重慶市第十一中學(xué)校教育集團(tuán)高屆高三第四次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：．本試卷滿分為分，考試時(shí)間為分鐘．．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)分．每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．1.已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)（）A.1B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法和除法運(yùn)算及共軛復(fù)數(shù)的定義即可求得.【詳解】因?yàn)?，所以?fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù).故選：D2.已知集合，，則的真子集個(gè)數(shù)為（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】化簡(jiǎn)集合，根據(jù)交集的概念以及真子集的個(gè)數(shù)結(jié)論求出.【詳解】，得，則，則，其真子集個(gè)數(shù)為.第1頁/共22頁故選：C3.已知，為兩個(gè)不同的平面，是兩條不同的直線，則下列命題中正確的是（）A.若，，，則B.若，，則C.若，，則D.若，，則【答案】B【解析】【分析】在正方體中舉反例可判斷選項(xiàng)ACD；對(duì)于選項(xiàng)B：利用線面垂直的性質(zhì)定理可判斷.【詳解】對(duì)于A：在正方體中，平面平面，直線平面，直線平面，但與為異面直線，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B：利用線面垂直的性質(zhì)定理可直接得到，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C：在正方體中，平面，且平面平面，但平面，兩者不平行，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D：正方體中，平面平面，平面，但平面，兩者不平行，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：B4.幾何證明中的“終極優(yōu)雅”是通過極簡(jiǎn)的圖形構(gòu)造等方式，讓復(fù)雜定理在幾何圖形中展現(xiàn)．如圖所示的矩形便能達(dá)到正弦和余弦的二倍角公式的“終極優(yōu)雅”證明，根據(jù)圖中條件可推導(dǎo)（）第2頁/共22頁【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意、結(jié)合直角三角形中三角函數(shù)的定義，準(zhǔn)確化簡(jiǎn)，即可求解.【詳解】在中，因?yàn)?可得,在直角中，可得在直角中，可得,所以.故選：C.5.已知函數(shù)奇函數(shù)，則（）A.－1B.1C.0D.－2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)定義結(jié)合余弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式計(jì)算求參即可【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，所以，即得恒成立，所以.第3頁/共22頁故選：B.6.的展開式中的系數(shù)為（）A.B.C.20D.30【答案】A【解析】【分析】利用二項(xiàng)式定理展開式的通項(xiàng)公式進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】，其展開式的通項(xiàng)公式為，令，則，而的展開式的通項(xiàng)公式為：，令，則的展開式中的系數(shù)為:,故選：A.7.若數(shù)列滿足（且為“對(duì)數(shù)m是“對(duì)數(shù)2底數(shù)列”且，則當(dāng)且時(shí)，（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)定義，即，再利用累乘，平方后再由根據(jù)遞推關(guān)系可得答案.【詳解】因?yàn)檎?xiàng)數(shù)列是“對(duì)數(shù)2底數(shù)列”所以，所以，所以，且以上式子相乘得，所以，第4頁/共22頁所以，得，且，則，所以，，故.故選：A.8.已知函數(shù)圖象上存在兩點(diǎn)PQ（其中O為坐標(biāo)原a的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】的定義域?yàn)樵趯?dǎo)數(shù)求最小值即可得解.【詳解】定義域?yàn)?，，令得?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，取得最小值，.因?yàn)閳D象上存在兩點(diǎn)P，Q，使得，所以在上有解所以，即，解得.故選：A.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分，有選錯(cuò)的得0分．第5頁/共22頁積為，則（）A.在上單調(diào)遞增B.的對(duì)稱中心是C.點(diǎn)的縱坐標(biāo)為D.的解集為【答案】ACD【解析】【分析】首先根據(jù)周期求得，利用面積公式求得判斷C；進(jìn)而利用求得解析式，利用整體法求得單調(diào)遞增區(qū)間判斷A；求得對(duì)稱中心判斷B；解不等式判斷D.【詳解】最小正周期，故選項(xiàng)C正確；由，令，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增且，此時(shí)單調(diào)遞增，第6頁/共22頁，所以函數(shù)的對(duì)稱中心為，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.10.同學(xué)共3人計(jì)劃閱讀其中一部，每人選一部作品，則（）A.3人選擇的作品均不同的方法總數(shù)為24B.恰有2人選同一部作品的方法總數(shù)為27C.恰有1人選《紅樓夢(mèng)》的概率是D.【答案】ACD【解析】【分析】先確定總情況數(shù)，再針對(duì)每個(gè)選項(xiàng)，用排列或分步計(jì)數(shù)算事件數(shù)，概率用事件數(shù)÷總數(shù)求解.【詳解】首先分析總情況：3人每人選4部作品中的一部，總方法數(shù)為種.對(duì)于A選項(xiàng)，3人選擇的作品均不同的方法總數(shù)為，故A選項(xiàng)正確.對(duì)于B選項(xiàng),恰有2人選同一部作品:先選重復(fù)的作品，再選這2人，最后第3人選剩下的3部之一，方法數(shù)為,故B選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于C選項(xiàng),恰有12人從剩下3部中選，方法數(shù)為，概率為,故C選項(xiàng)正確.對(duì)于D4種選擇，總情況為種，，第7頁/共22頁所以概率為,故D選項(xiàng)正確.故選：ACD.已知正方體的棱長(zhǎng)為EF分別是棱BC，是（）A.直線EF與所成的角為B.若點(diǎn)P滿足，其中，則棱錐的體積為定值C.用一張正方形的紙把正方體紙的面積的最小值為96D.為球心，4為半徑作一個(gè)球，則該球面與三棱錐表面相交的交線長(zhǎng)為【答案】BCD【解析】ABP點(diǎn)在線段上，即可判斷；對(duì)于C，由正方體側(cè)面展開圖可以看出五個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形及上下左右四個(gè)等腰直角三角形組成一個(gè)正方形，可知要想把正方體完全包住，正方形即為所求最小正方形，計(jì)算其面積即可判斷；對(duì)于D是直角三角形，球面與這兩個(gè)面的交線和為以以4為半徑的圓弧，是直角三角形，球面與這個(gè)面的交線是以B為圓心，圓心角，半徑為2的圓弧，是等邊三角形，球面與這個(gè)面的交線是以為圓心，圓心角，半徑為4的圓弧，進(jìn)而可求解.【詳解】對(duì)于A，連接因?yàn)镋，F(xiàn)分別是棱BC，的中點(diǎn)，所以所以直線EF與所成的角為因?yàn)閹缀误w是正方體，所以為等邊三角形，第8頁/共22頁所以，即直線EF與所成的角為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)椋渲?，所以，所以，所以P點(diǎn)在線段上，又因?yàn)榕c平行，平面平面，所以P到平面的距離為定值，三角形的面積為定值，所以為定值.故B正確；對(duì)于C，由正方體的側(cè)面展開圖，結(jié)合上圖可以看出五個(gè)正方形及上下左右四個(gè)三角形組成一個(gè)正方形，可知要想把正方體完全包住，正方形即為所求正方形，對(duì)角線長(zhǎng)為，所以面積為，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)槭侵苯侨切危蛎媾c這兩個(gè)面的交線和為以為圓心，圓心角為以4為半徑的圓弧，其弧長(zhǎng)為，是直角三角形，球面與這個(gè)面的交線是以B為圓心，圓心角，半徑為2的圓弧，其弧長(zhǎng)為，是等邊三角形，球面與這個(gè)面的交線是以為圓心，圓心角，半徑為4的圓弧，其弧長(zhǎng)為，所以球面與三棱錐表面的交線長(zhǎng)為，故D正確.故選：BCD.第9頁/共22頁12.記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則______．【答案】36【解析】【分析】列出的方程組，求出其值，再根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求出.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由題意得，，，得，則.故答案為：13.在等腰梯形中，，，，該梯形繞直線旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成的幾何體體積為______．【答案】【解析】【詳解】根據(jù)題意，得到幾何體為一個(gè)圓柱挖去兩個(gè)圓錐，結(jié)合圓柱和圓錐的體積公式，即可求解.【點(diǎn)睛】如圖所示，因?yàn)榈妊菪沃?，，，，將等腰梯形繞直線旋轉(zhuǎn)一周，得到如圖所示的組合體，過作，過作，垂足分別為，可得，設(shè)，可得，解得，所以，即圓錐和圓柱的半徑為，設(shè)圓柱，圓錐和的體積分別為，則圓柱的體積,圓錐和的體積為，所以將梯形繞直線旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的體積為.故答案為：.第10頁/共22頁14.在中，，它的面積是10，EF分別在ABAC所在的直線上，且滿足，對(duì)任意，恒成立，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角形面積求得，根據(jù)題意分析可得，，再由，結(jié)合三角形和三角形和求得.【詳解】因?yàn)椋瑒t，且，又因?yàn)榈拿娣e為10，則，解得，由圖知表示直線上一點(diǎn)到點(diǎn)的向量，而則表示直線上一點(diǎn)到點(diǎn)的距離，由對(duì)任意恒成立可知，的長(zhǎng)是點(diǎn)到直線上的點(diǎn)的最短距離，此時(shí)，同理可得，則，第11頁/共22頁因?yàn)?，則，可得，由，可得，由，可得，所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)，．（1）若對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）判斷的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)并說明理由．【答案】（1）（2）有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，理由見解析【解析】1）化簡(jiǎn)恒成立的不等式可得，由可得取值范圍；（2）令，利用導(dǎo)數(shù)可知單調(diào)遞減，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可得存在唯一零點(diǎn)，進(jìn)而得到單調(diào)性，根據(jù)極值點(diǎn)定義可得出結(jié)論.【小問1詳解】在上恒成立，在上恒成立，當(dāng)時(shí)，在上取得最大值，，即實(shí)數(shù)的取值范圍為；【小問2詳解】第12頁/共22頁由（1）知：，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，則，在上單調(diào)遞減，又，，，使得，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上所述：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，有且僅有一個(gè)極值點(diǎn).16.500500方案13個(gè)紅球，2個(gè)黑球（形狀、大小完全相同）的抽獎(jiǎng)盒中，有放回地依次摸出3個(gè)球．每摸出1次紅球，立減100元，若3次都摸到紅球，則額外再減100元（即總共減400方案23個(gè)紅球，2個(gè)黑球（形狀、大小完全相同）的抽獎(jiǎng)盒中，不放回地依次摸出3個(gè)球．中獎(jiǎng)規(guī)則為：若摸出3個(gè)紅球，享受免單優(yōu)惠；若摸出2個(gè)紅球，則打5折；其余情況無優(yōu)惠．（1）顧客小明選擇抽獎(jiǎng)方案2，已知他第一次摸出紅球，求他能夠享受優(yōu)惠的概率；（2）顧客小紅恰好消費(fèi)了500元，試從實(shí)付金額的期望值角度，分析他選擇何種抽獎(jiǎng)方案更合理．【答案】（1）；（2）選擇方案1更合理，理由見解析.【解析】1AB1個(gè)紅球或兩個(gè)紅球兩種情況可得，然后由條件概率公式可得答案；（2）分別寫出兩種方案下實(shí)付金額對(duì)應(yīng)期望，即可得答案.【小問1詳解】第13頁/共22頁設(shè)他能夠享受優(yōu)惠為事件B，剩余球?yàn)?紅2黑，則他第一次摸出紅球，剩下兩球均為紅色的情況有種，他第一次摸出紅球，剩下兩球?yàn)?紅1黑的情況有種，則，則他第一次摸出紅球，他能夠享受優(yōu)惠的概率為：；【小問2詳解】若選方案1，設(shè)實(shí)付金額數(shù)為，則的可能值為.注意到有放回地摸到一次紅球的概率為，摸到一次黑球的概率為，則，，，.則;若選方案2，設(shè)實(shí)付金額數(shù)為，則的可能值為.由（1）可得無放回摸出三球的情況有種，則，，，則.因，則他選擇方案1更合理.第14頁/共22頁前n項(xiàng)和為．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及的前n項(xiàng)和；（2）是否存在正整數(shù)m，n（，，成等比數(shù)列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1），（2）存在，【解析】1）根據(jù)與之間的關(guān)系分析可知數(shù)列為等差數(shù)列，即可求通項(xiàng)公式，再通過裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的前項(xiàng)和；（2）根據(jù)題意等比中項(xiàng)整理可得，然后求解的值.【小問1詳解】因?yàn)椋瑒t，當(dāng)時(shí)，則，兩式相減可得，整理可得，即，可知數(shù)列是以首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，所以.又因?yàn)?，所?【小問2詳解】第15頁/共22頁若存在正整數(shù)，使得成等比數(shù)列，則，即，整理可得，解得：，因?yàn)榍遥傻?，故存在正整?shù)，使得成等比數(shù)列．18.在正三棱臺(tái)中，，Q是AC的中點(diǎn)．（1）求證：平面.；（2）若，求直線AC與平面所成角的正弦值；（3次運(yùn)動(dòng)后電子貓仍停留在下底面的概率為，求．【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】1）根據(jù)題意，證得且，得到四邊形為平行四邊形，得到，結(jié)合線面平行的判定定理，即可證得平面；（2）取正三棱臺(tái)的上下底面的中心為和，以坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，第16頁/共22頁（3為集合為集合為次移動(dòng)后在的概率，得到，且，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求解.【小問1詳解】證明：在正三棱臺(tái)中，可得，因?yàn)?，是的中點(diǎn)，可得且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，且平面，所以平?【小問2詳解】解：取底面正的中心為，上底面正的中心為，以所在的直線分別為點(diǎn)垂直于平面的直線為直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)，且，可得，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，又由向量，設(shè)直線與平面所處的角為，則，第17頁/共22頁所以直線AC與平面所成角的正弦值.【小問3詳解】解：電子貓從點(diǎn)出發(fā)，每次等可能移動(dòng)到相鄰頂點(diǎn)，設(shè)下底面為集合，上底面為集合，可得從任意頂點(diǎn)，移動(dòng)到的概率為，移動(dòng)到頂點(diǎn)的概率為，從任意頂點(diǎn)，移動(dòng)到的概率為，移動(dòng)到頂點(diǎn)的概率為，設(shè)為次移動(dòng)后在的概率，則，當(dāng)時(shí)，，可得，即，所以數(shù)列構(gòu)成首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以，所以在次運(yùn)動(dòng)后電子貓仍停留在下底面的概率為.19.造型可以看作圖中曲線C一部分，已知C過坐標(biāo)原點(diǎn)O，且C上的點(diǎn)滿足橫坐標(biāo)大于，到點(diǎn)的距離與到定直線的距離之積為第18頁/共22頁（1）求a的值;（2）當(dāng)點(diǎn)在C上時(shí)，求證：（3）如圖，過點(diǎn)F作兩條互相垂直的弦，分別交曲線C于，，，，其中，求四邊形面積的最小值.【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】1）根據(jù)曲線C上的點(diǎn)滿足的條件，結(jié)合可求a的