深圳南山區(qū)星河學(xué)校七年級下冊數(shù)學(xué)期末試卷真題匯編[解析版]一、解答題1．已知，AB∥DE，點C在AB上方，連接BC、CD．（1）如圖1，求證：∠BCD＋∠CDE＝∠ABC；（2）如圖2，過點C作CF⊥BC交ED的延長線于點F，探究∠ABC和∠F之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3，在（2）的條件下，∠CFD的平分線交CD于點G，連接GB并延長至點H，若BH平分∠ABC，求∠BGD﹣∠CGF的值．2．已知，，．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，作的平分線交于點，點為上一點，連接，若的平分線交線段于點，連接，若，過點作交的延長線于點，且，求的度數(shù)．3．如圖1，已知直線m∥n，AB是一個平面鏡，光線從直線m上的點O射出，在平面鏡AB上經(jīng)點P反射后，到達(dá)直線n上的點Q．我們稱OP為入射光線，PQ為反射光線，鏡面反射有如下性質(zhì)：入射光線與平面鏡的夾角等于反射光線與平面鏡的夾角，即∠OPA=∠QPB．（1）如圖1，若∠OPQ=82°，求∠OPA的度數(shù)；（2）如圖2，若∠AOP=43°，∠BQP=49°，求∠OPA的度數(shù)；（3）如圖3，再放置3塊平面鏡，其中兩塊平面鏡在直線m和n上，另一塊在兩直線之間，四塊平面鏡構(gòu)成四邊形ABCD，光線從點O以適當(dāng)?shù)慕嵌壬涑龊?，其傳播路徑為O→P→Q→R→O→P→…試判斷∠OPQ和∠ORQ的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．4．已知，點在與之間．（1）圖1中，試說明：；（2）圖2中，的平分線與的平分線相交于點，請利用（1）的結(jié)論說明：．（3）圖3中，的平分線與的平分線相交于點，請直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系．5．點A，C，E在直線l上，點B不在直線l上，把線段AB沿直線l向右平移得到線段CD．（1）如圖1，若點E在線段AC上，求證：B+D=BED；（2）若點E不在線段AC上，試猜想并證明B，D，BED之間的等量關(guān)系；（3）在（1）的條件下，如圖2所示，過點B作PB//ED，在直線BP，ED之間有點M，使得ABE=EBM，CDE=EDM，同時點F使得ABE=nEBF，CDE=nEDF，其中n≥1，設(shè)BMD=m，利用（1)中的結(jié)論求BFD的度數(shù)（用含m，n的代數(shù)式表示）．二、解答題6．如圖1，E點在BC上，∠A＝∠D，AB∥CD．（1）直接寫出∠ACB和∠BED的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，BG平分∠ABE，與∠CDE的鄰補(bǔ)角∠EDF的平分線交于H點．若∠E比∠H大60°，求∠E；（3）保持（2）中所求的∠E不變，如圖3，BM平分∠ABE的鄰補(bǔ)角∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，則∠PBM的度數(shù)是否改變？若不變，請求值；若改變，請說理由．7．如圖1，，E是、之間的一點．（1）判定，與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）如圖2，若、的兩條平分線交于點F．直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系；（3）將圖2中的射線沿翻折交于點G得圖3，若的余角等于的補(bǔ)角，求的大?。?．如圖所示，已知，點P是射線AM上一動點（與點A不重合），BC、BD分別平分和，分別交射線AM于點C、D，且（1）求的度數(shù)．（2）當(dāng)點P運(yùn)動時，與之間的數(shù)量關(guān)系是否隨之發(fā)生變化？若不變化，請寫出它們之間的關(guān)系，并說明理由；若變化，請寫出變化規(guī)律．（3）當(dāng)點P運(yùn)動到使時，求的度數(shù)．9．如圖1，D是△ABC延長線上的一點，CEAB．（1）求證：∠ACD＝∠A+∠B；（2）如圖2，過點A作BC的平行線交CE于點H，CF平分∠ECD，F(xiàn)A平分∠HAD，若∠BAD＝70°，求∠F的度數(shù)．（3）如圖3，AHBD，G為CD上一點，Q為AC上一點，GR平分∠QGD交AH于R，QN平分∠AQG交AH于N，QMGR，猜想∠MQN與∠ACB的關(guān)系，說明理由．10．如圖，兩個形狀，大小完全相同的含有30°、60°的三角板如圖放置，PA、PB與直線MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)．（1）①如圖1，∠DPC＝度．②我們規(guī)定，如果兩個三角形只要有一組邊平行，我們就稱這兩個三角形為“孿生三角形”，如圖1，三角板BPD不動，三角板PAC從圖示位置開始每秒10°逆時針旋轉(zhuǎn)一周（0°旋轉(zhuǎn)360°），問旋轉(zhuǎn)時間t為多少時，這兩個三角形是“孿生三角形”．（2）如圖3，若三角板PAC的邊PA從PN處開始繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速3°/秒，同時三角板PBD的邊PB從PM處開始繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速2°/秒，在兩個三角板旋轉(zhuǎn)過程中，（PC轉(zhuǎn)到與PM重合時，兩三角板都停止轉(zhuǎn)動）．設(shè)兩個三角板旋轉(zhuǎn)時間為t秒，以下兩個結(jié)論：①為定值；②∠BPN+∠CPD為定值，請選擇你認(rèn)為對的結(jié)論加以證明．三、解答題11．（1）如圖1，∠BAD的平分線AE與∠BCD的平分線CE交于點E，AB∥CD，∠ADC=50°，∠ABC=40°，求∠AEC的度數(shù)；（2）如圖2，∠BAD的平分線AE與∠BCD的平分線CE交于點E，∠ADC=α°，∠ABC=β°，求∠AEC的度數(shù)；（3）如圖3，PQ⊥MN于點O，點A是平面內(nèi)一點，AB、AC交MN于B、C兩點，AD平分∠BAC交PQ于點D，請問的值是否發(fā)生變化？若不變，求出其值；若改變，請說明理由．12．在△ABC中，∠BAC＝90°，點D是BC上一點，將△ABD沿AD翻折后得到△AED，邊AE交BC于點F．(1)如圖①，當(dāng)AE⊥BC時，寫出圖中所有與∠B相等的角：；所有與∠C相等的角：．(2)若∠C－∠B＝50°，∠BAD＝x°(0＜x≤45)．①求∠B的度數(shù)；②是否存在這樣的x的值，使得△DEF中有兩個角相等．若存在，并求x的值；若不存在，請說明理由．13．模型與應(yīng)用.（模型）（1）如圖①，已知AB∥CD，求證∠1＋∠MEN＋∠2＝360°.（應(yīng)用）（2）如圖②，已知AB∥CD，則∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度數(shù)為．如圖③，已知AB∥CD，則∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＋…＋∠n的度數(shù)為．（3）如圖④，已知AB∥CD，∠AM1M2的角平分線M1O與∠CMnMn－1的角平分線MnO交于點O，若∠M1OMn＝m°．在（2）的基礎(chǔ)上，求∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＋……＋∠n－1的度數(shù)．（用含m、n的代數(shù)式表示）14．如圖，，點A、B分別在直線MN、GH上，點O在直線MN、GH之間，若，．（1）=；（2）如圖2，點C、D是、角平分線上的兩點，且，求的度數(shù)；（3）如圖3，點F是平面上的一點，連結(jié)FA、FB，E是射線FA上的一點，若，，且，求n的值．15．互動學(xué)習(xí)課堂上某小組同學(xué)對一個課題展開了探究．小亮：已知，如圖三角形，點是三角形內(nèi)一點，連接，，試探究與，，之間的關(guān)系．小明：可以用三角形內(nèi)角和定理去解決．小麗：用外角的相關(guān)結(jié)論也能解決．（1）請你在橫線上補(bǔ)全小明的探究過程：∵，（______）∴，（等式性質(zhì)）∵，∴，∴．（______）（2）請你按照小麗的思路完成探究過程；（3）利用探究的結(jié)果，解決下列問題：①如圖①，在凹四邊形中，，，求______；②如圖②，在凹四邊形中，與的角平分線交于點，，，則______；③如圖③，，的十等分線相交于點、、、…、，若，，則的度數(shù)為______；④如圖④，，的角平分線交于點，則，與之間的數(shù)量關(guān)系是______；⑤如圖⑤，，的角平分線交于點，，，求的度數(shù)．【參考答案】一、解答題1．（1）證明見解析；（2）；（3）．【分析】（1）過點作，先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)平行公理推論可得，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，由此即可得證；（2）過點作，同（1）的方法，先根據(jù)平行線的性質(zhì)解析：（1）證明見解析；（2）；（3）．【分析】（1）過點作，先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)平行公理推論可得，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，由此即可得證；（2）過點作，同（1）的方法，先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，從而可得，再根據(jù)垂直的定義可得，由此即可得出結(jié)論；（3）過點作，延長至點，先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，從而可得，再根據(jù)角平分線的定義、結(jié)合（2）的結(jié)論可得，然后根據(jù)角的和差、對頂角相等可得，由此即可得出答案．【詳解】證明：（1）如圖，過點作，，，，，即，，；（2）如圖，過點作，，，，，即，，，，，；（3）如圖，過點作，延長至點，，，，，平分，平分，，由（2）可知，，，又，．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、對頂角相等、角平分線的定義等知識點，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．（1）見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，再根據(jù)等量代換可得，最后根據(jù)平行線的判定即可得證；（2）過點E作，延長DC至Q，過點M作，根據(jù)平行線的性質(zhì)及等量代換可得出，再根據(jù)平角的解析：（1）見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，再根據(jù)等量代換可得，最后根據(jù)平行線的判定即可得證；（2）過點E作，延長DC至Q，過點M作，根據(jù)平行線的性質(zhì)及等量代換可得出，再根據(jù)平角的含義得出，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義可推出；設(shè)，根據(jù)角的和差可得出，結(jié)合已知條件可求得，最后根據(jù)垂線的含義及平行線的性質(zhì)，即可得出答案．【詳解】（1）證明：；（2）過點E作，延長DC至Q，過點M作，，，AF平分FH平分設(shè)，．【點睛】本題考查了平行線的判定及性質(zhì)，角平分線的定義，能靈活根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．3．（1）49°，（2）44°，（3）∠OPQ=∠ORQ【分析】（1）根據(jù)∠OPA=∠QPB．可求出∠OPA的度數(shù)；（2）由∠AOP=43°，∠BQP=49°可求出∠OPQ的度數(shù)，轉(zhuǎn)化為（1）來解解析：（1）49°，（2）44°，（3）∠OPQ=∠ORQ【分析】（1）根據(jù)∠OPA=∠QPB．可求出∠OPA的度數(shù)；（2）由∠AOP=43°，∠BQP=49°可求出∠OPQ的度數(shù)，轉(zhuǎn)化為（1）來解決問題；（3）由（2）推理可知：∠OPQ=∠AOP+∠BQP，∠ORQ=∠DOR+∠RQC，從而∠OPQ=∠ORQ．【詳解】解：（1）∵∠OPA=∠QPB，∠OPQ=82°，∴∠OPA=（180°-∠OPQ）×=（180°-82°）×=49°，（2）作PC∥m，∵m∥n，∴m∥PC∥n，∴∠AOP=∠OPC=43°，∠BQP=∠QPC=49°，∴∠OPQ=∠OPC+∠QPC=43°+49°=92°，∴∠OPA=（180°-∠OPQ）×=（180°-92°）×44°，（3）∠OPQ=∠ORQ．理由如下：由（2）可知：∠OPQ=∠AOP+∠BQP，∠ORQ=∠DOR+∠RQC，∵入射光線與平面鏡的夾角等于反射光線與平面鏡的夾角，∴∠AOP=∠DOR，∠BQP=∠RQC，∴∠OPQ=∠ORQ．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和入射角等于反射角的規(guī)定，解決本題的關(guān)鍵是注意問題的設(shè)置環(huán)環(huán)相扣、前為后用的設(shè)置目的．4．（1）說明過程請看解答；（2）說明過程請看解答；（3）∠BED=360°-2∠BFD．【分析】（1）圖1中，過點E作EG∥AB，則∠BEG=∠ABE，根據(jù)AB∥CD，EG∥AB，所以CD∥EG，解析：（1）說明過程請看解答；（2）說明過程請看解答；（3）∠BED=360°-2∠BFD．【分析】（1）圖1中，過點E作EG∥AB，則∠BEG=∠ABE，根據(jù)AB∥CD，EG∥AB，所以CD∥EG，所以∠DEG=∠CDE，進(jìn)而可得∠BED=∠ABE+∠CDE；（2）圖2中，根據(jù)∠ABE的平分線與∠CDE的平分線相交于點F，結(jié)合（1）的結(jié)論即可說明：∠BED=2∠BFD；（3）圖3中，根據(jù)∠ABE的平分線與∠CDE的平分線相交于點F，過點E作EG∥AB，則∠BEG+∠ABE=180°，因為AB∥CD，EG∥AB，所以CD∥EG，所以∠DEG+∠CDE=180°，再結(jié)合（1）的結(jié)論即可說明∠BED與∠BFD之間的數(shù)量關(guān)系．【詳解】解：（1）如圖1中，過點E作EG∥AB，則∠BEG=∠ABE，因為AB∥CD，EG∥AB，所以CD∥EG，所以∠DEG=∠CDE，所以∠BEG+∠DEG=∠ABE+∠CDE，即∠BED=∠ABE+∠CDE；（2）圖2中，因為BF平分∠ABE，所以∠ABE=2∠ABF，因為DF平分∠CDE，所以∠CDE=2∠CDF，所以∠ABE+∠CDE=2∠ABF+2∠CDF=2（∠ABF+∠CDF），由（1）得：因為AB∥CD，所以∠BED=∠ABE+∠CDE，∠BFD=∠ABF+∠CDF，所以∠BED=2∠BFD．（3）∠BED=360°-2∠BFD．圖3中，過點E作EG∥AB，則∠BEG+∠ABE=180°，因為AB∥CD，EG∥AB，所以CD∥EG，所以∠DEG+∠CDE=180°，所以∠BEG+∠DEG=360°-（∠ABE+∠CDE），即∠BED=360°-（∠ABE+∠CDE），因為BF平分∠ABE，所以∠ABE=2∠ABF，因為DF平分∠CDE，所以∠CDE=2∠CDF，∠BED=360°-2（∠ABF+∠CDF），由（1）得：因為AB∥CD，所以∠BFD=∠ABF+∠CDF，所以∠BED=360°-2∠BFD．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)．5．（1）見解析；（2）當(dāng)點E在CA的延長線上時，∠BED=∠D-∠B；當(dāng)點E在AC的延長線上時，∠BED=∠BET-∠DET=∠B-∠D；（3）【分析】（1）如圖1中，過點E作ET∥AB．利用平行解析：（1）見解析；（2）當(dāng)點E在CA的延長線上時，∠BED=∠D-∠B；當(dāng)點E在AC的延長線上時，∠BED=∠BET-∠DET=∠B-∠D；（3）【分析】（1）如圖1中，過點E作ET∥AB．利用平行線的性質(zhì)解決問題．（2）分兩種情形：如圖2-1中，當(dāng)點E在CA的延長線上時，如圖2-2中，當(dāng)點E在AC的延長線上時，構(gòu)造平行線，利用平行線的性質(zhì)求解即可．（3）利用（1）中結(jié)論，可得∠BMD=∠ABM+∠CDM，∠BFD=∠ABF+∠CDF，由此解決問題即可．【詳解】解：（1）證明：如圖1中，過點E作ET∥AB．由平移可得AB∥CD，∵AB∥ET，AB∥CD，∴ET∥CD∥AB，∴∠B=∠BET，∠TED=∠D，∴∠BED=∠BET+∠DET=∠B+∠D．（2）如圖2-1中，當(dāng)點E在CA的延長線上時，過點E作ET∥AB．∵AB∥ET，AB∥CD，∴ET∥CD∥AB，∴∠B=∠BET，∠TED=∠D，∴∠BED=∠DET-∠BET=∠D-∠B．如圖2-2中，當(dāng)點E在AC的延長線上時，過點E作ET∥AB．∵AB∥ET，AB∥CD，∴ET∥CD∥AB，∴∠B=∠BET，∠TED=∠D，∴∠BED=∠BET-∠DET=∠B-∠D．（3）如圖，設(shè)∠ABE=∠EBM=x，∠CDE=∠EDM=y，∵AB∥CD，∴∠BMD=∠ABM+∠CDM，∴m=2x+2y，∴x+y=m，∵∠BFD=∠ABF+∠CDF，∠ABE=n∠EBF，∠CDE=n∠EDF，∴∠BFD===．【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會條件常用輔助線，構(gòu)造平行線解決問題，屬于中考?？碱}型．二、解答題6．（1）∠ACB+∠BED=180°；（2）100°；（3）40°【分析】（1）如圖1，延長DE交AB于點F，根據(jù)ABCD可得∠DFB=∠D，則∠DFB=∠A，可得ACDF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠A解析：（1）∠ACB+∠BED=180°；（2）100°；（3）40°【分析】（1）如圖1，延長DE交AB于點F，根據(jù)ABCD可得∠DFB=∠D，則∠DFB=∠A，可得ACDF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠ACB+∠CEF=180°，由對頂角相等可得結(jié)論；（2）如圖2，作EMCD，HNCD，根據(jù)ABCD，可得ABEMHNCD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得角之間的關(guān)系，再根據(jù)∠DEB比∠DHB大60°，列出等式即可求∠DEB的度數(shù)；（3）如圖3，過點E作ESCD，設(shè)直線DF和直線BP相交于點G，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線定義可求∠PBM的度數(shù)．【詳解】解：（1）如圖1，延長交于點，，，，，，，，故答案為：；（2）如圖2，作，，，，，，平分，，，，，，，平分，，，，，設(shè)，，比大，，，解得．的度數(shù)為；（3）的度數(shù)不變，理由如下：如圖3，過點作，設(shè)直線和直線相交于點，平分，平分，，，，，，，，，由（2）可知：，，，，，，．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)．7．（1），見解析；（2）；（3）60°【分析】（1）作EF//AB，如圖1，則EF//CD，利用平行線的性質(zhì)得∠1＝∠BAE，∠2＝∠CDE，從而得到∠BAE＋∠CDE＝∠AED；（2）如圖2，解析：（1），見解析；（2）；（3）60°【分析】（1）作EF//AB，如圖1，則EF//CD，利用平行線的性質(zhì)得∠1＝∠BAE，∠2＝∠CDE，從而得到∠BAE＋∠CDE＝∠AED；（2）如圖2，由（1）的結(jié)論得∠AFD＝∠BAF＋∠CDF，根據(jù)角平分線的定義得到∠BAF＝∠BAE，∠CDF＝∠CDE，則∠AFD＝（∠BAE＋∠CDE），加上（1）的結(jié)論得到∠AFD＝∠AED；（3）由（1）的結(jié)論得∠AGD＝∠BAF＋∠CDG，利用折疊性質(zhì)得∠CDG＝4∠CDF，再利用等量代換得到∠AGD＝2∠AED－∠BAE，加上90°－∠AGD＝180°－2∠AED，從而可計算出∠BAE的度數(shù)．【詳解】解：（1）理由如下：作，如圖1，，．，，；（2）如圖2，由（1）的結(jié)論得，、的兩條平分線交于點F，，，，，；（3）由（1）的結(jié)論得，而射線沿翻折交于點G，，，，，．【點睛】本題考查了平行線性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．8．（1）；（2）不變化，，理由見解析；（3）【分析】（1）結(jié)合題意，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得；再根據(jù)平行線的性質(zhì)計算，即可得到答案；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)，得，；結(jié)合角平分線性質(zhì)，得，即可完成求解解析：（1）；（2）不變化，，理由見解析；（3）【分析】（1）結(jié)合題意，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得；再根據(jù)平行線的性質(zhì)計算，即可得到答案；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)，得，；結(jié)合角平分線性質(zhì)，得，即可完成求解；（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)，得；結(jié)合，推導(dǎo)得；再結(jié)合（1）的結(jié)論計算，即可得到答案．【詳解】（1）∵BC，BD分別評分和，∴，∴又∵，∴∵，∴∴；（2）∵，∴，又∵BD平分∴，∴；∴與之間的數(shù)量關(guān)系保持不變；（3）∵，∴又∵，∴，∵∴由（1）可得，∴．【點睛】本題考查了角平分線、平行線的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線、平行線的性質(zhì)，從而完成求解．9．（1）證明見解析；（2）∠F=55°；（3）∠MQN＝∠ACB；理由見解析．【分析】（1）首先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ACE＝∠A，∠ECD＝∠B，然后通過等量代換即可得出答案；（2）首先根據(jù)角解析：（1）證明見解析；（2）∠F=55°；（3）∠MQN＝∠ACB；理由見解析．【分析】（1）首先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ACE＝∠A，∠ECD＝∠B，然后通過等量代換即可得出答案；（2）首先根據(jù)角平分線的定義得出∠FCD＝∠ECD，∠HAF＝∠HAD，進(jìn)而得出∠F＝（∠HAD+∠ECD），然后根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠HAD+∠ECD的度數(shù)，進(jìn)而可得出答案；（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義得出，，，再通過等量代換即可得出∠MQN＝∠ACB．【詳解】解：（1）∵CEAB，∴∠ACE＝∠A，∠ECD＝∠B，∵∠ACD＝∠ACE+∠ECD，∴∠ACD＝∠A+∠B；（2）∵CF平分∠ECD，F(xiàn)A平分∠HAD，∴∠FCD＝∠ECD，∠HAF＝∠HAD，∴∠F＝∠HAD+∠ECD＝（∠HAD+∠ECD），∵CHAB，∴∠ECD＝∠B，∵AHBC，∴∠B+∠HAB＝180°，∵∠BAD＝70°，，∴∠F＝（∠B+∠HAD）＝55°；（3）∠MQN＝∠ACB，理由如下：平分，．平分，．，．∴∠MQN＝∠MQG﹣∠NQG＝180°﹣∠QGR﹣∠NQG＝180°﹣（∠AQG+∠QGD）＝180°﹣（180°﹣∠CQG+180°﹣∠QGC）＝（∠CQG+∠QGC）＝∠ACB．【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)和角平分線的定義，掌握平行線的性質(zhì)和角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．10．（1）①90；②t為或或或或或或；（2）①正確，②錯誤，證明見解析．【分析】（1）①由平角的定義，結(jié)合已知條件可得：從而可得答案；②當(dāng)時，有兩種情況，畫出符合題意的圖形，利用平行線的性質(zhì)與角的和解析：（1）①90；②t為或或或或或或；（2）①正確，②錯誤，證明見解析．【分析】（1）①由平角的定義，結(jié)合已知條件可得：從而可得答案；②當(dāng)時，有兩種情況，畫出符合題意的圖形，利用平行線的性質(zhì)與角的和差求解旋轉(zhuǎn)角，可得旋轉(zhuǎn)時間；當(dāng)時，有兩種情況，畫出符合題意的圖形，利用平行線的性質(zhì)與角的和差關(guān)系求解旋轉(zhuǎn)角，可得旋轉(zhuǎn)時間；當(dāng)時，有兩種情況，畫出符合題意的圖形，利用平行線的性質(zhì)與角的和差關(guān)系求解旋轉(zhuǎn)角，可得旋轉(zhuǎn)時間；當(dāng)時，畫出符合題意的圖形，利用平行線的性質(zhì)與角的和差關(guān)系求解旋轉(zhuǎn)角，可得旋轉(zhuǎn)時間；當(dāng)時的旋轉(zhuǎn)時間與相同；（2）分兩種情況討論：當(dāng)在上方時，當(dāng)在下方時，①分別用含的代數(shù)式表示，從而可得的值；②分別用含的代數(shù)式表示，得到是一個含的代數(shù)式，從而可得答案．【詳解】解：（1）①∵∠DPC＝180°﹣∠CPA﹣∠DPB，∠CPA＝60°，∠DPB＝30°，∴∠DPC＝180﹣30﹣60＝90°，故答案為90；②如圖1﹣1，當(dāng)BD∥PC時，∵PC∥BD，∠DBP＝90°，∴∠CPN＝∠DBP＝90°，∵∠CPA＝60°，∴∠APN＝30°，∵轉(zhuǎn)速為10°/秒，∴旋轉(zhuǎn)時間為3秒；如圖1﹣2，當(dāng)PC∥BD時，∵∠PBD＝90°，∴∠CPB＝∠DBP＝90°，∵∠CPA＝60°，∴∠APM＝30°，∵三角板PAC繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)的角度為180°+30°＝210°，∵轉(zhuǎn)速為10°/秒，∴旋轉(zhuǎn)時間為21秒，如圖1﹣3，當(dāng)PA∥BD時，即點D與點C重合，此時∠ACP＝∠BPD＝30°，則AC∥BP，∵PA∥BD，∴∠DBP＝∠APN＝90°，∴三角板PAC繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)的角度為90°，∵轉(zhuǎn)速為10°/秒，∴旋轉(zhuǎn)時間為9秒，如圖1﹣4，當(dāng)PA∥BD時，∵∠DPB＝∠ACP＝30°，∴AC∥BP，∵PA∥BD，∴∠DBP＝∠BPA＝90°，∴三角板PAC繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)的角度為90°+180°＝270°，∵轉(zhuǎn)速為10°/秒，∴旋轉(zhuǎn)時間為27秒，如圖1﹣5，當(dāng)AC∥DP時，∵AC∥DP，∴∠C＝∠DPC＝30°，∴∠APN＝180°﹣30°﹣30°﹣60°＝60°，∴三角板PAC繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)的角度為60°，∵轉(zhuǎn)速為10°/秒，∴旋轉(zhuǎn)時間為6秒，如圖1﹣6，當(dāng)時，∴三角板PAC繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)的角度為∵轉(zhuǎn)速為10°/秒，∴旋轉(zhuǎn)時間為秒，如圖1﹣7，當(dāng)AC∥BD時，∵AC∥BD，∴∠DBP＝∠BAC＝90°，∴點A在MN上，∴三角板PAC繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)的角度為180°，∵轉(zhuǎn)速為10°/秒，∴旋轉(zhuǎn)時間為18秒，當(dāng)時，如圖1-3，1-4，旋轉(zhuǎn)時間分別為：，綜上所述：當(dāng)t為或或或或或或時，這兩個三角形是“孿生三角形”；（2）如圖，當(dāng)在上方時，①正確，理由如下：設(shè)運(yùn)動時間為t秒，則∠BPM＝2t，∴∠BPN＝180°﹣2t，∠DPM＝30°﹣2t，∠APN＝3t．∴∠CPD＝180°﹣∠DPM﹣∠CPA﹣∠APN＝90°﹣t，∴②∠BPN+∠CPD＝180°﹣2t+90°﹣t＝270°﹣3t，可以看出∠BPN+∠CPD隨著時間在變化，不為定值，結(jié)論錯誤．當(dāng)在下方時，如圖，①正確，理由如下：設(shè)運(yùn)動時間為t秒，則∠BPM＝2t，∴∠BPN＝180°﹣2t，∠DPM＝∠APN＝3t．∴∠CPD＝∴②∠BPN+∠CPD＝180°﹣2t+90°﹣t＝270°﹣3t，可以看出∠BPN+∠CPD隨著時間在變化，不為定值，結(jié)論錯誤．綜上：①正確，②錯誤．【點睛】本題考查的是角的和差倍分關(guān)系，平行線的性質(zhì)與判定，角的動態(tài)定義（旋轉(zhuǎn)角）的理解，掌握分類討論的思想是解題的關(guān)鍵．三、解答題11．（1）∠E=45°；（2）∠E=；（3）不變化，【分析】（1）由三角形內(nèi)角和定理，可得∠D+∠ECD=∠E+∠EAD，∠B+∠EAB=∠E+∠ECB，由角平分線的性質(zhì)，可得∠ECD=∠ECB=∠解析：（1）∠E=45°；（2）∠E=；（3）不變化，【分析】（1）由三角形內(nèi)角和定理，可得∠D+∠ECD=∠E+∠EAD，∠B+∠EAB=∠E+∠ECB，由角平分線的性質(zhì)，可得∠ECD=∠ECB=∠BCD，∠EAD=∠EAB=∠BAD，則可得∠E=（∠D+∠B），繼而求得答案；（2）首先延長BC交AD于點F，由三角形外角的性質(zhì)，可得∠BCD=∠B+∠BAD+∠D，又由角平分線的性質(zhì)，即可求得答案．（3）由三角形內(nèi)角和定理，可得，利用角平分線的性質(zhì)與三角形的外角的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：（1）∵CE平分∠BCD，AE平分∠BAD∴∠ECD=∠ECB=∠BCD，∠EAD=∠EAB=∠BAD，∵∠D+∠ECD=∠E+∠EAD，∠B+∠EAB=∠E+∠ECB，∴∠D+∠ECD+∠B+∠EAB=∠E+∠EAD+∠E+∠ECB∴∠D+∠B=2∠E，∴∠E=（∠D+∠B），∵∠ADC=50°，∠ABC=40°，∴∠AEC=×（50°+40°）=45°；（2）延長BC交AD于點F，∵∠BFD=∠B+∠BAD，∴∠BCD=∠BFD+∠D=∠B+∠BAD+∠D，∵CE平分∠BCD，AE平分∠BAD∴∠ECD=∠ECB=∠BCD，∠EAD=∠EAB=∠BAD，∵∠E+∠ECB=∠B+∠EAB，∴∠E=∠B+∠EAB－∠ECB=∠B+∠BAE－∠BCD=∠B+∠BAE－（∠B+∠BAD+∠D）=（∠B－∠D），∠ADC=α°，∠ABC=β°，即∠AEC=（3）的值不發(fā)生變化，理由如下：如圖，記與交于，與交于，①，②，①－②得：AD平分∠BAC，【點睛】此題考查了三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)以及角平分線的定義．此題難度較大，注意掌握整體思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．12．(1)∠E、∠CAF；∠CDE、∠BAF；(2)①20°；②30【分析】（1）由翻折的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)即可得與∠B相等的角；由等角代換即可得與∠C相等的角；（2）①由三角形內(nèi)角和定理可得，解析：(1)∠E、∠CAF；∠CDE、∠BAF；(2)①20°；②30【分析】（1）由翻折的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)即可得與∠B相等的角；由等角代換即可得與∠C相等的角；（2）①由三角形內(nèi)角和定理可得，再由根據(jù)角的和差計算即可得∠C的度數(shù)，進(jìn)而得∠B的度數(shù)．②根據(jù)翻折的性質(zhì)和三角形外角及三角形內(nèi)角和定理，用含x的代數(shù)式表示出∠FDE、∠DFE的度數(shù)，分三種情況討論求出符合題意的x值即可．【詳解】（1）由翻折的性質(zhì)可得：∠E＝∠B，∵∠BAC＝90°，AE⊥BC，∴∠DFE＝90°，∴180°－∠BAC＝180°－∠DFE＝90°，即：∠B＋∠C＝∠E＋∠FDE＝90°，∴∠C＝∠FDE，∴AC∥DE，∴∠CAF＝∠E，∴∠CAF＝∠E＝∠B故與∠B相等的角有∠CAF和∠E；∵∠BAC＝90°，AE⊥BC，∴∠BAF＋∠CAF＝90°,∠CFA＝180°－（∠CAF＋∠C）＝90°∴∠BAF＋∠CAF＝∠CAF＋∠C＝90°∴∠BAF＝∠C又AC∥DE，∴∠C＝∠CDE，∴故與∠C相等的角有∠CDE、∠BAF；（2）①∵∴又∵，∴∠C＝70°，∠B＝20°;②∵∠BAD＝x°,∠B＝20°則,,由翻折可知：∵,,∴,,當(dāng)∠FDE＝∠DFE時，,解得：；當(dāng)∠FDE＝∠E時，，解得：（因為0＜x≤45，故舍去）；當(dāng)∠DFE＝∠E時，，解得：（因為0＜x≤45，故舍去）；綜上所述，存在這樣的x的值，使得△DEF中有兩個角相等．且．【點睛】本題考查圖形的翻折、三角形內(nèi)角和定理、平行線的判定及其性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、等角代換，解題的關(guān)鍵是熟知圖形翻折的性質(zhì)及綜合運(yùn)用所學(xué)知識．13．（1）證明見解析；（2）900°，180°(n－1)；（3）(180n－180－2m)°【詳解】【模型】（1）證明：過點E作EF∥CD，∵AB∥CD，∴EF∥AB，∴∠1＋∠MEF解析：（1）證明見解析；（2）900°，180°(n－1)；（3）(180n－180－2m)°【詳解】【模型】（1）證明：過點E作EF∥CD，∵AB∥CD，∴EF∥AB，∴∠1＋∠MEF＝180°，同理∠2＋∠NEF＝180°∴∠1＋∠2＋∠MEN＝360°【應(yīng)用】（2）分別過E點，F(xiàn)點，G點，H點作L1，L2，L3，L4平行于AB，利用（1）的方法可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=180×5=900°；由上面的解題方法可得：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＋…＋∠n=180°(n－1)，故答案是：900°，180°(n－1)；（3）過點O作SR∥AB，∵AB∥CD，∴SR∥CD，∴∠AM1O＝∠M1OR同理∠CMnO＝∠MnOR∴∠AM1O＋∠CMnO＝∠M1OR＋∠MnOR，∴∠AM1O＋∠CMnO＝∠M1OMn＝m°，∵M(jìn)1O平分∠AM1M2，∴∠AM1M2＝2∠AM1O，同理∠CMnMn-1＝2∠CMnO，∴∠AM1M2＋∠CMnMn-1＝2∠AM1O＋2∠CMnO＝2∠M1OMn＝2m°，又∵∠AM1M2＋∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＋……＋∠n－1＋∠CMnMn-1＝180°(n－1)，∴∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＋…＋∠n－1＝(180n－180－2m)°點睛：本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，解決此類題目，過拐點作平行線是解題的關(guān)鍵，準(zhǔn)確識圖理清圖中各角度之間的關(guān)系也很重要．14．（1）100；（2）75°；（3）n=3．【分析】（1）如圖：過O作OP//MN，由MN//OP//GH得∠NAO+∠POA=180°，∠POB+∠OBH=180°，即∠NAO+∠AOB+∠OB解析：（1）100；（2）75°；（3）n=3．【分析】（1）如圖：