多極子邊界元改進算法在換流閥電場計算中的深度研究與應(yīng)用一、引言1.1研究背景與意義隨著現(xiàn)代電力系統(tǒng)的快速發(fā)展，高壓直流輸電（HVDC）技術(shù)因其在長距離大容量輸電、異步電網(wǎng)互聯(lián)等方面的顯著優(yōu)勢，得到了日益廣泛的應(yīng)用。換流閥作為高壓直流輸電系統(tǒng)的核心設(shè)備，承擔著交流電與直流電相互轉(zhuǎn)換的關(guān)鍵任務(wù)，其性能的優(yōu)劣直接影響著整個輸電系統(tǒng)的安全穩(wěn)定運行。在換流閥的設(shè)計、制造與運行過程中，準確掌握其內(nèi)部電場分布情況至關(guān)重要。一方面，電場分布決定了換流閥內(nèi)部絕緣材料的電場強度，不合理的電場分布可能導(dǎo)致絕緣材料局部電場集中，加速絕緣老化，甚至引發(fā)絕緣擊穿故障，嚴重威脅系統(tǒng)的可靠性；另一方面，精確的電場計算對于優(yōu)化換流閥的結(jié)構(gòu)設(shè)計、提高其電氣性能和降低成本具有重要指導(dǎo)意義。例如，通過電場計算可以合理調(diào)整屏蔽結(jié)構(gòu)的尺寸和形狀，優(yōu)化均壓措施，從而實現(xiàn)電場的均勻分布，提高換流閥的絕緣裕度和運行穩(wěn)定性。傳統(tǒng)的換流閥電場計算方法，如有限元法（FEM）和有限差分法（FDM），在處理復(fù)雜幾何形狀和邊界條件時存在一定的局限性。有限元法需要對整個求解區(qū)域進行離散化，計算量和存儲量較大，尤其對于大規(guī)模問題，計算效率較低；有限差分法在處理不規(guī)則邊界時精度難以保證，且對復(fù)雜場域的適應(yīng)性較差。多極子邊界元法（MBEM）作為一種高效的數(shù)值計算方法，在解決具有復(fù)雜邊界條件的靜電場問題時展現(xiàn)出獨特的優(yōu)勢。它將求解區(qū)域的場問題轉(zhuǎn)化為邊界上的積分方程求解，只需對邊界進行離散，大大減少了計算量和存儲量，尤其適用于處理無限域或半無限域問題。然而，傳統(tǒng)的多極子邊界元法在計算精度、計算效率以及對復(fù)雜模型的適應(yīng)性等方面仍存在一些不足，難以滿足現(xiàn)代換流閥電場計算日益增長的高精度、高效率需求。因此，開展多極子邊界元改進算法的研究，對于提高換流閥電場計算的準確性和效率，推動高壓直流輸電技術(shù)的發(fā)展具有重要的理論意義和實際應(yīng)用價值。從理論層面來看，改進算法的研究有助于完善多極子邊界元法的理論體系，拓展其在復(fù)雜工程問題中的應(yīng)用范圍；從實際應(yīng)用角度出發(fā)，準確高效的電場計算方法能夠為換流閥的設(shè)計優(yōu)化提供更可靠的依據(jù)，降低設(shè)備研發(fā)成本和運行風險，提高電力系統(tǒng)的整體經(jīng)濟效益和社會效益。1.2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀1.2.1換流閥電場計算方法在換流閥電場計算領(lǐng)域，有限元法（FEM）是一種應(yīng)用極為廣泛的傳統(tǒng)方法。有限元法的基本思想是將連續(xù)的求解區(qū)域離散為有限個單元的組合體，通過對每個單元進行分析，建立單元方程，再將這些單元方程組裝成整體方程組，從而求解出整個區(qū)域的場分布。在換流閥電場計算中，有限元法能夠處理復(fù)雜的幾何形狀和多種介質(zhì)的情況，通過合理劃分網(wǎng)格，可以較為精確地模擬換流閥內(nèi)部和周圍的電場分布。如文獻[具體文獻1]利用有限元法對換流閥的屏蔽系統(tǒng)進行電場計算，通過建立詳細的三維模型，考慮了屏蔽材料的介電特性和不同部件的幾何形狀，準確地得到了屏蔽系統(tǒng)表面的電場分布情況，為屏蔽系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計提供了重要依據(jù)。然而，有限元法也存在一些明顯的缺點。由于需要對整個求解區(qū)域進行離散化，對于大規(guī)模的換流閥模型，其計算量和存儲量會隨著單元數(shù)量的增加而急劇增大，導(dǎo)致計算效率降低，計算成本增加。此外，在處理無限域或半無限域問題時，有限元法需要引入人工截斷邊界，這可能會帶來數(shù)值誤差，影響計算結(jié)果的準確性。有限差分法（FDM）也是一種經(jīng)典的數(shù)值計算方法，它將求解區(qū)域劃分為網(wǎng)格，通過差商代替微商，將偏微分方程轉(zhuǎn)化為差分方程進行求解。在早期的換流閥電場計算中，有限差分法曾被廣泛應(yīng)用。該方法的優(yōu)點是原理簡單，易于編程實現(xiàn)。但是，有限差分法在處理不規(guī)則邊界時存在較大困難，難以精確地擬合換流閥復(fù)雜的幾何形狀，從而導(dǎo)致計算精度下降。而且，有限差分法對于場域的適應(yīng)性相對較差，對于一些具有復(fù)雜邊界條件和介質(zhì)分布的換流閥電場問題，其計算結(jié)果的可靠性難以保證。邊界元法（BEM）作為一種高效的數(shù)值計算方法，在換流閥電場計算中具有獨特的優(yōu)勢。邊界元法將求解區(qū)域的場問題轉(zhuǎn)化為邊界上的積分方程求解，只需對邊界進行離散，大大減少了計算量和存儲量。尤其是在處理無限域或半無限域問題時，邊界元法無需引入人工截斷邊界，能夠自然地滿足無窮遠處的邊界條件，從而提高計算結(jié)果的準確性。文獻[具體文獻2]運用邊界元法對換流閥的電場進行計算，通過對邊界的合理離散和積分方程的求解，有效地得到了換流閥周圍的電場分布，并且在計算效率上相較于有限元法有了顯著提升。然而，傳統(tǒng)邊界元法在計算過程中會形成滿秩的系數(shù)矩陣，對于大規(guī)模問題，矩陣的存儲和求解仍然是一個挑戰(zhàn)，限制了其在復(fù)雜換流閥模型中的應(yīng)用。1.2.2多極子邊界元法研究進展多極子邊界元法（MBEM）的發(fā)展可以追溯到上世紀后期，其起源于對傳統(tǒng)邊界元法計算效率的改進需求。該方法的基本原理是基于格林函數(shù)的多極展開技術(shù)，將邊界積分方程中的相互作用項進行分解，通過引入多極子和局部展開，將遠處源點對場點的作用近似表示，從而大大減少了計算量。在數(shù)學原理上，多極子邊界元法利用球諧函數(shù)等數(shù)學工具，將復(fù)雜的邊界積分轉(zhuǎn)化為一系列簡單的計算，實現(xiàn)了對大規(guī)模問題的高效求解。其基本步驟包括：首先對求解區(qū)域的邊界進行離散化處理，將邊界劃分為多個小單元；然后對每個單元上的積分進行多極展開，計算多極子和局部展開系數(shù)；最后通過這些系數(shù)來計算場點的電位或場強等物理量。多極子邊界元法在多個領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。在聲學領(lǐng)域，用于復(fù)雜結(jié)構(gòu)的聲學特性預(yù)測，如汽車外殼、船體等結(jié)構(gòu)的噪聲分析，能夠準確模擬聲波在復(fù)雜結(jié)構(gòu)中的傳播和反射特性。在彈性力學領(lǐng)域，可用于求解復(fù)雜結(jié)構(gòu)的應(yīng)力和變形問題，為工程結(jié)構(gòu)的設(shè)計和優(yōu)化提供重要依據(jù)。在電磁學領(lǐng)域，除了應(yīng)用于換流閥電場計算外，還在天線輻射、電磁散射等問題中發(fā)揮了重要作用。盡管多極子邊界元法取得了一定的應(yīng)用成果，但現(xiàn)有研究中仍存在一些問題。在計算精度方面，雖然多極展開能夠在一定程度上提高計算效率，但展開的截斷誤差可能會影響計算精度，尤其是在處理復(fù)雜幾何形狀和多介質(zhì)問題時，如何準確地控制誤差是一個關(guān)鍵問題。在計算效率上，對于超大規(guī)模的問題，多極子邊界元法的計算時間仍然較長，難以滿足實時性要求較高的工程應(yīng)用。此外，在處理復(fù)雜模型時，多極子邊界元法對模型的描述能力和邊界條件的處理能力還有待進一步提高，例如對于具有復(fù)雜拓撲結(jié)構(gòu)和非線性材料特性的換流閥模型，現(xiàn)有的多極子邊界元法可能無法準確地模擬其電場分布。針對這些問題，當前的改進方向主要集中在優(yōu)化多極展開算法，如采用自適應(yīng)的多極展開策略，根據(jù)場點和源點的距離自動調(diào)整展開階數(shù)，以提高計算精度和效率；結(jié)合其他數(shù)值方法，如與有限元法進行耦合，充分發(fā)揮兩種方法的優(yōu)勢，解決復(fù)雜模型的計算問題；以及改進邊界條件的處理方式，提高多極子邊界元法對復(fù)雜邊界條件的適應(yīng)性。1.3研究內(nèi)容與創(chuàng)新點本文的主要研究內(nèi)容圍繞多極子邊界元改進算法在換流閥電場計算中的應(yīng)用展開，具體如下：多極子邊界元法理論基礎(chǔ)研究：深入剖析多極子邊界元法的基本原理，包括格林函數(shù)的多極展開技術(shù)、邊界積分方程的建立與求解過程。研究多極子邊界元法在處理靜電場問題時的數(shù)學模型，分析其在不同邊界條件和場域特性下的適用性，為后續(xù)改進算法的研究奠定堅實的理論基礎(chǔ)。換流閥模型建立與電場特性分析：根據(jù)換流閥的實際結(jié)構(gòu)和運行參數(shù)，建立精確的三維幾何模型?？紤]換流閥內(nèi)部各種組件，如晶閘管、電抗器、電容器、屏蔽裝置等的幾何形狀、位置關(guān)系以及材料特性，利用專業(yè)的建模軟件進行模型構(gòu)建。通過對換流閥電場特性的初步分析，明確電場分布的關(guān)鍵區(qū)域和影響因素，為電場計算提供準確的模型依據(jù)。多極子邊界元改進算法研究：針對傳統(tǒng)多極子邊界元法在計算精度和效率方面的不足，提出改進策略。一方面，優(yōu)化多極展開算法，采用自適應(yīng)多極展開技術(shù)，根據(jù)場點與源點之間的距離以及場的變化梯度，自動調(diào)整多極展開的階數(shù)，以提高計算精度并減少不必要的計算量。另一方面，改進邊界條件的處理方法，針對換流閥復(fù)雜的邊界條件，如不同介質(zhì)的交界面、屏蔽結(jié)構(gòu)的表面等，提出有效的邊界條件施加方式，提高算法對復(fù)雜模型的適應(yīng)性。此外，還將研究如何減少多極展開的截斷誤差，通過引入高精度的數(shù)值計算方法和誤差補償機制，確保改進算法在計算精度上有顯著提升。算法實現(xiàn)與數(shù)值計算：基于改進的多極子邊界元算法，利用編程語言（如C++、Fortran等）進行程序?qū)崿F(xiàn)。在程序開發(fā)過程中，注重算法的并行化處理，采用多線程或分布式計算技術(shù)，充分利用計算機的多核處理器資源，提高計算效率，以滿足大規(guī)模換流閥電場計算的需求。通過編寫測試用例，對改進算法的性能進行驗證，與傳統(tǒng)多極子邊界元法以及其他電場計算方法（如有限元法）進行對比，分析改進算法在計算精度、計算時間和內(nèi)存消耗等方面的優(yōu)勢。針對實際的換流閥工程案例，運用改進算法進行電場計算，得到換流閥內(nèi)部和周圍空間的電場分布結(jié)果，并對計算結(jié)果進行詳細的分析和討論。結(jié)果分析與驗證：對改進算法計算得到的換流閥電場分布結(jié)果進行深入分析，研究電場強度的大小、方向以及分布規(guī)律。結(jié)合換流閥的絕緣設(shè)計要求，評估電場分布的合理性，判斷是否存在電場集中區(qū)域，為換流閥的優(yōu)化設(shè)計提供依據(jù)。通過與實際測量數(shù)據(jù)或已有的實驗結(jié)果進行對比驗證，檢驗改進算法的準確性和可靠性。若計算結(jié)果與實際情況存在偏差，分析偏差產(chǎn)生的原因，進一步優(yōu)化改進算法，確保算法能夠準確地模擬換流閥的電場分布。本文所提改進算法的創(chuàng)新點主要體現(xiàn)在以下幾個方面：自適應(yīng)多極展開技術(shù)：首次將自適應(yīng)多極展開策略引入換流閥電場計算的多極子邊界元法中，根據(jù)場的實際情況動態(tài)調(diào)整多極展開階數(shù)，打破了傳統(tǒng)固定階數(shù)展開的局限性，在保證計算精度的同時，有效提高了計算效率，尤其適用于復(fù)雜換流閥模型的電場計算。新型邊界條件處理方法：針對換流閥復(fù)雜的邊界條件，提出了一種基于物理特性和數(shù)學模型相結(jié)合的新型處理方法。該方法能夠更加準確地描述邊界上的電場行為，提高了算法對復(fù)雜邊界的適應(yīng)性，相比傳統(tǒng)邊界條件處理方式，在處理多介質(zhì)交界面和屏蔽結(jié)構(gòu)邊界時具有更高的精度和穩(wěn)定性。高精度誤差補償機制：建立了一套高精度的誤差補償機制，用于減少多極展開過程中的截斷誤差。通過對誤差的分析和建模，采用補償函數(shù)對計算結(jié)果進行修正，使得改進算法在計算精度上有了質(zhì)的飛躍，能夠滿足換流閥電場計算對高精度的嚴格要求。通過本研究，預(yù)期能夠得到一種高效、準確的換流閥電場計算多極子邊界元改進算法，該算法將在計算精度、計算效率和對復(fù)雜模型的適應(yīng)性等方面優(yōu)于傳統(tǒng)算法。為換流閥的設(shè)計、優(yōu)化和絕緣性能評估提供更可靠的計算工具，推動高壓直流輸電技術(shù)的進一步發(fā)展，具有重要的理論意義和實際工程應(yīng)用價值。在理論方面，豐富和完善了多極子邊界元法在復(fù)雜工程電場計算中的理論體系；在實際應(yīng)用中，能夠幫助工程師更準確地掌握換流閥的電場分布情況，優(yōu)化設(shè)計方案，降低設(shè)備成本，提高電力系統(tǒng)的運行可靠性和安全性。二、多極子邊界元法基本原理2.1邊界元法基礎(chǔ)邊界元法（BoundaryElementMethod，BEM）作為一種重要的數(shù)值計算方法，在眾多科學與工程領(lǐng)域中得到了廣泛應(yīng)用。其基本概念是將求解區(qū)域的偏微分方程問題轉(zhuǎn)化為邊界上的積分方程問題進行求解。這種方法的獨特之處在于，它只需對求解區(qū)域的邊界進行離散化處理，而無需像有限元法那樣對整個求解區(qū)域進行離散。這使得邊界元法在處理具有復(fù)雜邊界條件和無限域的問題時，展現(xiàn)出明顯的優(yōu)勢。邊界元法的理論基礎(chǔ)主要源于數(shù)學物理中的積分方程理論。以二維靜電場問題為例，考慮一個在區(qū)域\Omega內(nèi)滿足泊松方程的電勢函數(shù)\varphi：\nabla^2\varphi=-\frac{\rho}{\epsilon_0}其中，\rho是電荷密度，\epsilon_0是真空介電常數(shù)。根據(jù)格林第二公式，對于區(qū)域\Omega及其邊界\Gamma，有：\int_{\Omega}(\varphi\nabla^2G-G\nabla^2\varphi)d\Omega=\int_{\Gamma}(\varphi\frac{\partialG}{\partialn}-G\frac{\partial\varphi}{\partialn})d\Gamma式中，G是格林函數(shù)，它滿足\nabla^2G=-\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}')，\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}')是狄拉克函數(shù)，表示在點\mathbf{r}'處的單位點源；\frac{\partial}{\partialn}表示沿邊界\Gamma的外法向?qū)?shù)。將泊松方程代入上式，并利用格林函數(shù)的性質(zhì)，可得到邊界積分方程：c(\mathbf{r})\varphi(\mathbf{r})=\int_{\Gamma}\left[G(\mathbf{r},\mathbf{r}')\frac{\partial\varphi(\mathbf{r}')}{\partialn'}-\varphi(\mathbf{r}')\frac{\partialG(\mathbf{r},\mathbf{r}')}{\partialn'}\right]d\Gamma'+\frac{1}{\epsilon_0}\int_{\Omega}G(\mathbf{r},\mathbf{r}')\rho(\mathbf{r}')d\Omega'其中，當\mathbf{r}在區(qū)域\Omega內(nèi)部時，c(\mathbf{r})=1；當\mathbf{r}在光滑邊界\Gamma上時，c(\mathbf{r})=\frac{1}{2}。這個邊界積分方程將區(qū)域內(nèi)的電勢函數(shù)\varphi與邊界上的電勢\varphi|_{\Gamma}和電位移矢量的法向分量\frac{\partial\varphi}{\partialn}|_{\Gamma}聯(lián)系起來，從而將求解區(qū)域內(nèi)的偏微分方程問題轉(zhuǎn)化為邊界上的積分方程問題。邊界元法的求解過程主要包括以下幾個關(guān)鍵步驟：邊界離散化：將求解區(qū)域的邊界\Gamma劃分為一系列小的邊界單元，如在二維問題中，可將邊界離散為線段單元；在三維問題中，可將邊界離散為三角形或四邊形等平面單元。每個單元上定義節(jié)點，通過節(jié)點來描述邊界的幾何形狀和物理量的分布。例如，對于一個二維的換流閥模型，其復(fù)雜的外輪廓邊界可被離散成多個線段單元，每個線段的端點即為節(jié)點，通過這些節(jié)點的坐標來確定邊界的形狀。建立離散化的邊界積分方程：在每個邊界單元上，對邊界積分方程進行數(shù)值離散。通常采用插值函數(shù)來近似表示邊界上的未知量，如電勢和電位移矢量的法向分量。將這些插值函數(shù)代入邊界積分方程，并利用數(shù)值積分方法（如高斯積分）對積分進行計算，從而將邊界積分方程轉(zhuǎn)化為線性代數(shù)方程組。以線性插值函數(shù)為例，假設(shè)在一個線段單元上，電勢\varphi可表示為\varphi=N_1\varphi_1+N_2\varphi_2，其中N_1和N_2是插值基函數(shù)，\varphi_1和\varphi_2是該單元兩個節(jié)點上的電勢值。將其代入邊界積分方程后，通過高斯積分計算積分項，最終得到關(guān)于節(jié)點電勢的線性代數(shù)方程。求解線性代數(shù)方程組：利用各種數(shù)值方法，如高斯消元法、共軛梯度法等，求解離散化后得到的線性代數(shù)方程組，從而得到邊界節(jié)點上的未知量，如電勢值。對于大型的線性代數(shù)方程組，為了提高求解效率，可采用迭代法進行求解，如共軛梯度法通過迭代逐步逼近方程組的精確解，在每次迭代中根據(jù)當前的解向量和殘差向量來更新解向量，直到滿足一定的收斂條件為止。計算域內(nèi)各點的物理量：根據(jù)邊界節(jié)點上的解，利用邊界積分方程或其他相關(guān)公式，計算求解區(qū)域內(nèi)任意點的物理量，如電場強度等。例如，在已知邊界上的電勢值后，通過對邊界積分方程進行適當?shù)淖儞Q和計算，可得到域內(nèi)任意點的電場強度。對于電場強度的計算，可根據(jù)電場強度與電勢的關(guān)系\mathbf{E}=-\nabla\varphi，通過對邊界上的電勢值進行數(shù)值微分來近似得到域內(nèi)各點的電場強度。邊界元法與有限元法相比，具有顯著的特點。在處理無限域或半無限域問題時，邊界元法無需像有限元法那樣引入人工截斷邊界，從而避免了由于截斷邊界處理不當而帶來的數(shù)值誤差，能夠更準確地模擬實際物理場的分布。例如，在分析換流閥周圍的電場分布時，由于電場在空間中是無限延伸的，有限元法需要在一定距離處設(shè)置人工截斷邊界，這可能會對計算結(jié)果產(chǎn)生影響；而邊界元法通過邊界積分方程自然地考慮了無窮遠處的邊界條件，能夠更真實地反映電場的實際分布情況。邊界元法在計算精度上通常較高，尤其是對于邊界附近的物理量計算，能夠提供更為準確的結(jié)果。這是因為邊界元法直接在邊界上進行離散和求解，充分利用了邊界上的信息，對于邊界變量變化梯度較大的問題具有更好的適應(yīng)性。然而，邊界元法也存在一定的局限性，其應(yīng)用范圍受到相應(yīng)微分算子基本解的限制，對于一些非均勻介質(zhì)或復(fù)雜物理模型的問題，難以找到合適的基本解，從而限制了其應(yīng)用。而且，邊界元法建立的求解代數(shù)方程組的系數(shù)陣通常是非對稱滿陣，這對解題規(guī)模產(chǎn)生了較大限制，在處理大規(guī)模問題時，計算量和存儲量會迅速增加，計算效率較低。2.2多極子方法核心原理多極子方法是多極子邊界元法加速計算的關(guān)鍵技術(shù)，其核心思想是通過對遠處源點和場點之間相互作用的近似處理，有效減少計算量，從而提高邊界元法的計算效率。在靜電場問題中，多極子方法基于格林函數(shù)的多極展開技術(shù)，將復(fù)雜的相互作用項進行簡化，使得在處理大規(guī)模問題時能夠顯著降低計算成本。多極展開是多極子方法的重要基礎(chǔ)。對于一個位于原點的電荷分布\rho(\mathbf{r}')，其在空間中某點\mathbf{r}處產(chǎn)生的電勢\varphi(\mathbf{r})可以通過庫侖定律表示為：\varphi(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int\frac{\rho(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}d\mathbf{r}'當\mathbf{r}遠大于電荷分布的尺度時，即|\mathbf{r}|\gg|\mathbf{r}'|，可以利用多極展開技術(shù)對\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}進行展開。根據(jù)球諧函數(shù)的性質(zhì)，\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}可以展開為：\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}=\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{m=-n}^{n}\frac{r'^n}{r^{n+1}}Y_{n}^{m}(\theta',\varphi')Y_{n}^{m*}(\theta,\varphi)其中，Y_{n}^{m}(\theta,\varphi)是球諧函數(shù)，r和r'分別是點\mathbf{r}和\mathbf{r}'的模長，\theta、\varphi以及\theta'、\varphi'分別是它們對應(yīng)的球坐標角度。將上式代入電勢表達式中，可得：\varphi(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{m=-n}^{n}\frac{1}{r^{n+1}}Y_{n}^{m*}(\theta,\varphi)\intr'^nY_{n}^{m}(\theta',\varphi')\rho(\mathbf{r}')d\mathbf{r}'這里，\intr'^nY_{n}^{m}(\theta',\varphi')\rho(\mathbf{r}')d\mathbf{r}'被稱為多極矩，它描述了電荷分布的不同階次的特性。通過多極展開，將遠處電荷分布對場點的作用分解為不同階次多極矩的貢獻，從而簡化了計算。局部展開是多極子方法中的另一個重要環(huán)節(jié)，它與多極展開相互配合，進一步提高計算效率。在實際計算中，通常將求解區(qū)域劃分為多個子區(qū)域，每個子區(qū)域可以看作一個局部區(qū)域。對于某個局部區(qū)域內(nèi)的場點，當計算其受到其他遠處子區(qū)域的影響時，首先在遠處子區(qū)域進行多極展開，得到該子區(qū)域的多極矩；然后將這些多極矩在目標局部區(qū)域進行局部展開，得到局部展開系數(shù)。通過這種方式，將遠處子區(qū)域?qū)δ繕司植繀^(qū)域內(nèi)場點的作用近似表示為局部展開系數(shù)與場點位置相關(guān)項的乘積。例如，對于一個目標局部區(qū)域內(nèi)的場點\mathbf{r}，其受到遠處子區(qū)域的作用可以表示為：\varphi_{far}(\mathbf{r})=\sum_{n=0}^{N}\sum_{m=-n}^{n}a_{n}^{m}b_{n}^{m}(\mathbf{r})其中，a_{n}^{m}是通過多極展開得到的遠處子區(qū)域的多極矩相關(guān)系數(shù)，b_{n}^{m}(\mathbf{r})是與場點\mathbf{r}位置相關(guān)的局部展開函數(shù)，N是展開的階數(shù)。在實現(xiàn)多極展開和局部展開時，需要確定展開的階數(shù)。展開階數(shù)的選擇直接影響計算精度和計算效率。如果展開階數(shù)過低，雖然計算量會減少，但可能會導(dǎo)致計算精度不足；而展開階數(shù)過高，則會增加不必要的計算量，降低計算效率。通?？梢愿鶕?jù)場點與源點之間的距離、場的變化梯度以及所需的計算精度等因素來確定合適的展開階數(shù)。例如，在電場變化較為平緩的區(qū)域，可以適當降低展開階數(shù)；而在電場變化劇烈的區(qū)域，如換流閥的屏蔽結(jié)構(gòu)附近，為了保證計算精度，則需要提高展開階數(shù)。在計算過程中，還可以采用自適應(yīng)的方法來動態(tài)調(diào)整展開階數(shù)，以在保證精度的前提下優(yōu)化計算效率。多極子方法通過多極展開和局部展開，將復(fù)雜的電場計算問題簡化，有效減少了計算量，提高了邊界元法在處理大規(guī)模問題時的計算效率。這種方法在換流閥電場計算等領(lǐng)域具有重要的應(yīng)用價值，為準確高效地分析換流閥內(nèi)部電場分布提供了有力的工具。2.3多極子邊界元法的計算流程多極子邊界元法的計算流程是一個系統(tǒng)且嚴謹?shù)倪^程，其基于邊界元法的基本原理，結(jié)合多極子加速技術(shù)，能夠高效地求解復(fù)雜的電場問題。以下將詳細介紹多極子邊界元法從模型建立到最終求解計算的完整流程。在運用多極子邊界元法進行換流閥電場計算時，首先需要建立精確的換流閥模型。利用專業(yè)的三維建模軟件，如ANSYS、COMSOL等，根據(jù)換流閥的實際結(jié)構(gòu)尺寸、材料特性以及各組件的相對位置關(guān)系，構(gòu)建出詳細的三維幾何模型。在建模過程中，需準確考慮換流閥內(nèi)部的各種關(guān)鍵組件，包括晶閘管、電抗器、電容器以及屏蔽裝置等。例如，對于晶閘管，要精確設(shè)定其形狀、尺寸以及電導(dǎo)率等參數(shù)；對于屏蔽裝置，需考慮其材料的介電常數(shù)和電導(dǎo)率，以及不同屏蔽結(jié)構(gòu)（如屏蔽環(huán)、屏蔽罩等）的具體形狀和位置，以確保模型能夠真實地反映換流閥的實際物理特性。完成換流閥模型的建立后，需要對模型的邊界進行離散化處理。這是多極子邊界元法計算流程中的關(guān)鍵步驟，離散化的質(zhì)量直接影響后續(xù)計算的精度和效率。將換流閥模型的邊界劃分為一系列小的邊界單元，在二維問題中，邊界可離散為線段單元；在三維問題中，通常將邊界離散為三角形或四邊形等平面單元。以三維換流閥模型為例，可使用三角形網(wǎng)格對其復(fù)雜的外表面邊界進行離散，每個三角形單元的頂點即為節(jié)點。確定合適的網(wǎng)格密度至關(guān)重要，在電場變化劇烈的區(qū)域，如晶閘管的邊緣、屏蔽裝置的表面等，應(yīng)采用較細的網(wǎng)格，以更準確地捕捉電場的變化；而在電場變化相對平緩的區(qū)域，可以適當增大網(wǎng)格尺寸，以減少計算量。在劃分網(wǎng)格時，可利用建模軟件自帶的網(wǎng)格劃分工具，并結(jié)合一些優(yōu)化算法，如Delaunay三角剖分算法，確保網(wǎng)格的質(zhì)量，避免出現(xiàn)畸形單元，保證后續(xù)計算的穩(wěn)定性和準確性。離散化完成后，需要建立邊界積分方程。根據(jù)靜電場的基本原理，利用格林函數(shù)將偏微分方程轉(zhuǎn)化為邊界積分方程。對于換流閥電場問題，邊界積分方程可以表示為：c(\mathbf{r})\varphi(\mathbf{r})=\int_{\Gamma}\left[G(\mathbf{r},\mathbf{r}')\frac{\partial\varphi(\mathbf{r}')}{\partialn'}-\varphi(\mathbf{r}')\frac{\partialG(\mathbf{r},\mathbf{r}')}{\partialn'}\right]d\Gamma'+\frac{1}{\epsilon_0}\int_{\Omega}G(\mathbf{r},\mathbf{r}')\rho(\mathbf{r}')d\Omega'其中，\varphi(\mathbf{r})是點\mathbf{r}處的電勢，G(\mathbf{r},\mathbf{r}')是格林函數(shù)，\frac{\partial}{\partialn'}表示沿邊界\Gamma的外法向?qū)?shù)，\rho(\mathbf{r}')是電荷密度，\epsilon_0是真空介電常數(shù)。在實際計算中，需要根據(jù)換流閥的具體邊界條件，如不同組件間的電勢差、接地條件等，對邊界積分方程進行進一步的處理和簡化，以得到適用于數(shù)值計算的形式。為了將邊界積分方程轉(zhuǎn)化為可求解的代數(shù)方程組，需要對其進行離散化處理。在每個邊界單元上，通過選擇合適的插值函數(shù)來近似表示邊界上的未知量，如電勢和電位移矢量的法向分量。常用的插值函數(shù)有線性插值函數(shù)、二次插值函數(shù)等。以線性插值函數(shù)為例，假設(shè)在一個三角形邊界單元上，電勢\varphi可表示為\varphi=N_1\varphi_1+N_2\varphi_2+N_3\varphi_3，其中N_1、N_2、N_3是插值基函數(shù)，\varphi_1、\varphi_2、\varphi_3是該單元三個節(jié)點上的電勢值。將插值函數(shù)代入邊界積分方程，并利用數(shù)值積分方法（如高斯積分）對積分進行計算，將邊界積分方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于節(jié)點未知量的線性代數(shù)方程組。對于一個包含n個節(jié)點的離散化模型，最終可得到一個n階的線性代數(shù)方程組A\mathbf{x}=\mathbf，其中A是系數(shù)矩陣，\mathbf{x}是節(jié)點未知量向量，\mathbf是已知向量。在傳統(tǒng)邊界元法中，求解該線性代數(shù)方程組時，由于系數(shù)矩陣A通常是滿秩的，計算量和存儲量較大。而多極子邊界元法通過多極子加速技術(shù)來減少計算量。其核心步驟包括多極展開和局部展開。將整個求解區(qū)域劃分為多個層次的子區(qū)域，從最細的子區(qū)域開始，逐步向上計算多極矩。對于每個子區(qū)域，計算其內(nèi)部源點的多極矩，通過多極展開將遠處子區(qū)域?qū)υ撟訁^(qū)域的作用近似表示。將計算得到的多極矩傳遞到上一層更大的子區(qū)域，進行合并和進一步的近似處理，這個過程稱為上推過程。在計算場點的電勢時，從最粗的子區(qū)域開始，將多極矩通過局部展開轉(zhuǎn)化為對場點的作用，逐步向下細化到具體的場點所在子區(qū)域，這個過程稱為下拉過程。通過多極展開和局部展開的反復(fù)迭代，有效地減少了計算量，提高了計算效率。在計算過程中，還需根據(jù)場點與源點之間的距離、場的變化梯度等因素，合理地確定多極展開和局部展開的階數(shù)，以平衡計算精度和計算效率。利用合適的數(shù)值方法求解經(jīng)過多極子加速處理后的線性代數(shù)方程組，得到邊界節(jié)點上的未知量，如電勢值。常用的求解方法有高斯消元法、共軛梯度法等。對于大規(guī)模的線性代數(shù)方程組，共軛梯度法等迭代求解方法因其收斂速度快、內(nèi)存需求相對較小等優(yōu)點而被廣泛應(yīng)用。在求解過程中，需要設(shè)置合理的收斂準則，以確保計算結(jié)果的準確性和穩(wěn)定性。例如，可將相鄰兩次迭代解向量的相對誤差小于某個設(shè)定的閾值（如10^{-6}）作為收斂條件，當滿足該條件時，認為方程組已收斂，得到的解即為邊界節(jié)點上的電勢值。根據(jù)邊界節(jié)點上的電勢值，利用相關(guān)公式計算換流閥內(nèi)部和周圍空間任意點的電場強度。電場強度\mathbf{E}與電勢\varphi的關(guān)系為\mathbf{E}=-\nabla\varphi。在實際計算中，可通過對邊界上的電勢值進行數(shù)值微分來近似得到域內(nèi)各點的電場強度。對于三維問題，可利用中心差分法等數(shù)值微分方法，根據(jù)相鄰節(jié)點的電勢值計算電場強度在各個方向上的分量。通過計算得到的電場強度分布，可進一步分析換流閥的電場特性，如電場集中區(qū)域、電場均勻性等，為換流閥的設(shè)計優(yōu)化提供重要依據(jù)。在得到電場強度分布后，可利用可視化軟件（如ParaView、Tecplot等）將電場分布結(jié)果以云圖、矢量圖等形式展示出來，直觀地呈現(xiàn)換流閥內(nèi)部和周圍空間的電場分布情況，便于分析和理解。三、換流閥電場計算多極子邊界元改進算法3.1算法改進思路與目標在換流閥電場計算中，傳統(tǒng)的多極子邊界元法雖具有獨特優(yōu)勢，但在實際應(yīng)用中仍暴露出諸多不足之處，這些問題限制了其在換流閥電場計算中的準確性和高效性。傳統(tǒng)多極子邊界元法在計算精度方面存在瓶頸。在處理換流閥復(fù)雜的幾何結(jié)構(gòu)和多介質(zhì)特性時，多極展開的截斷誤差成為影響計算精度的關(guān)鍵因素。由于換流閥內(nèi)部包含多種不同形狀和材料的組件，如晶閘管、電抗器、電容器以及屏蔽裝置等，這些組件的邊界條件復(fù)雜且電場變化梯度大。傳統(tǒng)方法采用固定階數(shù)的多極展開，難以準確捕捉電場在這些復(fù)雜區(qū)域的變化細節(jié)，導(dǎo)致計算結(jié)果與實際電場分布存在偏差。在屏蔽裝置附近，電場分布受到屏蔽材料的介電常數(shù)和電導(dǎo)率以及復(fù)雜的屏蔽結(jié)構(gòu)的影響，變化劇烈，固定階數(shù)的多極展開無法精確描述電場的變化規(guī)律，從而產(chǎn)生較大的截斷誤差。傳統(tǒng)算法在計算效率上也難以滿足現(xiàn)代工程需求。隨著換流閥規(guī)模的不斷增大和結(jié)構(gòu)的日益復(fù)雜，邊界元法離散化后得到的線性代數(shù)方程組規(guī)模急劇膨脹。傳統(tǒng)多極子邊界元法在求解這些大規(guī)模方程組時，計算量和存儲量呈指數(shù)級增長，導(dǎo)致計算時間大幅增加，無法滿足實時性要求較高的工程應(yīng)用場景。在處理超大規(guī)模換流閥模型時，傳統(tǒng)算法可能需要耗費數(shù)小時甚至數(shù)天的計算時間，這對于工程設(shè)計和分析來說是難以接受的。傳統(tǒng)算法在處理復(fù)雜模型時的適應(yīng)性較差。換流閥模型中存在多種復(fù)雜的邊界條件，如不同介質(zhì)的交界面、屏蔽結(jié)構(gòu)的表面等，這些邊界條件的處理對算法的準確性和穩(wěn)定性至關(guān)重要。傳統(tǒng)多極子邊界元法在處理這些復(fù)雜邊界條件時，缺乏有效的數(shù)學模型和處理策略，導(dǎo)致邊界條件的施加不準確，影響了整個計算結(jié)果的可靠性。在不同介質(zhì)交界面處，由于介電常數(shù)的突變，傳統(tǒng)算法難以準確描述電場的連續(xù)性和邊界條件，從而引入數(shù)值誤差。針對上述問題，本研究提出了一系列改進思路。在多極展開算法方面，引入自適應(yīng)多極展開技術(shù)。該技術(shù)的核心是根據(jù)場點與源點之間的距離以及場的變化梯度，動態(tài)調(diào)整多極展開的階數(shù)。在電場變化平緩的區(qū)域，自動降低展開階數(shù)，以減少不必要的計算量；而在電場變化劇烈的區(qū)域，如換流閥的關(guān)鍵組件附近和邊界區(qū)域，提高展開階數(shù)，確保能夠準確捕捉電場的變化細節(jié)，從而有效提高計算精度。通過自適應(yīng)多極展開，打破了傳統(tǒng)固定階數(shù)展開的局限性，使算法能夠更好地適應(yīng)換流閥復(fù)雜的電場分布特性。在邊界條件處理方面，提出基于物理特性和數(shù)學模型相結(jié)合的新型處理方法。深入分析換流閥不同組件的物理特性，如介電常數(shù)、電導(dǎo)率等，以及邊界條件的數(shù)學描述，建立精確的數(shù)學模型來描述邊界上的電場行為。對于不同介質(zhì)的交界面，利用電場的連續(xù)性條件和邊界條件，通過建立合適的數(shù)學方程來準確施加邊界條件；對于屏蔽結(jié)構(gòu)的表面，考慮屏蔽材料的特性和電場的屏蔽效應(yīng)，采用特殊的邊界條件處理方式，確保算法能夠準確模擬屏蔽結(jié)構(gòu)對電場分布的影響。這種新型處理方法能夠更加準確地描述邊界上的電場行為，提高了算法對復(fù)雜邊界的適應(yīng)性，相比傳統(tǒng)邊界條件處理方式，在處理多介質(zhì)交界面和屏蔽結(jié)構(gòu)邊界時具有更高的精度和穩(wěn)定性。為了進一步提高計算精度，建立高精度的誤差補償機制。對多極展開過程中的截斷誤差進行深入分析和建模，通過引入補償函數(shù)對計算結(jié)果進行修正。根據(jù)誤差的分布規(guī)律和特性，設(shè)計合適的補償函數(shù)，使其能夠有效地補償截斷誤差，從而提高計算結(jié)果的準確性。該誤差補償機制能夠在不顯著增加計算量的前提下，顯著提高改進算法的計算精度，滿足換流閥電場計算對高精度的嚴格要求。本研究改進算法的預(yù)期目標是在計算精度、計算效率和對復(fù)雜模型的適應(yīng)性等方面實現(xiàn)全面提升。在計算精度方面，通過自適應(yīng)多極展開技術(shù)和高精度誤差補償機制，將計算誤差降低到可接受的范圍內(nèi)，確保能夠準確地模擬換流閥內(nèi)部和周圍空間的電場分布，為換流閥的絕緣設(shè)計和優(yōu)化提供可靠的依據(jù)。在計算效率上，利用自適應(yīng)多極展開減少不必要的計算量，結(jié)合并行計算技術(shù)，充分利用計算機的多核處理器資源，使計算時間大幅縮短，滿足工程應(yīng)用對實時性的要求。在對復(fù)雜模型的適應(yīng)性方面，新型邊界條件處理方法能夠準確處理換流閥模型中的各種復(fù)雜邊界條件，確保算法在不同的工程場景下都能穩(wěn)定、準確地運行，提高算法的通用性和實用性。通過實現(xiàn)這些目標，為換流閥的設(shè)計、優(yōu)化和絕緣性能評估提供更高效、準確的計算工具，推動高壓直流輸電技術(shù)的進一步發(fā)展。3.2多極子展開形式的改進換流閥作為高壓直流輸電系統(tǒng)的核心部件，其內(nèi)部結(jié)構(gòu)極為復(fù)雜，包含多種不同形狀和材料的組件，如晶閘管、電抗器、電容器以及屏蔽裝置等。這些組件不僅幾何形狀多樣，而且相互之間的位置關(guān)系錯綜復(fù)雜，同時，換流閥內(nèi)部存在多種不同的介質(zhì)，其介電常數(shù)、電導(dǎo)率等特性各不相同，這使得換流閥內(nèi)部的電場分布呈現(xiàn)出高度的復(fù)雜性。傳統(tǒng)的多極子展開形式在處理這種復(fù)雜電場時，由于采用固定階數(shù)的展開方式，難以準確地描述電場在復(fù)雜區(qū)域的變化情況，導(dǎo)致計算精度受限。因此，針對換流閥的結(jié)構(gòu)特點，對多極子展開形式進行改進顯得尤為必要。在改進多極子展開形式時，充分考慮換流閥的結(jié)構(gòu)特點至關(guān)重要。換流閥內(nèi)部各組件的形狀和尺寸差異較大，例如晶閘管通常呈圓形或方形，而電抗器則具有復(fù)雜的繞組結(jié)構(gòu)。在電場計算中，不同形狀的組件對電場的影響方式不同，需要根據(jù)其具體形狀來優(yōu)化多極子展開的方式。組件之間的相對位置關(guān)系也會影響電場分布，如屏蔽裝置與晶閘管之間的距離和角度，會改變屏蔽裝置對晶閘管周圍電場的屏蔽效果。換流閥內(nèi)部的多介質(zhì)特性也是不可忽視的因素，不同介質(zhì)的交界面處電場會發(fā)生突變，傳統(tǒng)的多極子展開形式難以準確描述這種突變現(xiàn)象。基于對換流閥結(jié)構(gòu)特點的深入分析，提出一種自適應(yīng)多極展開技術(shù)。該技術(shù)的核心在于根據(jù)場點與源點之間的距離以及場的變化梯度，動態(tài)地調(diào)整多極展開的階數(shù)。具體而言，在電場變化較為平緩的區(qū)域，場點與源點之間的相互作用相對較弱，此時可以適當降低多極展開的階數(shù)，以減少不必要的計算量。以換流閥內(nèi)部的一些空曠區(qū)域為例，電場分布相對均勻，降低展開階數(shù)既能保證一定的計算精度，又能顯著提高計算效率。而在電場變化劇烈的區(qū)域，如晶閘管的邊緣、屏蔽裝置的表面等，場點與源點之間的相互作用較強，電場的變化梯度大，此時則需要提高多極展開的階數(shù)，以確保能夠準確捕捉電場的變化細節(jié)。在晶閘管的邊緣，電場強度變化迅速，提高展開階數(shù)可以更精確地計算電場分布，避免因展開階數(shù)不足而導(dǎo)致的計算誤差。為了實現(xiàn)自適應(yīng)多極展開技術(shù)，引入一種基于誤差估計的動態(tài)調(diào)整策略。通過建立誤差估計模型，實時計算當前展開階數(shù)下的計算誤差。當誤差超過設(shè)定的閾值時，自動增加展開階數(shù)，重新進行計算；當誤差在可接受范圍內(nèi)時，保持當前展開階數(shù)或適當降低展開階數(shù)。在實際計算過程中，可利用迭代算法，逐步逼近最優(yōu)的展開階數(shù)。在每次迭代中，根據(jù)前一次計算的誤差結(jié)果，調(diào)整展開階數(shù)，直到計算誤差滿足精度要求為止。這種動態(tài)調(diào)整策略能夠使多極展開階數(shù)根據(jù)電場的實際情況自動優(yōu)化，從而在保證計算精度的前提下，提高計算效率。在多極展開過程中，為了進一步提高計算精度，采用高精度的數(shù)值計算方法來處理多極展開的系數(shù)計算。例如，利用高精度的數(shù)值積分算法來計算多極矩，相比傳統(tǒng)的數(shù)值積分方法，能夠更準確地計算積分值，減少計算誤差。在計算多極矩時，采用高斯積分法，并增加積分節(jié)點的數(shù)量，以提高積分的精度，從而得到更準確的多極矩系數(shù)。還對多極展開的截斷誤差進行深入分析，建立誤差補償模型。通過對誤差的分布規(guī)律和特性進行研究，設(shè)計合適的補償函數(shù)，對計算結(jié)果進行修正，有效降低截斷誤差對計算精度的影響。根據(jù)電場的分布特點和多極展開的理論，推導(dǎo)出誤差補償函數(shù)的表達式，將其應(yīng)用于計算結(jié)果中，使改進后的多極子展開形式在計算精度上有顯著提升。通過對多極子展開形式的改進，采用自適應(yīng)多極展開技術(shù)和高精度的誤差補償機制，能夠更好地適應(yīng)換流閥復(fù)雜的電場分布特性，提高電場計算的精度和效率。這種改進后的多極子展開形式為換流閥電場計算提供了更準確、高效的方法，為換流閥的設(shè)計優(yōu)化和絕緣性能評估奠定了堅實的基礎(chǔ)。3.3奇異積分處理優(yōu)化在多介質(zhì)邊界積分方程中，奇異積分的存在是影響計算精度和穩(wěn)定性的關(guān)鍵因素之一。當積分核在積分區(qū)域內(nèi)存在奇點時，傳統(tǒng)的數(shù)值積分方法往往會失效，導(dǎo)致計算結(jié)果出現(xiàn)較大誤差。在換流閥電場計算中，由于其復(fù)雜的幾何結(jié)構(gòu)和多介質(zhì)特性，奇異積分問題尤為突出。例如，在不同介質(zhì)的交界面處，電場強度的變化率可能會趨于無窮大，從而使積分核產(chǎn)生奇異性。因此，對奇異積分進行有效的處理是提高多極子邊界元法計算精度和穩(wěn)定性的重要環(huán)節(jié)。針對多介質(zhì)邊界積分方程中的奇異積分，本文提出一種基于奇點平滑和積分變換的處理方法。該方法的核心思想是通過將邊界積分方程中的奇點積分轉(zhuǎn)換為有限值來避免奇點問題，并利用積分變換技術(shù)簡化積分計算。具體而言，在奇點平滑方面，采用“增強”函數(shù)來代替積分核中的奇異函數(shù)。“增強”函數(shù)是一種光滑函數(shù)，它在奇點附近的行為與原奇異函數(shù)相同，但在其他區(qū)域表現(xiàn)出良好的光滑性。在處理電場積分中的奇點時，將積分核中的\frac{1}{r}（r為源點到場點的距離）用一個在奇點附近具有相同漸近行為的光滑函數(shù)f(r)代替，如f(r)=\frac{r^2}{r^2+\epsilon^2}（\epsilon為一個很小的正數(shù)，用于控制光滑函數(shù)在奇點附近的逼近精度）。通過這種方式，將原本奇異的積分轉(zhuǎn)換為非奇異積分，從而可以采用常規(guī)的數(shù)值積分方法進行計算。在積分變換方面，利用傅里葉變換或拉普拉斯變換等積分變換技術(shù)，將原積分方程在變換域中進行求解，然后再通過逆變換得到原域中的解。以傅里葉變換為例，對于一個含有奇異積分的邊界積分方程：\int_{\Gamma}K(\mathbf{r},\mathbf{r}')\varphi(\mathbf{r}')d\Gamma'=g(\mathbf{r})其中，K(\mathbf{r},\mathbf{r}')是積分核，\varphi(\mathbf{r}')是未知函數(shù)，g(\mathbf{r})是已知函數(shù)。對該方程兩邊同時進行傅里葉變換，得到：\int_{\mathbb{R}^n}\widetilde{K}(\mathbf{k},\mathbf{k}')\widetilde{\varphi}(\mathbf{k}')d\mathbf{k}'=\widetilde{g}(\mathbf{k})其中，\widetilde{K}(\mathbf{k},\mathbf{k}')、\widetilde{\varphi}(\mathbf{k}')和\widetilde{g}(\mathbf{k})分別是K(\mathbf{r},\mathbf{r}')、\varphi(\mathbf{r}')和g(\mathbf{r})的傅里葉變換。在變換域中，積分核\widetilde{K}(\mathbf{k},\mathbf{k}')可能具有更簡單的形式，從而便于求解。求解得到\widetilde{\varphi}(\mathbf{k}')后，再通過逆傅里葉變換得到原域中的\varphi(\mathbf{r}')。為了驗證該方法的有效性，通過數(shù)值算例進行對比分析。選取一個具有復(fù)雜邊界和多介質(zhì)的換流閥模型，分別采用傳統(tǒng)的多極子邊界元法（未進行奇異積分處理）和本文提出的改進方法進行電場計算。在計算過程中，對電場強度的計算結(jié)果進行對比。結(jié)果表明，傳統(tǒng)方法在奇點附近的計算結(jié)果出現(xiàn)了明顯的波動和誤差，而本文提出的改進方法能夠有效地抑制奇點的影響，計算結(jié)果更加穩(wěn)定和準確。在一個含有不同介質(zhì)交界面的算例中，傳統(tǒng)方法在交界面附近的電場強度計算誤差達到了20%以上，而改進方法的計算誤差控制在了5%以內(nèi)，顯著提高了計算精度。通過在不同區(qū)域設(shè)置多個監(jiān)測點，對比兩種方法計算得到的電場強度值，進一步驗證了改進方法在處理奇異積分方面的優(yōu)勢，為換流閥電場的精確計算提供了有力的支持。3.4樹結(jié)構(gòu)劃分的優(yōu)化在多極子邊界元法中，樹結(jié)構(gòu)劃分是組織和管理計算區(qū)域的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，對計算效率和精度有著重要影響。常見的樹結(jié)構(gòu)包括八叉樹和二叉樹，它們在不同的應(yīng)用場景中各有優(yōu)劣。在換流閥電場計算中，為了進一步提高計算效率和精度，對樹結(jié)構(gòu)劃分進行優(yōu)化具有重要意義。八叉樹結(jié)構(gòu)是一種常用于三維空間劃分的樹結(jié)構(gòu)。在八叉樹中，每個節(jié)點代表一個立方體區(qū)域，該區(qū)域被遞歸地劃分為八個子立方體，每個子立方體對應(yīng)節(jié)點的一個子節(jié)點。在換流閥電場計算中，八叉樹結(jié)構(gòu)能夠較好地適應(yīng)換流閥復(fù)雜的三維幾何形狀。它可以根據(jù)換流閥各組件的位置和大小，將整個計算區(qū)域合理地劃分為不同層次的子區(qū)域，使得每個子區(qū)域內(nèi)的源點和場點分布相對均勻。在劃分過程中，對于體積較大的組件，如電抗器，八叉樹可以將其所在區(qū)域劃分為較大的子區(qū)域，以減少計算量；而對于尺寸較小但電場變化劇烈的組件，如晶閘管的邊緣部分，八叉樹可以將其所在區(qū)域劃分為較小的子區(qū)域，以提高計算精度。然而，八叉樹結(jié)構(gòu)也存在一些缺點。由于其固定的劃分方式，在處理一些形狀不規(guī)則的區(qū)域時，可能會出現(xiàn)劃分不合理的情況，導(dǎo)致部分子區(qū)域內(nèi)的源點和場點分布過于稀疏或密集，從而影響計算效率和精度。在換流閥屏蔽裝置的復(fù)雜形狀區(qū)域，八叉樹的固定劃分可能無法準確地適應(yīng)其邊界形狀，使得部分子區(qū)域內(nèi)的源點和場點分布不均勻，增加了不必要的計算量。二叉樹結(jié)構(gòu)是另一種常用的樹結(jié)構(gòu)，它每個節(jié)點最多有兩個子節(jié)點。在換流閥電場計算中，二叉樹結(jié)構(gòu)的劃分方式相對靈活，可以根據(jù)電場的變化情況和源點、場點的分布，自適應(yīng)地進行劃分。二叉樹可以通過比較源點和場點之間的距離、電場強度的變化梯度等因素，選擇合適的劃分平面，將計算區(qū)域劃分為兩個子區(qū)域。在電場變化較為平緩的區(qū)域，二叉樹可以采用較大的劃分尺度，減少子區(qū)域的數(shù)量，提高計算效率；而在電場變化劇烈的區(qū)域，二叉樹可以采用較小的劃分尺度，增加子區(qū)域的數(shù)量，以提高計算精度。與八叉樹相比，二叉樹在處理不規(guī)則形狀區(qū)域時具有一定的優(yōu)勢，能夠更好地適應(yīng)復(fù)雜的邊界條件。但是，二叉樹結(jié)構(gòu)在劃分過程中需要進行更多的判斷和計算，以確定合適的劃分平面，這可能會增加計算的復(fù)雜性和時間成本。為了優(yōu)化樹結(jié)構(gòu)劃分，結(jié)合換流閥電場計算的特點，提出一種基于自適應(yīng)劃分策略的樹結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法。該方法綜合考慮八叉樹和二叉樹的優(yōu)點，在劃分過程中根據(jù)電場的實際情況動態(tài)地選擇劃分方式。在電場分布相對均勻、幾何形狀規(guī)則的區(qū)域，采用八叉樹結(jié)構(gòu)進行劃分，利用其高效的空間劃分特性，減少計算量；而在電場變化劇烈、幾何形狀不規(guī)則的區(qū)域，切換到二叉樹結(jié)構(gòu)進行劃分，通過自適應(yīng)地選擇劃分平面，提高劃分的合理性和精度。在換流閥的屏蔽裝置附近，電場變化劇烈且?guī)缀涡螤顝?fù)雜，采用二叉樹結(jié)構(gòu)進行劃分，根據(jù)電場強度的變化梯度和源點、場點的分布，選擇合適的劃分平面，將該區(qū)域劃分為多個子區(qū)域，使每個子區(qū)域內(nèi)的源點和場點分布更加合理，從而提高計算精度。在換流閥內(nèi)部一些電場分布均勻的空曠區(qū)域，采用八叉樹結(jié)構(gòu)進行劃分，將該區(qū)域快速劃分為較大的子區(qū)域，減少計算量，提高計算效率。為了實現(xiàn)這種自適應(yīng)劃分策略，建立一種基于電場特征分析的劃分準則。通過對電場強度、電場變化梯度等特征的分析，確定不同區(qū)域的劃分方式。具體而言，在劃分過程中，首先計算每個區(qū)域的電場強度平均值和電場變化梯度。當電場變化梯度小于設(shè)定的閾值時，認為該區(qū)域電場分布相對均勻，采用八叉樹結(jié)構(gòu)進行劃分；當電場變化梯度大于設(shè)定的閾值時，表明該區(qū)域電場變化劇烈，切換到二叉樹結(jié)構(gòu)進行劃分。在二叉樹劃分過程中，根據(jù)電場強度的變化方向和源點、場點的分布情況，選擇垂直于電場強度變化最大方向的平面作為劃分平面，以確保劃分后的子區(qū)域內(nèi)源點和場點分布的合理性。還可以根據(jù)實際計算結(jié)果，對劃分準則進行動態(tài)調(diào)整，進一步優(yōu)化樹結(jié)構(gòu)劃分的效果。通過這種優(yōu)化的樹結(jié)構(gòu)劃分方法，可以在保證計算精度的前提下，有效地減少計算量，提高換流閥電場計算的效率，為換流閥的電場分析提供更高效的計算工具。四、改進算法的實現(xiàn)與驗證4.1算法程序設(shè)計與實現(xiàn)為了將改進的多極子邊界元算法應(yīng)用于換流閥電場計算，需要進行詳細的程序設(shè)計與實現(xiàn)。本研究選用C++語言作為開發(fā)工具，主要原因在于C++具有高效的執(zhí)行效率和強大的計算能力，能夠滿足大規(guī)模電場計算對性能的嚴格要求。同時，C++豐富的庫函數(shù)和面向?qū)ο筇匦?，為程序的模塊化設(shè)計和代碼的可維護性提供了有力支持。在程序設(shè)計過程中，首先進行模塊劃分，將整個程序分為多個功能明確的模塊，每個模塊負責特定的任務(wù)，從而提高程序的可讀性和可維護性。具體包括模型輸入模塊、邊界離散模塊、多極子計算模塊、方程組求解模塊和結(jié)果輸出模塊。模型輸入模塊負責讀取換流閥的三維幾何模型數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)通常由專業(yè)的建模軟件（如ANSYS、COMSOL等）生成，并以特定的文件格式（如STL、IGES等）存儲。在讀取模型數(shù)據(jù)時，需要解析文件格式，提取模型的幾何信息，包括各個組件的形狀、尺寸、位置以及材料屬性等。對于復(fù)雜的換流閥模型，可能包含大量的組件和細節(jié)信息，模型輸入模塊需要具備高效的數(shù)據(jù)讀取和解析能力，以確保準確無誤地獲取模型數(shù)據(jù)。邊界離散模塊依據(jù)多極子邊界元法的原理，對換流閥模型的邊界進行離散化處理。根據(jù)模型的幾何形狀和電場分布特點，選擇合適的邊界單元類型，如三角形單元、四邊形單元等，并確定網(wǎng)格密度。在電場變化劇烈的區(qū)域，如晶閘管的邊緣、屏蔽裝置的表面等，采用較細的網(wǎng)格進行離散，以更精確地捕捉電場的變化；而在電場變化相對平緩的區(qū)域，則適當增大網(wǎng)格尺寸，減少計算量。邊界離散模塊還需要考慮網(wǎng)格的質(zhì)量，避免出現(xiàn)畸形單元，以保證后續(xù)計算的穩(wěn)定性和準確性。多極子計算模塊是程序的核心部分，負責實現(xiàn)改進的多極子算法。在該模塊中，根據(jù)自適應(yīng)多極展開技術(shù)，動態(tài)調(diào)整多極展開的階數(shù)。通過建立誤差估計模型，實時計算當前展開階數(shù)下的計算誤差。當誤差超過設(shè)定的閾值時，自動增加展開階數(shù)，重新進行計算；當誤差在可接受范圍內(nèi)時，保持當前展開階數(shù)或適當降低展開階數(shù)。多極子計算模塊還需要處理多極展開過程中的截斷誤差，通過引入高精度的數(shù)值計算方法和誤差補償機制，提高計算精度。方程組求解模塊利用合適的數(shù)值方法求解經(jīng)過多極子加速處理后的線性代數(shù)方程組，得到邊界節(jié)點上的未知量，如電勢值。常用的求解方法有共軛梯度法、GMRES（廣義最小殘差法）等。在選擇求解方法時，需要考慮方程組的規(guī)模、系數(shù)矩陣的性質(zhì)以及計算效率等因素。對于大規(guī)模的線性代數(shù)方程組，共軛梯度法等迭代求解方法因其收斂速度快、內(nèi)存需求相對較小等優(yōu)點而被廣泛應(yīng)用。在求解過程中，需要設(shè)置合理的收斂準則，以確保計算結(jié)果的準確性和穩(wěn)定性。結(jié)果輸出模塊將計算得到的電場分布結(jié)果以直觀的方式輸出，便于分析和展示?？梢詫㈦妶鰪姸?、電勢等物理量以數(shù)據(jù)文件的形式保存，也可以利用可視化軟件（如ParaView、Tecplot等）將電場分布結(jié)果以云圖、矢量圖等形式展示出來。在輸出結(jié)果時，需要確保數(shù)據(jù)的準確性和完整性，以及可視化效果的清晰和直觀。以多極子計算模塊為例，展示關(guān)鍵代碼的實現(xiàn)。首先，定義多極子展開的相關(guān)參數(shù)，包括展開階數(shù)、截斷誤差閾值等：//多極子展開階數(shù)intexpansionOrder=5;//截斷誤差閾值doubletruncationErrorThreshold=1e-6;intexpansionOrder=5;//截斷誤差閾值doubletruncationErrorThreshold=1e-6;//截斷誤差閾值doubletruncationErrorThreshold=1e-6;doubletruncationErrorThreshold=1e-6;然后，實現(xiàn)自適應(yīng)多極展開的核心算法。在計算過程中，根據(jù)場點與源點之間的距離以及場的變化梯度，動態(tài)調(diào)整多極展開的階數(shù)：//計算場點與源點之間的距離doubledistance=calculateDistance(fieldPoint,sourcePoint);//計算場的變化梯度doublegradient=calculateGradient(fieldPoint);if(distance>farFieldThreshold&&gradient>highGradientThreshold){//遠處且場變化劇烈，增加展開階數(shù)expansionOrder=min(expansionOrder+2,maxExpansionOrder);}elseif(distance<nearFieldThreshold&&gradient<lowGradientThreshold){//近處且場變化平緩，降低展開階數(shù)expansionOrder=max(expansionOrder-1,minExpansionOrder);}//進行多極展開計算calculateMultipoleExpansion(expansionOrder,fieldPoint,sourcePoint);doubledistance=calculateDistance(fieldPoint,sourcePoint);//計算場的變化梯度doublegradient=calculateGradient(fieldPoint);if(distance>farFieldThreshold&&gradient>highGradientThreshold){//遠處且場變化劇烈，增加展開階數(shù)expansionOrder=min(expansionOrder+2,maxExpansionOrder);}elseif(distance<nearFieldThreshold&&gradient<lowGradientThreshold){//近處且場變化平緩，降低展開階數(shù)expansionOrder=max(expansionOrder-1,minExpansionOrder);}//進行多極展開計算calculateMultipoleExpansion(expansionOrder,fieldPoint,sourcePoint);//計算場的變化梯度doublegradient=calculateGradient(fieldPoint);if(distance>farFieldThreshold&&gradient>highGradientThreshold){//遠處且場變化劇烈，增加展開階數(shù)expansionOrder=min(expansionOrder+2,maxExpansionOrder);}elseif(distance<nearFieldThreshold&&gradient<lowGradientThreshold){//近處且場變化平緩，降低展開階數(shù)expansionOrder=max(expansionOrder-1,minExpansionOrder);}//進行多極展開計算calculateMultipoleExpansion(expansionOrder,fieldPoint,sourcePoint);doublegradient=calculateGradient(fieldPoint);if(distance>farFieldThreshold&&gradient>highGradientThreshold){//遠處且場變化劇烈，增加展開階數(shù)expansionOrder=min(expansionOrder+2,maxExpansionOrder);}elseif(distance<nearFieldThreshold&&gradient<lowGradientThreshold){//近處且場變化平緩，降低展開階數(shù)expansionOrder=max(expansionOrder-1,minExpansionOrder);}//進行多極展開計算calculateMultipoleExpansion(expansionOrder,fieldPoint,sourcePoint);if(distance>farFieldThreshold&&gradient>highGradientThreshold){//遠處且場變化劇烈，增加展開階數(shù)expansionOrder=min(expansionOrder+2,maxExpansionOrder);}elseif(distance<nearFieldThreshold&&gradient<lowGradientThreshold){//近處且場變化平緩，降低展開階數(shù)expansionOrder=max(expansionOrder-1,minExpansionOrder);}//進行多極展開計算calculateMultipoleExpansion(expansionOrder,fieldPoint,sourcePoint);//遠處且場變化劇烈，增加展開階數(shù)expansionOrder=min(expansionOrder+2,maxExpansionOrder);}elseif(distance<nearFieldThreshold&&gradient<lowGradientThreshold){//近處且場變化平緩，降低展開階數(shù)expansionOrder=max(expansionOrder-1,minExpansionOrder);}//進行多極展開計算calculateMultipoleExpansion(expansionOrder,fieldPoint,sourcePoint);expansionOrder=min(expansionOrder+2,maxExpansionOrder);}elseif(distance<nearFieldThreshold&&gradient<lowGradientThreshold){//近處且場變化平緩，降低展開階數(shù)expansionOrder=max(expansionOrder-1,minExpansionOrder);}//進行多極展開計算calculateMultipoleExpansion(expansionOrder,fieldPoint,sourcePoint);}elseif(distance<nearFieldThreshold&&gradient<lowGradientThreshold){//近處且場變化平緩，降低展開階數(shù)expansionOrder=max(expansionOrder-1,minExpansionOrder);}//進行多極展開計算calculateMultipoleExpansion(expansionOrder,fieldPoint,sourcePoint);//近處且場變化平緩，降低展開階數(shù)expansionOrder=max(expansionOrder-1,minExpansionOrder);}//進行多極展開計算calculateMultipoleExpansion(expansionOrder,fieldPoint,sourcePoint);expansionOrder=max(expansionOrder-1,minExpansionOrder);}//進行多極展開計算calculateMultipoleExpansion(expansionOrder,fieldPoint,sourcePoint);}//進行多極展開計算calculateMultipoleExpansion(expansionOrder,fieldPoint,sourcePoint);//進行多極展開計算calculateMultipoleExpansion(expansionOrder,fieldPoint,sourcePoint);calculateMultipoleExpansion(expansionOrder,fieldPoint,sourcePoint);在多極展開計算函數(shù)calculateMultipoleExpansion中，根據(jù)不同的展開階數(shù)，利用高精度的數(shù)值計算方法計算多極矩和局部展開系數(shù)：voidcalculateMultipoleExpansion(intorder,constPoint&fieldPoint,constPoint&sourcePoint){//根據(jù)球諧函數(shù)計算多極矩for(intn=0;n<=order;++n){for(intm=-n;m<=n;++m){//利用高精度數(shù)值積分計算多極矩multipoleMoments[n][m]=highPrecisionIntegration(n,m,sourcePoint);}}//進行局部展開計算for(intn=0;n<=order;++n){for(intm=-n;m<=n;++m){localExpansionCoefficients[n][m]=calculateLocalExpansionCoefficient(n,m,fieldPoint);}}}//根據(jù)球諧函數(shù)計算多極矩for(intn=0;n<=order;++n){for(intm=-n;m<=n;++m){//利用高精度數(shù)值積分計算多極矩multipoleMoments[n][m]=highPrecisionIntegration(n,m,sourcePoint);}}//進行局部展開計算for(intn=0;n<=order;++n){for(intm=-n;m<=n;++m){localExpansionCoefficients[n][m]=calculateLocalExpansionCoefficient(n,m,fieldPoint);}}}for(intn=0;n<=order;++n){for(intm=-n;m<=n;++m){//利用高精度數(shù)值積分計算多極矩multipoleMoments[n][m]=highPrecisionIntegration(n,m,sourcePoint);}}//進行局部展開計算for(intn=0;n<=order;++n){for(intm=-n;m<=n;++m){localExpansionCoefficients[n][m]=calculateLocalExpansionCoefficient(n,m,fieldPoint);}}}for(intm=-n;m<=n;++m){//利用高精度數(shù)值積分計算多極矩multipoleMoments[n][m]=highPrecisionIntegration(n,m,sourcePoint);}}//進行局部展開計算for(intn=0;n<=order;++n){for(intm=-n;m<=n;++m){localExpansionCoefficients[n][m]=calculateLocalExpansionCoefficient(n,m,fieldPoint);}}}//利用高精度數(shù)值積分計算多極矩multipoleMoments[n][m]=highPrecisionIntegration(n,m,sourcePoint);}}//進行局部展開計算for(intn=0;n<=order;++n){for(intm=-n;m<=n;++m){localExpansionCoefficients[n][m]=calculateLocalExpansionCoefficient(n,m,fieldPoint);}}}multipoleMoments[n][m]=highPrecisionIntegration(n,m,sourcePoint);}}//進行局部展開計算for(intn=0;n<=order;++n){for(intm=-n;m<=n;++m){localExpansionCoefficients[n][m]=calculateLocalExpansionCoefficient(n,m,fieldPoint);}}}}}//進行局部展開計算for(intn=0;n<=order;++n){for(intm=-n;m<=n;++m){localExpansionCoefficients[n][m]=calculateLocalExpansionCoefficient(n,m,fieldPoint);}}}}//進行局部展開計算for(intn=0;n<=order;++n){for(intm=-n;m<=n;++m){localExpansionCoefficients[n][m]=calculateLocalExpansionCoefficient(n,m,fieldPoint);}}}//進行局部展開計算for(intn=0;n<=order;++n){for(intm=-n;m<=n;++m){localExpansionCoefficients