將球沿直線扣殺到點(diǎn)A．3.（2015四川省自貢市，22，1分）觀察下表：序號(hào)123…圖形…我們把某格中字母和所得的多項(xiàng)式稱為特征多項(xiàng)式，例如第1格的“特征多項(xiàng)式”為，回答下列問題：（1）第3格的“特征多項(xiàng)式”為________，第4格的“特征多項(xiàng)式”為________，第格的“特征多項(xiàng)式”為________（為正整數(shù)）；（2）若第1格的“特征多項(xiàng)式”的值為－10，第2格的“特征多項(xiàng)式”的值為－16，①求，的值；②在此條件下，第格的“特征多項(xiàng)式”是否有最小值．若有，求出最小值和相應(yīng)的值；若沒有，說(shuō)明理由．【答案】解：（1），，．（2）①依題意，得．解得．②設(shè)最小值為W，則依題意得：W＝＝＝．答：有最小值為－18，相應(yīng)的值為3．4.（2015四川省自貢市，23，12分）如圖，己知拋物線＝（≠0）的對(duì)稱軸為直線＝－1，且拋物線經(jīng)過A（1，0），C（0，3）兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)B．（1）若直線＝經(jīng)過B，C兩點(diǎn)，求直線BC和拋物線的解析式；（2）在拋物線的對(duì)稱軸＝－1上找－點(diǎn)M，使點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）設(shè)點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱軸＝－1上的－個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求使△BPC為直角三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】解：（1）依題意得：，解得．∴拋物線解析式為＝．∵對(duì)稱軸＝－1，且拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），∴把B（－3，0），C（0，3）分別代入直線＝得，解得．∴直線＝的解析式為＝．（2）設(shè)直線BC與對(duì)稱軸＝－1的交點(diǎn)為M，則此時(shí)MA＋MC的值最?。眩剑?代入直線＝得，＝2．∴M（－1，2）．即當(dāng)點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小時(shí)M的坐標(biāo)為（－1，2）．（注：本題只求M坐標(biāo)沒說(shuō)要證明為何此時(shí)MA＋MC的值最小，所以答案沒證明MA＋MC的值最小的原因）（3）設(shè)P（－1，），又B（－3，0），C（0，3），∴BC2＝18，PB2＝＝，PC2＝＝．①若點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)，則BC2＋PB2＝PC2，即＝，解得＝－2．②若點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，則BC2＋PC2＝PB2，即＝，解得＝4．③若點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，則PB2＋PC2＝BC2，即＝18，解得＝，＝．綜上所述P的坐標(biāo)為（－1，－2）或（－1，4）或（－1，）或（－1，）．5.（2015四川省遂寧市，25，12分）如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過A(－2，0)，B(4，0)，C(0，3)三點(diǎn)．(1)求該拋物線的解析式；(2)在y軸上是否存在點(diǎn)M，使△ACM為等腰三角形，若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足要求的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)若點(diǎn)P(t，0)為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)(不與A、B重合)，過P作y軸的平行線，記該直線右側(cè)與△ABC圍成的圖形面積為S，試確定S與t的函數(shù)關(guān)系式．【答案】(1)；(2)M1(0，3＋)，M2(0，3－)，M3(0，－3)，M4(0，)；(3)．【解析】解：(1)由y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過A(－2，0)，B(4，0)，C(0，3)，設(shè)函數(shù)解析式為，將C(0，3)代入，得3＝－8a，得a＝，所以解析式為，；(2)設(shè)M(0，m)，則AC＝，CM＝，AM＝，①當(dāng)AC＝CM，得13＝(m－3)2，得m＝3±，得M1(0，3＋)，M2(0，3－)，②當(dāng)AC＝AM，得13＝m2＋4，得m＝3(舍去)或m＝－3，所以M3(0，－3)；③當(dāng)CM＝AM，得(m－3)2＝m2＋4，－6m＋9＝4，得m＝，所以M4(0，)(3)分兩種情況，①當(dāng)－2＜t≤0時(shí)，如圖a，由P(t，0)，得AP＝t－2，OP＝－t，由PK∥y軸交AC于K，所以△APK∽△AOC，所以，得，得，所以S＝＝，即：S＝(－2＜t≤0)，②當(dāng)0＜t＜4時(shí)，如圖b，由P(t，0)，得OP＝t，PB＝4－t，由PH∥y軸交BC于點(diǎn)H，所以△BPH∽△POC，所以，得PH＝，所以S＝＝．即：S＝(0＜t＜4)．6．（2015四川省巴中市，31，12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A（－2，0）、C（8，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D．（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）如圖1，連接BC，在線段BC上是否存在點(diǎn)E，使得△CDE為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖2，若點(diǎn)P（m，n）是該二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（其中m＞0，n＜0），連接PB，PD，BD，求△BDP的面積的最大值即此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】解：（1）依題意，把點(diǎn)A（－2，0）、C（8，0）代入二次函數(shù)解析式，得解得∴二次函數(shù)解析式為．（2）存在點(diǎn)E，使得△CDE為等腰三角形．依題意，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，0）．OB=4，OC=8，BC．直線BC的解析式為y=x－4．有如下情形：①當(dāng)CE=DE時(shí)，過點(diǎn)E作EF⊥OC，∴點(diǎn)F為DC中點(diǎn)．∴DF=（OC－OD）=．∴OF=．在直線BC的解析式中，令x=，得y=．∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為．②當(dāng)CD=CE時(shí)，過點(diǎn)E作EG⊥OC，∴EG∥BO，∴△CEG∽△CBO．∴，，∴OG=8－．在直線BC的解析式中，令x=8－，得y=．∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為．③當(dāng)CD=DE時(shí)，過點(diǎn)E作EH⊥OC．設(shè)E的坐標(biāo)為，∴OH=x，HE=，DH=3－x．在Rt△HDE中，，∴25=．整理，得．解得x1=0，x2=8（舍去）．此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，坐標(biāo)為（0，－4）．（3）如圖，過點(diǎn)P作PH⊥OB于點(diǎn)H．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為．∴所以當(dāng)時(shí)，最大，最大值為．此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為．7.（2015福建省福州市，26，13分）如圖，拋物線與x軸交于O、A兩點(diǎn)，P為拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線y=x+m與對(duì)稱軸交于點(diǎn)Q.(1)這條拋物線的對(duì)稱軸是；直線PQ與x軸所夾銳角的度數(shù)是；(2)若兩個(gè)三角形面積滿足，求m的值；(3)當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方的拋物線上時(shí)，過點(diǎn)C(2，2)的直線AC與直線PQ交于點(diǎn)D，①求PD+DQ的最大值；②求PD·DQ的最大值.【答案】解：(1)x=2；45°.(2)設(shè)直線PQ交x軸于點(diǎn)B，分別過點(diǎn)O、A作PQ的垂線，垂足分別為E、F.(顯然，當(dāng)點(diǎn)B在OA的延長(zhǎng)線上時(shí)，不成立.①如圖所示，當(dāng)點(diǎn)B落在線段OA上時(shí)，，由△OBE∽△ABF得，∴AB=3OB.∴.由得點(diǎn)A（4,0），∴OB=1，∴B(1，0).∴1+m=0，∴m=－1.②如圖所示，當(dāng)點(diǎn)B落在線段AO的延長(zhǎng)線上時(shí)，，由△OBE∽△ABF得，∴AB=3OB.∴.由得點(diǎn)A（4,0），∴OB=2，∴B(－2，0).∴－2+m=0，∴m=2.綜上所述，當(dāng)m=－1或2時(shí)，.(3)①如圖所示，過點(diǎn)C作CH∥x軸交直線PQ于點(diǎn)H，則△CHQ是等腰三角形.∵∠CDQ=45°+45°=90°，∴AD⊥PH，∴DQ=DH，∴PD+DQ=PH.過點(diǎn)P作PM⊥CH于點(diǎn)M，則△PMH是等腰直角三角形.∴.∴當(dāng)PM最大時(shí)，PH最大.∴當(dāng)點(diǎn)P在拋物線的頂點(diǎn)處時(shí)，PM取得最大值，此時(shí)PM=6.∴PH的最大值為.即PD+DQ的最大值為.解法2：如圖所示，過點(diǎn)P作PE⊥x軸，交AC于點(diǎn)E，作DF⊥CQ于點(diǎn)F，則△PDE、△CDQ、△PFQ是等腰直角三角形.設(shè)點(diǎn)P()，則E()，F(xiàn)().∴，PF=PQ=|2－x|，∴點(diǎn)Q()，∴，∴（0＜x＜4）.∴當(dāng)x=2時(shí)，PD+DQ的最大值為.②由①可知：PD+DQ≤.設(shè)PD=a，則DQ≤.∴PD·DQ≤.∵當(dāng)點(diǎn)P在拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，，∴PD·DQ≤18.∴PD·DQ的最大值為18.附加說(shuō)明：（對(duì)a的取值范圍的說(shuō)明）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為()，延長(zhǎng)PM交AC于N.PD=a.∵＜0，0＜n＜4，∴當(dāng)時(shí)，由最大值為.∴0＜a≤.8.（2015山東省青島市，22，10分）如圖，隧道的截面由拋物線和長(zhǎng)方形構(gòu)成，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是12m，寬的4m.按照?qǐng)D中所示的直角坐標(biāo)系，拋物線可以用表示，且拋物線上的點(diǎn)C到墻面OB的水平距離為3m，到地面OA的距離為m.(1)求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式，并計(jì)算出拱頂D到地面OA的距離；(2)一輛貨運(yùn)汽車載一長(zhǎng)方體集裝箱后高為6m，寬為4m，如果隧道內(nèi)設(shè)雙向行車道，那么這輛貨車能否安全通過？(3)在拋物線型拱壁上需要安裝兩排燈，使它們離地面的高度相等.如果燈離地面的高度不超過8m，那么兩排燈的水平距離最小是多少米？【答案】解：(1)由題意得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，），∴，解得，∴該拋物線的函數(shù)關(guān)系式為.∵，∴拱頂D到地面OA的距離為10.(2)當(dāng)x=6+4=10時(shí)，，∴這輛貨車能安全通過.(3)當(dāng)y=8時(shí)，，即，∴，∴兩排燈的水平距離的最小值是：(m).9.（2015重慶B卷，26，12分）如圖，拋物線與x軸交與A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C.點(diǎn)D和點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，直線AD與y軸相交于點(diǎn)E.（1）求直線AD的解析式；（2）如圖1，直線AD上方的拋物線上有一點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG⊥AD于點(diǎn)G，作FH平行于x軸交直線AD于點(diǎn)H，求△FGH的周長(zhǎng)的最大值；（3）點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，以A，M，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是AM為邊的矩形，若點(diǎn)T和點(diǎn)Q關(guān)于AM所在直線對(duì)稱，求點(diǎn)T的坐標(biāo).【答案】（１）y＝x+1，（２）；（3）或【解析】解：⑴AD：y＝x+1；⑵過點(diǎn)F作x軸的垂線，交直線AD于點(diǎn)M，易證△FGH≌△FGM故設(shè)則FM=則C=故最大周長(zhǎng)為⑶①若AP為對(duì)角線如圖，由△PMS∽△MAR可得由點(diǎn)的平移可知故Q點(diǎn)關(guān)于直線AM的對(duì)稱點(diǎn)T為②若AQ為對(duì)角線如圖，同理可知P由點(diǎn)的平移可知Q故Q點(diǎn)關(guān)于直線AM的對(duì)稱點(diǎn)T為10.（2015四川省瀘州市）如圖，已知二次函數(shù)的圖象M經(jīng)過A(－1，0),B(4，0),C(2，－6)三點(diǎn)。（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）點(diǎn)G是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)G與線段AC的端點(diǎn)不重合），若△ABG與△ABC相似，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；【出處：21教育名師】（3）設(shè)圖象M的對(duì)稱軸為，點(diǎn)是圖象M上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△ACD的面積為時(shí)，點(diǎn)D關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為E，能否在圖象M和上分別找到點(diǎn)P、Q，使得以點(diǎn)D、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形。若能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由?！敬鸢浮拷猓海?）設(shè)拋物線解析式為，根據(jù)題意得，解得a=1,b=－3,c=－4∴二次函數(shù)的解析式為：（2）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,根據(jù)題意得，解得k=－2,b=－2∴AC的解析式為y=－2x－2∵△ABG∽△ABC∴∵AB=3－(－1)=4，AC=∴AG=設(shè)G點(diǎn)坐標(biāo)為（a,－2a－2）,則解得a=∴G點(diǎn)坐標(biāo)為（）（3）如圖，分別過點(diǎn)D、C作DE⊥AB、CF⊥AB,分別交AB于點(diǎn)E、F則∵G點(diǎn)坐標(biāo)為（m,n）∴n=∵－1＜m＜2∴AE=m+1,FE=2－m,DE=,CF=6∴解得m=∴G點(diǎn)坐標(biāo)（）∴E點(diǎn)坐標(biāo)（）當(dāng)DE為對(duì)角線時(shí)，則P為拋物線頂點(diǎn)，其坐標(biāo)為（）；當(dāng)DE為一邊時(shí)，則PQ=DE=2，則P點(diǎn)橫坐標(biāo)為－0.5，3.5，P點(diǎn)坐標(biāo)為（），（）11.（2015浙江省湖州市，3，分）如圖，已知拋物線C1：y＝a1x2＋b1x＋c1和C2：y＝a2x2＋b2x＋c2都經(jīng)過原點(diǎn)，頂點(diǎn)分別為A、B，與x軸的另一交點(diǎn)分別為M、N．如果點(diǎn)A與點(diǎn)B，點(diǎn)M與點(diǎn)N都關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱，則稱拋物線C1和C2為姐妹拋物線．請(qǐng)你寫出一對(duì)姐妹拋物線C1和C2，使四邊形ANBM恰好是矩形，你所寫的一對(duì)拋物線解析式是＿＿＿＿和＿＿＿＿．【答案】答案不唯一，如：和．【解析】這類題答案不唯一，考試中為節(jié)省時(shí)間計(jì)，越簡(jiǎn)單越好，越特殊越好．因?yàn)橐笏倪呅蜰BMA是矩形，所以兩條拋物線必是關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形，為簡(jiǎn)單起見，若Rt△ANM是∠ANM＝30°的直角三角形，相對(duì)簡(jiǎn)單，此時(shí)，不妨設(shè)A(1，)，則M(2，0)，設(shè)右邊拋物線的解析式為y＝ax2＋bx，代入A、M的坐標(biāo)，可求得其解析式為，另一條也易得．這樣的姐妹拋物線還可以源源不斷寫出．12.（2015浙江省湖州市，1，分）(本小題12分)已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A(0，2)，B(1，0)分別在y軸和x軸的正半軸上，點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)．現(xiàn)將線段BA繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)經(jīng)過點(diǎn)D．(1)如圖1，若該拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O，且a＝．①求點(diǎn)D的坐標(biāo)及該拋物線的解析式；②連結(jié)CD．問：在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得∠POB與∠BCD互余？若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)如圖2，若該拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)經(jīng)過點(diǎn)E(1，1)，點(diǎn)Q在拋物線上，且滿足∠QOB與∠BCD互余．若符合條件的Q點(diǎn)的個(gè)數(shù)是4個(gè)，請(qǐng)直接寫出a的取值范圍．【答案】【解析】解：(1)①過點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，如圖所示．∵∠DBF＋∠ABO＝90°，∠BAO＋∠ABO＝90°，∴∠DBF＝∠BAO，又∵∠AOB＝∠BFD＝90°，AB＝BD，∴△AOB≌△BFD，∴DF＝BO＝1，BF＝AO＝2，∴D點(diǎn)坐標(biāo)是(3，1)．根據(jù)題意，得，c＝0，且a×32＋b×3＋c＝1，∴b＝，∴該拋物線解析式為．②∵C、D兩點(diǎn)縱坐標(biāo)都為1，∴CD∥x軸，∴∠BCD＝∠ABO，∴∠BAO與∠BCD互余，若要使得∠POB與∠BCD互余，則需滿足∠POB＝∠BAO，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，)，(Ⅰ)當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，過點(diǎn)P作PG⊥x軸于點(diǎn)G，則tan∠POB＝tan∠BAO，即，∴，解得x1＝0(舍去)，x2＝，＝，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是(，)，(Ⅱ)當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，過點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H，則,∴，解得x1＝0(舍去)，x2＝．∴＝，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是(，)．綜上所述，在拋物線上存在點(diǎn)P1(，)，P2(，)，使得∠POB與∠BCD互余．(2)a的取值范圍是a＜或．13.（2015浙江省金華市，24，12分）如圖，拋物線y＝ax2＋c(a≠0)與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于B，C兩點(diǎn)(點(diǎn)C在x軸正半軸上)，△ABC為等腰直角三角形，且面積為4.現(xiàn)將拋物線沿BA方向平移，平移后的拋物線過點(diǎn)C時(shí)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E，其頂點(diǎn)為F，對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為H.(1)求a，c的值.(2)連結(jié)OF，試判斷△OEF是否為等腰三角形，并說(shuō)明理由.(3)先將一足夠大的三角板的直角頂點(diǎn)Q放在射線AF或射線HF上，一直角邊始終過點(diǎn)E，另一直角邊與y軸相交于點(diǎn)P.是否存在這樣的點(diǎn)Q，使以點(diǎn)P，Q，E為頂點(diǎn)的三角形與△POE全等？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】解：（1）∵△ABC為等腰直角三角形，∴OA＝BC，又∵△ABC的面積＝BC×OA＝4，即＝4，∴OA＝2，∴A，B，C，∴c＝2，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，有，解得，∴，c＝2.（2）△OEF是等腰三角形.理由如下：∵A，B，∴直線AB的函數(shù)表達(dá)式為，又∵平移后的拋物線頂點(diǎn)F在射線BA上，∴設(shè)頂點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，m＋2），∴平移后的拋物線函數(shù)表達(dá)式為，∵拋物線過點(diǎn)C，∴，解得∴平移后的拋物線函數(shù)表達(dá)式為，即.…1分當(dāng)y＝0時(shí)，，解得∴E（10，0），OE＝10，又F（6，8），OH＝6，F(xiàn)H＝8，∴又∵，∴OE＝OF，即△OEF為等腰三角形.（3）點(diǎn)Q的位置分兩種情形.情形一、點(diǎn)Q在射線HF上.當(dāng)點(diǎn)P在軸上方時(shí)，如圖2.由于△PQE≌△POE，∴，在Rt△QHE中，，∴.當(dāng)點(diǎn)P在軸下方時(shí)，如圖3，有，過P點(diǎn)作于點(diǎn)，則有PK＝6，在Rt中，，∵，∴，∵，∴，又∵，∴∽，∴，即，解得，∴.情形二、點(diǎn)在射線AF上.當(dāng)時(shí)，如圖4，有，∴四邊形POEQ為矩形，∴的橫坐標(biāo)為10，當(dāng)時(shí)，，∴.當(dāng)時(shí)，如圖5.過作y軸于點(diǎn)，過E點(diǎn)作x軸的垂線交QM于點(diǎn)N.設(shè)的坐標(biāo)為，∴，，，在中，有，即，解得，當(dāng)時(shí)，如圖5，，∴，當(dāng)時(shí)，如圖6，，∴.綜上所述，存在點(diǎn)，，，，，使以P，Q，E三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△POE全等.14.（2015山東省德州市，24，12分）已知拋物線y=－mx2+4x+2m與x軸交于點(diǎn)A(α,0),B(β,0),且.(1)求拋物線的解析式.(2)拋物線的對(duì)稱軸為l，與y軸的交點(diǎn)為C，頂點(diǎn)為D，點(diǎn)C關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為E.是否存在x軸上的點(diǎn)M、y軸上的點(diǎn)N，使四邊形DNME的周長(zhǎng)最?。咳舸嬖?，請(qǐng)畫出圖形（保留作圖痕跡），并求出周長(zhǎng)的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.(3)若點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)Q在x軸上，當(dāng)以點(diǎn)D、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).【答案】解：(1)由題意可知，α，β是方程－mx2+4x+2m=0的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系可得：α+β=,αβ=－2.∵,∴,即.∴m=1.∴拋物線解析式為y=－x2+4x+2.(2)存在x軸上的點(diǎn)M，y軸上的點(diǎn)N，使得四邊形DNME的周長(zhǎng)最小.∵y=－x2+4x+2=－(x－2)2+6.∴拋物線的對(duì)稱軸l為x=2,頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，6）.又∵拋物線與y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2）,點(diǎn)E與點(diǎn)C關(guān)于l對(duì)稱，∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（4，2），作點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D＇，點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E＇.則D＇坐標(biāo)為（－2，6），E＇坐標(biāo)為（4，－2），連接D＇E＇.交x軸于M，交y軸N.此時(shí)，四邊形DNME的周長(zhǎng)最小為D＇E＇+DE.如圖1所示.延長(zhǎng)E＇E,D＇D交于一點(diǎn)F.在Rt△D＇E＇F中，D＇F=6，E＇F=8.∴D＇E＇===10,設(shè)對(duì)稱軸l與CE交于點(diǎn)G，在Rt△DGE中，DG=4，EG=2，∴DE===2.∴四邊形DNME的周長(zhǎng)的最小值為10+2.(3)如圖2，P為拋物線上的點(diǎn)，過P作PH⊥x軸，垂足為H.若以點(diǎn)D、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形.則△PHQ≌△DGE.∴PH=DG=4,∴|y|=4.∴當(dāng)y=4時(shí)，－x2+4x+2=4，解得x=2±,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2－，4），（2+，4），（2+，－4），（2－，－4）.15.（2015四川省達(dá)州市，23，8分）閱讀與應(yīng)用：閱讀1：a、b為實(shí)數(shù)，且a＞0，b＞0，因?yàn)?，所以，從而（?dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)）．閱讀2：若函數(shù)（m＞0，x＞0，m為常數(shù)），由閱讀1結(jié)論可知：，所以當(dāng)即時(shí)，函數(shù)的最小值為．閱讀理解上述內(nèi)容，解答下列問題：?jiǎn)栴}1：已知一個(gè)矩形的面積為4，其中一邊長(zhǎng)為x，則另一邊長(zhǎng)為，為，求當(dāng)x＝__________時(shí)，周長(zhǎng)的最小值為__________．問題2：已知函數(shù)y1＝x＋1（x＞－1）與函數(shù)y2＝x2＋2x＋10（x＞－1），當(dāng)x＝__________時(shí)，的最小值為__________．問題3：某民辦學(xué)習(xí)每天的支出總費(fèi)用包含以下三個(gè)部分：一是教職工工資4900元；二是學(xué)生生活費(fèi)成本每人10元；三是其他費(fèi)用．其中，其他費(fèi)用與學(xué)生人數(shù)的平方成正比，比例系數(shù)為0.01．當(dāng)學(xué)校學(xué)生人數(shù)為多少時(shí)，該校每天生均投入最低？最低費(fèi)用是多少元？（生均投入＝支出總費(fèi)用÷學(xué)生人數(shù)）【答案】2，8；，；當(dāng)學(xué)校學(xué)生人數(shù)為700人時(shí)，該校每天生均投入最低，最低費(fèi)用是24元．【解析】解：?jiǎn)栴}1因?yàn)閤＞0，4＞0，所以，當(dāng)即時(shí)，取最小值8．問題2由題意得，因?yàn)閤＞－1，所以x＋1＞0，所以，當(dāng)即時(shí)，取最小值．問題3設(shè)學(xué)校學(xué)生人數(shù)為x人，生均投入為y元，依題意得：，因?yàn)閤＞0，所以，當(dāng)即x=700時(shí)，y取最小值24．答：當(dāng)學(xué)校學(xué)生人數(shù)為700人時(shí)，該校每天生均投入最低，最低費(fèi)用是24元．16.（2015四川省達(dá)州市，25，12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，∠AOC的平分線交AB于點(diǎn)D，E為BC的中點(diǎn)，已知A（0，4）、C（5，0），二次函數(shù)的圖象拋物線經(jīng)過A、C兩點(diǎn)．（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）F、G分別為x軸、y軸上的動(dòng)點(diǎn)，首尾順次連接D、E、F、G構(gòu)成四邊形DEFG，求四邊形DEFG周長(zhǎng)的最小值；（3）拋物線上是否存在點(diǎn)P，時(shí)△ODP的面積為12？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】【解析】解：（1）將A（0，4）、C（5，0）代入得，解得，∴該二次函數(shù)的表達(dá)式為．（2）∵四邊形OABC為矩形，∴∠BAO＝∠AOC＝90°，AB＝OC＝5，BC＝OA＝4∴B（5，4），∵E為BC中點(diǎn)，∴E（5，2），∵OD平分∠AOC，∴∠AOD＝∠DOC＝45°，∴∠ADO＝∠AOD＝45°，∴AD＝OA＝4，∴D（4，4），作D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D′，作E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E′，連接D′G、E′F，則D′（－4，4），E′（5，－2），且D′G＝DG，E′F＝EF，四邊形DEFG的周長(zhǎng)＝DE＋EF＋FG＋GD＝DE＋E′F＋FG＋GD′≥DE＋E′D′，根據(jù)勾股定理，，，∴四邊形DEFG周長(zhǎng)的最小值是．（3）設(shè)△ODP邊OD上的高為h，根據(jù)勾股定理，∵，∴，如圖，過O作MN⊥OD交OD于O，使得，過M、N分別做MH⊥y軸，NI⊥x軸，∵∠AOD＝∠DOC＝45°，∴∠OMH＝∠NIO＝45°＝∠AOD＝∠DOC，∴MH＝OH，OI＝NI，根據(jù)勾股定理MH2＋OH2＝OM2，OI2＋NI2＝ON2，∴MH＝OH＝OI＝NI＝3，∴M（－3，3），N（3，－3），分別過M、N作OD的平行線l1、l2，設(shè)lOD：y＝kx，將D代入得4＝4k，解得k＝1，∴l(xiāng)OD：y＝x，設(shè)l1：y＝x＋b1，l2：y＝x＋b2，將M代入l1，N代入l2得，解得，∴l(xiāng)1：y＝x＋6，l2：y＝x－6．將l1與拋物線解析式聯(lián)立得，解得，；將l2與拋物線解析式聯(lián)立得，解得，；綜上，存在點(diǎn)P，使得△ODP的面積為12，符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為：、、、．17.（2015湖南省長(zhǎng)沙市，25，10分）在直角坐標(biāo)系中，我們不妨將橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱之為“中國(guó)結(jié)”．（1）求函數(shù)的圖像上所有“中國(guó)結(jié)”的坐標(biāo)；（2）若函數(shù)（，為常數(shù)）的圖像上有且只有兩個(gè)“中國(guó)結(jié)”，試求出常數(shù)的值，與相應(yīng)“中國(guó)結(jié)”的坐標(biāo)；（3）若二次函數(shù)（為常數(shù)）的圖像與軸相交得到兩個(gè)不同的“中國(guó)結(jié)”，試問該函數(shù)的圖像與軸所圍成的平面圖形中（含邊界），一共包含有多少個(gè)“中國(guó)結(jié)”？【答案】（1）（2），；，（3）6個(gè).【解析】解：（1）；（2）若函數(shù)（，為常數(shù)）的圖像上有且只有兩個(gè)“中國(guó)結(jié)”，則，當(dāng)時(shí)，“中國(guó)結(jié)”為；當(dāng)時(shí)，“中國(guó)結(jié)”為．（3）令，則有，解得，，∴，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有整數(shù)解，即有“中國(guó)結(jié)”存在．此時(shí)函數(shù)為此拋物線的頂點(diǎn)為，故滿足條件的“中國(guó)結(jié)”有：共計(jì)6個(gè)．18.（2015湖南省長(zhǎng)沙市，26，10分）若關(guān)于的二次函數(shù)（，，，，是常數(shù)）與軸交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，（），與軸交于點(diǎn)，其圖像頂點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）當(dāng)，時(shí)，求與的值；（2）當(dāng)時(shí)，試問能否為等邊三角形？判斷并證明你的結(jié)論；（3）當(dāng)（）時(shí)，記，的面積分別為，，若，且，求的值．(第26題圖)【答案】（1）；（2）時(shí)，為等邊三角形；（3）【解析】解：（1）令的兩根為．把，代入，得解得，故方程為：，解得另一根為．（2）當(dāng)時(shí)，，整理得，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，∵頂點(diǎn)∴∴∴（舍去）當(dāng)時(shí)，，重合，故不能組成等邊三角形．（3）由得，，即，∴．由得，∴．∴（舍）∴方程可化為，又∵，所以，解得19.（2015山東臨沂，26，13分）在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，直線與y軸交于點(diǎn)A，與直線交于點(diǎn)B，點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C。求過點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；P為拋物線上一點(diǎn)，它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為Q。當(dāng)四邊形PBQC為菱形時(shí)，求點(diǎn)p的坐標(biāo)；若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t（－1<t<1）,當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PBQC面積最大，并說(shuō)明理由?！敬鸢浮浚?）（2）①，②t=0【解析】解：（1）所以所以x=1y=－1所以B（－1,1）因?yàn)辄c(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C，所以C（1，－1）因?yàn)橹本€與y軸交于點(diǎn)A，所以A(0，－1)設(shè)拋物線為過A、B、C所以解之得所以拋物線為（2）①因?yàn)閷?duì)角線互相垂直平分的四邊形為菱形所以與BC垂直的直線為y=x所以所以所以所以，②因?yàn)樗倪呅蜳BQC面積最大所以三角形BPC的面積最大，所以P離開BC的距離最遠(yuǎn)，因?yàn)椋?<t<1所以點(diǎn)p在直線BC的下方。設(shè)過P點(diǎn)與BC平行的直線為+b當(dāng)+b與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)p到直線的距離最遠(yuǎn)。所以所以所以所以△==0所以b=1所以x=0即t=0故答案為（1）（2）①，②t=020.（2015四川省涼山州市，28，12分）如圖，已知拋物線y=x2﹣(m+3)x+9的頂點(diǎn)C在x軸正半軸上，一次函數(shù)y=x+3與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，與x、y軸分別交于D、E兩點(diǎn)（1）求m的值；（2）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)P(a，b)(﹣3＜a＜1)是拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)△PAB的面積是△ABC面積的2倍時(shí)，求a、b的值.【答案】（1）3；（2）A(1，4)，B(6，9)；（3）a=﹣1，b=16.【解析】解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)在x軸上，∴它與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，∴(m+3)2﹣4×9=0，解得m=3或m=－9，又，即，∴m=3；（2）由（1）可得拋物的解析式為y=x2﹣6x+9.解方程組，得或，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，4)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6，9)；（3）如圖，連接AC，BC，CE.∵當(dāng)y=0時(shí)，x=﹣3，∵當(dāng)x=0時(shí)，y=3，∴點(diǎn)D(﹣3，5)，E(0，3)，∴OD=OE=3，又∵頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3，0)∴OC=6，∴△CED是直角三角形，且CE⊥BD，∴CE為△ABC的AB邊上的高，過C作直線CF∥AB，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為(﹣3，0)∴EF=6，即直線CF可以看作直線y=x+3向下平移6個(gè)單位得到的，將直線y=x+3向上平移12個(gè)單位得到的直線的解析式為y=x+15，又∵△PAB的面積是△ABC的面積的2倍，∴點(diǎn)P是直線y=x+15與拋物線y=x2﹣6x+9.的交點(diǎn)坐標(biāo)，由，得或，又點(diǎn)P(a，b)(﹣3＜a＜1)，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣1，16)∴a=﹣1，b=16.21.（2015浙江省臺(tái)州市，23，12）如圖，在多邊形ABCDE中，∠A=∠AED=∠D=90°，AB=5，AE=2，ED=3．過點(diǎn)E作EF//CB交AB于點(diǎn)F，F(xiàn)B=1，過AE上的點(diǎn)P作PQ//AB交線段EF于點(diǎn)Q，交折線BCD于點(diǎn)Q，設(shè)AP=x，PO·OQ=y（1）①延長(zhǎng)BC交ED于點(diǎn)M，則MD=______，DC=______；②求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)a≤x≤（a＞0）時(shí)，9a≤y≤6b，求a，b的值；（3）當(dāng)1≤y≤3時(shí)，請(qǐng)直接寫出x的取值范圍．【答案】（1）①2，1；②（2）（3）.【解答】解：（1）①，；②∵，∴.在△中，，∴.∵，∴.∵，∴．當(dāng)時(shí)，如圖1所示，（第（第23題圖1）M∵，，∴四邊形是平行四邊形．∴.∴．當(dāng)時(shí)，如圖2所示，（第（第23題圖2）∵，∴．∵，∴四邊形是矩形．∴．∴．∴（2）關(guān)于的函數(shù)圖象如圖3所示．（第（第23題圖3）當(dāng)時(shí)，隨著的增大而減小，所以解得（3）.22.(2015廣東省廣州市，25，14分)(本小題滿分14分)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)與軸相交于點(diǎn)A(x1，0)，B(x1，0)．與軸交于點(diǎn)C，且O，C兩點(diǎn)之間的距離為3，x1?x2＜0，|x1|＋|x2|＝4，點(diǎn)A，C在直線y2＝－3x2＋t上．(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)當(dāng)y1隨著x的增大而增大時(shí)，求自變量的取值范圍；(3)將拋物線y1向左平移n(n＞0)個(gè)單位，記平移后y隨著x的增大而增大的部分為P，直線y2向下平移n個(gè)單位，當(dāng)平移后的直線與P有公共點(diǎn)時(shí)，求2n2－5n的最小值．【答案】解：(1)令x＝0，則y＝c，∴C(0，c)∵OC的距離為3，∴|c|＝3，即c＝±3∴C(0，3)或C(0，－3)(2)∵x1x2＜0∴x1x2異號(hào)①若C(0，3)，即c＝3把C(0，3)代入y2＝－3x＋t，則0＋t＝3，即t＝3∴y2＝－3x＋3把A(x1，0)代入y2＝－3x＋3，則－3x1＋3＝0，即x1＝1∴A(1，0)∵x1x2異號(hào)，x1＝1＞0∴x2＜0∵|x1|＋|x2|＝4∴1－x2＝4，x2＝－3，則B(－3，0)代入y1＝ax2＋bx＋3得，解得：y1＝－x2＋－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，則當(dāng)x≤－1時(shí)，y隨x增大而增大．②若C(0，－3)，即c＝－3把C(0，－3)代入y2＝－3x＋t，則0＋t＝－3，即t＝－3∴y2＝－3x－3把A(x1，0)代入y2＝－3x－3，則－3x1－3＝0，即x1＝－1∴A(－1，0)∵x1x2異號(hào)，x1＝－1＜0∴x2＞0∵|x1|＋|x2|＝4∴1＋x2＝4，x2＝3，則B(3，0)代入y1＝ax2＋bx＋3得，解得：y1＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，則當(dāng)x≥1時(shí)，y隨x增大而增大．綜上所述，若c＝3，當(dāng)y隨x增大而增大時(shí)，x≤－1若c＝－3，當(dāng)y隨x增大而增大時(shí)，x≥1(3)①若c＝3，則y1＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，y2＝－3x＋3y1向左平移n個(gè)單位后則解析式為：y3＝－(x＋1＋n)2＋4則當(dāng)x≤－1－n時(shí)，y隨x增大而增大．y2向下平移n個(gè)單位后則解析式為：y4＝－3x＋3－n要使平移后直線與P有公共點(diǎn)，則當(dāng)x＝－1－n，y3≥y4即－(－1－n＋1＋n)2＋4≥－3(－1－n)＋3－n，解得，n≤－1∵n＞0，n≤－1不符合條件，應(yīng)舍去．②若c＝－3，則y1＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，y2＝－3x－3y1只向左平移n個(gè)單位后則解析式為：y3＝(x－1＋n)2－4則當(dāng)x≥1－n時(shí)，隨x增大而增大．y2向下平移n個(gè)單位后則解析式為：y4＝－3x－3－n要使平移后直線與P有公共點(diǎn)，則當(dāng)x＝1－n，y4≥y3即－3(1－n)－3－n≥(1－n－1＋n)2－4，解得：n≥1綜上所述，n≥12n2－5n＝2－，∴當(dāng)n＝時(shí)，2n2－5n的最小值為－．【解析】(1)依照數(shù)軸上的距離即可得到答案：C(0，3)或C(0，－3)．(2)由(1)知C(0，3)或C(0，－3)．所以要分兩種情況解決．但是兩種情況的解法是一樣的，即：解出y2和A點(diǎn)坐標(biāo)，再求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，代入y1，利用待定系數(shù)法即可解出解析式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)寫出頂點(diǎn)式，自變量的取值范圍即可寫出．(3)在(2)的基礎(chǔ)上，用頂點(diǎn)式去平移，當(dāng)拋物線開口向下時(shí)，二次函數(shù)值要大于等于一次函數(shù)值；當(dāng)拋物線開口向上時(shí)，二次函數(shù)值要小于等于一次函數(shù)值；這樣才能確保有交點(diǎn)，解出以后要保證n＞0，否則舍去即可．在解出的n的取值范圍內(nèi)找2n2－5n的最小值，即2－的最小值．23.（2015安徽，22，12分）為了節(jié)省材料，某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶利用水庫(kù)的岸堤（岸堤足夠長(zhǎng)）為一邊，用總長(zhǎng)為80米的圍網(wǎng)在水庫(kù)中圍成了如圖所示的①②③三塊矩形區(qū)域，而且這三塊矩形區(qū)域的面積相等.設(shè)BC的長(zhǎng)度是x米，矩形區(qū)域ABCD的面積為y平方米.(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并注明自變量x的取值范圍；(2)x取何值時(shí)，y有最大值？最大值是多少？?【答案】(1)(2)y有最大值是300平方米.【解析】解：(1)設(shè)AE=a,由題意,得AE·AD=2BE·BC,AD=BC,∴BE=a,AB=a.由題意,得2x+3a+2·a=80,∴a=20－x.∴,即.(2)∵∴當(dāng)x=20時(shí),y有最大值,最大值是300平方米.24.(2015貴州省安順市,26,14分）如圖，拋物線與直線AB交于點(diǎn)A（－1，0），B（4，），點(diǎn)D是拋物線A，B兩點(diǎn)間部分上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），直線CD與y軸平行，交直線AB于點(diǎn)C，連接AD，BD.（1）求拋物線的解析式；（2）設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，△ADB的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)S取最大值時(shí)的點(diǎn)C的坐標(biāo)。解：(1)由題意得解得：∴y=－x2+2x+.（2）設(shè)直線AB為：y=kx+b，則有解得∴y=x+則D(m,－m2+2m+),C(m,m+),CD=(－m2+2m+)－(m+)=－m2+m+2∴S=(m+1)·CD+(4－m)·CD=×5×CD=×5×(－m2+m+2)=－m2+m+5∵－<0∴當(dāng)m=時(shí),S有最大值。當(dāng)m=時(shí)，m+=×+=∴點(diǎn)C(,).

25.（2015山東省威海市，25，12分）已知：拋物線：交x軸于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C，其對(duì)稱軸為x=1，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E（5，0），與y軸交于點(diǎn)D（0，）．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）P為直線x=1上一點(diǎn)，連接PA，PC．當(dāng)PA=PC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）M為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線MN∥y軸，交拋物線于點(diǎn)N，求點(diǎn)M自點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)E的過程中，線段MN長(zhǎng)度的最大值．【答案】（1）；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1）；（3）12．【解析】解：（1）由題意，得，a=﹣1，∴b＝2．∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．設(shè)，解，得x1＝﹣1，x2＝3．∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0）．設(shè)y＝a（x＋1）（x－5），將點(diǎn)D（0，）代入，得∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．（2）設(shè)直線x＝1與x軸交于點(diǎn)G，過點(diǎn)C作CH⊥PG，垂足為H．由（1）知，C的坐標(biāo)為（0，3）．則HG=OC=3．設(shè)P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為m，在Rt△APG中，AG=2，PG=m．∴．在Rt△CHP中，CH=OG=1，HP=3－m．∴．∵AP=CP，∴．解，得m＝1．∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1）．（3）設(shè)點(diǎn)M，則N．當(dāng)時(shí)，解，得x1=﹣1，．①當(dāng)時(shí)，．顯然，，∴當(dāng)時(shí)，MN有最大值．②當(dāng)時(shí)，．顯然，當(dāng)時(shí)，MN隨x的增大而增大．所以當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)F重合，即x=5時(shí)，MN有最大值：．綜上所述，在點(diǎn)M自點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)E的過程中，線段MN長(zhǎng)度的最大值為12．26.（2015浙江省溫州市，23，12分）如圖拋物線交x軸正半軸于點(diǎn)A，頂點(diǎn)為M，對(duì)稱軸MB交x軸于點(diǎn)B，過點(diǎn)C（2，0）作射線CD交MB于點(diǎn)D（D在x軸上方），OE∥CD交MB與點(diǎn)E，EF∥x軸交CD與點(diǎn)F，作直線MF.（1）求點(diǎn)A、M的坐標(biāo).(2)當(dāng)BD為何值時(shí)，點(diǎn)F恰好落在該拋物線上？（3）當(dāng)BD=1時(shí)，①求直線MF的解析式，丙判斷點(diǎn)A是否落在該直線上.②延長(zhǎng)OE交FM于點(diǎn)G，取CF中點(diǎn)P，連結(jié)PG，△FPG，四邊形DEGP，四邊形OCDE的面積分別記為S1，S2，S3，則S1：S2：S3=_________________.解：（1）令y=0，則－x2+6x=0，解得x1=0，x2=6，∴A（6,0），∴對(duì)稱軸是直線x=3，∴M（3,9）.（2）∵OE∥CF，OC∥EF，C（2,0），∴EF=OC=2，∴BC=1，∴點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為5，∵點(diǎn)E落在拋物線y=－x2+6x上，∴F（5，5），BE=5.∵,∴DE=2BD,∴BE=3BD,∴BD=.（3）①當(dāng)BD=1時(shí)，BE=3，∴F（5，3）.設(shè)MF的解析式為y=kx+b，將M（3,9），F(xiàn)（5，3）代入，得，解得，∴y=－3x+18.∵當(dāng)x=6時(shí)，y=－3×6+18=0，∴點(diǎn)A落在直線MF上.②因?yàn)锽D=1,BC=1,所以△BDC為等腰直角三角形,所以△OBE為等腰直角三角形,所以CD=,CF=OE=3,所以DP=,PF=,根據(jù)MF及OE解析式求得點(diǎn)G的坐標(biāo)為（，），作GN⊥EF于點(diǎn)N，則EN=GN=，所以EG=,S△FPG，S梯形DEGP，S梯形OCDE的高相等,所以三者面積比等于底之比故S△FPG:S梯形DEGP:S梯形OCDE=PF：（DP+EG）：（DC+OE）=：（+）：（3+1）=：2：4=3：4：8。27.（2015四川資陽(yáng)，24，12分）已知直線y=kx+b（k≠0）過點(diǎn)F（0，1），與拋物線y=x2相交于B、C兩點(diǎn).（1）如圖13－1，當(dāng)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為1時(shí)，求直線BC的解析式；（2）在（1）的條件下，點(diǎn)M是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作y軸的平行線，與拋物線交于點(diǎn)D，是否存在這樣的點(diǎn)M，使得以M、D、O、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖13－2，設(shè)(m<0)，過點(diǎn)的直線l∥x軸，BR⊥l于R，CS⊥l于S，連接FR、FS．試判斷△RFS的形狀，并說(shuō)明理由．www.21－cn－【答案】解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)C在拋物線上，所以C（1，）．又因?yàn)橹本€BC過C、F兩點(diǎn)，故得方程組，解之，得，所以直線BC的解析式為：．要使以M、D、O、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，則MD=OF．設(shè)M（x1,），則D（x1，）．因?yàn)镸D∥y軸，所以MD=，由MD=OF，可得，=1\*GB3①當(dāng)時(shí)，解得x1=0（舍）或x1=，所以M（，）；=2\*GB3②當(dāng)時(shí)，解得，所以M（，）或M（，）．綜上所述，存在這樣的點(diǎn)M，使以M、D、O、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，M點(diǎn)坐標(biāo)為（，）或（，）或（，）．過點(diǎn)F作FT⊥BR于點(diǎn)T，因?yàn)辄c(diǎn)B在拋物線上，所以m2=4n.在Rt△BTF中，BF====，因?yàn)閚>0，所以BF=n+1.又因?yàn)锽R=n+1，所以BF=BR.，所以∠BRF=∠BFR.又因?yàn)锽R⊥l，EF⊥l，所以BR∥EF，所以∠BRF=∠RFE，所以∠RFE=∠BFR.同理，可得∠EFS=∠CFS.所以∠RFS=∠BFC=90，所以△RFS是直角三角形.28.（2015四川南充，25，10分））已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A（m－2，0）和B（2m＋1，0）（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為P，對(duì)稱軸為l：x＝1．（1）求拋物線解析式．（2）直線y＝kx＋2(k≠0)與拋物線相交于兩點(diǎn)M（x1，y1），N(x2，y2)（x1＜x2），當(dāng)最小時(shí)，求拋物線與直線的交點(diǎn)M和N的坐標(biāo)．（3）首尾順次連接點(diǎn)O，B，P，C構(gòu)成多邊形的周長(zhǎng)為L(zhǎng)．若線段OB在x軸上移動(dòng)，求L最小值時(shí)點(diǎn)O，B移動(dòng)后的坐標(biāo)及L的最小值．OOyxl【答案】（1）；（2）,；（3）,；

【解析】解：解：（1）令y=0，得由韋達(dá)定理可知：；又拋物線的對(duì)稱軸為，即∴解得∴∴拋物線的解析式為………3分（2）由可得……………4分∴∴當(dāng)時(shí)，取到最小值2………………5分此時(shí)，∴直線解析式為,……6分（3）如圖，設(shè)平移后的O、B兩點(diǎn)為和以、為邊作平行四邊形，則有，再將C點(diǎn)以x軸為對(duì)稱軸對(duì)稱到點(diǎn)，連接,,則有∴………7分又由（1）易知∵∴,∴直線的解析式為與x軸的交點(diǎn)為∵為定值∴當(dāng)取最小值時(shí)L最小此時(shí),則………9分又∴………10分29.（2015山東省菏澤市，21，10分）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，k為正整數(shù).（1）求k的值；（2）當(dāng)此方程有一根為零時(shí)，直線y=x+2與關(guān)于x的二次函數(shù)的圖象交于AB兩點(diǎn)，若M是AB線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN⊥x軸，交二次函數(shù)的圖象于點(diǎn)N，求線段MN的最大值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）將（2）中二次函數(shù)圖象x軸下方的部分沿x軸翻折到軸上方，圖象的其余部分保持不變，翻折后圖象與原圖象x軸上方的部分組成一個(gè)“W”形狀的新圖象，若直線與該新圖象恰好有三個(gè)公共點(diǎn)，求b的值.解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.∴b2－4ac=4－4×＞0，∴k－1＜2，∴k＜3.∵k為正整數(shù)，∴k的值是1,2.把x=0代入到方程=0，得k=1,此時(shí)二次函數(shù)為y=x2+2x.此時(shí)直線y=x+2與二次函數(shù)y=x2+2x的交點(diǎn)A(－2,0),B(1,3),由題意可設(shè)M（m,m+2),其中－2＜m＜1，則N（m,m2+2m),MN=m+2－（m2+2m)=－m2－m+2=－(m+)2+.當(dāng)m=－時(shí)，MN的長(zhǎng)度最大值為，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（－，）；當(dāng)y=x+b過點(diǎn)A時(shí)，直線與新圖象有3個(gè)公共點(diǎn)，（如圖2所示）把A（－2,0）代入y=x+b得b=1，當(dāng)y=x+b與新圖象的封閉部分有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線與新圖象有3個(gè)公共點(diǎn)，由于新圖象的封閉部分與原圖象的封閉部分關(guān)于x軸對(duì)稱，所以其解析式為：y==－x2－2x.∴有一組解，此時(shí)－x2－x－b=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則（）2－4b=0，所以b=.綜上所述，b=1或b=.

30.（2015上海市，24，12分）已知在平面直角坐標(biāo)系XOY中（如圖6），拋物線QUOTEy=ax2-4y=ax2-4與x軸的負(fù)半軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)B，AB=QUOTE252(1)求這條拋物線的表達(dá)式；(2)用含m的代數(shù)式表示線段CO的長(zhǎng)；(3)當(dāng)tan∠ODC=QUOTE32時(shí)，32時(shí)，求∠PAD的正弦值.【答案】（1）這條拋物線的表達(dá)式為QUOTEy=x2-4y=x2-4;(2)線段CO的長(zhǎng)QUOTE2m-42m-4;(3)∠PAD的正弦值QUOTE2222【解析】解：(1)∵AB=QUOTE2525,OB=4∴OA=2，即A(QUOTE-2,0)-2,0)∴二次函數(shù)解析式為QUOTEy=x2-4y=(2)由（1）得，PQUOTE(m,m2-4)(m,∴QUOTElAP:y=m-2x+2(m-2)QUOTElBP:y=mx-4lBP:y=mx-4∴OC=QUOTE2m-4,OD=4m2m-4,OD=4(3)tan∠ODC=QUOTEOCOD=m(m-2)2OCOD=m(m-2)2=QUOTE3解得：m=3，m=－1(舍)作PH⊥x軸∴PH=QUOTEm2-4=5,AH=AO+OH=5m2∴AP=QUOTE5252∴sin∠PAD=QUOTEPHAP=2231.（2015天津市，25，10分）已知二次函數(shù)（為常數(shù)）（1）當(dāng)時(shí)，求二次函數(shù)的最小值；（2）當(dāng)時(shí)，若在函數(shù)值的情況下，只有一個(gè)自變量與其對(duì)應(yīng)，求此時(shí)二次函數(shù)的解析式；（3）當(dāng)時(shí)，若在自變量的值滿足的情況下，與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的最小值為，求此時(shí)二次函數(shù)的解析式.【答案】（1）當(dāng)時(shí)，求二次函數(shù)的解析式為，即：?！喈?dāng)時(shí)，二次函數(shù)的最小值.（2）當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的解析式為.由題意得方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.有，解得.此時(shí)二次函數(shù)的解析式為或.（3）當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的解析式為.它的圖象開口向上，對(duì)稱軸為的拋物線.①若，即，若在自變量的值滿足的情況下，與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值隨的增大而增大。故當(dāng)時(shí)，為最小值.所以，解得（舍），；②若，即.當(dāng)時(shí)，為最小值.所以，解得（舍），（舍）；③若，即.若在自變量的值滿足的情況下，與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值隨的增大而減小.當(dāng)時(shí)，為最小值.所以時(shí)，即，解得（舍），.綜上所述，或.∴此時(shí)二次函數(shù)的解析式為或.【考點(diǎn)解剖】本題考查了二次函數(shù)表達(dá)式的確定、配方法、分類討論等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，并能合理地進(jìn)行分類討論．32.（2015浙江省衢州市，22，10分）小明在課外學(xué)習(xí)中遇到這樣一個(gè)問題：定義：如果二次函數(shù)與滿足，則稱這兩個(gè)函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”。求函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”。小明是這樣思考的，由函數(shù)可知根據(jù)，求出，就能確定這個(gè)函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”。請(qǐng)參考小明的方法解決下面問題：（1）寫出函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”。（2）若函數(shù)與互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，求的值。（3）已知函數(shù)的圖像與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)A，B，C關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為,試證明經(jīng)過點(diǎn)的二次函數(shù)與函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”【答案】(1)(2)－1(3)證明略【解析】解：（1）由題可出的旋轉(zhuǎn)函數(shù)為（2）得m=－3，（3）知由題可知設(shè)經(jīng)過點(diǎn)的二次函數(shù)為將代入得求得二次函數(shù)為經(jīng)判斷，故經(jīng)過點(diǎn)的二次函數(shù)與函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”33.（2015山東濰坊，24，14分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸的交點(diǎn)為A，與軸的交點(diǎn)分別為B（，0），C（，0），且.直線AD//x軸，在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)E（t，0），過點(diǎn)E作平行于y軸的直線與拋物線、直線AD的交點(diǎn)分別為P、Q.（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)時(shí)，求△APC面積的最大值；（3）當(dāng)時(shí)，是否存在點(diǎn)P，使以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似.若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）由題意知，是方程的兩根，∴.由解得∴B（2，0），C（6，0）.則，解得，該拋物線的解析式為.（2）由，當(dāng)時(shí)，則A（0，3），設(shè)直線AC的解析式為，由解得∴直線AC的解析式為.要構(gòu)成△APC，顯然t≠6，下面分兩種情況討論：①當(dāng)時(shí)，設(shè)直線與AC的交點(diǎn)為F，則.∵，∴.∴②當(dāng)6＜t≤8時(shí)，延長(zhǎng)AC交直線l于點(diǎn)H，則H（t，），則PH=，∴此時(shí)，當(dāng)t=8時(shí)，△APC面積的最大值是12＞.綜上，當(dāng)t=8時(shí)，△APC面積的最大值是12．（3）由題意可知：OA=3，OB=2，Q（t，3），t＞2.①如圖，當(dāng)點(diǎn)P在直線AD下方時(shí)，令△AOB∽△AQP，∴，∴，解得：t=0（舍去）或．令△AOB∽△PQA，∴，∴，解得：t=0（舍去）或t=2（舍去）．②當(dāng)P在直線AD上方時(shí)，△AOB∽△AQP，∴，∴解得t=0（舍去），或．令△AOB∽△PQA，∴，∴，解得t=0（舍去）或t=14．綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P有3個(gè)，此時(shí)t的值分別是，，14．34.（2015四川省廣安市，26，10分）如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD一邊AD在x負(fù)半軸上，直線l：經(jīng)過點(diǎn)B（x，1）與x軸、y軸分別交于點(diǎn)H、F，拋物線y=－x2+bx+c頂點(diǎn)E在直線l上.⑴求A、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線經(jīng)過A、D兩點(diǎn)時(shí)的解析式.⑵當(dāng)該拋物線的頂點(diǎn)E（m，n）在直線l上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接EA、ED，試求△EAD的面積S與m之間的函數(shù)解析式.并寫出m的取值范圍.⑶設(shè)拋物線與y軸交于G點(diǎn)，當(dāng)拋物線頂點(diǎn)E在直線l上運(yùn)動(dòng)時(shí)，以A、C、E、G為頂點(diǎn)的四邊形能否成為平行四邊形？若能，求出E點(diǎn)坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.yyADHCBEOxF解：⑴∵直線l：經(jīng)過點(diǎn)B（x，1），∴1=，解得x=－2，∴B（－2，1），∴OA=2，∴OD=AD+OA=3，∴A（－2，0），D（－3，0），∵拋物線y=－x2+bx+c經(jīng)過A、D兩點(diǎn)，∴，解得，∴拋物線經(jīng)過A、D兩點(diǎn)時(shí)的解析式為y=－x2－5x－6.⑵過點(diǎn)E作EM⊥x軸，∵拋物線的頂點(diǎn)E（m，n）在上，∴，∵直線與x軸的交點(diǎn)H（－4，0）∴①當(dāng)E在x軸上方時(shí)，即m＞－4時(shí)，EM=，則S△EAD=，②當(dāng)E在x軸下方時(shí)，即m＜－4時(shí)，EM=－，則S△EAD=，∴，yyADHCBEOxFM⑶∵四邊形ACEG為平行四邊形，∴△ACD≌△GEN，則NG=AD=1，EN=CD=1，∵拋物線y=－x2+bx+c與y軸交點(diǎn)為G（0，c），∴E(－1，c+1)，∵點(diǎn)E在上，∴，解得c=，∴c+1=，∴E(－1，).35.（2015浙江省杭州市，20，10分）設(shè)函數(shù)y=(x－1)[(k－1)x+(k－3)]（k是常數(shù)）.（1）當(dāng)k取1和2時(shí)的函數(shù)y1和y2的圖象如圖所示，請(qǐng)你在同一直角坐標(biāo)系中畫出當(dāng)k取0時(shí)函數(shù)的圖象；（2）根據(jù)圖象，寫出你發(fā)現(xiàn)的一條結(jié)論；（3）將函數(shù)y2的圖象向左平移4個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，得到函數(shù)y3的圖象，求函數(shù)y3的最小值.（第20題）解：(1)當(dāng)k=0時(shí)，y=－（x－1）(x+3),所畫函數(shù)圖象如圖；（2）①圖象都過點(diǎn)（1,0）和點(diǎn)（－1,4）；②圖象總交x軸于點(diǎn)（1,0）；③k取0和2時(shí)的函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)（0,2）中心對(duì)稱；④函數(shù)y=（x－1）[(k－1)x+（x－3）]的圖象都經(jīng)過點(diǎn)（1,0）和（－1,4）；等等.（其他正確結(jié)論也行）（3）平移后的函數(shù)y3的表達(dá)式為：y3=(x+3)2－2，所以當(dāng)x=－3時(shí)，函數(shù)y3的最小值等于－2.（第20題）36.(2015年山東省濟(jì)寧市)（本題滿分11分）如圖，⊙E的圓心E（3，0），半徑為5，⊙E與y軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的上方），與x軸的正半軸相交于點(diǎn)C；直線l的解析式為y=x+4，與x軸相交于點(diǎn)D；以C為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過點(diǎn)B。求拋物線的解析式；判斷直線l與⊙E的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；動(dòng)點(diǎn)P在拋物線上，當(dāng)點(diǎn)P到直線l的距離最小時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及最小距離。解：（1）連接AE由已知得：AE=CE=5，OE=3，在Rt△AOE中，由勾股定理得OA=∵OC⊥AB，∴由垂徑定理得，OB=OA=4，OC=OE+CE=3+5=8，∴A（0，4）B（0，－4）C（8，0）∵拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)C，∴設(shè)拋物線的解析式為y=a,將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入上解析式，得64a=－4，故a=∴y=∴y=為所求拋物線的解析式……3分（2）在直線l的解析式中，令y=0，得，解得所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，0）；當(dāng)x=0時(shí)，y=4，所以點(diǎn)A在直線l上，在Rt△AOE和Rt△DOA中，∵，，∴，∵∠AOE=∠DOA=90°，∴△AOE∽△DOA，∴∠AEO=∠DAO，∵∠AEO+∠EAO=90°，∴∠DAO+∠EAO=90°，即∠DAE=90°，因此，直線l與E相切于點(diǎn)A。…………7分（3）過點(diǎn)P作直線l的垂線段PQ，垂足為Q；過點(diǎn)P作直線PM垂直于x軸，交直線l于點(diǎn)M。設(shè)M（m，），P（，則PM==當(dāng)m=2時(shí)，PM取得最小值。此時(shí)，P（2，），對(duì)于△PQM，∵PM⊥x軸，∴∠QMP=∠DAO=∠AEO，又∵∠PQM=90°，∴△PQM的三個(gè)內(nèi)角固定不變，∴在動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，△PQM的三邊的比例關(guān)系不變，∴當(dāng)PM取得最小值時(shí)，PQ也取得最小值，所以，當(dāng)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，）時(shí)，點(diǎn)P到直線l的距離最小，其最小距離為?！?1分37.（2015江蘇省泰州市，22，10分）（本題滿分10分）已知二次函數(shù)y=x2＋mx＋n的圖像經(jīng)過點(diǎn)P（?3，1），對(duì)稱軸是經(jīng)過（?1,0）且平行于y軸的直線.（1）求m、n的值；（2）如圖，一次函數(shù)y=kx＋b的圖像經(jīng)過點(diǎn)P，與x軸相交于點(diǎn)A，與二次函數(shù)的圖像相交于另一點(diǎn)B，點(diǎn)B在點(diǎn)P的右側(cè)，PA﹕PB=1﹕5，求一次函數(shù)的表達(dá)式．（（第22題圖）解：（1）由題意得，∴m=2，n=－2；（（第22題答圖）（2）分別過點(diǎn)P、B作x軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)C、D，則PC∥BD，∴△APC∽△ABD，∴，∵PA﹕PB=1﹕5，∴，∴BD=6，令x2＋2x－2=6，得x1=2，x2=－4（舍去），∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（2，6），∴，解之，得，∴一次函數(shù)的表達(dá)式為y=x＋4．38.（2015內(nèi)蒙古呼和浩特，25，12分）已知：拋物線y=x2+(2m－1)x+m2－1經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且當(dāng)x<0時(shí)，y隨x的增大而減小.(1)求拋物線的解析式，并寫出y<0時(shí)，對(duì)應(yīng)x的取值范圍;(2)設(shè)點(diǎn)A是該拋物線上位于x軸下方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A作x軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)D，再作AB⊥x軸于點(diǎn)B，DC⊥x軸于點(diǎn)C.①當(dāng)BC=1時(shí)，直接寫出矩形ABCD的周長(zhǎng);②設(shè)動(dòng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a，b)，將矩形ABCD的周長(zhǎng)L表示為a的函數(shù)并寫出自變量的取值范圍，判斷周長(zhǎng)是否存在最大值，如果存在，求出這個(gè)最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo);如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：(1)∵拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0)∴m2－1=0∴m=±1∴y=x2+x或y=x2－3x.∵x<0時(shí)，y隨x的增大而減小，∴y=x2－3x.由圖象知：y<0時(shí)，0<x<3.(2)①當(dāng)BC=1時(shí),由拋物線的對(duì)稱性知點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，從而點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為－2．∴AB=2，所以矩形的周長(zhǎng)為2×（1+2）=6；②∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，b），∴當(dāng)點(diǎn)A在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí)，如圖1，矩形ABCD的一邊BC=3－2a，另一邊AB=3a－a2.周長(zhǎng)L=－2a2+2a+6,其中0＜a＜EQ\F(3,2).當(dāng)點(diǎn)A在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí),如圖,2，矩形的一邊BC=3－(6－2a)=2a－3,另一邊AB=3a－a2，周長(zhǎng)L=－2a2+10a－6，其中EQ\F(3,2)＜a＜3.∴當(dāng)0＜a＜EQ\F(3,2)時(shí)，L=－2(a－EQ\F(1,2))2+EQ\F(13,2)∴當(dāng)a=EQ\F(1,2)時(shí)，L最大=EQ\F(13,2)，A點(diǎn)坐標(biāo)為(EQ\F(1,2),－EQ\F(5,4))；當(dāng)EQ\F(3,2)＜a＜3時(shí)，L=－2(a－EQ\F(5,2))2+EQ\F(13,2)∴當(dāng)a=EQ\F(5,2)時(shí)，L最大=EQ\F(13,2)，A點(diǎn)坐標(biāo)為(EQ\F(5,2),－EQ\F(5,4)).圖1圖239.（2015山東濟(jì)南，28，9分）拋物線y=ax2+bx+4(a≠0)過點(diǎn)A（1，－1），B（5，－1），與y軸交于點(diǎn)C.(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）如圖1，連接CB，以CB為邊作□CBPQ,若P在直線BC上方的拋物線上，Q為坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)，且□CBPQ的面積為30，求點(diǎn)P的坐標(biāo)：(3)如圖2，！?。。。?！O1過A、B、C三點(diǎn)，AE為直徑，點(diǎn)M為?。。。。。。。?個(gè)?。┥系囊粍?dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、E重合），∠MBN為直角，邊BN與ME的延長(zhǎng)線交于N，求線段BN長(zhǎng)度的最大值.【答案】【解析】解：（1）把A（1，－1）B（5，－1）代入－1=a+b+4－1=25a+5b+4∴a=1b=－6∴設(shè)p（，）則S△CBP=15（S△CBP=梯形－兩個(gè)直角三角形）∴∵m＞0∴m=6∴P（6,4）（3）連接AB，EB則可知∠ABE=90°=∠MBN又∵∠EAB=∠EMB∴△EAB∽△NMB∴01在AB的中垂線上∴設(shè)O1（3，m）∵m=2∴O1（3,2）∴E（5,5）∴AB=4，EB=6∵△EAB∽△NMB∴∴∴∴當(dāng)MB為直徑時(shí)，MB最大此時(shí)NB最大∴MB=AE=∴NB==最大40.（2015浙江寧波，23，10分）已知拋物線，其中m是常數(shù).(1)求證：不論m為何值，該拋物線與x軸一定有兩個(gè)公共點(diǎn)；(2)若該拋物線的對(duì)稱軸為直線①求該拋物線的函數(shù)解析式；②該拋物線沿y軸向上平移多少個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的拋物線與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn).【答案】解：(1)證明：∵由y=0得,,∵m≠m+1，∴拋物線與x軸一定有兩個(gè)交點(diǎn)(m，0)，(m+1，0).(2)①∵∴拋物線的對(duì)稱軸為直線,解得m=2，拋物線的函數(shù)解析式為.②∵,∴該拋物線沿y軸向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的拋物線與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn).41.（2015浙江寧波，25，12分）如圖1，點(diǎn)P為∠MON的平分線上一點(diǎn)，以P為頂點(diǎn)的角的兩邊分別與射線OM，ON交于A，B兩點(diǎn)，如果∠APB繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)始終滿足，我們就把∠APB叫做∠MON的智慧角.(第25題圖)(1)如圖2，已知∠MON=90°,點(diǎn)P為∠MON的平分線上一點(diǎn)，以P為頂點(diǎn)的角的兩邊分別與射線OM，ON交于A，B兩點(diǎn)，且∠APB=135°.求證：∠APB是∠MON的智慧角.(2)如圖1，已知∠MON=α(0°<α<90°)，OP=2.若∠APB是∠MON的智慧角，連結(jié)AB，用含α的式子分別表示∠APB的度數(shù)和△AOB的面積.(3)如圖3，C是函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過C的直線CD分別交x軸和y軸于A，B兩點(diǎn)，且滿足BC=2CA，請(qǐng)求出∠AOB的智慧角∠APB的頂點(diǎn)P的坐標(biāo).【答案】解：(1)證明：∵∠MON=90°，P是∠MON平分線上一點(diǎn)，∴∠AOP=∠BOP=∠MON=45°.∵∠AOP+∠OAP+∠APO=180°，∴∠OAP+∠APO=135°.∵∠APB=135，∴∠APO+∠OPB=135°，∴∠OAP=∠OPB,∴△AOP∽△POB，∴,∴,∴∠APB是∠MON的智慧角.(2)∵∠APB是∠MON的智慧角，∴,∴∵P為∠MON平分線上一點(diǎn)，∴∠AOP=∠BOP=∴△AOP∽△POB，∴∠OAP=∠OPB，∴∠APB=∠OPB+∠OPA=∠OAP+∠OPA=180°－,即∠APB=180°－.過A作AH⊥OB于H，∴∵OP=2,∴(3)設(shè)點(diǎn)C(a，b)，則ab=3，過點(diǎn)C作CH⊥OA，垂足為點(diǎn)H，i)當(dāng)點(diǎn)B在y軸的正半軸上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上時(shí)，BC=2CA不可能；當(dāng)點(diǎn)A在x軸的正半軸上時(shí)，∵BC=2CA，∴,∵CH∥OB，∴△ACH∽△ABO,∴,∴OB=3b,OA=.∴.∵∠APB是∠AOB的智慧角，∴,∵∠AOB=90°，OP平分∠AOB，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,).ii)當(dāng)點(diǎn)B在y軸的負(fù)半軸上時(shí)，∵BC=2CA,∴AB=CA.∵∠AOB=∠AHC=90°,又∵∠BAO=∠CAH，∴△ACH≌△ABO，∴OB=CH=b，OA=AH=，∴∵∠APB是∠AOB的智慧角，∴,∵∠AOB=90°，OP平分∠AOB，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,).∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,)或(,).42.（2015四川省綿陽(yáng)市，24，12分）已知拋物線與y軸相交于A點(diǎn)，頂點(diǎn)為M，直線分別與x軸、y軸相交于B、C兩點(diǎn)，并且與直線MA相交于N點(diǎn)．（1）若直線BC和拋物線有兩個(gè)不同交點(diǎn)，求a的取值范圍，并用a表示交點(diǎn)M、A的坐標(biāo)；（2）將△NAC沿著y軸翻折，若點(diǎn)N的對(duì)稱點(diǎn)P恰好落在拋物線上，AP與拋物線的對(duì)稱軸相交于點(diǎn)D，連結(jié)CD，求a的值與△PCD的面積；（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以P、A、C、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）M（－1,1+a）；（2），；（3）存在，當(dāng)P點(diǎn)為和時(shí)，A、C、P、N能夠成平行四邊形．【解析】解：（1）由題意得聯(lián)立，整理得．由，解得．∵a≠0，∴且a≠0．令x=0，得y=a，∴A（0，a）．由，得M（－1,1+a）（2）設(shè)直線MA為，代入A（0，a）、M（－1,1+a）得解得，故直線MA為．聯(lián)立解得．由于P點(diǎn)是N點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，∴，將P點(diǎn)代入，得，解得或（舍去）∴．∴（3）=1\*GB3①當(dāng)點(diǎn)p在y軸左側(cè)時(shí)，由四邊形ACPN為四邊形，則AC與PN相互平分，點(diǎn)P與N關(guān)于原點(diǎn)（0,0）中心對(duì)稱，而故代入得=2\*GB3②點(diǎn)P在y軸右側(cè)時(shí)，由四邊形ACPN為四邊形，則NP//AC且NP=AC，而故代入得解得∴P∴當(dāng)P點(diǎn)為和時(shí)，A、C、P、N能夠成平行四邊形．43.（2015山東煙臺(tái)，24，12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c與⊙M相交于A，B，C，D四點(diǎn)，其中A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)升別為(－1，0)，(0，－2