PAGE12024~2025學年度蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學情況調研（二）數(shù)學2025.5注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用對數(shù)函數(shù)單調性解不等式，得到，利用交集概念求出答案.【詳解】，故，，故，所以，又，故.故選：A.2.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用復數(shù)除法和減法法則計算出答案.【詳解】故選：B.3.詩歌朗誦比賽共有八位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時，從8個原始評分中去掉1個最高分和1個最低分，得到6個有效評分，6個有效評分與8個原始評分相比，一定不變的數(shù)字特征是（）A.極差 B.平均數(shù) C.中位數(shù) D.標準差【答案】C【解析】【分析】由極差、中位數(shù)、平均數(shù)和標準差概念判斷即可.【詳解】根據(jù)題意，將8個數(shù)據(jù)從小到大排列，從8個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到6個有效評分，6個有效評分與8個原始評分相比，最中間的兩個分數(shù)不變，而最高分、最低分、平均分、標準差都有可能發(fā)生變化，因此一定不變的數(shù)字特征是中位數(shù).故選：C.4.已知圓：，將直線：繞原點按順時針方向旋轉后得到直線，則（）A.直線過圓心 B.直線與圓相交，但不過圓心C.直線與圓相切 D.直線與圓無公共點【答案】B【解析】【分析】首先得到直線的傾斜角，即可得到直線的傾斜角，從而求出直線的方程，再求出圓心到直線的距離，即可判斷.【詳解】直線：即，斜率為，傾斜角為，將直線繞原點順時針方向旋轉得到直線，則直線的傾斜角為，所以直線的方程為，即，圓：的圓心坐標為，半徑，圓心到直線的距離，直線與圓相交但不過圓心.

故選：B.5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用同角平方和公式和二倍角正切公式即可求解.【詳解】由與聯(lián)立，結合可解得：，，，再由二倍角公式可得，故選：B.6.已知等比數(shù)列的公比，前項和為，則對于，下列結論一定正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】舉反例即可判斷ABC，再分類討論時和時，結合等比數(shù)列求和公式即可判斷．【詳解】令，，，，，A錯；，B錯；，C錯；一般情況，時，，，，，此時；時，，左邊，右邊左邊，D對；故選：D．7.已知函數(shù)和的定義域均為.若是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且，則（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由奇函數(shù)的性質得出，然后在等式中，分別令、，可得出的值，的值，由此可得的值.【詳解】因為是奇函數(shù)，則，令，可得，可得，在中令得，所以，在中令得，所以，所以.故選：D.8.一個底面邊長和側棱長均為4的正三棱柱密閉容器，其中盛有一定體積的水，當?shù)酌嫠椒胖脮r，水面高為.當側面水平放置時（如圖），容器內(nèi)的水形成新的幾何體.若該幾何體的所有頂點均在同一個球面上，則該球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用棱柱的體積可得面積之比，進而得長度比例關系，結合勾股定理，聯(lián)立方程可求解半徑，由表面積公式求解，或者利用余弦定理求解長度，進而根據(jù)正弦定理求解外接圓半徑，即可利用勾股定理求解球半徑得解.【詳解】方法一：，如圖，，而，，，即，由于到距離，則到距離，設正方形外接圓圓心，則設矩形外接圓圓心，則，設外接球半徑，，故外接球表面積為，故選;A.方法二：由當?shù)酌嫠椒胖脮r，水面高為可知容器內(nèi)的空氣占容器體積的，于是側放時，圖中的空氣區(qū)域的“小三棱柱”的體積為容器的，因此“小三棱柱”的底面“小三角形”的面積為大三角形的，則邊長之比為，即“小三角形”邊長為1.然后如圖：設圓的半徑為，由余弦定理可得，故，故，所以外接球的半徑為，所以球的表面積為.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.的展開式中，則（）A.的系數(shù)為 B.第3項與第4項的二項式系數(shù)相等C.所有項的二項式系數(shù)和為32 D.所有項的系數(shù)和為32【答案】ABC【解析】【分析】A選項，寫出展開式的通項公式，得到，求出的系數(shù)；B選項，第3項和第4項的二項式系數(shù)均為10；C選項，所有項的二項式系數(shù)和為；D選項，賦值法得到所有項的系數(shù)和.【詳解】A選項，展開式第項，時，，A對；B選項，第3項二項式系數(shù)為，第4項的二項式系數(shù)為，兩者相同，B對.C選項，所有項的二項式系數(shù)和為，C對.D選項，時，，即所有項的系數(shù)和為，D錯；故選：ABC10.已知函數(shù)，則（）A.的圖象關于點對稱B.的最小正周期為C.的最小值為D.在上有四個不同的實數(shù)解【答案】BD【解析】【分析】方法一：結合判斷A；根據(jù)正弦型函數(shù)的周期公式判斷B；作出函數(shù)大致圖象，判斷CD；方法二：化簡得由，結合函數(shù)大致圖象判斷各選項即可.【詳解】方法一：由，則，，則，所以不可能關于對稱，A錯誤；因為函數(shù)的最小正周期為，函數(shù)的最小正周期為，則的最小正周期為，B正確；當時，，當時，；當時，，作出函數(shù)大致圖象，如圖，則，C錯誤，在有4個根，D正確.方法二：由，作出和的圖像，取位于上方的部分即可：由圖可知，AC錯誤，B正確，對于D，計算知與在內(nèi)的交點坐標為，而，結合函數(shù)的圖象特征可知函數(shù)與圖象在內(nèi)有四個交點，所以在上有四個不同的實數(shù)解，故D正確.故選：BD.11.已知為曲線：上一個動點（異于原點），在處的切線是指曲線在處的切線.直線為在處的切線，過作的垂線，若，分別與軸交于，兩點，則（）A.關于軸對稱B.到點的距離不小于到直線的距離C.存在，使得D.當取得最小值時，直線的斜率為【答案】ACD【解析】【分析】A利用點在曲線上得出，點也在曲線上即可判斷；B設，利用距離公式求出距離，再作差即可比較大小；C設，利用導函數(shù)求出切線斜率，進而求出直線，，再利用距離公式求出即可求得；D利用基本不等式求最值，得出取最值時即可求斜率.【詳解】A，若點滿足方程，則點也滿足方程，則關于軸對稱，故A正確；B，設，則，則到點的距離，到直線的距離，則，當時，，即，所以B錯誤；C，設，則，因，則，則曲線在點處切線斜率為，所以直線為，直線為，所以，，可得，，則因，故存在，使得時，故C正確；D，由C選項可知，，等號成立時，，即，此時的斜率為，故D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知平面向量，，若，則實數(shù)的值為______.【答案】【解析】【分析】先求出，根據(jù)向量平行得到方程，求出實數(shù)的值.【詳解】，，，.故答案為：13.在平面直角坐標系中，雙曲線的中心在原點，焦點在軸上，焦距長為.若和拋物線交于，兩點，且為正三角形，則的離心率為______.【答案】【解析】【分析】由對稱性可知、為與拋物線的交點，聯(lián)立求出其中一個交點坐標，代入雙曲線方程，結合焦距得到，進而求出離心率.【詳解】由對稱性知、關于軸對稱，為正三角形，則由正三角形對稱性可知、為與拋物線的交點，聯(lián)立與得或0（舍去），當時，，故其中一個交點，設雙曲線方程為，故，解得，在雙曲線上，，，故離心率為；故答案為：14.已知隨機變量，相互獨立，且，，則______；若，則______.【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)二項分布寫出概率再結合獨立事件概率乘積公式計算即可；根據(jù)概率求和結果倒序相加計算求解.【詳解】，，.并利用，記原式，倒序相加.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.某種產(chǎn)品可以采用甲、乙兩種工藝來生產(chǎn)，為了研究產(chǎn)品的質量與所采用的生產(chǎn)工藝的關聯(lián)性，現(xiàn)對該種產(chǎn)品進行隨機抽查，得到的結果如下表所示.工藝甲工藝乙合計合格6040100不合格203050合計8070150（1）依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析產(chǎn)品的質量是否與采用的工藝有關；（2）在不合格的50件樣本產(chǎn)品中任選3件，求在這3件樣本產(chǎn)品中至少有1件是采用工藝甲生產(chǎn)的條件下，這3件樣本產(chǎn)品中恰有一件是采用工藝乙生產(chǎn)的概率.附：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）產(chǎn)品的質量與采用的工藝有關（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)卡方的計算公式求解卡方，即可與臨界值比較作答，（2）根據(jù)條件概率的計算公式即可求解.【小問1詳解】零假設：產(chǎn)品的質量與采用的工藝無關，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，產(chǎn)品的質量與采用的工藝有關.【小問2詳解】記事件為3件樣本產(chǎn)品中至少有1件是采用工藝甲，事件為這3件樣本產(chǎn)品中恰有一件是采用工藝乙..16.如圖，在三棱柱中，，，，.（1）證明：平面；（2）若，二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理得到，根據(jù)勾股定理逆定理得到，結合證明出線面垂直；（2）先由線面垂直得到線線垂直，得到二面角的平面角為，求出各邊長，得到為等邊三角形，建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，由線面角的向量公式求出答案.【小問1詳解】，，，由余弦定理得，，，，又，，平面，平面；【小問2詳解】方法一：平面，平面，且，二面角的平面角為，而，，為等邊三角形，以為坐標原點，所在直線分別為軸，所在平面為平面，建立如圖所示的空間直角坐標系，，，，，由，，，，設平面的一個法向量，，解得，令，則，故，設與平面所成角為，.方法二：因為平面，又平面，所以．又，所以為二面角的平面角，即，在中，因為，，所以．故是等邊三角形所以．在三棱柱中，，又平面，所以平面，又平面，所以．故為直角三角形．在直角中，因為，，所以，故．設點到平面的距離為，由，得，解得．設直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為．17.已知橢圓：的離心率為，且經(jīng)過點.，是的左、右焦點.（1）求的標準方程；（2）過的直線與交于，兩點.若的內(nèi)切圓半徑為，，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，結合離心率的意義及所過點求出即可得橢圓方程.（2）設出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理定理，結合弦長及三角形面積公式求解.【小問1詳解】設橢圓的半焦距為，由離心率為，得，令，，橢圓：過點，則，解得，所以橢圓的標準方程為.【小問2詳解】由（1）知，設直線的方程為，，，由消去得，，，，，而，，則，解得，所以.18.已知函數(shù)，，.（1）若曲線在點的切線也是曲線的切線，求的值；（2）討論函數(shù)在區(qū)間上的單調性；（3）若對任意恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）（2）答案見解析（3）【解析】【分析】（1）利用導數(shù)的幾何意義來求曲線在某點處的切線方程即可求解；（2）利用分類討論，通過導數(shù)正負符號的判斷可得單調區(qū)間；（3）利用端點值剛好為，要滿足不等式恒成立，必要條件先行，再證明充分性即可求解.【小問1詳解】由已知得，，在點處的切線方程為.設與切于，，，則過該點的切線方程為：，整理得，由于該切線與重合，則.【小問2詳解】由，求導得，①當時，，，在上單調遞增；②當時，令當時，，在區(qū)間上單調遞減，當時，，在區(qū)間上單調遞增③當時，令當時，，在區(qū)間上單調遞增；當時，，在區(qū)間上單調遞減【小問3詳解】由題意得，即對恒成立.令，，令，，因為，，若，則在處切線必然是上升的，又因為，所以當且靠近的函數(shù)值滿足，此時就有，從而可推導在且靠近的附近是遞增的，又因為，所以在且靠近的附近必有則必然不滿足對恒有，所以要滿足對恒有，首先必需滿足在且靠近的附近，所以滿足，從而可得參數(shù)滿足的必要條件是；下面再證充分性，當，時，則，即有，又構造，，可得，所以在區(qū)間上單調遞增，即，則可知，則，恒成立，符合題意，綜上：的取值范圍為.【點睛】方法點睛：針對端點值剛好是不等式的臨界值時，利用必要條件先確定參數(shù)的范圍，再進行充分性證明，如若成立，則這個必要條件就是充要條件.19.若無窮數(shù)列滿足：，，，則稱為“均值遞減數(shù)列”.（1）已知無窮數(shù)列的前項和為，若為“均值遞減數(shù)列”，求證：，；（2）若數(shù)列的通項公式，判斷是否為“均值遞減數(shù)列”，并說明理由；（3）若兩個正項數(shù)列和均為“均值遞減數(shù)列”，證明：數(shù)列也為“均值遞減數(shù)列”.【答案】（1）證明見解析（2）是，理由見解析（3）證明見解析【解析】【分析】法一：（1）“均值遞減數(shù)列”定義可得答案；（2）求出的前項和為，令，則判斷的正負可得答案；（3）設，求出，結合，得，求和由（1）的結論知，，可得答案；法二：（1）根據(jù)為“均值遞減數(shù)列”得化簡可得答案；（2）判斷出的單調性，得，設前項和為，利用歸納法可得答案；（3）設的前項和為，的前項和為，設的前項和為，利用歸納法可得答案.【小問1詳解】法一：；法二：為“均值遞減數(shù)列”，關于單調遞減，即關于單調遞減，，；【小問2詳解】法一：設的前項和為，令，則，判別式小于零，