第3講容斥原理

第一關(guān)兩量重疊問(wèn)題

【知識(shí)點(diǎn)】

在日常生活中，人們常常需要統(tǒng)計(jì)一些數(shù)量，在統(tǒng)計(jì)的過(guò)程中，往往會(huì)發(fā)現(xiàn)有些數(shù)量重復(fù)出

現(xiàn)，為了使重復(fù)出現(xiàn)的部分不致被重復(fù)計(jì)算，人們研究出一種新的計(jì)數(shù)方法，既先不考慮重

復(fù)的情況，把包含于某內(nèi)容中的所有對(duì)象的數(shù)目先計(jì)算出來(lái)，然后再把計(jì)數(shù)時(shí)重復(fù)計(jì)算的數(shù)

目排除出去，使計(jì)算的結(jié)果既無(wú)遺漏又無(wú)重復(fù).這種計(jì)數(shù)方法稱(chēng)為包含排除法，也叫做容斥

原理或重疊問(wèn)題.

一般方法：

在解答有關(guān)包含排除問(wèn)題時(shí)，我們常常利用圓圈圖（韋恩圖）來(lái)幫助分析思考.

容斥原理1：兩量重疊問(wèn)題

A類(lèi)與B類(lèi)元素個(gè)數(shù)的總和=A類(lèi)元素的個(gè)數(shù)+B類(lèi)元素個(gè)數(shù)?既是A類(lèi)又是B類(lèi)的元素個(gè)數(shù)

用符號(hào)可表不成：AUB=A+B?ACIB（其中符號(hào)讀作“并*相當(dāng)于中文“和”或者“或”的意

思，符號(hào)“n”讀作“交”，相當(dāng)于中文“且”的意思）.

【例1】“兩會(huì)”是“全國(guó)人民代表大會(huì)”和“中國(guó)人民政治協(xié)商會(huì)議”的簡(jiǎn)稱(chēng)，如果2017年“人大會(huì)議”和“政

協(xié)會(huì)議”均歷時(shí)11天，并且兩個(gè)會(huì)議有9天同時(shí)進(jìn)行.那么，2017年的“兩會(huì)”將一共進(jìn)行多少天？

【答案】13

【例2】H（1）班同學(xué)給“手拉手”小伙伴捐物品，捐衣物的有26人，捐文具的有32人，兩樣都捐的有

18人.捐物品的同學(xué)一共有幾人？

【答案】40

【例3】同學(xué)們?nèi)?dòng)物園游玩，每人至少參觀一個(gè)館.參觀大象館的有10人，參觀猴子館的有15人,

兩個(gè)館都參加的有6人，一共有多少人去動(dòng)物園？

【答案】19

【例4】某班老師建議學(xué)生讀A、B兩本課外讀物，結(jié)果有25人沒(méi)有讀A,有19人沒(méi)有讀B,20人只

讀了1本書(shū)，II人讀過(guò)2本書(shū)，那么該班共有多少人？

【答案】43

【例5】假期中，王老師給三（1）班同學(xué)推薦了《冰雪奇緣》和《瘋狂原始人》兩部動(dòng)畫(huà)片供大家選

擇觀看.兩部電影都看的有36人，兩部電影都沒(méi)看的只有2人；看了《冰雪奇緣》的有40人，看了

《瘋狂原始人》的有38人.三（1）班一共有多少人？

【答案】44

【例6】光輝小學(xué)六年級(jí)在一次語(yǔ)、數(shù)聯(lián)賽中，語(yǔ)文及格的有24人，數(shù)學(xué)及格的有27人，其中語(yǔ)、數(shù)

都及格的有14人，另外還有8人語(yǔ)、數(shù)都沒(méi)及格，六年級(jí)共有學(xué)生多少人？

【答案】45

【例7】三（5）班同學(xué)參加了音樂(lè)、美術(shù)這兩個(gè)課外興趣小組，己知參加音樂(lè)小組的有32人，參加美

術(shù)組的有30人，兩個(gè)小組都參加的有10人，三（5）班共有學(xué)生多少人？

【答案】52

【例8】四（1）班每個(gè)同學(xué)至少參加一項(xiàng)興趣小組，參加美術(shù)小組的有32人，參加書(shū)法小組的有36

人，兩項(xiàng)都參加的有15人，四（1）班有多少人？

【答案】53

【例9】五年級(jí)（1）班每人都至少參加一個(gè)興趣小組，參加語(yǔ)文興趣小組的有45人，參加數(shù)學(xué)興趣小

組的有37人，有20人兩個(gè)小組都參加.這個(gè)班共有多少人？

【答案】62

【例10】一次競(jìng)賽有2題，答對(duì)第一題的有186人，答對(duì)第二題的有143人，全錯(cuò)的有21人，全對(duì)的

51人，問(wèn)參加競(jìng)賽的共有多少人？

【答案】299

[W1U新東方在“五一勞動(dòng)節(jié)唧將發(fā)行新版積分卡.如果舊版積分卡上共出現(xiàn)300位老師，新版積分

卡上共出現(xiàn)400位老師，其中有150位老師在新舊兩版積分卡中都出現(xiàn)了，那么，在新舊兩版積分卡

上共出現(xiàn)了多少位老師？

【答案】550

【例12】六年級(jí)一班春游，帶礦泉水的有18人，帶水果的有16人，這兩種至少帶一種的有28人，求

兩種都帶的有多少人？

【答案】6

【例13】空軍突擊隊(duì)共有25名士兵，每個(gè)人都擅長(zhǎng)射擊和武術(shù)中的一項(xiàng)或者兩項(xiàng)，如果士兵中擅長(zhǎng)射

擊的有20人，擅長(zhǎng)武術(shù)的有12人，則兩項(xiàng)均擅長(zhǎng)的士兵有多少人？

【答案】7

【例14】某天的放學(xué)路上，甲卻乙交流起各自玩過(guò)的電子游戲，他們歸I想起了20個(gè)不同的游戲，其中

甲玩過(guò)8個(gè)，乙玩過(guò)16個(gè)，那么他們都玩過(guò)的游戲有幾個(gè)?

【答案】4

【例15】三（2）班第一小組共有8人，在一次語(yǔ)文和數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中，他們均至少有一門(mén)得了95分以上,

其中語(yǔ)文得95分以上的有5人，數(shù)學(xué)得95分以上的有7人,語(yǔ)文和數(shù)學(xué)均得95分以上的有多少人？

【答案】4

【例16】一次考試，語(yǔ)文得100分的有5人,數(shù)學(xué)得100分的8人，老師發(fā)現(xiàn)這次考試得100分的只有

10人，那么，得雙10（）分的有多少人？

【答案】3

【例17】某校五年一班有40人，其中有28人參加了數(shù)學(xué)小組，30人參加了外語(yǔ)小組，有6人兩個(gè)小組

都沒(méi)有參加，兩個(gè)小組都參加的有多少人？

【答案】24

【例18】六（3）班同學(xué)有23人參加了舞蹈和擊劍興趣小組，其中參加舞蹈興趣小組的有17人，參加

擊劍興趣小組的有20人，兩個(gè)興趣小組都參加的有多少人？

【答案】14

【例19】五（1）班40名同學(xué)采集標(biāo)本，每個(gè)同學(xué)至少要采集一種標(biāo)本.采集昆蟲(chóng)標(biāo)本的有28人，采

集植物標(biāo)本的有19人，兩種標(biāo)本都采集的有多少人？

【答案】7

【例20】學(xué)校開(kāi)運(yùn)動(dòng)會(huì)，某班有30名學(xué)生，其中20人報(bào)名參加賽跑項(xiàng)目，11人報(bào)名參加跳躍項(xiàng)目，兩

項(xiàng)都沒(méi)有報(bào)名的有4人，問(wèn)兩項(xiàng)都參加的有兒人？

【答案】5

【例21】全班50人做2道數(shù)學(xué)題，其中第一道做對(duì)的有40人，第二道做對(duì)的有30人，兩道都做錯(cuò)的

有5人，則兩道都做對(duì)的有多少人？

【答案】25

【例22】六（1）班有45名同學(xué)，17人參加了象棋興趣小組，22人參加了圍棋興趣小組，13人兩個(gè)小

組都沒(méi)有參加，兩個(gè)小組都參加的有多少人，多少人只參加了象棋興趣小組？

【答案】7:10

【例23】一個(gè)班有48個(gè)人，班主任在班會(huì)上問(wèn)：“誰(shuí)完成了語(yǔ)文作業(yè)？靖舉手！”有37人舉手，又問(wèn)：“誰(shuí)

完成了數(shù)學(xué)作業(yè)？請(qǐng)舉手!”有42人舉手，最后問(wèn)：“誰(shuí)語(yǔ)文、數(shù)學(xué)作業(yè)都沒(méi)有完成？“沒(méi)有人舉手，求

這個(gè)班語(yǔ)文、數(shù)學(xué)作業(yè)都完成的人數(shù)。

【答案】31

【例24]新東方準(zhǔn)備成立“滑滑社團(tuán)”，要求必須至少會(huì)滑冰、滑雪中的一項(xiàng)，才有資格成為團(tuán)員.已知

有2015名符合上述要求的人前來(lái)報(bào)名，其中不會(huì)滑冰的有406人，不會(huì)滑雪的有460人，那么，其

中兩種運(yùn)動(dòng)都會(huì)的有多少人。

【答案】1149

【例25】某山區(qū)的村落有人口2476人,全村落的人都會(huì)說(shuō)普通話(huà)或廣東話(huà).調(diào)查所得，會(huì)說(shuō)普通話(huà)的

有1765人，會(huì)說(shuō)廣東話(huà)的有987人.問(wèn)會(huì)說(shuō)普通話(huà)和廣東話(huà)兩種語(yǔ)言的有多少人？

【答案】276

【例26】五(1)班有45人，有的學(xué)生訂了《數(shù)學(xué)報(bào)》，有的學(xué)生訂了《語(yǔ)文報(bào)》，兩種報(bào)紙都訂的有多

少人？

【答案】7

【例27】六二班有45名同學(xué)，現(xiàn)在有兩種雜志要訂，每人至少定一樣其中的同學(xué)訂閱英語(yǔ)報(bào)，的同學(xué)

訂閱數(shù)學(xué)報(bào)，兩種報(bào)紙都訂閱的同學(xué)有多少？

【答案】21

【例28】某班學(xué)生參加數(shù)學(xué)小組的占全班一半，參加語(yǔ)文小組的占45%,兩項(xiàng)都不參加的占25%,兩種

小組都參加的占全班的多少。

【答案】20%

【例29】在1?100的自然數(shù)中，是5的倍數(shù)或是7的倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？

【答案】32

【例30】實(shí)驗(yàn)小學(xué)四年級(jí)二班，參加語(yǔ)文興趣小組的有28人,參加數(shù)學(xué)興趣小組的有29人，有12人

兩個(gè)小組,都參加，這個(gè)班有多少人參加了語(yǔ)文或數(shù)學(xué)興趣小組？

【答案】45

【例31】某區(qū)100名外語(yǔ)教師中，懂英語(yǔ)的75人，懂日語(yǔ)的45人，其中有的教師既懂英沿又懂日語(yǔ),

那么只懂英語(yǔ)的教師有多少人？

【答案】55

【例32】有10()名同學(xué)回答A、B兩個(gè)問(wèn)題.都沒(méi)有回答對(duì)的有10人，答對(duì)A的有75人，答對(duì)B的有

83人，只答對(duì)一題的共有多少人？

【答案】22

【例33]四(I)班有學(xué)生56人，做對(duì)第一道思考題的有29人，兩道思考題都做對(duì)的有7人.做對(duì)第

二道思考題的有多少人？

【答案】34

【例34]某學(xué)校有若干名學(xué)生參加作文和數(shù)學(xué)兩科競(jìng)賽，其中參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的人數(shù)占全部競(jìng)賽總?cè)藬?shù)的,

參加作文競(jìng)賽的占全部競(jìng)賽總?cè)藬?shù)的，兩科都參加的有45人，參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽而未參加作文競(jìng)賽的有

多少人？

【答案】27

【例35】某次調(diào)查看動(dòng)畫(huà)片情況，調(diào)查了40個(gè)小朋友，其中看了《哪咤鬧海》的占，看了《小頭兒子

大頭爸爸》的占，還有8個(gè)小朋友這兩部動(dòng)畫(huà)片都沒(méi)看，這兩部動(dòng)畫(huà)片都看了的小朋友有多少個(gè)？

【答案】3

【例36】六1班有學(xué)生4()人，學(xué)校組織一次運(yùn)動(dòng)會(huì)，全班有參加拔河，參加接力，兩項(xiàng)都參加的最多

有多少人？?jī)身?xiàng)都參加的最少有多少人？?jī)身?xiàng)都不參加的最多有多少人？?jī)身?xiàng)都不參加的最少有多

少人？

【答案】24;4;16;0

【例37】四(1)班共有學(xué)生32人，其中有21人參加美術(shù)興趣小組，有13人參加朗誦興趣小組，有10

人既參加美術(shù)興趣小組又參加朗誦興趣小組，這個(gè)班中沒(méi)有參加興趣小組的有多少人？

【答案】8

【例38】在一次考試中，某班數(shù)學(xué)得1()0分的有17人，語(yǔ)文得100分的有13人，兩科都得100分的有

7人，那么兩科中至少有一科得100分的共有多少人？全班45人中兩科都不得100分的有多少人？

【答案】23：22

【例39】有38人參加考試，語(yǔ)文成績(jī)優(yōu)秀的有25人，數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的有23人，兩門(mén)成績(jī)都優(yōu)秀的有

15人.有多少人兩門(mén)成績(jī)都沒(méi)獲優(yōu)秀？

【答案】5

【例40】四年級(jí)一共有學(xué)生26。人，一次考試中，語(yǔ)文得優(yōu)秀的有120人，數(shù)學(xué)得優(yōu)秀的有166人，兩

科都得優(yōu)秀的有50人，兩科都沒(méi)得優(yōu)秀的有多少人？

【答案】24

【例41】五1班有學(xué)生60人，參加語(yǔ)文興趣小組的有20人，參加數(shù)學(xué)興趣小組的有28人.語(yǔ)、數(shù)小

組都參加的有10人，這兩個(gè)興趣小組都沒(méi)有參加的有多少人？

【答案】22

【例42】某校國(guó)標(biāo)舞團(tuán)共有43人，其中會(huì)拉丁舞的有15人，會(huì)探戈的有13人，兩者都會(huì)的有5人，

那兩種都不會(huì)的有多少人？

【答案】20

【例43】某班共有46人，參加美術(shù)小組的有12人，參加音樂(lè)小組的有23人，有5人兩個(gè)組都參加，

這個(gè)班既沒(méi)參加美術(shù)小組也沒(méi)參加音樂(lè)小組的有多少人？

【答案】16

【例44】五一班有學(xué)生60人，參加語(yǔ)文興趣小組的有20人，參加數(shù)學(xué)興趣小組的有28人，語(yǔ)數(shù)小組

都參加的有10人，這兩個(gè)小組都沒(méi)參加的有多少人？

【答案】22

【例45】某校有500名學(xué)生報(bào)名參加學(xué)科競(jìng)賽，數(shù)學(xué)競(jìng)賽參加者共312名，作文競(jìng)賽參加者共353名，

其中這兩科都參加的有292名，那么這兩科都沒(méi)有參加的人數(shù)為多少人？

【答案】127

【例46】已知集合A二{a,2,3,4),B={I,3,5,b},若AAB={1,2,3},求a和b

【答案】a=l,b=2

【例47】小明喜歡：踢足球、上網(wǎng)、游泳、音樂(lè)、語(yǔ)文、數(shù)學(xué)；小英喜歡：數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、音樂(lè)、陶藝、

跳繩.用圓A、圓B分別表示小明、小英的愛(ài)好，如圖所示，則圖中陰影部分表示什么？

【答案】音樂(lè)、數(shù)學(xué)

【例48]如圖，圓A表示1到50這50個(gè)自然數(shù)中能被3整除的數(shù)，圓B表示這50個(gè)數(shù)中能被5整除

的數(shù)，則陰影部分表示的數(shù)是什么？

【答案】15,30,45

【例49】某班有35人參加了今年的陳省身數(shù)學(xué)周活動(dòng)，這個(gè)班有男生23人.那么該班參加今年活動(dòng)的

女生比沒(méi)有參加今年活動(dòng)的男生多多少人？

【答案】12

【例50】希望小學(xué)的操場(chǎng)上有150名學(xué)生在跳繩和打球.其口女生54名，如果有63名學(xué)生在跳繩，有

42名男牛.在打球，那么至少有多少名女生在跳繩？

【答案】9

第二關(guān)三量重疊問(wèn)題

【知識(shí)點(diǎn)】

在日常生活中，人們常常需要統(tǒng)計(jì)一些數(shù)量，在統(tǒng)計(jì)的過(guò)程中，往往會(huì)發(fā)現(xiàn)有些數(shù)量重復(fù)出

現(xiàn)，為了使重復(fù)出現(xiàn)的部分不致被重復(fù)計(jì)算，人們研究出一種新的計(jì)數(shù)方法，既先不考慮重

復(fù)的情況，把包含于某內(nèi)容中的所有對(duì)象的數(shù)目先計(jì)算出來(lái)，然后再把計(jì)數(shù)時(shí)重復(fù)計(jì)算的數(shù)

目排除出去，使計(jì)算的結(jié)果既無(wú)遺漏又無(wú)重復(fù).這種計(jì)數(shù)方法稱(chēng)為包含排除法，也叫做容斥

原理或重疊問(wèn)題.

一般方法：

在解答有關(guān)包含排除問(wèn)題時(shí)，我們常常利用圓圈圖（韋恩圖）來(lái)幫助分析思考.

容斥原理2：三量重疊問(wèn)題

A類(lèi)、B類(lèi)與C類(lèi)元素個(gè)數(shù)的總和=A類(lèi)元素的個(gè)數(shù)+B類(lèi)元素個(gè)數(shù)+C類(lèi)元素個(gè)數(shù)-既是A類(lèi)

又是B類(lèi)的元素個(gè)數(shù)-既是B類(lèi)又是C類(lèi)的元素個(gè)數(shù)?既是A類(lèi)又是C類(lèi)的元素個(gè)數(shù)+同時(shí)是

A類(lèi)、B類(lèi)、C類(lèi)的元素個(gè)數(shù).

用符號(hào)表示為：AUBUC=A+B+C-AnB-BnC-AAC+AnBnC

【例51]聚會(huì)時(shí)，有5人喝可樂(lè)，有6人喝果汁，有4人喝茶水，其中有3人既喝果汁又喝茶水，有多

少人參加聚會(huì)？

【答案】12

【例52】體育課上，五年級(jí)三班同學(xué)進(jìn)行A、B和C三項(xiàng)測(cè)驗(yàn)，其中有4名同學(xué)三項(xiàng)都不及格，其余每

人至少有一項(xiàng)及格，具體及格人數(shù)如表.那么這個(gè)班共有學(xué)生多少名？

【答案】39

【例53】學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組有26人不是六年級(jí)學(xué)生，25人不是五年級(jí)學(xué)生，現(xiàn)在知道五、六年級(jí)共有

35人參加數(shù)學(xué)興趣小組，這個(gè)小組共有多少人？

【答案】43

【例54】某班同學(xué)參加體育測(cè)試，其中百米得優(yōu)著20人，跳遠(yuǎn)得優(yōu)者18人，又知百米、跳遠(yuǎn)都得優(yōu)者

7人，跳高、百米得優(yōu)者6人，跳高、跳遠(yuǎn)均得優(yōu)者8人，跳高得優(yōu)者22人，全班三項(xiàng)都是優(yōu)秀的有

5人，只有1名同學(xué)各項(xiàng)都沒(méi)達(dá)優(yōu)秀.求全班人數(shù)？

【答案】45

【例55】某班同學(xué)中，26人參加數(shù)學(xué)小組，21人參加了英語(yǔ)小組，18人參加了生物小組.其中8人既

參加了數(shù)學(xué)又參加了生物小組，11人既參加了英語(yǔ)又參加了數(shù)學(xué)小組，6人既參加了英語(yǔ)又參加了生

物小組，該班最多有多少人。

【答案】46

【例56】六(1)班有50人，其中會(huì)跳舞的有39人，會(huì)樂(lè)器的有37人，會(huì)下棋的有48人，這三項(xiàng)一

項(xiàng)都不會(huì)的沒(méi)有，則三項(xiàng)都會(huì)的有多少人？

【答案】24

【例57】有A、B、C三種書(shū)，至少讀過(guò)一種的有58人，讀過(guò)A書(shū)的有32人，讀過(guò)B書(shū)的有24人，

讀過(guò)C書(shū)的有27人，讀過(guò)A、B兩書(shū)的有1()人，讀過(guò)B、C兩書(shū)的有9人，讀過(guò)A、C兩書(shū)的有14

人,三種書(shū)均讀過(guò)的有多少人？

【答案】8

【例58】少年樂(lè)團(tuán)學(xué)生中有170人不是五年級(jí)學(xué)生，有135人不是六年級(jí)學(xué)生.已知五、六年級(jí)學(xué)生共

有205人，求少年樂(lè)團(tuán)中五、六年級(jí)以外的學(xué)生共有多少人？

【答案】50

【例59】在桌面上放置著三個(gè)兩兩重疊的圓紙片(如圖)，它們的面積都是100(cm2)并知A、B兩圓

重疊的面積是20(cm2),A、C兩圓重疊的面積為45(cm2),B、C兩圓重疊面積為31(cm2),三

個(gè)圓共同重疊的面積為15(cm2),求蓋住桌子的總面積是多少平方厘米？

【答案】219

【例60】如圖，甲、乙、丙三個(gè)正方形，它們的邊長(zhǎng)分別是4厘米、6厘米、8厘米.乙的一個(gè)頂點(diǎn)在

中的中心點(diǎn)上，丙的一個(gè)頂點(diǎn)在乙的中心點(diǎn)上，并且甲和丙沒(méi)有交集.這三個(gè)正方形的覆蓋面積是多

少？

【答案】103

【例61]如圖所示，A、B、C分別代表面積為8、9、11的三張不同形狀的紙片，它們重疊放在一起蓋

住的面積是18,且A與B,B與C,C與A公共部分的面枳分別是5、3、4,求A、B、C三個(gè)圖形

公共部分(陰影部分)的面積.

【答案】2

【例6213個(gè)小朋友比賽看誰(shuí)背的古詩(shī)多，小斌會(huì)背25首，小貝會(huì)背9首，小玲會(huì)背16首，小貝會(huì)背

的9首小斌都會(huì)背，小玲會(huì)背的古詩(shī)中有12首小斌都會(huì)背，小斌和小貝一共會(huì)背多少首不同的古詩(shī)；

小斌和小玲一共會(huì)背多少首不同的占詩(shī)？

【答案】25:29

【例63】某班共有學(xué)生48人，其中27人會(huì)游泳，33人會(huì)騎自行車(chē)，40人會(huì)打乒乓球.那么，這個(gè)班

至少有多少個(gè)學(xué)生這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都會(huì)？

【答案】4

【例64】有165人，其中98人會(huì)滑冰，90人會(huì)游泳，147人會(huì)打羽毛球，那么至少有多少人這三樣運(yùn)

動(dòng)都會(huì)?

【答案】5

【例65】100個(gè)學(xué)生每人至少學(xué)過(guò)英語(yǔ)、法語(yǔ)、俄語(yǔ)三門(mén)語(yǔ)言中的一個(gè)，學(xué)過(guò)英語(yǔ)的有41人,學(xué)過(guò)法語(yǔ)

的有52人，學(xué)過(guò)俄語(yǔ)的有43人，學(xué)過(guò)英語(yǔ)也學(xué)過(guò)法語(yǔ)的有16人，學(xué)過(guò)英語(yǔ)也學(xué)過(guò)俄語(yǔ)的有II人,

學(xué)過(guò)法語(yǔ)也學(xué)過(guò)俄語(yǔ)的有15人.問(wèn)：三種語(yǔ)言都學(xué)過(guò)的有多少人？

【答案】6

【例66】在某一學(xué)校，星期一有15個(gè)學(xué)生缺席，星期二有12個(gè)同學(xué)缺席，星期三有9個(gè)同學(xué)缺席.如

果這三天至少有一天缺席的學(xué)生有22人，那么在這三天都缺席的學(xué)生最多有多少人？

【答案】7

【例67】某班人數(shù)不超過(guò)50人，課堂練習(xí)時(shí)，王老師出了3道習(xí)題，做錯(cuò)1題的占總?cè)藬?shù)的，做錯(cuò)2

題的占總?cè)藬?shù)的，做錯(cuò)3題的占總?cè)藬?shù)的，3題都對(duì)的有多少人？

【答案】20

【例68】甲、乙、丙三人澆花，甲澆了68盆，乙澆了62盆，丙澆了56盆.已知共有花90盆，則三人

都澆了的花有多少盆？

【答案】6

【例69】甲乙丙三人分別在早上、中午、晚上為一百盆花澆水.被甲澆過(guò)的有65盆；被乙澆過(guò)的有72

盆；被內(nèi)澆過(guò)的有73盆.則被三人都澆過(guò)的最少有兒盆？

【答案】10

【例70】三支蠟燭分別能燃燒30,40,50分鐘（但是不是同時(shí)點(diǎn)燃的），已知這三支蠟燭同時(shí)處于燃燒

狀態(tài)的時(shí)間有10分鐘，只有一支蠟燭處于燃燒狀態(tài)的時(shí)間有20分鐘.那么正好有兩支蠟燭同時(shí)處于

燃燒狀態(tài)的時(shí)間有多少分鐘？

【答案】35

【例71】某班共有30名男生，其中20人參加足球隊(duì)，12人參加藍(lán)球隊(duì)，10人參加排球隊(duì).已知沒(méi)一

個(gè)人同時(shí)參加3個(gè)隊(duì)，且每人至少參加一個(gè)隊(duì)，有6人既參加足球隊(duì)乂參加藍(lán)球隊(duì)，有2人既參加藍(lán)

球隊(duì)又參加排球隊(duì)，那么既參加足球隊(duì)又參加排球隊(duì)的有多少人？

【答案】4

【例72】某校五（2）班有49人參加了數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、語(yǔ)文學(xué)習(xí)小組，其中數(shù)學(xué)小組有30人參加，英語(yǔ)

小組有20人參加，語(yǔ)文小組有10人參加，老師告訴同學(xué)既參加數(shù)學(xué)小組又參加語(yǔ)文小組的有3人，

既參加數(shù)學(xué)小組乂參加英語(yǔ)小組和既參加英語(yǔ)小組乂參加語(yǔ)文小組的人數(shù)均為質(zhì)數(shù)，而三種全參加的

只有1人，求既參加英語(yǔ)小組又參加數(shù)學(xué)小組的人數(shù)

【答案】2或7

【例73】甲、乙、丙三人參加“環(huán)保知識(shí)問(wèn)答“，甲答對(duì)16道題，乙答對(duì)了12道題，丙答對(duì)了18道題，

甲答對(duì)的題中有6道乙也答對(duì)了，丙答對(duì)的題中有7道題日也答對(duì)了，甲和乙一共答對(duì)了多少道題？

甲和丙一共乂答對(duì)了多少道題？

【答案】甲和乙一共答對(duì)了22道題，甲和丙一共又答對(duì)了27道題

【例74】某班有50名學(xué)生，參加語(yǔ)文競(jìng)賽的有28人，參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的有23人，參加英語(yǔ)競(jìng)賽的有20

人，每人至多參加兩科，那么參加兩科的最多有多少人？

【答案】35

【例75】某次競(jìng)賽有A、B、C三道題，至少做對(duì)一道題的有25人，其中做對(duì)A題的有10人，做對(duì)B

題的有13人，做對(duì)C題的有15人，如果三道題都做對(duì)的只有1人，那么只做對(duì)兩道題的有II人，

只做對(duì)一道題的有多少人？

【答案】13

【例76】一次競(jìng)賽共有A、B、C三道題，有25人至少做對(duì)了一道，其中做對(duì)A的10人，做對(duì)B的13

人，做對(duì)C的15人，三道題都對(duì)的僅1人，那么只錯(cuò)一題的有多少人？

【答案】12

【例77】少年宮春季書(shū)法班、美術(shù)班、器樂(lè)班招生.書(shū)法班招收了29名學(xué)員，美術(shù)班招收了28名學(xué)員，

器樂(lè)班招收了27名學(xué)員.在這些學(xué)員中，既報(bào)書(shū)法乂報(bào)美術(shù)的有13名，既報(bào)書(shū)法乂報(bào)器樂(lè)的有12

人，既報(bào)美術(shù)又報(bào)器樂(lè)的有11名，二個(gè)科目都報(bào)的有5名.那么，只參加一個(gè)科目學(xué)習(xí)的學(xué)員有多

少名？

【答案】27

【例78】六年級(jí)有60人愛(ài)好數(shù)學(xué)，50人愛(ài)好語(yǔ)文，42人愛(ài)好體育，30人既愛(ài)好數(shù)學(xué)又愛(ài)好語(yǔ)文，20

人既愛(ài)好語(yǔ)文又愛(ài)好體育，35人既愛(ài)好體育又愛(ài)好數(shù)學(xué)，有18人這三方面都愛(ài)好，請(qǐng)問(wèn)這個(gè)年級(jí)中

數(shù)學(xué)、語(yǔ)文、體育三方面至少愛(ài)好一項(xiàng)的學(xué)生共有多少名？

【答案】85

【例79】某校有學(xué)生960人，其中有510人訂閱“作文報(bào)”，有330人訂閱“數(shù)學(xué)報(bào)”，有120人訂閱“科學(xué)

愛(ài)好者”，全校學(xué)生中有270人訂閱兩種報(bào)刊，有58人三種報(bào)刊都訂，那么這學(xué)校中沒(méi)有訂閱任何報(bào)

刊的有多少人？

【答案】212

【例80】一共有52個(gè)學(xué)生參加游園活動(dòng)，其中參觀植物館的有12人，參觀動(dòng)物館的有26人，參觀科

技館的有2人，既參觀植物館乂參觀動(dòng)物館的有5人，既參觀植物館乂參觀科技館的有2人，既參觀

動(dòng)物館又參觀科技館的有4人，三個(gè)館都參觀的有1人，則有多少人這三個(gè)館都沒(méi)有參觀？

【答案】22

【例81】學(xué)校音樂(lè)興趣小組有37人，其中有20人會(huì)手風(fēng)琴，16人會(huì)鋼琴，24人會(huì)電子琴，既會(huì)手風(fēng)

琴又會(huì)鋼琴的8人，既會(huì)電子琴又會(huì)鋼琴的10人，即會(huì)手風(fēng)琴又電子琴的8人，這三種琴都不會(huì)的

至多有多少人？

【答案】2

【例82】小明、小紅、小磊三人共解出50道數(shù)學(xué)題，每人都解出了其中的30道題，所有題目都有人解

出來(lái)了.將其中只有?人解出的題叫做難題，2人都解出來(lái)的叫做中等題，3人都解出的題叫做容易

題，難題比容易題多還是少？多的比少的多多少道題？

【答案】多；10

【例83】用圓圈表示星球上的空氣，各星球上的空氣所含的不同氣體用不同的字母表示，相同的氣體用

相同的字母表示（如圖）.已知天王星與海王星上的空氣中都含有氮?dú)猓ね跣巧蠜](méi)有.那么圖中哪

個(gè)字母表示氨氣？

【答案】X

【例84】一年級(jí)一班參加三個(gè)課外小組的共有25人，參加英語(yǔ)組和美術(shù)組的有18人，參加美術(shù)組和舞

蹈組的有20人，參加三個(gè)小組的分別有多少人？

【答案】參加舞蹈組的有7人，參加英語(yǔ)組的有5人，參加美術(shù)組的有13人

【例85]過(guò)年了，爺爺、奶奶、姑媽三人分別給聰聰壓歲錢(qián)，其中900元不是奶奶給的，800元不是姑

媽給的，奶奶和姑媽一共給了900元.爺爺、奶奶、姑媽三人分別給了聰聰多少壓歲錢(qián)？

【答案】爺爺、奶奶、姑媽三人給聰聰?shù)膲簹q錢(qián)分別是400元、400元、500元

【例86】學(xué)校舞蹈隊(duì)中，有35人不是低年級(jí)的，有22人不是中年級(jí)的，且低年級(jí)與中年級(jí)的共有23

人.那么，學(xué)校舞蹈隊(duì)中.高、中、低年級(jí)各有多少人？

【答案】學(xué)校舞蹈隊(duì)中.高、中、低年級(jí)分別有17人、18人、5人

【例87】學(xué)校舉辦一次小學(xué)生畫(huà)展，其中有37幅不是低年級(jí)的，有32幅不是中年級(jí)的，巨低年級(jí)與中

年級(jí)的畫(huà)共有31幅.那么，高、中、低年級(jí)各有多少幅？

【答案】高、中、低年級(jí)分別有19幅、18幅、13幅.

【例88】六年級(jí)有三個(gè)班，每班有2個(gè)中隊(duì)長(zhǎng).開(kāi)年級(jí)中隊(duì)長(zhǎng)會(huì)議時(shí)，每次每班只需一個(gè)中隊(duì)長(zhǎng)參加.第

一次到會(huì)的是A、B、C,第二次是B、D、E,第三次是A、E、F.你知道哪兩個(gè)中隊(duì)長(zhǎng)是同一班的？

【答案】A和D同班，B、F同班，C、E同班

【例89】求從I到1994中不能被5整除，也不能被6或7整除的自然數(shù)的個(gè)數(shù).

【答案】1140

第三關(guān)四量或以上重疊問(wèn)題

【例90】小學(xué)舉辦學(xué)生書(shū)法展.學(xué)校的櫥窗里展出每個(gè)年級(jí)學(xué)生的書(shū)法作品；其中有28幅不是五年級(jí)

的，有24幅不是六年級(jí)的，五、六年級(jí)參展的書(shū)法作品共20幅.一、二年級(jí)參展的作品總數(shù)比三、

四年級(jí)參展的作品的總數(shù)少4幅，一、二年級(jí)參展的書(shū)法作品共有多少幅？

【答案】6

【例91】全班有70%的同學(xué)參加了生物小組，75%的同學(xué)參加了化學(xué)小組，85%的同學(xué)參加了物理小組，

90%的同學(xué)參加了數(shù)學(xué)小組.則四個(gè)小組都去參加的同學(xué)至少占全班的百分比是多少？

【答案】20%

【例