解答題模板構(gòu)建（六）統(tǒng)計與概率

例，某市某超市為了回饋新老顧客,決定在2023年元旦來臨之際舉行“慶元旦，

迎新年”的抽獎派送禮品活動，為設(shè)計一套趣味性抽獎送禮品的活動方案，該超

市面向該市某高中學(xué)生征集活動方案，該中學(xué)某班數(shù)學(xué)興趣小組提供的方案獲得

了征用.方案如下：將一個4X4X4的正方體各面均涂上紅色，再把它分割成64

個相同的小正方體.經(jīng)過攪拌后，從中任取兩個公正方體，記它們的著色面數(shù)之

和為蜃記抽獎一次中獎的禮品價值為〃.

⑴求&。=3）.

⑵凡是元旦當(dāng)天在該超市購買物品的顧客，均可參加抽獎.記抽取的兩個小正方

體著色面數(shù)之和為6,設(shè)為一等獎，獲得價值50元的禮品；記抽取的兩個小正

方體著色面數(shù)之和為5,設(shè)為二等獎，獲得價值30元的禮品；記抽取的兩個小

正方體著色面數(shù)之和為4,設(shè)為三等獎，獲得價值10元的禮品，其他情況不獲

獎.求某顧客抽獎一次獲得的禮品價值的分布列與數(shù)學(xué)期望.

［規(guī)范解答］

解：（1）64個小正方體中，三面著色的有8個，兩面著色的有24個，一面著色的

有24個，另外8個沒有著色,

C3G+d64020

所以。（。=3）=4分

44201663,

（2片的所有可能取值為0,1,2,3,4,5,6,//的取值為50,30,10,0,5

分

281

尸(，7=5O)=Pe=6)=6分

%201672’

哈禺41922

P(//=30)=P(f=5)=7分

嗑201621'一

C24+C|C14_468_13

=10)=P(4=4)=—8分

C14201656

121383

P(，7=0)=l分

722156126,9

所以，隨機變量7Z的分布列為

5()3()1()0

121383

P

722156126

所以^)=50xi+30X—4-10X—+0X—=—......................12分

72215612663

答題模板

第一步：確定隨機變量的所有可能值；

第二步：求每一個可能值所對應(yīng)的概率；

第三步：列出離散型隨機變量的分布列；

第四步：求均值和方差；

第五步：反思回顧、查看關(guān)鍵點、易錯點和答題規(guī)范.

類型一統(tǒng)計與概率的綜合問題

某手機廠家生產(chǎn)A,B,C三種型號的手機，每種型號手機又分為標(biāo)準(zhǔn)版和專業(yè)

版兩個版本，某月的產(chǎn)量(單位：部)如表：

A型號8型號C型號

標(biāo)準(zhǔn)版200650N

專業(yè)版300350600

該廠質(zhì)檢部門采用分層隨機抽樣的方法從這個月生產(chǎn)的手機中抽取100部，其中

A型號手機20部.

⑴求N的值；

(2)在C型號手機中采用分層隨機抽樣的方法抽取5部手機，再從這5部手機中

任意抽取2部，求至多有1部手機為專業(yè)版的概率；

(3)該手機廠家所在城市的質(zhì)量技術(shù)監(jiān)督部門從B型號手機中采用簡單隨機抽樣

的方法抽取了8部手機，經(jīng)相關(guān)技術(shù)部門進(jìn)行檢測，這8部手機的綜合質(zhì)量得分

分別為92,8.8,8.5,9.0,9.3,9.2,8.6,9.4(滿分均為10分).將這8部手機

的得分看成一個整體，若這8部手機中，與該整體平均得分之差的絕對值不超過

0.3的概率低于0.65時，則該型號的手機不能投入市場.請通過計算判斷B型號

手機是否能投入市場？

解：(1)由分層隨機抽樣的性質(zhì)得2。---------剪--------

7200+300200+3004-650+350+N+600

解得N=400.

(2)在C型號手機中采用分層隨機抽樣的方法抽取5部手機,

則標(biāo)準(zhǔn)版抽取5義=2(部),專業(yè)版抽取5X=3(部),

再從這5部手機中任意抽取2部，

樣本點總數(shù)〃=髭=10,

至多有1部手機為專業(yè)版包含的樣本點個數(shù)〃2=6瑪+廢=7,

所以至多有1部手機為專業(yè)版的概率〃=:=5.

⑶這8部手機的綜合質(zhì)量得分分別為9.2,8.8,8.5,9.0,9.3,9.2,8.6,9.4（滿

分均為10分），

將這8部手機的得分看成一個整體，

該整體平均得分為文=1X（9.2+XS+8.S+9.0+9.3+9.2+8.6+9.4）=9,

8

這8部手機中，與該整體平均得分之差的絕對值不超過0.3的綜合質(zhì)量得分有

9.2,8.8,9.0,9.3,9.2,共5個，

所以這8部手機中，與該整體平均得分之差的絕對值不超過0.3的概率p=

%0.625<0.65,

8

所以B型號手機不能投入市場.

類型二回歸分析問題

我國為全面建設(shè)社會主義現(xiàn)代化國家，制定了從2021年到2025年的“十四五”

規(guī)劃.某企業(yè)為響應(yīng)國家號召，匯聚科研力量，加強科技創(chuàng)新，準(zhǔn)備增加研發(fā)資

金，現(xiàn)該企業(yè)為了解年研發(fā)資金投入額/（單位：億元）對年盈利額y（單位：億元）

的影響，研究了“十二五”和“十三五”規(guī)劃發(fā)展期間近10年年研發(fā)資金投入

額H和年盈利額），，的數(shù)據(jù).通過對比分析，建立了兩個函數(shù)模型：①），=。+分2；

②）,其中a,8,九，均為常數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù).令iu=x3v=\n

y（i=l,2,…，10）,經(jīng)計算得如下數(shù)據(jù)：

1010

W（々-±）2工色_步尸

XyUV

i=li=l

5.

26215652680

36

E昌（覆一

10型瓜一”）2?10

工（加一方）2

-正）2X）?

8一力

i=li=i

（Vi—V）

112501302.612

⑴請從相關(guān)系數(shù)的角度，分析哪?個模型擬合程度更好；

（2）根據(jù)（1）的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的非線性經(jīng)驗回歸方程（回歸系數(shù)精

確到0.01）.

A"—N）（乂-V）

附：相關(guān)系數(shù),=;_，_

V1=11=1

經(jīng)驗回歸方程y=hr+a.

其中B=J----=——,a=y-bx.

S（,Xi一1）2

:=1

解：⑴若選擇模型①尸0+儀2,出=婷，

10

2（〃,一萬）（乂一夕）

i=113

故可得其相關(guān)系數(shù)/尸""='=0.87.

/S（Ui—U）2S（%一歹￥

V1=]i=l

若選擇模型②0i=ln），，

10

X（J7,一元）（孫—V）

故可得其相關(guān)系數(shù)-2=

1010,65x2.613

S（3：i一元）2S一萬）2

i=1i=1

則|川＜|巾，因此從相關(guān)系數(shù)的角度，模型）=8由的擬合程度更好.

（2）先建立。關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程，由），=法+，得lny=Ax+f,即力=小+九

10

S（j?i-y）（v,-F）

rr---------------=普。）.18,/=力一貶=5.36-^X26=0.56,

c6565

X（-J7）2

1=1

故v關(guān)于x的經(jīng)臉回懺方程為力=（）.18x+（）.56,

故ln），=0.18x+0.56,即y=e°i8M叫

故y關(guān)于x的非線性經(jīng)驗回歸方程為）,=eo%+o-56.

類型三獨立性檢驗問題

2021年10月16日，搭載神舟十三號載人飛船的火箭發(fā)射升空，這是一件讓全

國人民普遍關(guān)注的大事，因此每天有很多民眾通過手機、電視等方式觀看有關(guān)新

聞.某機構(gòu)將每天關(guān)注這件大事的時間在2小時以上的人稱為“天文愛好者”，

否則稱為“非天文愛好者”，該機構(gòu)通過調(diào)查，尹從參與調(diào)查的人群中隨機抽取

了10()人進(jìn)行分析，得到下表(單位：人)：

類別天文愛好者非天文愛好者合計

女2050

男15

合計100

(I)將上表中的數(shù)據(jù)填寫完整，并依據(jù)小概率值a=0.005的獨立性檢驗，能否認(rèn)

為“天文愛好者”或“非天文愛好者”與性別有關(guān)；

(2)現(xiàn)從抽取的女性人群中，按“天文愛好者”和“非天文愛好者”這兩種類型

進(jìn)行分層隨機抽樣抽取5人，然后再從這5人中隨機選出3人，求其中至少有1

人是“天文愛好者”的概率.

附：.而黃其中〃i+0+c+d.

a0.100.050.0250.0100.0050.001

Xa2.7063.8415.0246.6357.879iO.828

解：(1)填寫表格如下:

天文愛好者非天文愛好者合計

女203050

男351550

合計5545100

零假設(shè)為兒：“天文愛好者”或“非天文愛好者”與性別無關(guān)，根據(jù)列聯(lián)表中

的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得/=鬲能篇而T嗤普奢合9.O91>7.879=moo5.

根據(jù)小概率值a=0.005的獨立性檢臉，我們推斷“。不成立，即認(rèn)為“天文愛好

者”或“非天文愛好者”與性別有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.005.

(2)按分層隨機抽樣抽取的5人中：

2名為“天文愛好者”，編號為b;

3名為“非天文愛好者”，編號為1,2,3,

則從這5人中隨機選出3人，所有可能結(jié)果如下:

ab\,ab2fab3,a\2t。13,a23,b12fZ?13,623,123,

共10種情況，其中至少有1人是“天文愛好者”的有9種，所以概率為

類型四分布列、均值與方差

某城市A公司外賣配送員底薪是每月1800元，設(shè)一人每月配送的單數(shù)為X.若

Xe［l,300］,每單提成3元;若XW(300,600］,每單提成4元;若X￡(600,

+8),每單提成4.5元.B公司外賣配送員底薪是每月21()0元，設(shè)一人每月配

送單數(shù)為Y.若閆1,400］,每單提成3元；若re(400,4-oo),每單提成4

元.小王想在A公司和B公司之間選擇一份外賣配送員工作，他隨機調(diào)查了A

公司外賣配送員甲和B公司外賣配送員乙在2021年4月份(30天)的送餐量數(shù)

據(jù)，如下表：

表1A公司外賣配送員甲送餐量統(tǒng)計

日送餐量力單131416171820

天數(shù)2612622

表2B公司外賣配送員乙送餐量統(tǒng)計

日送餐量X/單111314151618

天數(shù)4512351

(1)設(shè)A公司外賣配送員1司工資(單位：元)為/(X),B公司外賣配送員J月工資(單

位：元)為g(r),當(dāng)x=y且x,ye(300,600］時，比較/(X)與g(y)的大小關(guān)系.

(2)將甲、乙4月份的日送餐量的頻率視為對應(yīng)公司的外賣配送員日送餐量的概

率.

①計算外賣配送員甲和乙的日送餐量的數(shù)學(xué)期望￡(x)和￡()，)；

②請利用所學(xué)的統(tǒng)計學(xué)知識為小王做出選擇，并說明理由.

解：⑴當(dāng)x=y且x,re(300,600］時,g(Y)=g(x).

當(dāng)X￡(300,400］時，f(X)-g(Y)=f(X)-g(X)=(l800+4X)-(2100+3X)=X-

300>0;

當(dāng)Xe(400,600］時,f(X)-g(Y)=f(X)-g(X)=(1800+4X)-(21