拓展拔高練(時間:45分鐘分值:60分)1.(5分)已知定義在R上的函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f'(x),對任意x∈R滿足f(x)+f'(x)<0,則下列結(jié)論正確的是 ()A.f(2)>ef(3) B.f(2)<ef(3)C.f(2)≥ef(3) D.f(2)≤ef(3)【解析】選A.令g(x)=exf(x),則g'(x)=ex[f(x)+f'(x)]<0,因此函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞減,所以g(2)>g(3),即e2f(2)>e3f(3),故f(2)>ef(3).2.(5分)(2024·濰坊模擬)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),f'(x)是f(x)的導函數(shù),當x≥0時,f'(x)-2x>0,且f(1)=3,則f(x)>x2+2的解集是 ()A.(-1,0)∪(1,+∞)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-1,0)∪(0,1)D.(-∞,-1)∪(0,1)【解析】選B.令g(x)=f(x)-x2,因為f(x)是偶函數(shù),則g(-x)=f(-x)-(-x)2=g(x),所以函數(shù)g(x)也是偶函數(shù),g'(x)=f'(x)-2x,因為當x≥0時,g'(x)=f'(x)-2x>0,所以函數(shù)g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,不等式f(x)>x2+2即為不等式g(x)>2,由f(1)=3,得g(1)=2,所以g(x)>g(1),所以|x|>1,解得x>1或x<-1,所以f(x)>x2+2的解集是(-∞,-1)∪(1,+∞).3.(5分)已知定義在R上的函數(shù)f(x),其導函數(shù)為f'(x),當x>0時,f'(x)-f(x)x>0,若a=2f(1),b=f(2),c=4f(12),則a,b,A.c<b<a B.c<a<bC.b<a<c D.a<b<c【解析】選B.構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)得g'(x)=xf'(x)-f(x)x2=由題知當x>0時,f'(x)-f(所以g'(x)>0,故g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(2)2>f(1)即f(2)>2f(1)>4f(12),即b>a>4.(5分)定義在R上的函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f'(x),若對任意實數(shù)x,有f(x)>f'(x),且f(x)+2024為奇函數(shù),則不等式f(x)+2024ex<0的解集是 ()A.(-∞,0) B.(-∞,ln2024)C.(0,+∞) D.(2024,+∞)【解析】選C.設(shè)g(x)=f(則g'(x)=f'(因為f(x)>f'(x),所以g'(x)<0,所以g(x)為定義在R上的減函數(shù).因為f(x)+2024為奇函數(shù),所以f(0)+2024=0,f(0)=-2024,g(0)=f(0)f(x)+2024ex<0,即f(即g(x)<g(0),故x>0.5.(5分)(新考法)(2024·江蘇連云港模擬)已知α,β均為銳角,且α+β-π2>sinβ-cosα,則 (A.sinα>sinβ B.cosα>cosβC.cosα>sinβ D.sinα>cosβ【解析】選D.因為α+β-π2>sinβ-cosα所以β-sinβ>π2-α-sin(π2-α令f(x)=x-sinx,x∈(0,π2)則f'(x)=1-cosx>0,所以f(x)在(0,π2)上單調(diào)遞增,所以β>π2-因為α,β均為銳角,所以cosβ<cos(π2-α),sinβ>sin(π2-α),所以sinα>cosβ,cosα6.(5分)(2024·成都模擬)已知函數(shù)y=f(x)對任意的x∈(-π2,π2)滿足f'(x)cosx-f(x)sinx>0(其中f'(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù)),則下列不等式成立的是 (A.f(-π3)>2f(-πB.f(π3)<2f(πC.2f(0)<f(π3D.2f(0)>f(π4【解析】選C.構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)cosx,x∈(-π2,π2則g'(x)=f'(x)cosx-f(x)sinx>0,所以g(x)在(-π2,π2)上單調(diào)遞增,則g(-π3)<g(-所以f(-π3)cos(-π3)<f(-π4)cos(-即f(-π3)<2f(-π4),故A因為g(π3)>g(π4所以f(π3)cosπ3>f(π4)cos即f(π3)>2f(π4),故B因為g(0)<g(π3)所以f(0)cos0<f(π3)cosπ即2f(0)<f(π3),故C正確因為g(0)<g(π4),所以f(0)cos0<f(π4)cos即2f(0)<f(π4),故D不正確7.(5分)(多選題)(2024·福州聯(lián)考)定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足xf'(x)-1>0,則下列結(jié)論正確的是 ()A.f(2)-ln2>f(1)B.f(4)-f(2)>ln2C.f(2)+ln2>f(e)+1D.f(e2)-f(e)>1【解析】選ABD.構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)-lnx,x>0,則g'(x)=f'(x)-1x=xf因為xf'(x)-1>0,所以g'(x)>0,故g(x)是增函數(shù),由g(2)>g(1)得,f(2)-ln2>f(1)-ln1,即f(2)-ln2>f(1),故A正確;由g(4)>g(2)得,f(4)-ln4>f(2)-ln2,即f(4)-f(2)>ln4-ln2=ln2,故B正確;由g(e)>g(2)得,f(e)-lne>f(2)-ln2,即f(e)+ln2>f(2)+1,故C錯誤;由g(e2)>g(e)得,f(e2)-lne2>f(e)-lne,即f(e2)-2>f(e)-1,即f(e2)-f(e)>1,故D正確.8.(5分)(多選題)(2024·郴州統(tǒng)考)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當x>0時,xf'(x)+2f(x)>0恒成立,則 ()A.f(1)<4f(2)B.f(-1)<4f(-2)C.16f(4)<9f(3)D.4f(-2)>9f(-3)【解析】選AD.令g(x)=x2f(x),因為當x>0時,xf'(x)+2f(x)>0,所以當x>0時,g'(x)=2xf(x)+x2f'(x)=x[xf'(x)+2f(x)]>0,所以g(x)=x2f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.又f(x)為定義在R上的奇函數(shù),y=x2為定義在R上的偶函數(shù),所以g(x)=x2f(x)為定義在R上的奇函數(shù).所以g(x)是增函數(shù).由g(2)>g(1),可得4f(2)>f(1),故A正確;由g(-1)>g(-2),可得f(-1)>4f(-2),故B錯誤;由g(4)>g(3),可得16f(4)>9f(3),故C錯誤;由g(-2)>g(-3),可得4f(-2)>9f(-3),故D正確.9.(5分)(多選題)已知偶函數(shù)y=f(x)對于任意的x∈[0,π2)滿足f'(x)cosx+f(x)sinx(其中f'(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù)),則下列不等式中成立的是 ()A.2f(-π3)<f(πB.2f(-π3)>f(πC.f(0)<2f(-π4D.f(π6)<3f(π【解析】選BCD.因為偶函數(shù)y=f(x)對于任意的x∈[0,π2)滿足f'(x)cosx+f(x)sinx>0,且f'(x)cosx+f(x)sinx=f'(x)cosx-f(x)(cosx)',所以可構(gòu)造函數(shù)g(x)=f則g'(x)=f'(x)cosx+f(x)sinxcos2x>0在[0,π2)上恒成立,所以g(x)為偶函數(shù)且在[0,π2)上單調(diào)遞增,所以g(-g(-π4)=g(π4)=f(π4)cosg(π6)=f(π6)cosπ6=233f(π6),由函數(shù)單調(diào)性可知g(π6)<g(π4)<g(π3),即233f(π6)<對于C,g(-π4)=g(π4)=2f(-π4)>g(0)=f(0),所以10.(5分)已知偶函數(shù)f(x)(x≠0)的導函數(shù)為f'(x),且滿足f(-1)=0,當x>0時,2f(x)>xf'(x),則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是________.

【解析】構(gòu)造F(x)=f(則F'(x)=f'(當x>0時,xf'(x)-2f(x)<0,可以推出當x>0時,F'(x)<0,F(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.因為f(x)為偶函數(shù),y=x2為偶函數(shù),所以F(x)為偶函數(shù),所以F(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增.根據(jù)f(-1)=0可得F(-1)=0,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性可得函數(shù)的大致圖象(圖略),根據(jù)圖象可知f(x)>0的解集為(-1,0)∪(0,1).答案:(-1,0)∪(0,1)11.(5分)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的可導函數(shù),其導函數(shù)為f'(x),若f(1)=4,且f'(x)-2x<3對任意的x∈R恒成立,則不等式f(2x-3)<2x(2x-3)的解集為________.

【解析】令g(x)=f(x)-x2-3x,則g'(x)=f'(x)-2x-3<0在R上恒成立,所以g(x)是減函數(shù).又f(2x-3)<2x(2x-3),即f(2x-3)-(2x-3)2-3(2x-3)<0,又f(1)-12-3×1=0,即g(2x-3)<g(1),所以2x-3>1,解得x>2,所以不等式f(2x-3)<2x(2x-3)的解集為(2,+∞).答案:(2,+∞)12.(5分)已知函數(shù)f(x)定義在(0,π2)上,f'(x)是它的導函數(shù),且恒有f(x)<f'(x)tanx成立