數(shù)學試卷第=page44頁（共=sectionpages44頁）江蘇如東一中、宿遷一中、徐州中學等學校2026屆高三上學期12月聯(lián)考數(shù)學試卷+答案2025—2026學年度第一學期12月份階段性檢測高三數(shù)學注意事項注意事項考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求1.本試卷共4頁，包含[單選題（1~8）多選題9~11，填空題（第12題～第14題，共73分)、解答題（第15～19題，共77分）。本次考試時間120分鐘，滿分150分、考試結(jié)束后，請將答題卡交回。2.答題前，請考生務必將自己的姓名、學校、班級、座位號、考試證號用05毫米的黑色簽字筆寫在答題卡上相應的位置，并將考試證號用2B鉛筆正確填涂在答題卡的相應位置。3.答題時請用0.5毫米的黑色簽字筆在答題卡指定區(qū)城作答。在試卷或草稿紙上作答一律無效。4.如有作圖需要，可用2B鉛筆作圖，并請加黑加粗，描寫清楚一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知復數(shù)z滿足，則A.1 B. C.2 D.2.設全集，集合，則A. B.

C. D.3.已知向量，則“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.從長度為1，3，5，7，9的5條線段中任取3條，則這三條線段能構(gòu)成一個三角形的概率為A. B. C. D.5.設等比數(shù)列的前n項和為，已知，，則A.15 B.18 C.31 D.636.已知甲、乙、丙等5人站成一列，并要求甲站在乙、丙前面，則不同的安排方法的種數(shù)為A.24 B.26 C.32 D.407.設直線，圓，若在圓C上存在兩點，在直線l上存在一點M，使得，則a的取值范圍是A. B.

C. D.8.已知，，且，則A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9.設等差數(shù)列的前n項和為，且，則A. B.是等差數(shù)列

C. D.對任意，都有10.在直三棱柱中，，，，點E在棱上，，D是的中點，則A.三棱柱的側(cè)面積為

B.三棱柱外接球的表面積為

C.平面BCD

D.平面11.在平面直角坐標系xOy中，已知兩定點，，動點P滿足，記點P的運動軌跡為曲線C，則A.曲線C關于x軸、y軸和坐標原點對稱 B.周長的最小值為

C.面積的最大值為 D.點P到坐標原點距離的最小值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知函數(shù)的定義域為R，若，，則___________.13.若的展開式中的系數(shù)是20，則實數(shù)a的值為___________.14.已知函數(shù)，且，則滿足的x的解集是___________.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.（13分）記的內(nèi)角A、B、C所對邊分別為a、b、c，面積為S，且（1）證明：；（2）若，BC邊上的高為6，求

16.（15分）設數(shù)列滿足（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）設，求數(shù)列的最大項.

17.（15分）在平面圖形如圖中，已知，，，，將沿著AB折起到的位置，使得，連接DP，得到四棱錐，如圖2所示.（1）求證：；（2）求平面ADP與平面CDP夾角的余弦值.

18.（17分）在平面直角坐標系xOy中，點和是中心為坐標原點，焦點在坐標軸上的橢圓E上的兩點.（1）求橢圓E的標準方程；（2）若P為橢圓E上任意一點，以點P為圓心，為半徑的圓與圓的公共弦為證明：的面積為定值，并求出該定值.

19.（17分）設函數(shù)（1）若曲線在點處的切線方程為，求的極值；（2）若，求a；（3）已知數(shù)列滿足，記的前n項和為，證明：

【答案】1.D

2.B

3.B

4.C

5.C

6.D

7.D

8.B

9.ABD

10.BCD

11.ABD

12.3

13.6

14.

15.解：證明：因為，又因為ac，

所以ac，

因為，所以，所以4a，

由正弦定理可得，

因為，

所以，

即，顯然或等式不成立，

故，，

所以，

則，得證;

當，由得，則，

則，解得，

則，

所以，又因為BC邊上的高為6，

所以aa，所以a，解得a，

由正弦定理，得，

解得

16.解：將兩邊同乘以，

得，即，

又，因此，是以1為公差，1為首項的等差數(shù)列

由得，，

因此，，，

當時，，得，即

又因為，，，所以3，即當時，，

所以的最大項是

17.解：證明：四棱錐中，

取AB的中點F，連接，由，，

得，則，，又，

所以四邊形AFCD為平行四邊形，

，，由，得，

則，，而，平面ABP，

于是平面ABP，

又平面ABP，則，

又，

，

平面ADP，因此平面ADP，

而平面ADP，所以；在平面ABP內(nèi)過點A作，

由知平面ABP，

則直線兩兩垂直，以點A為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，

，

，設平面ADP的法向量，

則，

令，得，，

故平面ADP的一個法向量，設平面CDP的法向量，

則，

令，得，，

故平面CDP的一個法向量為，則??，所以平面ADP與平面CDP夾角的余弦值是

18.解：設橢圓E的方程為，由題意知：，，解得，

所以橢圓E的方程為設，則，且圓P的方程為，即圓P的方程為

因為圓C的方程為，

將圓P的方程與圓C的方程作差得，

所以MN的方程為，

點到直線MN的距離，又因為，所以的面積為為定值.

19.解：由得，，，依題意，解得，所以，令，解得，列表如下：x

-0+

單調(diào)遞減

單調(diào)遞增所以的極小值為，無極大值；，設，則可等價轉(zhuǎn)化為，，當時，，顯然不符合題意；當時，，不符合題意；當時，令，解得，注意到，為增函數(shù)，若，則在區(qū)間單調(diào)遞增，，不符合題意；若，則在區(qū)間單調(diào)遞減，，不符合題意；若，，得，

令得，令得，所以在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減，則0為的極小值點，符合題意.綜上，證明：，又，所以，因為，有，所以，所以，由可知，，令，則，即，所以當時，，所以

【解析】1.解：因為，則故選：2.【分析】由全集U，以及A，求出A的補集即可．

此題考查了補集及其運算，熟練掌握補集的定義是解本題的關鍵．

【解答】

解：因為，又，

所以，故選3.解：若，則，，

此時，所以；

若，則由向量共線定理可得：

，解得或。

因此“”是“”的必要不充分條件。

故選4.從5條線段中任取3條的所有樣本點有10個，即，，，，，，，，，，其中能構(gòu)成三角形的樣本點有3個，即，，，故所求概率故選5.【分析】本題考查了等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．

利用等比數(shù)列的通項公式求出公比，再由等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．【解答】

解：設等比數(shù)列的公比為q，

因為，所以，所以，

又，所以，

則

故選6.【分析】本題考查其它排列問題，兩個計數(shù)原理的綜合應用，屬中檔題.

按照甲排第一，第二，第三位分類求解．【解答】解：按甲的安排進行分類討論.

①甲排第一，則乙，丙等四人有種；

②甲排第二，則乙、丙排后3位中的兩位，有種；③甲第三，則乙，丙排最后2位；有種

故共有種故選：7.【分析】利用直線和圓的結(jié)幾何性質(zhì)，作圖分析，將問題轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離小于等于

，利用點直線的距離公式得到關于a不等式，可求得答案.【詳解】當直線

與圓

相切或相交時，如圖，圓

C

上存在兩點

，

PQ

為圓的直徑，直線

l

上取與圓的交點為

M，此時滿足

，則

，即

；當直線l與圓相離時，圓

，圓心為

，半徑為1，如圖，過圓心C作

，交直線l于點M，過M作C的兩條切線分別切圓于點

，則

是圓上兩點與l上一點形成的最大角，只要

，可滿足題設條件，即

，

，

，

，即

，解得

或

綜合以上可得a的取值范圍是

，故選：D8.【分析】本題主要考查利用導數(shù)證明不等式，屬于難題.

根據(jù)選項合理構(gòu)造函數(shù)，利用導函數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，得出函數(shù)的最值，從而判斷不等式是否成立.【解答】解：對于A選項：令，，，令，

，令，則，即時，，單調(diào)遞減，單調(diào)遞減，即時，，單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，有最小值，所以在單調(diào)遞增，故，所以即，故A選項錯誤；對于B選項：由A可知：，要證，即需要證明：，即，即，，令，，令，令，則，即時，，單調(diào)遞減，單調(diào)遞減，即時，，單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，所以有最小值，所以在單調(diào)遞增，故，所以成立，故B選項正確；對于C選項：由得，因為，所以，所以，故C選項錯誤，對于D選項：令，因為，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以存在使得，即，故D選項錯誤；故選：9.【分析】本題考查等差數(shù)列的判定或證明，等差數(shù)列的通項公式，等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列前n項和的最值問題，屬于中檔題.

設等差數(shù)列的公差為d

，根據(jù)

可判斷選項B；利用

，可判斷選項C；根據(jù)

，

可得到

，

可判斷選項A和【解答】解：對于B，設等差數(shù)列

的公差為d，則

，

得

，

，

所以

是以

為首項，

為公差的等差數(shù)列，故B正確；對于C，

，即

，故C錯誤；對于A，

，由于

，所以

，故A正確，對于D，因為

，

，所以當

時，

取得最大值，

故對任意

，恒有

，故D正確．故選：10.【分析】本題考查棱柱的側(cè)面積和外接球的表面積，線面平行及垂直的判定，屬于中檔題.

對于A，直接求解側(cè)面積即可，對于B，判斷出為直角三角形，然后根據(jù)已知直接求解外接球的半徑，從而可求出其表面積，對于C，由棱柱的性質(zhì)和線面平行的判定分析判斷，對于D，由題意可證得平面，從而有，再由勾股定理的逆定理可得，然后由線面垂直的判定定理可證得結(jié)論.【解答】解：對于A，因為在直三棱柱中，，，，所以三棱柱的側(cè)面積為，所以A錯誤，對于B，因為，，所以，所以為以B為直角頂點的等腰直角三角形，所以三棱柱的外接球半徑，所以外接球的表面積為，所以B正確，對于C，因為，平面BCD，平面BCD，所以平面BCD，所以C正確，對于D，由已知得，又D是的中點，所以，因為側(cè)棱平面，平面，所以，因為，平面，所以平面，因為平面，所以，因為，所以，則，所以因為，平面，所以平面，所以D正確，故選：

11.【分析】本題考查曲線的軌跡問題，考查命題的真假判斷與應用，考查邏輯思維能力與推理運算能力，結(jié)合基本不等式求解是關鍵，屬難題．

由題意得到方程，結(jié)合對稱性的判定方法，可判斷A；表示出周長，結(jié)合基本不等式可判斷B；利用余弦定理結(jié)合基本不等式可判斷C；推導出可判斷【解答】

解：對于A，設，則，

即，

以替換x，替換y方程不變，所以曲線C關于x軸、y軸和坐標原點對稱，故A正確;

對于B，的周長，當且僅當時等號成立，故選項B正確;

對于C，，當且僅當時，等號成立，所以當時，取得最大值，所以的最大面積為，故C錯誤；

對于D，由，

即，即，即，

當且僅當，即，時等號成立，故D正確，

故選12.解：定義域為R，，且，

可得，所以函數(shù)的周期為4；

則

故答案為：13.解：的展開式的通項為

的展開式中的系數(shù)是，

，

故答案為：14.

，