考點測試67變量間的相關關系與統(tǒng)計案例

高考在本考點的?？碱}型為選擇題、填空題與解答題，分值為5分，12

高考概覽

分，中、低等難度

1.會作兩個相關變量的數(shù)據(jù)的散點圖，會利用散點圖相識變量間的相關

關系

2.了解最小二乘法的思想，能依據(jù)給出的線性回來方程系數(shù)公式建立線

考綱研讀性回來方程

3.了解獨立性檢驗的基本思想、方法及其簡潔應用

4.了解來分析的基本思想、方法及其簡潔應用

第1步狂刷小題?基礎練

一、基礎小題

1.已知回來直線的斜率的估計值是1.23,樣本點的中心為(4,5),則回來直線的方程是

A.y=1.23x+4B.y=1.23x+5

C.y=1.23x+0.08D.y=0.08x4-1.23

答案C

解析選項D明顯錯誤.因為回來方程必過樣本中心點，把點(4,5)代入選項A,B,C檢

驗，滿意的只有選項C.故選C.

2.某公司一種型號的產品近期銷售狀況如下表：

月份323456

銷售額〃萬元15.116.317.917.218.4

依據(jù)上表可得到回來直線方程據(jù)此估計，該公司7月份這種型號產品的銷

售額約為()

A.19.5萬元B.19.25萬元

C.19.15萬元D.19.05萬元

答案D

_1_1

解析由表可知x=￡X(2+3+4+5+6)=4,y=rX(15.1+16.3+17+17.2+18.4)

□□

=16.8,則樣本中心點（4,16.8）在線性回來直線上,故16.8=0.75X44-a,得3=13.8.故當

x=7時，y=0.75X7+13.8=19.05.故選D.

3.為了解戶籍、性別對生育二胎選擇傾向的影響，某地從育齡人群中隨機抽取了容量為

200的調查樣本，其中城鎮(zhèn)戶籍與農村戶籍各100人；男性120人，女性80人，繪制不同群

體中傾向選擇生育二胎與傾向選擇不生育二胎的人數(shù)比例圖（如圖所示），其中陰影部分表示

傾向選擇生育二胎的對應比例，則下列敘述中錯誤的是（）

100%

80%

比40%

20%

0%

城鈍戶籍農村戶籍男性女性

A.是否傾向選擇生育二胎與戶籍有關

B.是否傾向選擇生育二胎與性別有關

C.傾向選擇生育二胎的人群中，男性人數(shù)與女性人數(shù)相同

D.傾向選擇不生育二胎的人群中，農村戶籍人數(shù)少于城鎮(zhèn)戶籍人數(shù)

答案C

解析由比例圖可知，是否傾向選擇生育二胎與戶籍、性別有關，傾向選擇不生育二胎

的人群中，農村戶籍人數(shù)為0.2X100=20,城鎮(zhèn)戶籍人數(shù)為0.6X100=60,農村戶籍人數(shù)少

于城鎮(zhèn)戶籍人數(shù)，傾向選擇生育二胎的人群中，男性人數(shù)為0.8X120=96人，女性人數(shù)為

0.6X80=48人，男性人數(shù)與女性人數(shù)不相同，故C錯誤，故選C.

4.在一組樣本數(shù)據(jù)（小，/），（如先）,…，（茄，為）（〃22,汨，如…，荀不全相等）

的散點圖中，若全部樣本點（無，修）（/=1,2,…，力都在直線y=L+l上，則這組樣本數(shù)

據(jù)的樣本相關系數(shù)為（）

A.-1B.0

C.1D.1

答案D

解析由題設，知這組樣本數(shù)據(jù)完全正相關，故其相關系數(shù)為1.故選D.

5.甲、乙、丙、丁匹位同學各自對兒〃兩變量的線性相關性做試驗，并用回來分析方

法分別求得相關系數(shù)r與殘差平方和勿，如下表：

甲|乙|丙|丁

0.820.780.690.85

m106115124103

則試驗結果體現(xiàn)4〃兩變量有更強的線性相關性的是（）

A.甲B.乙

C.丙D.丁

答案D

解析r越大，m越小，線性相關性越強，丁同學的試驗結果體現(xiàn)兒8兩變量有更強的

線性相關性.故選D.

6.在探討吸煙與患肺癌的關系中，通過收集數(shù)據(jù)、整理分析數(shù)據(jù)得“吸煙與患肺癌有關”

的結論，并且有99%以上的把握認為這個結論是成立的，則下列說法中正確的是（）

A.100個吸煙者中至少有99人患肺癌

B.1個人吸煙，那么這人有99%的概率患有肺癌

C.在100個吸煙者中肯定有患肺癌的人

D.在100個吸煙者中可能一個患肺癌的人也沒有

答案D

解析統(tǒng)計的結果只是說明事務發(fā)生可能性的大小，詳細到一個個體不肯定發(fā)生.故選

D.

7.設某高校的女生體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）具有線性相關關系，依據(jù)一組

樣本數(shù)據(jù)（為，/）（了=1,2,…，〃），用最小二乘法建立的回來方程為y=0.85x—85.71,則

下列結論中不正確的是（）

A.y與x具有正的線性相關關系

B.回來直線過樣本點的中心（：，7）

C.若該高校某女生身高增加1cm,則其體重約增加0.85kg

I）.若該高校某女生身高為170cm,則可斷定其體重必為58.79kg

答案D

解析由于線性回來方程中x的系數(shù)為0.85,因此y與x具有正的線性相關關系，故A

正確.又線性回來方程必過樣本點的中心（7,7）,因此B正確.由線性回來方程中系數(shù)的

意義知，x每增加1cm,其體重約增加0.85kg,故C正確.當某女生的身高為170cm時，

其體重估計值是58.79kg,而不是詳細值，因此D不正確.

8.以模型尸ce“去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出回來方程，設z=lny,其變換后得到線

性回來方程z=0.3x+4,則c=.

答案e4

解析因為y=ce",所以兩邊取對數(shù)，可得Iny=ln（cex'）=Inc+lne"=lnc+kx,

令z=lny,可得z=lnc+Zx.因為z=0.3x+4,所以Inc=4,所以c=e*.

二、高考小題

9.（2024?山東高考）為了探討某班學生的腳長x（單位：厘米）和身高y（單位：厘米）的

關系，從該班隨機抽取10名學生，依據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點圖可以看出y與X之間有線性相關關

???10）0?

系.設其回來直線方程為已知2＞，=225,￡y=1600,6=4.該班某學生的腳長為

1=1J=1

24,據(jù)此估計其身高為（）

A.160B.163

C.166D.170

答案C

10_11010_110

解析??工必=225,；?x=歷纖,=22.5.;?匕=1600,.二y=訶紂,=160.又44,

：.a=~y-b7=160—4X22.5=70.???回來直線方程為j=4x+70.將x=24代入上式得y=

4X24十70—166.故選C.

三、模擬小題

10.（2024?南陽市一中模擬）為考察力，8兩種藥物預防某疾病的效果，進行動物試驗，

分別得到如下等高條形圖.依據(jù)圖中信息，在下列各項中，說法最佳的一項是（）

麴物1實臉結果,藥物8實驗結果

A.藥物少的預防效果優(yōu)丁藥物力的預防效果

B.藥物力的預防效果優(yōu)于藥物”的預防效果

C.藥物48對該疾病均有顯著的預防效果

D.藥物48對該疾病均沒有預防效果

答案B

解析由題圖可得服用藥物力的患病人數(shù)少于服用藥物8的患病人數(shù)，而服用藥物力的

未患病人數(shù)多于服用藥物8的未患病人數(shù)，所以藥物力的預防效果優(yōu)于藥物8的預防效果.故

選B.

11.（2024?廣東深中、華附、省實、廣雅四校聯(lián)考）如圖是一組數(shù)據(jù)（才,力的散點圖，

經最小二乘估計公式計算，y與x之間的線性回來方程為夕="+1,則。=.

答案0.8

解析由題圖知；="+l；：""=2

0.9+1.9+3.2+4.4

=2.6,

y—4

將⑵2.6）代入y=Z?x+l中，解得。=0.8.

第2,步精做大題?能力練

一、高考大題

1.（2024?全國卷H）下圖是某地區(qū)2000年至2024年環(huán)境基礎設施投資額y（單位：億

元）的折線圖.為了預料該地區(qū)2024年的環(huán)境基礎設施投資額，建立了y與時間變量（的兩

個線性回來模型.依據(jù)2000年至2024年的數(shù)據(jù)（時間變量^的值依次為1,2,…，17）建立模

型①：y=-30.4+13.5t；依據(jù)2010年至2024年的數(shù)據(jù)（時間變量￡的值依次為1,2,…，

7）建立模型②：尸99+17.51.

（1）分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2024年的環(huán)境基礎設施投資額的預料值;

（2）你認為用哪個模型得到的預料值更牢靠？井說明理由.

解（1）利用模型①，該地區(qū)2024年的環(huán)境基礎設施投資額的預料值為

7=-30.4+13.5X19=226.1（億元）.

利用模型②，該地區(qū)2024年的環(huán)境基礎設施投資額的預料值為y=99+17.5X9=

256.5（億元）.

⑵利用模型②得到的預料值更牢靠.

理由如下：

(i)從折線圖可以看出，2000年至2024年的數(shù)據(jù)對應的點沒有隨機散布在直線y=-

30.4+13.5f上下，這說明利用2000年至2024年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)

境基礎設施投資額的改變趨勢.2010年相對2009年的環(huán)境基礎設施投資額有明顯增加，2010

年至2024年的數(shù)據(jù)對應的點位于一條直線的旁邊，這說明從2010年起先環(huán)境基礎設施投資

額的改變規(guī)律呈線性增長趨勢，利用2010年至2024年的數(shù)據(jù)建立的線性模型y=99+17.5￡

可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎設施投資額的改變趨勢，因此利用模型②得到的預料

值更牢靠.

(ii)從計算結果看，相對于2024年的環(huán)境基礎設施投資額22()億元，由模型①得到的預

料值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預料值的增幅比較合理，說明利用模

型②得到的預料值更牢靠.

2.(2024?全國卷川)某工廠為提高生產效率，開展技術創(chuàng)新活動，提出了完成某項生產

任務的兩種新的牛?產方式.為比較兩種生產方式的效率，選取40名工人，將他們隨機分成兩

組，每組20人，第一組工人用第一種生產方式，其次組工人用其次種生產方式.依據(jù)工人完

成生產任務的工作時間(單位：min)繪制了如下莖葉圖：

第一種生產方式第二種生產方式

8655689

976270122345668

987765433281445

2IIOO90

(1)依據(jù)莖葉圖推斷哪種生產方式的效率更高？并說明理由；

(2)求40名工人完成生產任務所需時間的中位數(shù)處并將完成生產任務所需時間超過m

和不超過勿的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表：

超過m不超過m

第一種生產方式

其次種生產方式

(3)依據(jù)(2)中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認為兩種生產方式的效率有差異？

%o____________Aad-be___________

附：a+b7+cb+d1

〃(凡2兒)0.0500.0100.001

k。3.8416.63510.828

解(1)其次種生產方式的效率更高.理由如下：

①由莖葉圖可知：用第一種生產方式的工人中，有75%的工人完成生產任務所需時間超

過80分鐘，用其次種生產方式的工人中，有75%的工人完成生產任務所需時間不超過79分

鐘.因此其次種生產方式的效率更高.

②由萃葉圖可知：用第一種生產方式的工人完成生產任務所需時間的中位數(shù)為85.5分

鐘，用其次種生產方式的工人完成生產任務所需時間的中位數(shù)為73.5分鐘.因此其次種生產

方式的效率更高.

③由莖葉圖可知：用第一種生產方式的工人完成生產任務平均所需時間高于80分鐘；用

其次種生產方式的工人完成生產任務平均所需時間低于80分鐘，因此其次種生產方式的效率

更高.

④由莖葉圖可知：用第一種生產方式的工人完成生產任務所需時間分布在莖8上的最多,

關于莖8大致呈對稱分布；用其次種生產方式的工人完成生產任務所需時間分布在莖7上的

最多，關于莖7大致呈對稱分布，又用兩種生產方式的工人完成生產任務所需時間分布的區(qū)

間相同，故可以認為用其次種生產方式完成生產任務所普的時間比用第一種生產方式完成生

產任務所需的時間更少，因此其次種生產方式的效率更高.

(以上給出了4種理由，考生答出其中隨意一種或其他合理理由均可得分.)

*7Q_|_O1

(2)由莖葉圖知=——=80.列聯(lián)表如下：

m乙

超過次不超過m

第i種生產方式155

其次種生產方式515

2

由于片的觀測值仁。＞所以有舞的把握認為兩種

(3)吟Z焉UAZUWA奈/U咨ZU=16.635,9

生產方式的效率有差異.

3.(2024?全國卷II)海水養(yǎng)殖場進行某水產品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產量對比，收獲

時各隨機抽取了100個網(wǎng)箱，測量各箱水產品的產量(單位：kg),其頻率分布直方圖如下：

III養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法

(1)設兩種養(yǎng)殖方法的箱產量相互獨立，記月表示事務“舊養(yǎng)殖法的箱產量低于5。kg,

新養(yǎng)殖法的箱產量不低于50kg”，估計力的概率；

(2)填寫下面列聯(lián)表，并依據(jù)列聯(lián)表推斷是否有99$的把握認為箱產量與養(yǎng)殖方法有關;

箱產量(50kg箱產量250kg

舊養(yǎng)殖法

新養(yǎng)殖法

(3)依據(jù)箱產量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產量的中位數(shù)的估計值(精確到C.01).

附：

〃（片2k）0.0500.0100.001

3.8416.63510.828

nad—be

a-\-bc+da+c〃+4-

解(1)記6表示事務“舊養(yǎng)殖法的箱產量低于50kg”，C表示事務“新養(yǎng)殖法的箱產

量不低于50kg”.

由題意知P(A)s=〃(0pg.

舊養(yǎng)殖法的箱產量低于50kg的頻率為

(0.012+0.014+().()24+().034+0.040)X5=0.62,

故尸(⑤的估計值為0.62.

新養(yǎng)殖法的箱產曷不低于50kg的頻率為

(0.068+0.046+0.010+0.008)X5=0.66,

故尸(。的估計值為0.66.

因此，事務A的概率的估計值為0.62X0.66=0.4092.

(2)依據(jù)箱產量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表

箱產量<50kg箱產量250kg

舊養(yǎng)殖法6238

新養(yǎng)殖法3466

2_200X62X66—34X381

K=100X100X96X104弋15,705,

由于15.705>6.635,故有99%的把握認為箱產量與養(yǎng)殖方法有關.

(3)因為新養(yǎng)殖法的箱產量頻率分布直方圖中，箱產量低于50kg的直方圖面積為

(0.004+().020+0.044)X5=().34<0.5,

箱產量低于55kg的直方圖面積為

(0.004+0.020+0.044+0.068)X5=0,68>0.5,

故新養(yǎng)殖法箱產量的中位數(shù)的估計值為

nR—nQ4

50+-T——^52.35(kg).

U.Ubo

二、模擬大題

4.(2024?太原一模)為便利市民出行，提倡低碳出行.某市公交公司推出利用支付寶和

微信掃碼支付乘車活動，活動設置了一段時間的推廣期，在推廣期內采納隨機實惠激勵市民

掃碼支付乘車.該公司某線路公交車隊統(tǒng)廿了活動推廣期笫一周內運用掃碼支付的狀況，其

中爪單位：天）表示活動推出的天次，以單位：十人次）表示當天運用掃碼支付的人次，整理

后得到如圖所示的統(tǒng)計表1和散點圖.

（1）由散點圖分析后，可用作為該線路公交車在活動推廣期運用掃碼支付的人次

y關于活動推出天次x的回來方程，依據(jù)表2的數(shù)據(jù)，求比回來方程，并預報第8天運用掃碼

支付的人次（精確到整數(shù)）；

表2：

7c1

Xy7/E=1XiZ,

4523.51402069112

_17

表中z=lny,z=丁￡z,.

（2）推廣期結束后，該車隊對此期間乘客的支付狀況進行統(tǒng)計，結果如表3.

表3：

支付方式現(xiàn)金乘車卡掃碼

頻率10%60%30%

實惠方式無實惠按7折支付隨機實惠（見下面統(tǒng)計結果）

統(tǒng)計結果顯示，掃碼支付中享受5折支付的頻率為1享受7折支付的頻率為"享受9

折支付的頻率為1.已知該線路公交車票價為1元，將上述頻率作為相應事務發(fā)生的概率，記

隨機變量J為在活動期間該線路公交車搭載乘客一次的收入（單位：兀），求《的分布列和

期望.

參考公式：對于一組數(shù)據(jù)（%,%）,（也，⑸，…，3,”%）,其回來直線的斜率和截距的

r

-JUiV-nuv_-_

最小二乘估計分別為B=---------.O=V—pU.

E1Ui~nu~

參考數(shù)據(jù)：「3=200.33,r5=244.69,e57=298.87.

解（1）由題意，得kiny=In

.:—7xz112—7X4X3.5八

?*匕=3，7-=-140-7X42=0,5

LXi-lx

i-i

a=z—bx=3.5-0.5X4=1.5,

???z關于x的線性回來方程為z=0.5x+1.5,

y關于x的回來方程為y=c°.5f,當x=8時，y=c55=244.69,

???第8天運用掃碼支付的人次約為245.

(2)由題意,得f的全部取值為0.5,0.7,0.9,1.

K4=().5)=^X30%=0.10,

O

P(S=0.7)=60%+|x30%=0.75,

P(6=0.9)=7X30%=0.05,

6

P(^=l)=10%=().10,

???<的分布列為

0.50.70.91

P0.100.750.050.10

E{f）=0.5X0.104-0.7X0.75+0.9X0.05+1X0.10=0.72.

5.（2024?晉江模擬）中國已經成為全球最大的電商市場，但是實體店仍舊是消費者接觸

商品和品牌的重要渠道.某機構隨機抽取了年齡介于10歲到60歲的消費者200人，對他們

的主要購物方式進行問卷調查.現(xiàn)對調查對象的年齡分布及主要購物方式進行統(tǒng)計，得到如

下圖表：

要購物方式

網(wǎng)絡平臺購物實體店購物總計

年齡階

40歲以下75

40歲或40歲以上55

總計

(1)依據(jù)已知條件完成上述列聯(lián)表，并據(jù)此資料，能否在犯錯誤的概率不超過0.1%的前

提下，認為消費者主要的購物方式與年齡有關？

(2)用分層抽樣的方法從通過網(wǎng)絡平臺購物的消費者中隨機抽取8人，然后再從這8名消

費者中抽取5名進行座談.設抽到的消費者中40歲以下的人數(shù)為人求X的分布列和數(shù)