專題3.2導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性目錄目錄 1一、5年高考?真題感悟 2二、課程標(biāo)準(zhǔn)?考情分析 14【課程標(biāo)準(zhǔn)】 14【考情分析】 15【2026考向預(yù)測】 15三、知識點?逐點夯實 15知識點1、單調(diào)性的基礎(chǔ)問題 15知識點2、討論單調(diào)區(qū)間問題 151、不含參數(shù)單調(diào)性討論 152、含參單調(diào)性討論 15知識點3、求單調(diào)性的解題步驟 16四、重點難點?分類突破 16考點1不含參函數(shù)的單調(diào)性 16考點2含參函數(shù)單調(diào)性 21考點3函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用 26命題點1比較大小或解不等式 26命題點2根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù) 29五、必考題型?分層訓(xùn)練 31A、基礎(chǔ)保分 31B、綜合提升 34TOC\o"1-2"\h\z\u

一、5年高考?真題感悟1．（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的最小值為（

）．A． B．e C． D．【答案】C【難度】0.85【知識點】由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)【分析】根據(jù)在上恒成立，再根據(jù)分參求最值即可求出．【詳解】依題可知，在上恒成立，顯然，所以，設(shè)，所以，所以在上單調(diào)遞增，，故，即，即a的最小值為．故選：C．2．（2023·全國乙卷·高考真題）設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是.【答案】【難度】0.4【知識點】由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)、解不含參數(shù)的一元二次不等式、由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式【分析】原問題等價于恒成立，據(jù)此將所得的不等式進行恒等變形，可得，由右側(cè)函數(shù)的單調(diào)性可得實數(shù)的二次不等式，求解二次不等式后可確定實數(shù)的取值范圍.【詳解】由函數(shù)的解析式可得在區(qū)間上恒成立，則，即在區(qū)間上恒成立，故，而，故，故即，故，結(jié)合題意可得實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.3．（2024·全國甲卷·高考真題）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時，證明：當(dāng)時，恒成立．【答案】(1)見解析(2)見解析【難度】0.65【知識點】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)（含參）的單調(diào)區(qū)間【分析】（1）求導(dǎo)，含參分類討論得出導(dǎo)函數(shù)的符號，從而得出原函數(shù)的單調(diào)性；（2）先根據(jù)題設(shè)條件將問題可轉(zhuǎn)化成證明當(dāng)時，即可.【詳解】（1）定義域為，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為；時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2），且時，，令，下證即可.，再令，則，顯然在上遞增，則，即在上遞增，故，即在上單調(diào)遞增，故，問題得證4．（2023·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線方程為．(1)求的值；(2)設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；(3)求的極值點個數(shù)．【答案】(1)(2)答案見解析(3)3個【難度】0.15【知識點】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）、求已知函數(shù)的極值點、已知切線（斜率）求參數(shù)【分析】（1）先對求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，，從而得到關(guān)于的方程組，解之即可；（2）由（1）得的解析式，從而求得，利用數(shù)軸穿根法求得與的解，由此求得的單調(diào)區(qū)間；（3）結(jié)合（2）中結(jié)論，利用零點存在定理，依次分類討論區(qū)間，，與上的零點的情況，從而利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值點的關(guān)系求得的極值點個數(shù).【詳解】（1）因為，所以，因為在處的切線方程為，所以，，則，解得，所以.（2）由（1）得，則，令，解得，不妨設(shè)，，則，易知恒成立，所以令，解得或；令，解得或；所以在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，即的單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為和.（3）由（1）得，，由（2）知在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，，即所以在上存在唯一零點，不妨設(shè)為，則，此時，當(dāng)時，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則單調(diào)遞增；所以在上有一個極小值點；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，則，故，所以在上存在唯一零點，不妨設(shè)為，則，此時，當(dāng)時，，則單調(diào)遞增；當(dāng)時，，則單調(diào)遞減；所以在上有一個極大值點；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，則，故，所以在上存在唯一零點，不妨設(shè)為，則，此時，當(dāng)時，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則單調(diào)遞增；所以在上有一個極小值點；當(dāng)時，，所以，則單調(diào)遞增，所以在上無極值點；綜上：在和上各有一個極小值點，在上有一個極大值點，共有個極值點.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題第3小題的解題關(guān)鍵是判斷與的正負(fù)情況，充分利用的單調(diào)性，尋找特殊點判斷即可得解.5．（2023·全國乙卷·高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程．(2)若函數(shù)在單調(diào)遞增，求的取值范圍．【答案】(1)；(2).【難度】0.4【知識點】由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)、求在曲線上一點處的切線方程（斜率）【分析】（1）由題意首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后由導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切線的斜率和切點坐標(biāo)，最后求解切線方程即可；（2）原問題即在區(qū)間上恒成立，整理變形可得在區(qū)間上恒成立，然后分類討論三種情況即可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，，則，據(jù)此可得，所以函數(shù)在處的切線方程為，即.（2）由函數(shù)的解析式可得，滿足題意時在區(qū)間上恒成立.令，則，令，原問題等價于在區(qū)間上恒成立，則，當(dāng)時，由于，故，在區(qū)間上單調(diào)遞減，此時，不合題意;令，則，當(dāng)，時，由于，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，滿足題意.當(dāng)時，由可得，當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，即單調(diào)遞減，注意到，故當(dāng)時，，單調(diào)遞減，由于，故當(dāng)時，，不合題意.綜上可知：實數(shù)得取值范圍是.【點睛】方法點睛：（1）求切線方程的核心是利用導(dǎo)函數(shù)求切線的斜率，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運算法則求導(dǎo)，合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時要進行換元.（2）由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法①函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，實際上就是在該區(qū)間上(或)恒成立．②函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間，實際上就是(或)在該區(qū)間上存在解集．6．（2023·全國甲卷·高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；(2)若，求的取值范圍．【答案】(1)在上單調(diào)遞減(2)【難度】0.4【知識點】用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題【分析】（1）代入后，再對求導(dǎo)，同時利用三角函數(shù)的平方關(guān)系化簡，再利用換元法判斷得其分子與分母的正負(fù)情況，從而得解；（2）法一：構(gòu)造函數(shù)，從而得到，注意到，從而得到，進而得到，再分類討論與兩種情況即可得解；法二：先化簡并判斷得恒成立，再分類討論，與三種情況，利用零點存在定理與隱零點的知識判斷得時不滿足題意，從而得解.【詳解】（1）因為，所以，則，令，由于，所以，所以，因為，，，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減.（2）法一：構(gòu)建，則，若，且，則，解得，當(dāng)時，因為，又，所以，，則，所以，滿足題意；當(dāng)時，由于，顯然，所以，滿足題意；綜上所述：若，等價于，所以的取值范圍為.法二：因為，因為，所以，，故在上恒成立，所以當(dāng)時，，滿足題意；當(dāng)時，由于，顯然，所以，滿足題意；當(dāng)時，因為，令，則，注意到，若，，則在上單調(diào)遞增，注意到，所以，即，不滿足題意；若，，則，所以在上最靠近處必存在零點，使得，此時在上有，所以在上單調(diào)遞增，則在上有，即，不滿足題意；綜上：.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題方法二第2小問討論這種情況的關(guān)鍵是，注意到，從而分類討論在上的正負(fù)情況，得到總存在靠近處的一個區(qū)間，使得，從而推得存在，由此得解.7．（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時，．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【難度】0.65【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)（含參）的單調(diào)區(qū)間【分析】（1）先求導(dǎo)，再分類討論與兩種情況，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得解；（2）方法一：結(jié)合（1）中結(jié)論，將問題轉(zhuǎn)化為的恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證得即可.方法二：構(gòu)造函數(shù)，證得，從而得到，進而將問題轉(zhuǎn)化為的恒成立問題，由此得證.【詳解】（1）因為，定義域為，所以，當(dāng)時，由于，則，故恒成立，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，令，解得，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增；綜上：當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）方法一：由（1）得，，要證，即證，即證恒成立，令，則，令，則；令，則；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則恒成立，所以當(dāng)時，恒成立，證畢.方法二：令，則，由于在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以要證，即證，即證，令，則，令，則；令，則；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則恒成立，所以當(dāng)時，恒成立，證畢.8．（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）（1）證明：當(dāng)時，；（2）已知函數(shù)，若是的極大值點，求a的取值范圍．【答案】（1）證明見詳解（2）【難度】0.15【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題、根據(jù)極值點求參數(shù)、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點【分析】（1）分別構(gòu)建，，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，進而可得結(jié)果；（2）根據(jù)題意結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)可知只需要研究在上的單調(diào)性，求導(dǎo)，分類討論和，結(jié)合（1）中的結(jié)論放縮，根據(jù)極大值的定義分析求解.【詳解】（1）構(gòu)建，則對恒成立，則在上單調(diào)遞增，可得，所以；構(gòu)建，則，構(gòu)建，則對恒成立，則在上單調(diào)遞增，可得，即對恒成立，則在上單調(diào)遞增，可得，所以；綜上所述：.（2）令，解得，即函數(shù)的定義域為，若，則，因為在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故是的極小值點，不合題意，所以.當(dāng)時，令因為，且，所以函數(shù)在定義域內(nèi)為偶函數(shù)，由題意可得：，（i）當(dāng)時，取，，則，由（1）可得，且，所以，即當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，結(jié)合偶函數(shù)的對稱性可知：在上單調(diào)遞減，所以是的極小值點，不合題意；（ⅱ）當(dāng)時，取，則，由（1）可得，構(gòu)建，則，且，則對恒成立，可知在上單調(diào)遞增，且，所以在內(nèi)存在唯一的零點，當(dāng)時，則，且，則，即當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，結(jié)合偶函數(shù)的對稱性可知：在上單調(diào)遞增，所以是的極大值點，符合題意；綜上所述：，即，解得或，故a的取值范圍為.【點睛】關(guān)鍵點睛：1.當(dāng)時，利用，換元放縮；2.當(dāng)時，利用，換元放縮.二、課程標(biāo)準(zhǔn)?考情分析【課程標(biāo)準(zhǔn)】（1）結(jié)合實例，借助幾何直觀了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．（2）能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（其中多項式函數(shù)一般不超過三次）．【5年考情分析】5年考情分析考題示例考點分析難易程度（簡單、一般、較難、很難）2024年新I卷，第10題,6分利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間一般2024年新I卷，第18題,17分利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性很難2024年新Ⅱ卷，第11題,6分利用導(dǎo)數(shù)研究具體函數(shù)單調(diào)性較難2024年新Ⅱ卷，第16題,15分利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)單調(diào)性很難2023年新I卷，第19題,12分含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間很難2023年新Ⅱ卷，第22題,12分利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(不含參)很難2022年新I卷，第7題,5分用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性一般【2026考向預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較大，分值為13-17分。本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般會在解答題考查，同時小題也會考查用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，且近年來導(dǎo)數(shù)和其他版塊知識點關(guān)聯(lián)密集，是新高考備考的重要內(nèi)容。三、知識點?逐點夯實知識點一：單調(diào)性基礎(chǔ)問題條件恒有結(jié)論函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上可導(dǎo)＞0f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增＜0f(x)在(a，b)上單調(diào)遞減＝0f(x)在(a，b)上是常數(shù)函數(shù)知識點二：討論單調(diào)區(qū)間問題1、不含參數(shù)單調(diào)性討論（1）求導(dǎo)化簡定義域（化簡應(yīng)先通分，盡可能因式分解；定義域需要注意是否是連續(xù)的區(qū)間）；（2）變號保留定號去（變號部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨討論的部分．定號部分：已知恒正或恒負(fù)，無需單獨討論的部分）；（3）求根作圖得結(jié)論（如能直接求出導(dǎo)函數(shù)等于0的根，并能做出導(dǎo)函數(shù)與x軸位置關(guān)系圖，則導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段已知，可直接得出結(jié)論）；（4）未得結(jié)論斷正負(fù)（若不能通過第三步直接得出結(jié)論，則先觀察導(dǎo)函數(shù)整體的正負(fù)）；（5）正負(fù)未知看零點（若導(dǎo)函數(shù)正負(fù)難判斷，則觀察導(dǎo)函數(shù)零點）；（6）一階復(fù)雜求二階（找到零點后仍難確定正負(fù)區(qū)間段，或一階導(dǎo)函數(shù)無法觀察出零點，則求二階導(dǎo)）；求二階導(dǎo)往往需要構(gòu)造新函數(shù)，令一階導(dǎo)函數(shù)或一階導(dǎo)函數(shù)中變號部分為新函數(shù)，對新函數(shù)再求導(dǎo)．（7）借助二階定區(qū)間（通過二階導(dǎo)正負(fù)判斷一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，進而判斷一階導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段）；2、含參數(shù)單調(diào)性討論（1）求導(dǎo)化簡定義域（化簡應(yīng)先通分，然后能因式分解要進行因式分解，定義域需要注意是否是一個連續(xù)的區(qū)間）；（2）變號保留定號去（變號部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨討論的部分．定號部分：已知恒正或恒負(fù)，無需單獨討論的部分）；（3）恒正恒負(fù)先討論（變號部分因為參數(shù)的取值恒正恒負(fù)）；然后再求有效根；（4）根的分布來定參（此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內(nèi)和多根之間的大小關(guān)系）；（5）導(dǎo)數(shù)圖像定區(qū)間；知識點3、求單調(diào)性的解題步驟（1）、確定函數(shù)的定義域；（2）、求，令，解此方程，求出它在定義域內(nèi)的一切實數(shù)；（3）、把函數(shù)的間斷點（即的無定義點）的橫坐標(biāo)和的各實根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點把函數(shù)的定義域分成若干個小區(qū)間；（4）、確定在各小區(qū)間內(nèi)的符號，根據(jù)的符號判斷函數(shù)在每個相應(yīng)小區(qū)間內(nèi)的增減性．特別注意：單調(diào)遞增；單調(diào)遞增；單調(diào)遞減；單調(diào)遞減．四、重點難點?分類突破考點1不含參函數(shù)的單調(diào)性例1、（2025·廣西柳州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程為.(1)求a，b的值；(2)求的單調(diào)區(qū)間與極值.【答案】(1)，.(2)遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，有極小值，無極大值.【難度】0.65【知識點】已知切線（斜率）求參數(shù)、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）、求已知函數(shù)的極值【分析】（1）先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運算法則求出；再根據(jù)切點、切線和導(dǎo)數(shù)的幾何意義之間的關(guān)系列出方程組即可求解.（2）令可求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，令可求出函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，進而可得到函數(shù)的極值.【詳解】（1）由可得：，，則.由直線方程可得：直線斜率為：.因為函數(shù)的圖象在點處的切線方程為，所以，解得：.故，.（2）由（1）可得，.令，得；令，得；則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，函數(shù)有極小值.故函數(shù)的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，有極小值，無極大值.例2、（2025·北京西城·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(3)若函數(shù)在區(qū)間上只有一個極值點，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)，(3)【難度】0.65【知識點】求在曲線上一點處的切線方程（斜率）、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）、根據(jù)極值點求參數(shù)【分析】（1）當(dāng)時，求出的值，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得所求切線的方程；（2）當(dāng)時，求出，利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）令，分析可知，函數(shù)在上有且只有一個異號零點，對實數(shù)a的取值進行分類討論，結(jié)合題意可得出關(guān)于實數(shù)a的不等式，綜合可得出實數(shù)a的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，，則，所以，曲線在點處的切線方程為，（2）當(dāng)時，，所以該函數(shù)的定義域為，，由，解得或，所以當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，（3）因為，則，令，因為函數(shù)在區(qū)間上只有一個極值點，則函數(shù)在上有一個零點，當(dāng)時，對任意的，，不合乎題意；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為，只需，合乎題意；當(dāng)時，函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸為直線，因為，只需，不合乎題意，舍去.綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是.【變式訓(xùn)練1】、（2025·海南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的圖象在處的切線與直線平行．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若，且時，，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減(2)【難度】0.4【知識點】已知切線（斜率）求參數(shù)、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）、由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)【分析】（1）對于求導(dǎo)，根據(jù)切線與直線平行，求出，代入進行求解單調(diào)區(qū)間；（2）由，恒成立，轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為對恒成立，從而求解范圍.【詳解】（1）的導(dǎo)數(shù)為，可得的圖象在處的切線斜率為，由切線與直線平行，可得，即，，由，可得，由，可得，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）因為，若，由，即恒成立，設(shè)，所以在為增函數(shù)，即對恒成立，可得在恒成立，由的導(dǎo)數(shù)為，當(dāng)，可得，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，即在處取得極小值，且為最小值，可得，解得，則實數(shù)的取值范圍是．【變式訓(xùn)練2】、（2025·山東青島·模擬預(yù)測）已知函數(shù)(1)當(dāng)時，求單調(diào)區(qū)間(2)討論極值點的個數(shù).【答案】(1)答案見詳解(2)答案見詳解【難度】0.65【知識點】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）、求已知函數(shù)的極值點【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分、兩種情況討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)性，即可得到函數(shù)的極值點個數(shù).【詳解】（1）當(dāng)時，定義域為，且，令，解得或（舍去），即，當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）函數(shù)的定義域為，由題意知，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，即極值點的個數(shù)為個；當(dāng)時，令，，可得，易知，故解關(guān)于的方程得，（舍去），，即，則，所以當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減，即極值點的個數(shù)為個.綜上，當(dāng)時，極值點的個數(shù)為個；當(dāng)時，極值點的個數(shù)為個.考點2含參函數(shù)的單調(diào)性例3、（2025·安徽馬鞍山·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若有極小值，且極小值大于，求的取值范圍．【答案】(1)分類討論，答案見解析；(2)【難度】0.65【知識點】根據(jù)極值求參數(shù)、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)（含參）的單調(diào)區(qū)間【分析】（1）求出函數(shù)的定義域，對函數(shù)進行求導(dǎo)，分和來討論單調(diào)性；（2）由（1）求出函數(shù)的極小值，列出不等式，將不等式轉(zhuǎn)化為，令，研究函數(shù)的單調(diào)性來求解即可．【詳解】（1）的定義域為．①時，，此時在上單調(diào)遞減；②時，令得，令得，此時在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）由（1）知時，，整理得．令，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，故在上單調(diào)遞增，又，所以的取值范圍為．例4、（2025·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)求證：.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【難度】0.65【知識點】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)（含參）的單調(diào)區(qū)間【分析】（1）先求出導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)判別式分類討論得出單調(diào)區(qū)間即可；（2）先證明不等式，再代入，累加法計算證明即可.【詳解】（1），，對于方程，當(dāng)，即時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)，即時，方程有兩個不相等的實數(shù)根，，且，當(dāng)或時，；當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，.（2）由（2）知，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，當(dāng)時，，即當(dāng)時，.，，即，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，累加可得，，即，所以.【變式訓(xùn)練3】、已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)試比較與的大??；(3)當(dāng)時，數(shù)列滿足，，，證明：.【答案】(1)見解析(2)(3)證明見解析【難度】0.4【知識點】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式、求等比數(shù)列前n項和、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)（含參）的單調(diào)區(qū)間【分析】（1）首先對函數(shù)求導(dǎo)，然后討論的取值范圍，相應(yīng)的得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）令，結(jié)合（1）可得，變形得，可得，進而可得；（3）由題意可得，進而構(gòu)造函數(shù)證明，再構(gòu)造函數(shù)，，證明，進而求證即可.【詳解】（1）首先對函數(shù)求導(dǎo)，則，當(dāng)時，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，令，得；令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，令，得；令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由（1）知，當(dāng)時，，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得最大值，即，變形得（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）.令，則（因為），即.（3）當(dāng)時，，則，由，則，設(shè)，，則，當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，則時，，則時，，因為，則，，，.設(shè)，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，即時，，則，所以，則，即，則，即.【變式訓(xùn)練4】、（2025·江西九江·三模）已知函數(shù)，其中．(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，證明：．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【難度】0.4【知識點】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)（含參）的單調(diào)區(qū)間【分析】（1）求出的導(dǎo)數(shù)，再按分類討論求出單調(diào)區(qū)間.（2）把代入，等價變形不等式，再構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)求出最小值情況即可.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得，①若，即，函數(shù)在上單調(diào)遞減；②若，即，由，得；由，得或，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減；③若，即，由，得；由，得或，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時，函數(shù)的定義域為，不等式，設(shè)，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則存在唯一的實數(shù)，使，即，當(dāng)時，；當(dāng)時，，函數(shù)在上遞減，在上遞增，因此，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，即，所以.考點3函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用命題點1比較大小或解不等式例5、（2025·全國·一模）已知函數(shù)，則的解集為.【答案】【難度】0.65【知識點】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)解析式可判斷函數(shù)為偶函數(shù)，從而可求不等式的解.【詳解】函數(shù)的定義域為，，當(dāng)時，，得，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，得，在上單調(diào)遞增，又，故為上的偶函數(shù)，故等價于，即，兩邊平方解得或.所以不等式解集為，故答案為：例6、（2025·湖北黃岡·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若，則（

）A． B．C． D．【答案】A【難度】0.65【知識點】用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性、比較函數(shù)值的大小關(guān)系【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)可得為R上的增函數(shù)，利用單調(diào)性比較大小即可.【詳解】由，得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，而，，即在R上單調(diào)遞增，，，即.故選：A.【變式訓(xùn)練5】、（2025·黑龍江齊齊哈爾·二模）已知函數(shù)，則不等式的解集為．【答案】【難度】0.65【知識點】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、由函數(shù)奇偶性解不等式【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再判斷函數(shù)的奇偶性，即可求解不等式．【詳解】的定義域為，∵，∴函數(shù)是上的增函數(shù)，∵，∴函數(shù)是奇函數(shù)，∴由得，∴，∴不等式的解集為．故答案為：．【變式訓(xùn)練6】、（2025·河南·二模）已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【難度】0.65【知識點】用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性、解分段函數(shù)不等式、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式【分析】分類討論解不等式,再構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性求解．【詳解】當(dāng)時，，得，解得或（舍去）；當(dāng)時，令，則，所以當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，所以，即當(dāng)時，恒成立，所以當(dāng)時，不等式無解.綜上，所求不等式的解集為.故選：A.命題點2根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)例7．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【難度】0.85【知識點】由函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)【分析】利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的關(guān)系將問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題，從而得解.【詳解】因為，所以，因為在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即，則在上恒成立，因為在上單調(diào)遞減，所以，故.故選：A.例8、（2012高三下·山東日照·月考）若在上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是.【答案】【難度】0.85【知識點】由函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合常變量分離法進行求解即可.【詳解】，因為在上是減函數(shù)，所以在上恒成立，即，當(dāng)時，的最小值為，所以，故答案為：【點睛】本題考查導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，及含參數(shù)的不等式有解求參數(shù)的取值范圍問題.【變式訓(xùn)練7】、（2024·江西上饒·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．或【答案】C【難度】0.65【知識點】由函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)、求正切（型）函數(shù)的值域及最值【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)遞增轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)不小于0恒成立，分離參數(shù)求解即可.【詳解】因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，由在上單調(diào)遞增知，，所以，故選：C【變式訓(xùn)練8】、若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【難度】0.65【知識點】由函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)、一元二次不等式在某區(qū)間上有解問題【分析】先求導(dǎo)函數(shù)，遞減小于0，再解含參數(shù)的不等式分類討論即可.【詳解】，由題意知，在上有實數(shù)解，即有實數(shù)解，當(dāng)時，顯然滿足，當(dāng)時，只需綜上所述故答案為：五、分層訓(xùn)練1．（2025·陜西·模擬預(yù)測）已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【難度】0.65【知識點】由函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)【分析】由題意可得恒成立，進而分，兩種情況討論求解即可.【詳解】由，得，因為是上的增函數(shù)，則恒成立，即恒成立，當(dāng)時，，此時不恒成立，不滿足題意；當(dāng)時，等價于對恒成立，則.故選：C.2．（2025·寧夏石嘴山·模擬預(yù)測）已知，且，則下列可能成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【難度】0.65【知識點】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、用導(dǎo)數(shù)