專題12幾何圖形初步章末重難點題型（13個題型）

輜吸專甄導版

一、經(jīng)典基礎題

題型1直線、射線、線段、角的基本概念

題型2角的表示、換算及比較大小

題型3直線、射線、線段的實際生活中的應用

題型4線段、角度中的計數(shù)問題

題型5作圖問題

題型6與線段有關的計算

題型7實際背景下線段的計算問題

題型8鐘面上的角度問題

題型9方位角問題

題型10一副直角三角形板中的角度問題

題型11與角平分線（角的和差）有關的計算

題型12余角、補角、對頂角的相關計算

題型13七巧板相關問題

二、優(yōu)選提升題

9經(jīng)冷家做題?

題型1直線、射線、線段、角的基本概念

解題技巧：熟練掌握直線、射線、線段基本性質和概念。

例1.（2022?廣東汕頭七年級期末）下列說法：（1）兩點之間線段最短；（2）兩點確定一條直線；（3）同一

個銳角的補角一定比它的余角大90°：（4）A、B兩點間的距離是指A、B兩點間的線段；其中正確的有（）

A.一個B.兩個C.三個D.四個

【答案】C

【分析】（1）根據(jù)線段的性質即可求解；（2）根據(jù)直線的性質即可求解：（3）余角和補用一定指的是兩個

角之間的關系，同角的補角比余角大90。；（4）根據(jù)兩點間的距離的定義即可求解.

【解析】（1）兩點之間線段最短是正確的；（2）兩點確定一條直線是正確的;

（3）同一個銳角的補角一定比它的余角大90。是正確的：

（4）A、B兩點間的距離是指A、B兩點間的線段的長度，原來的說法是錯誤的.故選C.

【點睛】本題考查了補角和余角、線段、直線和兩點間的距離的定義及性質，是基礎知識要熟練掌握.

變式1.（2022?山東濰坊?七年級期末）如圖，下列說法正確的是（）

---???

ABO

A.點O在射線84上B.點4是直線A6的端點

C.到點8的距離為3的點有兩個D.經(jīng)過4,8兩點的直線有且只有一條

【答案】D

【分析】根據(jù)射線、直線定義判斷A、B,根據(jù)兩點間的距離判斷C,根據(jù)直線公理判斷D.

【詳解】解：點。在射線上，故A錯誤，不符合題意；

直線沒有端點，故B錯誤，不符合題意：

平面內到點8距離為3的點有無數(shù)個，故C錯誤，不符合題意；

經(jīng)過48兩點的直線有且只有一條，故D正確，符合題意；故選：D.

【點睛】本題考查射線、直線定義，兩點間的距離及直線公理，解題的關鍵是掌握相關定義、定理、公理.

變式2.（2022?河北七年級期末）下列說法正確的是（）

A.連接兩點的線段，叫做兩點間的距離B.射線。八與射線4。表示的是同一條射線

C.經(jīng)過兩點有一條直線，并且只有一條直線D.從一點引出的兩條直線所形成的圖形叫做角

【答案】C

【分析】根據(jù)線段、射線、宜線的定義即可解題.

【解析】解：A.連接兩點的線段長度，叫做兩點間的距離

B.射線OA與射線AO表示的是同一條射線，錯誤,射線具有方向性，

C.經(jīng)過兩點有一條直線，并且只有一條直線,正確，

D.錯誤，應該是從一點引出的兩條射線所形成的圖形叫做角，故選C.

【點睛】本題考查了線段、射線、直線的性質，屬于簡單題，熟悉定義是解題關鍵.

題型2角的表示、換算及比較大小

例1.（2022?山東莉澤?七年級期末）角度換算：26。48'=

【答案】26.8

【分析】根據(jù)度分秒的換算法則求解即可.

【詳解】解：26。48'=26。+（48+60）。=26。+0.8。=26.8。，故答案為：26.8.

【點睛】本題考查了度分秒的換算，解決本題的關鍵是掌握度分秒的換算法則.

變式1.（2022?江西吉安?七年級期末）如下圖，下列說法正確的是（）

A.N1與乙403表示同一個角B.△=/C.圖中共有兩個你Z1,4D.4表示4OC

【答案】A

【分析】根據(jù)角的表示方法表示各個角，再判斷即可.

【詳解】解：A.皿與財08表示同一個角，正確，故本選項符合題意；

B./1=/夕不一定成立，故選項錯誤，不符合題意；

C.圖中共有三個角：Z1,“，0AOC,故選項錯誤，不符合題意；

D.4表示NBOC,故選項錯誤，不符合題意.故選：A.

【點睛】本題考查了對角的表示方法的應用，正確表示角是解題的關鍵.

變式2.（2022?湖南永州?七年級期末）若/4=32。18',4=32。1。30*,ZC=32.25°,則（）.

A.Z4>ZB>ZCB.ZS>ZA>ZCC.Z4>ZC>ZBD.ZC>ZA>ZB

【答案】A

【分析】將三個角的度數(shù)都轉化成度分秒的形式后，即可得到三個角的大小關系.

,,

【詳解】解：01°=60；團0.25°=60&0.25=15‘；00C=32015;

032018,>32O15,3O,,>32°15,；00A>（3fi>0C.故選：A.

【點睛】本題主要考宜角的大小比較，需要熟練掌握度數(shù)與度分秒形式之間的轉化.

題型3直線、射線、線段的實際生活中的應用

解題技巧：主要考查”兩點確定一條直線”和“兩點之間，線段最短”，弄明白兩者的區(qū)別即可

例1.（2022?陜西?西安鐵一中分校七年級期末）下列現(xiàn)象能用“兩點確定一條直線”來解釋的是（）

①用兩個釘子就可以把木條固定在墻上；②從A地到3地架設電線，總是盡可能沿著線段AB架設；

③植樹時，只耍確定兩棵樹的位置，就能確定同一行樹所在的直線；

④把彎曲的公路改直，就能縮短路程.

A.①③B.①②C.②④D.③④

【答案】A

【分析】直接利用直線的性質以及兩點之間線段最短分析得出答案.

【詳解】解：①用兩個釘子就可以把木條固定在墻上，根據(jù)是兩點確定一條直線；

②從A地到8地架設電線，總是盡可能沿著線段A3架設，根捱是兩點之間線段最短；

③值樹時，只要確定兩棵樹的位置，就能確定同一行樹所在的直線，根據(jù)是兩點確定一條直線；

④把彎曲的公路改直，就能縮短路程，根據(jù)是兩點之間線段最短.故選：A.

【點睛】此題主要考查了線段以及直線的性質，解題的關鍵是正確把握相關性質.

變式1.(2022?河南，累河?七年級期末)下列現(xiàn)象：

(1)用兩個釘子就可以把木條固定在墻上；

(2)從A地到。地架設電線，總足盡可能沿著線段八。架設；

(3)植樹時，只要確定兩顆樹的位置，就能確定同一行樹所在的直線；

(4)把彎曲的公路改直，就能縮短路程.

其中能用“兩點之間，線段最短〃來解釋的現(xiàn)象有()

A.(1)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(2)(4)

【答案】D

【分析】利用直線和線段的性質對選項逐一進行判斷得出結論.

【詳解】(1)利用兩點確定一條直線解釋，故不符合題意；

(2)可用“兩點之間，線段最短”解釋，故符合題意；

(3)利用兩點確定一條直線解釋，故不符合題意；

(4)可用“兩點之間，線段最短”解糅，故符合題意.故選：D.

【點睛】本題考查直線和線段的性質，解決本題的關鍵是對直線和線段的性質熟練應用并熟悉兩者的區(qū)別.

題型4線段、角度中的計數(shù)問題

例1.(2022?山西?右玉縣七年級期末)閱讀并填空：

問題：在一?條直線上有A,B,C,。四個點，那么這條直線上總共有多少條線段？

要解決這個問題，我們可以這樣考慮，以A為端點的線段有A8,AC,AO3條，同樣以8為端點，以。為

端點，以。為端點的線段也各有3條，這樣共有4個3,即4x3=12(條)，但人4和胡是同一條線段，即

每一條線段重復一次，所以一共有條線段.那么，若在一條直線上有5個點，則這條直線上共有

條線段；若在一條直線上有〃個點，則這條直線上共有條線段.

知識遷移：若在一個銳角408內部畫2條射線OC,0D,則這個圖形中總共有個角；若在408

內部畫〃條射線，則總共有個角.

學以致用：一段鐵路上共有5個火車站，若一列火車往返過程中，必須?？棵總€車站，則鐵路局需為這段

線路準備種不同的車票.

【答案】6,10,—----6,------------二20

22

【分析】問題：根據(jù)線段的定義解答；知識遷移：根據(jù)角的定義解答；

學以致用：先計算出線段的條數(shù)，再根據(jù)兩站之間需要兩種車票解答.

【詳解】解：問題：根據(jù)題意，則竽=6；胃=10；%二D；

222

知識遷移：在0AOB內部畫2條射線OC,OD,則圖中有6個不同的角，在財08內部畫〃條射線。C,OD,

OE,則圖中有1+2+3+...+〃+（91）個不同的角;

2

學以致用：5個火車站代表的所有線段的條數(shù)gx5x4=10,需要車票的種數(shù)：10x2=20（種）.

故答案為：6.10,^1）,6,（〃+2）（〃+』20;

22

【點睛】此題考查了線段的計數(shù)問題，解本題的關鍵是找出規(guī)律，此類題目容易數(shù)重或遺漏，要特別注意.

變式1.（2022.山東青島.七年級期末）平面內兩兩相交的7條直線，其交點個數(shù)最少是"?個，最多是〃個，

則〃汁〃的值為（）

A.18B.20C.22D.24

【答案】C

【分析】根據(jù)平面內兩兩相交直線交點的個數(shù)所呈現(xiàn)的規(guī)律得出〃?、〃的值即可.

【洋解】解：平面內兩兩相交的7條直線，其交點個數(shù)最少是1個，即m=1,

平面內兩兩相交的7條直線，其交點個數(shù)最多是1+2+3+4+5+6=21（個），即〃=21,

所以〃?+〃=22,故選：C.

【點睛】本題主要考查了直線相交的交點情況，找出交點個數(shù)是解題的關鍵.

變式2.（2022?廣西賀州?七年級期末）如圖，從Z4O3的頂點引出兩條射線OC,OD,圖中的角共有（）

B

A.3個B.4個C.6個D.7個

【答案】C

【分析】按一定的規(guī)律數(shù)角的個數(shù)即可.

【詳解】解：以0A為一邊的角有：NAOO,N4OC,N4O8,

以。。為一邊的角有：ND0C/D0B,以0C為一邊的角有：ZCOB、

所以，圖中共有6個角，故選：C.

【點睛】本題通過數(shù)角的個數(shù)，鞏固處的概念，難度適中.

題型5作圖問題

解題技巧：（1）尺規(guī)作圖：做已知線段的和差倍數(shù)問題；（2）常規(guī)作圖：與線段射線直線有關的基本作圖。

例1.（2022?河北保定?七年級期末）如圖，在平面內有4、B、C三點.（1）畫直線A8,射線AC,線段BC；

⑵在線段上任取一點。（不同于RC）,連接AO,并延長至E使DE=AD;（尺規(guī)作圖，不寫作

法，保留作圖痕跡）；（3）數(shù)一數(shù)，此時圖中線段共有一條.

A，'B

?

C

【答案】（1）見解析⑵見解析（3）8條

【分析】（1）根據(jù)直線、射線、線段的定義作圖；

（2）根據(jù)在線段3C上任取一點。（不同于4C）,連接線段AD,并延長AO至點E,使。E=4D即可；（3）

根據(jù)圖中的線段為AB,AC,AD,AE,DE,BD,CD,BC,即可得到圖中線段的條數(shù).

（1）如圖，直線48,線段8c，射線AC即為所求；

（2）如圖，線段A。和線段即為所求；

A

B

（3）圖中有線段A3、AC.40、A￡、DE、BC、BD、CD,一共8條.

【點睛】考查了直線、射線、線段的定義，解題的關鍵是熟練掌握直線、射線、線段定義.

變式1.（2022?安徽宣城?七年級期末）（1）請在給定的圖中按照要求畫圖：

C

AB

①畫射線人&②畫平角團切。；③連接AC.（2）點仄C分別表示兩個村莊，它們之間要鋪設燃氣管道.若

節(jié)省管道，則沿著線段鋪設.這樣做的數(shù)學依據(jù)是：.

【答案】（1）①見解析；②見解析；③見解析；（2）兩點之間，線段最短

【分析】（1）①根據(jù)射線的定義，作出圖形即可：②根據(jù)平角的定義，作出圖形即可：③根據(jù)線段的定

義，作出圖形即可；（2）根據(jù)兩點之間線段最短解決問題.

【詳解】解：（1）①如圖，射線A8即為所求：

②如圖，團A⑺即為所求；③如圖，線段AC即為所求；

（2）沿著線段8。鋪設.這樣做的數(shù)學依據(jù)是：兩點之間線段最短.

【點睛】本題主要考查了直線，射線，平角的定義，線段的基本事實，熟練掌握直線是兩端都沒有端點、

可以向兩端無限延伸、不可測量長度的線；射線是只有?個端點，它從?個端點向另一邊無限延長不可測

量長度的線：直線上兩個點和它們之間的部分叫做線段；兩點之間線段最短是解題的關鍵.

變式2.（2022?河南淮濱縣?七年級期末）如圖，在同一平面內有四個點A,B,C,D,請用直尺按下列要

求作圖：（1）作射線CD：作直線AO：連接（2）如果圖中點A,B,C,。表示四個村莊，為解決

四個村莊的缺水問題，政府準備投資修建一個蓄水池P，要求蓄水池P到四個村莊的距離和最小，請你找

出蓄水池P的位置.

紇?D

【答案】（1）見解析；（2）圖見解析，理由：兩點之間，線段最短

【分析】（1）根據(jù)直線的定義：兩端沒有端點，可以向兩端無限延伸，不可測量長度，射線的定義：直線上

的?點和它?旁的部分所組成的圖形，線段的定義：兩點都有端點，不可延長，作圖即可：

（2）根據(jù)兩點之間線段最短即可確定P的位置.

【詳解】解：（1）所作圖形如圖1所示.

（2）如圖2,連接AC,BD,

則AC與8D的交點P為滿足要求的蓄水池的位置，理由：兩點之間，線段最短.

【點睛】本題主要考查了兩點之間線段最短，直線，射線與線段的定義，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相

關知識進行求解.

題型6與線段有關的計算

例1.（2022?浙江?七年級期末）如圖,線段AB=8cm,C是線段48上一點,M是A8的中點,N是AC的中點.（1）

AC=3cm,求線段CM、的長；（2）若線段=線段5C=〃，求MN的長度（/〃<〃用含"?，〃的代

數(shù)式表示）.

ANCMB

【答案】（1）CM=lcm,A/M=2.5cm；（2）

【分析】（1）求山AM長，代入CMMM-4C求出即可；分別求出AN、AM長，代入M/V=AMY/V求出即可;

（2）分別求出AM和八N,利用4M-4V可得MN.

【詳解】解：（1）,??AB=8a〃，歷是A3的中點，??.AM=；A8=4a〃，

AC=3cm?CM=AM-AC=4-3=\cm；

???AB=8a〃，AC=3cm,A/是/W的中點，N是AC的中點，

AM=—AB=4cm,AN=-4C=1.5C/H,/.MN=AM-AN=4-1.5=2.5cm；

22

（2）vAC=/n,BC=/z?.，.AB=AC+BC=,

???A1是AA的中點，N是AC的中點，.?.AM=：48=ga〃+〃），4N=；AC=g〃，，

:.MN=AM-AN=-（m+n）--m=-n.

【點睛】本題考查了兩點之間的距離，線段中點的定義的應用，解此題的關鍵是求出AM、4N的長.

變式1.（2022?湖南新邵縣?七年級期末）如圖，線段48=22cm,C是48上一點，且AC=14cm,。是48

的中點，線段。C的長度是（）

I---------------------------------1-------1-------------------------L

AOCB

A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm

【答案】B

【分析】根據(jù)。是八8的中點，求得A。的長，即可求解.

【洋觸J解：國。是A8的中點，AB-22cm,WA-OB-AB-^22-11（cm）,

WC=AC-AO=14-11=3（cm）.故選：B.

【點睛】此題主要考查了線段中點的性質，熟練掌握線段中點的性質是解題的關鍵.

變式2.（2022?浙江?）定義：當點C在線段48上，=時，我們稱〃為點C在線段4B上的點值，記

作%A8=〃?

甲同學猜想：點C在線段AB上，若AC=2BC,則4小.=：.

乙同學猜想：點C是線段AB的三等分點，則比必，

關于甲乙兩位同學的猜想，下列說法正確的是（）

A.甲正確，乙不正確B.甲不正確，乙正確C.兩人都正確D.兩人都不正確

【答案】A

【分析】本題根據(jù)題目所給〃卻3=〃的定義對兩人的猜想分別進行驗證即可得到答案，對于乙的猜想注意

進行分類討論.

【詳解】解：甲同學：???點C在線段>48上，且AC=23C,八8,.?.，媵即二楙，.?.甲同學正確.

乙同學：???點C在線段AB上，且點C是線段AB的三等分點，，有兩種情況，

①當"=!他時，%②當=時，"出讓:，二?乙同學錯誤.故選：N

。JJJ

【點睛】本題主要考查對于新定義和線段的等分點的理解，對于線段的三等分點注意分類討論即可.

題型7實際背景下的計算問題

例1.(2022?北京海淀區(qū)?七年級期中)如圖，直線上的四個點48,C,。分別代表四個小區(qū)，其中A小區(qū)

和B小區(qū)相距am,8小區(qū)和C小區(qū)相距200m,C小區(qū)和。小區(qū)相距am,某公司的員工在4小區(qū)有30人，

8小區(qū)有5人，C小區(qū)有20人，。小區(qū)有6人，現(xiàn)公司計劃在4B,C,。四個小區(qū)中選一個作為班車?？?/p>

點，為使所有員工步行到?？奎c的路程總和最小，那么停靠點的位置應設在()

卜am--------200?//------->U-amf

ABCD

A.A小區(qū)B.8小區(qū)C.C小區(qū)D.。小區(qū)

【答案】B

【分析】根據(jù)題意分別計算?？奎c分別在8、。、C各點時員工步行的路程和，選擇最小的即可求解.

【詳解】解：因為當停靠點在4區(qū)時，所有員工步行到停靠點路程和是：5a+20x(200+a)+6(2a+200)=

37C+5200(m),

因為當?？奎c在8區(qū)時，所有員工步行到?？奎c路程和是：30a+20x200+6(a+200)=36a+5200(m),

當?？奎c在C區(qū)時，所有員工步行到停靠點路程和是：30(a+200)+5x200+6。=36。+7000("),

當?？奎c在。區(qū)時，所有員工步行到?？奎c路程和是：30x(26+200)+5(a+200)+20a=98o+7000(m),

因為36a+5200<37a+5200<36G+7000<98a+7000,

所以當?？奎c在8小區(qū)時，所有員工步行到停靠點路程和最小，那么?？奎c的位置應該在8區(qū).故選：B.

【點睛】本題主要考查了兩點間的距離，理清題意，正確列出算式是解答本題的關鍵.

變式1.(2022?浙江?七年級期中)在數(shù)軸上有一線段A8,左側端點A,右側端點8.將線段A8沿數(shù)軸向

右水平移動，則當它的左端點A移動到和右端點原位置重合時，右端點3在數(shù)軸上所對應的數(shù)為24,若將

線段沿數(shù)軸向左水平移動，則右端點B移動到左端點原位置時，左端點A在軸上所對應的數(shù)為6(單位：

c〃?)(1)線段力4氏為.(2)由題(1)的啟發(fā)，請你借助“數(shù)軸〃這個工具幫助小紅解決下列問

題：問題：一天，小紅去問曾當過數(shù)學老師現(xiàn)在退休在家的爺爺?shù)哪挲g.爺爺說："我若是你現(xiàn)在這么大，

你還要等30年才出生；你若是我現(xiàn)在這么大，我己經(jīng)是120歲的老壽星了，哈哈！”則推算爺爺現(xiàn)在的年

齡是_________

￡4B）

624

【答案】6cm70歲

【分析】（1）據(jù)題意，可知點4和點8'之間的距離為18,且正好是線段AB長的3倍，則可求出AB的長（2）

在求爺爺年齡時，借助數(shù)軸，把小紅和爺爺?shù)哪挲g差看做線段AB的長，結合（1）即可求出爺爺?shù)哪挲g.

【詳解】（1）如圖所示，AA,=AB=BB',44,=344=24-6=1&帆，.?.所以A8=.

（2）借助數(shù)軸，把小紅和爺爺?shù)哪挲g差看做線段AB的長，類似爺爺和小紅大時看做當B點移動到A點時，

此時點A對應的數(shù)為-30,小紅和爺爺一樣大時看做當點A移動到B點時，此時點夕所對應的數(shù)為120,根

據(jù)（1）中提不，可知爺爺比小紅大30）=50（歲）

所以爺爺?shù)哪挲g為120-50=70（歲）.故答案為：①6cm；②70歲.

【點睛】本題考查了數(shù)軸上兩點間的距離和線段的應用，找出蘊含的數(shù)量關系，以及利用數(shù)軸直觀解決問

題是解題關鍵.

變式2.（2022?江蘇宿遷?七年級期末）如圖，直線/上有A,B,C,。四點，點P從點A的左測沿直線，從

左何右運動，當出現(xiàn)點。與人B,C,。四點中的至少兩個點距離相等時，點。就稱為這兩個點的黃金伴

侶點，例：若陽=PB,則在點。從左向右運動的過程中，點尸成為黃金伴侶點的機會有（）

___I_____II__I1___

PABCD

A.4次B.5次C.6次D.7次

【答案】C

【分析】由題意知，點尸與A,&C,。四點中的至少兩個點距離相等時，恰好點尸是其中一條線段的中

點，根據(jù)線段中點定義解答即可.

【詳解】解：由題意知，點P與A,B,C,。四點中的至少兩個點距離相等時，恰好點P是其中一條線段

的中點，圖中共有六條線段：AB,BC、CD、AC.AD.BD,

回點P成為黃金伴侶點的機會有六次，故選：C.

【點睛】此題考查了線段中點的定義，確定線段的數(shù)量，正確埋解題意得到線段中點定義是解題的關

題型8鐘面上的角度問題

例1.（2022?福建泉州?七年級期末）時鐘上的分針和時針像兩個運動員，繞著它們的跑道晝夜不停地運轉.以

下請你解答有關時鐘的問題：（1）分針每分鐘轉了幾度？

（2）中午12時整后再經(jīng)過幾分鐘，分針與時針所成的鈍角會第一次等于121。？

⑶在⑵中所述分針與時針所成的鈍角等于121。后，再經(jīng)過幾分鐘兩針所成的鈍角會第二次等于121。？

【答案】（1）6。（2）22（3）等

【分析】（1）根據(jù)分針一小時轉一圈即360。，用360。除以60計算即得；（2）根據(jù)分針每分鐘轉6。，時針每

分鐘轉0.5。，時針與分針轉過的角度差是121。，列方程解答即可；（3）相對于12時整第二次所成的鈍角第

二次等于121。時，時針與分針轉過的角度差超過180。，這個差與121。之和是360。.

（1）解：0分針一小時轉一圈即360。,

團分針每分鐘轉過的角度是：360。+60=6。，答：分針每分鐘轉了6度；

（2）設中午12時整后再經(jīng)過x分鐘，分針與時針所成的鈍角會第一次等于121。，

團時針一小時轉動角度為：360。+12=30。，時分針每分鐘轉過的角度是：30。+60=0.5。；

回分針與時針所成的鈍角會第一次等于121。，

團時針與分針轉過的角度差是121。，06x-O.5.r=12i,解得：x=22,

答：中午12時整后再經(jīng)過22分鐘，分針與時針所成的鈍角會第一次等于121。；

（3）設經(jīng)過），分鐘兩針所成的鈍角會第二次等于121°,

則從12時算起經(jīng)過（〉，+22）分鐘兩針所成的鈍角會第二次等于121。，

因為時針與分針轉過的角度差超過180°,這個差與121。之和是360°,

故列得方程：6（y+22）-0.5（y+22）+121=360,

解得:6（y+22）-0.5（y+22）+121=360,解得:>=答,

答：經(jīng)過答分鐘兩針所成的鈍角會第二次等于121。.

【點睛】本題通過鐘面角考查一元一次方程，掌握時針分針的轉動情況，會根據(jù)已知條件列方程是解題的

關鍵.選擇合適的初始時刻會簡化理解和運算難度，起到事半功倍的效果.

變式1.（2022?遼寧葫蘆島?七年級期末）每天中午12點30分是“校園之聲"節(jié)目都會如約而至，此時時針與

分針所夾的的角為（）

A.180°B.165°C.155°D.150°

【答案】B

【分析】根據(jù)時鐘上一大格是30。進行計算即可解答.

【詳解】解：由題意得：6x3(r-；x3(r=18(r-15o=165。，回時針與分針所夾的的角為165。，故選：B.

【點睛】本題考查了鐘面角，熟練掌握時鐘上一大格是30。是解題的關鍵.

變式2.(2022?浙江麗水?七年級期末)如圖2是從圖1的時鐘抽象出來的圖形，已知三角形A8C是等邊三角

形，乙4=601當時針OP正對點A時恰好是12：(X),若時針。產(chǎn)與三角形A8C一邊平行時，時針所指的

時間不可能是()

【答案】D

【分析】根據(jù)題意可知，需要分三種情況，分別畫出圖形，可根據(jù)時鐘得出結論.

【詳解】解：根據(jù)題意可知，需要分三種情況，如下圖所示：

當。尸〃A8時，如圖2(1),此時對應的時間為［:00或7：00;

當。P//AC時，如圖2(2),此時對應的時間為5：00或11：00：

當。P//8C時，如圖2(3),此時對應的時間為3：00或9：00：故選：D.

【點睛】本題主要考查分類討論思想，對于時鐘的認識，找到每種情況是解題關鍵.

題型9方位角問題

例1.(2022?浙江麗水?七年級期末)如圖，射線OA表示北偏東30。方向，射線OB表示北偏西50。方向，則財OB

C.90°D.1006

【答案】B

【分析】根據(jù)題意可得加。8=30。+50。，進而得出答案.

【詳解】解：如圖所示:

北

囿射線OA表示北偏東30。方向，射線。8表示北偏西50。方向,

配14。8=30°+50°=80°.故選：B

【點睛】此題主要考查了方向角問題，根據(jù)題意借助互余兩角的關系求出是解題關鍵.

變式1.(2022?河北廊坊?七年級期末)如圖，小明從4處沿南偏西6530'方向行走至點B處，又從點8處沿

北偏西7230,方向行走至點E處，則a4BE=()

A.11430'B.108C.137D.138

【答案】D

【分析】先根據(jù)方位角以及平行線的性質可得圖2=明=6530'、回1=7230',則四8七=團1+02,最后計算即可.

【詳解】解：如圖：

團小明從A處沿南偏西6530'方向行走至點B處,又從點B處沿北偏西7230’方向行走至點E處

002=03=6530'，01=723Of0[ZL4SE=01+02=138°.故答案為D.

北

【點睛】本題主要考杳了方位角和角的運用，正確認識方位角成為解答本題的關鍵.

變式2.（2022?福建泉州?七年級期末）如圖，是表示北偏東X。的一條射線，。8是表示北偏西（90-），）。的

一條射線，若N4OC=ZAO8,則OC表示的方向是（）

\B乙A。于

0\小

A.北偏東（90-3x）。B.北偏東（90+x-y）。C.北偏東（90+2x—），）。D.北偏東（%7-），）。

【答案】C

【分析】根據(jù)題意求得MOB的度數(shù)，根據(jù)角的和差以及N4OC=ZAO8,可得回DOC的度數(shù)，即可得出結

論.

【詳解】解:如圖,

3%，

OE小

田是表示北偏東X。的一條射線，。8是表示北偏西（90-），）。的一條射線,

0ZAOD=x0,NDOB=（90-y）°,0ZAOB=（90—y+文）。，

回=：.ZAOC=（90-y+x）°,

.ZAOD=x°,ZOOC=ZAOD+ZAOC=（x+90->'+x）0=（90-y+2x）0.故選C.

【點睛】本題考查了方位角的表示，幾何圖形中角度的計算，數(shù)形結合是解題的關鍵.

題型10一副直角三角形板中的角度問題

例1.（2022?山東棗莊?七年級期中）如圖，將兩個直角三角板的頂點疊放在一起進行探究.

⑴如圖①，將一副直角三角板的直角頂點C疊放在一起，若CE恰好是的平分線，請你猜想此時CB

是不是13ECQ的平分線，并簡述理由；（2）如圖②，將一副直角三角板的直角頂點。疊放在一起，若CB始

終在（3QCE的內部，請猜想HACE與（3OC8是否相等，并簡述理由.

【答案】⑴C3是團ECD的角平分線；理由見詳解；（2）財。七=皿乂￡：；理由見詳解；

【分析】（1）根據(jù)MCB=90。，CE是幽的角平分線，可知團ECB=；（3AC8=45。，進而可知皿）C8=（3EC。一

團ECB=90。-45。=45。，則回ECB=QC8,由此可證C8是回ECQ的角平分線；

（2）由0ACB=OOCE=9O°,可知0ACE+t3ECB=9O°,0DCB+0ECfi=9O°,則0AC四3OC8.

（1）解：猜想CB是（3EC。的角平分線，理由如下：

配L4C8=90。，CE是（MC8的角平分線，

物EC8=ya4CB=45°,^DCB=^ECD~^ECB=90°-45°=45°,

00￡CT=0DCB,（3C/3是團￡C。的角平分線；

（2）猜想：^ACE^DCE,理由如下：

00ACB=SDCE=9O0,團MC￡+團ECB=90°,團。。8+團￡。8=90°,^ACE^DCB.

【點睛】本題考查角平分線的判定，角度的轉換，能夠根據(jù)題意分析出角的變換過程是解決本題的關鍵.

變式1.（2022?山東威海?期末）用一副三角板不能畫出的角是（）.

A.75°B.105°C.110°D.135°

【答案】C

【分析】105°=60。|45°,105。角可以用一幅三角板中的60。角和45。角畫;75。-45、30°,75。角可以用一幅三

角板中的45。角和30。角畫；135。=90。+45。,135。角可以用一幅三角板中的直角和90。角或45。角畫；110。角用

一副三角板不能畫出.

【詳解】解：105。角可以用一幅三角板中的60。角和45。角畫;

75。角可以用一幅三角板中的45。角和30。角畫；110。角用一副三角板不能畫出；

135。角可以用一幅三角板中的直角和90。角或45。角畫。故選：C.

【點睛】本題考查了利用一副三角板畫出的特殊角，找出規(guī)律是解決此類題的最好方法，應讓學生記住凡

是能用一副三角板畫出的角的度數(shù)都是15。的整數(shù)倍.

變式2.（2022?山東濟南?七年級期末）如圖，將一副三角尺的兩個直角項點。按如圖方式疊放在一起，若財OC

=130°,則由8OD=（）

B

A.45°B.50°C.55°D.60°

【答案】B

【分析】根據(jù)題意可得NAO8=NDOC=90。，推算出幺?！辏镜亩葦?shù)，即可得出/88的度數(shù).

【詳解】解：由題可知，ZAOB=ZZXX?=90°,

0EL4OC=13O°,[aZAOD=ZAOC-ZDOC=130°-90o=40o

團40力=4可-4。7）=900—400=500故選B.

【點睛】本題考查了角度的和差計算，推理出角度之間的關系是本題的關鍵.

題型11與角平分線（角的和差）有關的計算

例1.（2022?遼寧大連市?）如圖1,在NAO8內部作射線OC,O。，OC在OO左側，且NAQ5=2NCOZ）.

E

圖1

圖2

（1）圖1中，若40“=160。,?！昶椒?",0戶平分/30。，fflZEOF=°；

（2）如圖2,0E平分N48,探究N8OD與NCOE之間的數(shù)星關系，并證明；

（3）設NCOD=〃7。，過點0作射線0E,使0c為NAO￡的平分線，再作NC8的角平分線0F,若

/EOC=3/EOF,畫出相應的圖形并求NAOE的度數(shù)（用含m的式子表示）.

33

【答案】（1）120：（2）ZI3OD=2ZAOE,見解析；（3）見解析，丁〃?；?/p>

【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質得到NAOE=NCOE=gN4OC,NQO「r=/8O/=gN3。。，再結合已知

條件即可得出答案；（2）根據(jù)角平分線的性質與已知條件進行角之間的加減即可證明出結論；

（3）根據(jù)角平分線的性質結合已知條件進行角度之間的加減運算，分類討論得出結論即可.

【詳解】解：（1）回408=160。，4OB=2/COD,0ZCOD=80°,0Z4OC+ZBOD=8O°,

田OE平分ZAOC,O/平分NBOD,（3NAOE=ZCOE=-/AOC"DOF=4B0F=-4B0D,

22

0ZCOE+Z.DOF=-（ZAOC+^BOD）=40°,⑦NEOF=NCOE-NFOD+NCOD=120。,故答案為：120；

2

（2）ZBOD=2ZAOE.

證明：E）O石平分NAOQ,EZAOD=2ZEOD,

0?COE?COD?EOD,0ZEOD=ZCOD-ZCOE.

0Z4OD=2（ZCOD-ZCOE）=2ZCOD-2NCOE.

回ZAOB=2NCOD,0ZAOD=ZAOB-2ZCOE.

團ZBOD=ZAOB-ZAOD,（3NBOD=NAOB-心OB-2ZCOE）=2ZCOE,回ZBOD=2/8E；

（3）如圖1,當OE在O/的左側時，

團OF平分NC8,0ZCOF=lzCOD,ZCOD=/n°,（3ZCOF=-/n°,

22

0ZCOF=ZCOE+ZEOF,ZCOE=3Z￡OF,

113

團NCO尸=4NEO產(chǎn)=一〃嚴，0ZEOF=-/w°,^ZCOE=3ZEOF=-m°.

288

3

團0c為NAOEt的平分線，^ZAOE=2ZCOE.mNAOE=一〃?°；

4

圖1圖2

如圖2,當0E在O尸的右側時，團。尸平分NCOD,[3NCO"=；NCO。,

團NCOO=〃/，0ZCOF=-w°,6NC0F=NC0E—/E0F,NC0E=3NE0F,

2

113

^ZC0F=2ZE0F=-in°0ZEOF=-/n°,^ZCOE=3ZE0F=-mQ.

2f44

333

團OC為Z4O￡的平分線，NA0E=2NC0E==/〃。.綜上所述，NAOE的度數(shù)為：加?；?

242

【點睛】本題主要考查了角平分線的性質與角度之間的加減運算，關鍵在于根據(jù)圖形分析出各角之間的數(shù)

量關系.

變式1.（2022?天津和平區(qū)?七年級期中）如圖，點。是直線八8上的一點，0COD=80°,?！昶椒謭F80C.

（1）如圖1,若MOC=40。，求團DOE的度數(shù).（2）在圖1中若兇OC=a（其中ZCTVaVlOO。），請直接用含

a的代數(shù)式表示回。?！甑亩葦?shù).不月說明理由.（3）如圖2.①請直接寫出加。。和13DOE的度數(shù)之間的關系，

不用說明理由.②在M0C的內部有一條射線OF,滿足蜘OC-4MOF=2回BOE+MOF.試確定M0F與團。OE

的度數(shù)之間的關系，直接寫出關系式即可，不用說明理由.

【答案】（1）10°；（2）^-a-10°；（3）@04OC=20DOE+2O°；②4團。。￡-5MOF=140°.

【分析】（1）由M0C的度數(shù)可以求得團8OC的度數(shù)，由OE平分M0C,可以求得團COE的度數(shù)，又由團。0C=

80?？梢郧蟮没谼OE的度數(shù)；（2）由第（1）問的求法，可以直接寫出同。OE的度數(shù);

(3)①首先寫出MOC和回DOE的度數(shù)之間的關系，由回80=80",OE團8OC+附OC=180。，可以

建立各個角之間的關系，從而可以得到附OC和回。?！甑亩葦?shù)之間的關系：

②首先得到MOF與團。OE的度數(shù)之間的關系，由MOC-404OF=2(38OE+蜘OF,0COD=8O°,OE^^BOC,

M0C和團。OE的關系，可以建立各個角之間的關系，從而可以得到M0F與團。OE的度數(shù)之間的關系.

【詳解】解：(1)皿。C=40°,函8OC=180°-M0C=140°.

團?！昶椒謭FBOC,^COE-^BOC.00COE-70°.

物DOE=(3COD-0COF=80°-70°=10°.

(2)釀AOC=a,03BOC=180°-a.

團。￡、「分團8OC,00CO￡=y0BOC.00COf=90°-^a.

團團。OE=mCOD-團COE=80°-90°+[a=^a-10°.

22

(3)①姐OC=2團DOC+20°.

理由：團OE平分(38OC,038OC=213COE.

團團CO。=80°,M0C+回8OC=180°,

團團DOE短COE=80°,0Aoe+2團COE=180°田mCO￡=80°-WOE.

0[^OC+20COE=18OO.EEWOC+2(80°-(3DOE)=180°.化簡，得：MOC=2(3DOE+20°；

②物DOE-5EWOF=140°.

理由：^AOC-4^AOF=2^BOE+^OFt的OC-2回8OE=5MOF.

團OE平分團8OC,圖3E0C=?B0E,^AOC-2^E0C=S^A0F.

由(3)①知：MOC=2(3DOE+20°,020DOf+2O°-20EOC=504OF.

00EOC=0COD-^DOE=30°-WOE,020DOE+2O0-2(80°-0DOE)=5M0F.

04SDOE-140°=5MoF.BPA^DOE-504OF=14O°.

【點睛】此題主要考查角度的關系綜合，解題的關鍵是熟知角平分線的性質、鄰補角的特點.

變式2.(2022?廣西南寧市?)如圖，己知Z4a?=120°,OC是NAOB內的一條射線，旦NAOC:NBOC=1:2.

N,

BC

B

\/\/

°A°備用圖A

（1）求NAOC,NBOC的度數(shù)：（2：作射線OM平分ZAOC,在NAOC內作射線ON，使得4C0N/B0N=1:3,

求ZMON的度數(shù)；（3）過點。作射線。。，若2/40/）=3/800,求NC8的度數(shù).

【答案】（1）ZAOC=4（），NBOC=80;（2）NMQN=40;（3）NCOD=32?；騈COZ）=176

【分析】（1）由N4OB=12（F,NAOCN80c=1:2即可求出NAOC,N8O。的度數(shù)；

（2）由N8OC=80，/CON"BON=1:3,求出NCON；由。W平分ZAOC,且NAOC=40,求出NCOM

的度數(shù)；然后由NMON=NCON+NC0W得到結果：

（3）分類討論，畫出相關圖形，當射線。。在NAOB內部時，根據(jù)條件，計算出相關角度，由

ZCOD=ZBOC-ZBOD,得到結果；當射線0。在4OB外部時，由NCOD=NBOC+NBOD,得到結果.

【詳解】解：（1）（3403=120°,Z4OC:NBOC=1:2

12

0ZAOC=120x-=40,ZBOC=120x-=80

33

（2）01ZBOC=80,/CON"BON=1:3?NCON=80xl=20

4

又R射線OM平分ZAOCt且ZAOC=400NCOM=40xl=20

0ZMON=ZCON+ZCOM=20+20=40

（3）分兩種情況，討論：①當射線。。在NAOB內部時，作圖如下：

3

02ZAOD=3Z^OD04A0D=-/B0D

2

3

乂叵ZAOD4-NBOD=ZAOB,且N/108=120。用-NBOD+NBOD=l20

2

23

團N8O￡>=120x-=48,ZAOD=-ZBOD=12

52

又值NCOD=NBOC-NBOD?/COD