工程問題

交替合作問題：交替合作問題與合作問題有很大的區(qū)別體目前“交替”

兩個字，合作效率為各部分效率的加和；交替合作，也叫輪番工作，

顧名思義即是每個人按照一定的次序輪番進(jìn)行工作。

處理交替合作問題關(guān)鍵：

(1)已知工作量一定，設(shè)出特值。

(2)找出各自的工作效率，找出一種周期持續(xù)的時間及工作量；

(3)在出既有剩余工作量的狀況需要根據(jù)工作次序認(rèn)真計算，確

定到最終工作完畢,

例1：一條隧道，甲單獨挖要20天完畢，乙單獨挖要10天完畢。

假如甲先挖1天，然后乙接替甲挖1天，再由甲接替乙挖1天，兩人

如此交替工作。那么挖完這條隧道共用多少天？

A.13B.13.5C.14D.15.5

【答案】B

【解析】：經(jīng)典的有關(guān)交替合作的問題，題目體現(xiàn)出已知工作總

量一定和兩人工作時間，可以設(shè)特值，假設(shè)總的工作量為20,則甲

的工作效率為1,乙的工作效率為2,由于1個周期持續(xù)的時間為2

天，一種周期可以完畢總的工作量為1+2=3；因此

204-3=6.........2就代表前面需要6個周期，對應(yīng)6X2=12天，

之后剩余2的工作量需要甲先做1天，剩余乙工作半天，因此整個過

程需要13.5天，故答案為Bo

以上為正效率交替合作的問題，尚有一種波及到負(fù)效率交替合作

的問題。

例2、有一種水池，裝有甲、乙、丙三根水管，其中甲、乙為進(jìn)

水管，丙為出水管。單開甲管需15小時注滿空水池，單開乙管需10

小時注滿空水池，單開丙池需9小時把滿池的水放完，現(xiàn)按甲、乙、

丙的次序輪番開，每次1小時，問幾小時才能注滿空水池？

A.47B.38C.50D.46

【答案】B

【解析】：經(jīng)典的有關(guān)交替合作的問題，題目體現(xiàn)出已知工作總

量一定和兩人工作時間，可以設(shè)特值，假設(shè)總的工作量為90,則甲

的工作效率為6,乙的工作效率為9,丙的工作效率為-10,因此1個

周期持續(xù)的時間為3天，一種周期可以完畢總的工作量為6+9TO5,

此種最大效率6+9=15,因此(90-15)+5=15,就代表共需要15個周

期，對應(yīng)15X3=45天，之后剩余15的工作量需要甲先做1天，乙再

工作1天就可以完畢，故答案為B。

在考試中交替合作的問題怎樣應(yīng)對，只要把以上的兩道例題所波

及的正負(fù)效率兩種類型可以很好的理解，在考試中可以迅速判斷題型,

這種類型的題目往往可以迅速求解。

排列組合問題

一、分類與分步的區(qū)別

分類和分布的區(qū)別重要在于規(guī)定與否圻有完畢，假如完畢為一類,

假如沒完畢那就是一種環(huán)節(jié)，我們拿一種例題來分析一下。

【例題】有顏色不一樣的四盞燈，每次使用一盞、兩盞、三盞或

四盞，并按一定次序掛在燈桿上表達(dá)信號，共有多少種不一樣的信號？

A.24B.48C.64D.72

解析：從問法可以判斷出這是排列組合問題，那就需要我們分析

是用排列還是組合，以及需要分類還是分步，根據(jù)題干信息“按一定

次序掛在燈桿表達(dá)信號”可以得出次序變化對成果（信號）是有影響

的，因此此題用排列，一盞可以表達(dá)信號，闡明可以完畢，因此分為

第一類，兩盞也可以表達(dá)信號，闡明可以完畢，因此分為第二類，三

盞也可以表達(dá)信號，闡明可以完畢，因此分為第三類，四盞也可以表

達(dá)信號，闡明可以完畢，因此分為第四類，題目分析完計算為

4+4X3+4X3X2+4X3X2X1=64,因此，選擇C。

二、排列與組合的區(qū)別

簡樸來說排列和組合的區(qū)別就是次序的變化對于題干的最終止

果與否存在著影響，假如存在影響那么就用排列，假如不存在影響就

用組合，例如我們來舉個例子。

【例題】某K次列車沿著某鐵路線共?？?5個車站，那么應(yīng)當(dāng)

為這條線路準(zhǔn)備多少種不一樣的硬座車票?票價為多少種？（任意兩站

之間票價不一樣）

A.500,250B.600,300C.400,200D.450,150

解析：根據(jù)問法可以確定是一道經(jīng)典的排列組合問題，那么我們

觀測會發(fā)現(xiàn)這是兩個問題，我們先看第一種問題，問車票有多少種，

思索對于車票來說站點次序的變化與否會影響成果，顯然是影響的,

次序變化后就不再是一張車票了，因此用排列，一共是25個站點，

[經(jīng)蛹題1]

一臺全自動咖啡機(jī)打八折銷售，利潤為進(jìn)價的60%,如打七折出

售，利潤為50元。則這臺咖啡機(jī)的原價是多少元（）

A.250B.240C.210D.200

【老師斛析】

傳統(tǒng)解題思路：列方程。

假設(shè)咖啡機(jī)售價是A,八折就是0.8A,進(jìn)價為B,則利洞為0.6B。

可列出方程：0.8A-B=0.6B=>A=2B①式；0.7A-B=50②式。

最后得A=250（元）.因此A項當(dāng)選。

推薦思路：比例思維。

“利洞為進(jìn)價的60*”可以理解為“利洞為進(jìn)價的2.”，可以直

接理解為進(jìn)價是5份，此0t利泗則為3份，可以很巧合的發(fā)現(xiàn)，此處

的5份加3份等于8份，8份對應(yīng)的正好是題目中的“打八折”。由

此后面的打七折，就是7份了，成本不變，仍是5份，變的是利泗，

利洞等于7份減去5份，為2份，也就是說2份利泗對應(yīng)的是50元,

算得最后進(jìn)價為250元。

5678910

【一本通點睛】

經(jīng)濟(jì)問題常用方法：方程法與賦值法。至于具體使用哪種方法一

定要根據(jù)具體的題目而定，只有方法有針對性，解題才能高效準(zhǔn)確。

折扣與利泗作為經(jīng)濟(jì)問題的基感性就念，考查頻率高，備考考生要熟

練掌握。

這道題用比例思維解題，也許有些考生會覺得是考巧合，由于這

里的5+3恰好等于8,假如題目中的60%改為80%,這樣最終算的時

候看起來會有沖突,假如出現(xiàn)這種狀況可以用最小公倍數(shù)來化解這種

狀況。

【經(jīng)典真題2】

某集團(tuán)有A和B兩個公司,A公司全年的銷售任務(wù)是B公司的L2

倍。前三季度B公司的銷售業(yè)績是A公司的1.2倍，如果照前三季度

的平均銷售業(yè)績，那么B公司到年底F好能完成銷售仟務(wù)。如果A公

司希望完成全年的銷售任務(wù)，那么第四季度的銷售業(yè)績需要達(dá)到前三

季度平均銷售業(yè)績的多少倍（）

A.1.44B.2.4C.2.76D.3.88

【老師斛析】

通篇沒有具體的數(shù)據(jù)，只有一些相對的數(shù)據(jù)，如“A公司全年的

銷售任務(wù)是B公司的1.2倍。前三季度B公司的銷售業(yè)績是A公司的

1.2倍”。其實遇到這類題目，可以直接用讀值法來做了。

由條件“A公司全年的銷售任務(wù)是B公司的1.2倍”，設(shè)B公司

的全年的銷售任務(wù)是5,A則公司的全年的銷售任務(wù)是6;由條件“前

三季度B公司的罰售業(yè)績是A公司的1.2倍”，設(shè)前三季度A公司的

銷售業(yè)績是5,前三季度B公司的銷售業(yè)績是6。

賦值以后，大家發(fā)現(xiàn)這里有個問題，前三季度B公司的銷售業(yè)績

已經(jīng)是6,B公司的全年的銷售任務(wù)就不可能是5了。所以，A、B公

司全年的銷售任務(wù)不妨根據(jù)前三季度耒設(shè)定。

這里，前三季度B公司的銷售業(yè)績是6,B公司到年底正好能完

成銷售任務(wù)，則可得出B公司的全年銷售任務(wù)是8,推出A公司的全

年銷售任務(wù)是9.6。

A公司的全年箱售任務(wù)是9.6,前三季度的銷售業(yè)績是5,則第四

季度的鋪售任務(wù)為：9.6-5:4.6。而前三季度平均銷售業(yè)績?yōu)椋?/p>

5+3,由此，如果A公司希望完成全年的銷售任務(wù)，那么第四季度的

銷售業(yè)績需要達(dá)到前三季度平均銷售業(yè)績的倍數(shù)是：4.6+(5+3)

=2.76o

年齡問題

一、年齡問題

題型特性：已知兩人或多人年齡之間的數(shù)量關(guān)系，求他們的年齡。

(一)知識要點：

1、每過N年，所有人都長了N歲。

這一點很好理解，不管過了年，所有人張了同樣多的歲數(shù)。

2、任何兩人的年齡差一直不變。

這句話是相對而言的。如哥哥比弟弟大5歲，再過5年、，哥哥

仍然比弟弟大5歲，但假如過了幾十年，其中一種死亡了，兩者之間

的年齡差也許就會有差異了。但在公務(wù)員考試中，會考“生”不考

“死”，也就是說也許會有孩子剛出生，但不會考死亡。出現(xiàn)這種考

點也可以稱得上是一種極其特殊的題型了。

【經(jīng)典真題1】

在一個家庭里，現(xiàn)在所有成員的年齡加在一起是73

歲。家庭成員中有父親、母親、一個女兒和一個兒子。

父親比母親大3歲，女兒比兒子大2歲。四年前家庭里所

有的人的年齡總和是58歲，那么現(xiàn)在兒子多少歲（）

A.3B.4

C.5D.6

【解析】

現(xiàn)在家庭成員的年齡總和為73歲，除兒子外三人的

年齡之和為58+4X3=70（歲）。所以現(xiàn)在兒子的年齡是

73-70=3（歲），因此A項當(dāng)選。

【一本通速解】

四年前所有成員年齡之和58歲與理論73-4X4=57（

歲）差1歲，而這1歲即兒子未出生的一年，那么由此容

易得知兒子現(xiàn)在3歲。

3、任何兩人的年齡倍數(shù)關(guān)系伴隨時間推移而變小。

例如甲的年齡是8歲，乙2歲，目前甲的年齡是乙的4倍，4年

后來，甲12歲，乙6歲，此時甲的年齡是乙的2倍。任何兩人的年

齡倍數(shù)關(guān)系伴隨時間推移而變小。

（二）措施技巧：

1、當(dāng)題中波及兩人之間的年齡關(guān)系時，一般用代入排除法求解。

2、當(dāng)題中波及多人之間的年齡關(guān)系時，一般用方程法求解。說

到方程有一種特殊方程，a2+b2=c2,這種一般就是a=殊b=8,c=10

To

【經(jīng)典真題2】

小偉、爸爸和爺爺三人年齡之和為98歲，已知三代年

齡之差為每一代至少25歲，三人年齡均為整數(shù)，則小偉最

大年齡為（）

A.4歲B.5歲

C.6歲D.7歲

【解析】

要使小偉的年齡最大，則需使年齡差最小，設(shè)小偉年

齡為x（x為整數(shù)），則爸爸年齡為x+25,爺爺年齡為

x+50,且x+x+25+x+50W98,可得3xW98-75二23,則x最

大可為7。因此D項當(dāng)選。

3、為了理清年齡間的數(shù)量關(guān)系，必要時可借助線段或表格進(jìn)行

分析。此類技巧重要用在題干中出現(xiàn)“當(dāng)我像你這樣大的時候”這一

表述。

最終補充幾點：

（1）在公務(wù)員考試中，出生當(dāng)年算0歲，不是1歲。如某甲1986

年出生，1986年是。歲，1987年才算1歲。

22

(2)記住這個三個數(shù)的平方:43=1849；442=1936；45=2025o

記住這三個數(shù)重要是為了處理一種特殊題型。如下：某人年齡的平方

恰好是自己出生的年份，問這個人是哪一年出生的。碰到這種問題,

只用找上面的3個數(shù)就可以了。

(3)注意考試中有2個常識：法律規(guī)定女性20歲如下男性22

歲如下不容許結(jié)婚，假如題目中說父親，算出來的年齡肯定是22歲

以上；一般媽媽年齡會比父親年齡要小，俊如算出來媽媽是36歲，

父親33歲，這個時候就可以懷疑自己是不是算錯了。

快慢鐘問題

例1：小強家有一種鬧鐘，每小時比原則時間快3min,有一天晚上

10點整，小強對準(zhǔn)了鬧鐘，他想第二天上午6點起床，他應(yīng)當(dāng)將鬧

鐘的鈴定在幾點幾分？

【參照解析】從晚上10點整到上午6點，原則時間經(jīng)歷了8小

時，而根據(jù)條件，原則時間每一小時快3min,因此8小時應(yīng)當(dāng)快24mino

因此此時鬧鈴的時間為6點、24mino

不難發(fā)現(xiàn)，我們這道題目用一種簡樸的比例關(guān)系就能求解。

例2：有一只鐘，每小時慢5min,早上6點時對準(zhǔn)了原則時間，

當(dāng)下午這個鐘指向5點時，原則時間是多少？

【參照解析】原則時間60min相稱于慢鐘走55min,而從6點到

5點，代表的是慢鐘走了11小時，因此可以根據(jù)比例關(guān)系：

慢鐘標(biāo)準(zhǔn)時間?

55min:60min*-'

求得x=12h,6點通過12小時為18點

例3：有一只怪鐘，每晝夜設(shè)計成10小時，每小時100分鐘，

當(dāng)這只怪鐘顯示5點時，實際上是中午12點。當(dāng)這只怪鐘顯示8點

50分時，實際上是什么時間？

【參照解析】怪鐘每晝夜一共有10X100=1000分鐘，從5點到

8點50分經(jīng)歷了3h50min也即350分鐘，因此相稱于一晝夜的35%。

按照原則時間一晝夜為24h,24X35%=8.4ho因此12點過8.4h也即

8小時24min,最終時間為20點24min。

方陣問題

方陣相鄰兩層人數(shù)相差8,此處需注意一種特殊狀況，當(dāng)實心方陣

的最外層每邊人數(shù)為奇數(shù)時，從內(nèi)到外每層人數(shù)依次是1、8、16、

24…；

實心方陣總?cè)藬?shù)二最外層每邊人數(shù)的平方

空心方陣總?cè)藬?shù)運用等差數(shù)列求和公式求解（首項為最外層總?cè)?/p>

數(shù)，公差為-8的等差數(shù)列）

方陣每層總?cè)藬?shù)二方陣每層每邊人數(shù)義4-4；

在方陣中若去掉一行一列，去掉的人數(shù)二本來每行人數(shù)又2-1；

在方陣中若去掉二行二列，去掉的人數(shù)二本來每行人數(shù)X4-2X2。

在明白了方陣問題的基本原理之后，我們會發(fā)現(xiàn)方陣問題并不難

理解，關(guān)鍵就是可以將已經(jīng)總結(jié)出的公式會在詳細(xì)題目中的使用，因

此接下來我們通過幾種例題深刻理解方陣問題。

【例題1】五年級學(xué)生提成兩隊參與廣播操比賽，排成甲、乙兩

個實心方陣，其中甲方陣最外層每邊的人數(shù)為8.假如兩隊合并，可

以另排成一種空心的丙方陣，丙方陣最外層每邊的人數(shù)比乙方陣最外

層每邊的人數(shù)多4人，且甲方陣的人數(shù)恰好填滿丙方陣的空心。五年

級一共有多少人？

A.200B.236C.260D.288

【答案】C.

【參照解析】此題答案為C。空心的丙方陣人數(shù)二甲方陣人數(shù)+乙

方陣人數(shù)，若丙方陣為實心的，那么實心的丙方陣人數(shù)二2義甲方陣人

數(shù)+乙方陣人數(shù)，即實心丙方陣比乙方陣多8X8X2=128人。丙方陣

最外層每邊比乙方陣多4人，則丙方陣最外層總?cè)藬?shù)比乙方陣多

4義4二16人，即多了16+8=2層。這兩層的人數(shù)即為實心丙方陣比乙

方陣多的128人，則丙方陣最外層人數(shù)為（128+8）+2=68人，丙方陣

最外層每邊人數(shù)為（68+4）+4=18人。那么，共有18X18-8X8=260

人。

【例題2］參與中學(xué)生運動會團(tuán)體操比賽的運動員排成了一種正

方形隊列。假如要使這個正方形隊列減少一行和一列，則要減少33

人。問參與團(tuán)體操演出的運動員有多少人？

A.196B.225C.289D.324

【答案】Co

【參照解析】去掉一行、一列的總?cè)藬?shù)=去掉的每邊人數(shù)義2-1,

去掉一行、一列的人數(shù)是33,則去掉的一行（或一列）人數(shù)

二（33+1）4-2=17.方陣的總?cè)藬?shù)為最外層每邊人數(shù)的平方，因此總?cè)藬?shù)

為17X17=289人。

相信通過例題的講解，廣大考生對于方陣問題會得到更深刻的理

解，方陣問題在近幾年考試當(dāng)中雖然出現(xiàn)較少，不過也需要將此類問

題有所理解才可以，解題時要先確定方陣的類型，弄清方陣中某些量

（如層數(shù)、最外層人數(shù)、最里層人數(shù)和總?cè)藬?shù)）之間的關(guān)系，然后套用

對的的公式求解。

青蛙跳井問題

一.基本青蛙跳井問題

1.基本青蛙跳井問題最關(guān)鍵的題型特性：存在循環(huán)周期性以及

周期內(nèi)既有正效率也有負(fù)效率。

2.基本模型：

【例1】既有一口高10米的井，有一只青蛙坐落在井底，青蛙

每一種白天上跳5米，不過由于井壁過于光滑，青蛙每一種晚上下滑

3米，問該青蛙幾天能跳出此井？

【解析】青蛙白天晚上不停地上跳和下滑，存在周期性，一種白

天加一種晚上即一天為一種周期，通過一種周期青蛙上跳2米。大家

會發(fā)現(xiàn)，無論最終青蛙花幾天的時間跳出此井，有一種規(guī)律是十分確

定的，即當(dāng)青蛙跳出井口的時候，它一定處在上跳的過程，并不是下

滑的過程，也就是說，只要運動N個周期之后，青蛙離井口的距離不

不小于5米，那青蛙一次就能跳出此井，我們稱這個5米為預(yù)留距離，

也稱作周期峰值。總高度是10米，一種周期青蛙上跳2米，因此需

要N=［（10-5）+2］二3個周期就能保證離井口的距離為5米，（［］為

向上取整符號），此時青蛙只需一次即可跳出井口，因此最終青蛙需

要4天的時間才能跳出此井。

總結(jié)運用青蛙跳井規(guī)律解題的基本環(huán)節(jié)：

1.確定周期：求一種周期之內(nèi)的效率之和即周期值以及最大的

效率即周期峰值；

2.確定循環(huán)周期數(shù)：N=［（工作總量-周期峰值）+周期值］（［］

為向上取整符號）；

3.確定未完畢的工作量：計算剩余的工作時間；

4.確定總時間。

二.青蛙跳井與工程問題結(jié)合——增減交替合作求時間

特殊的工程問題一一既有正效率也有負(fù)效率的交替合作問題，看

似題目難度增大了，其實只是題目的說法變化了一下，其本質(zhì)不變，

其本質(zhì)仍舊屬于青蛙跳井問題，運用我們上面總結(jié)過的基本解題環(huán)節(jié)

可以到達(dá)迅速解題的效果。

【例2】一水池有甲進(jìn)水管和乙排水管各一根，當(dāng)水池是空的時

候，若單獨打開甲進(jìn)水管，需要5小時可將水注滿；當(dāng)水池是滿的時

候，若單獨打開乙排水管，需要10小時可以排空水池。假如按照甲、

乙、甲、乙……的次序輪番各開1小時，要將水池注滿需要多少小時?

A.14B.15C.16D.17

【解析】此題可將工作總量設(shè)為10份，則甲進(jìn)水管的效率為+2,

乙排水管的效率為-1,甲乙各開1小時為一種周期，即每兩個小時進(jìn)

水1份，周期峰值為+2。循環(huán)周期數(shù)N=:8個周期，即

16個小時，尚有2份工作量未完畢，只需甲進(jìn)水管工作1小時即可，

因此最終工作總時間為17個小時。選擇D選項。

【例3】某糧倉裝有三個輸送帶，甲乙輸入，丙輸出。要想空倉

貯滿，甲要4天，乙要5天；要想滿倉送空，丙要10天。那么按照甲、

乙、丙.....的次序各開1天的交替方式，需要幾天貯滿空倉？

A.5B.6C.7D.8

【解析】此題可將工作總量設(shè)為20份，則甲、乙、丙的效率分

別為+5、+4、-2,甲乙丙各開1天為一種周期，即每3天貯糧7份,

周期峰值為+9。循環(huán)周期數(shù)為N=[(20-9)+7]二2個周期，即6天，還

剩9份糧食未貯滿，需要甲、乙各工作1天即可，因此最終總工作時

間為8天。選擇D選項。

日期問題

一、日期問題中的基本常識

1.平年、閏年的區(qū)別措施：滿足如下任一條件的年份即為閏年,

否則為平年。

①能被4整除不過不能被100整除的年份。

②能被400整除不過不能被3200整除的年份。

2.平年的二月份有28天，一年有365天。閏年的二月份有29天，

一年有366天。

3.大月：1、3、5、7、8、10、12月，每月有31天。

4.小月：4、6、9、11月，每月有30天。

5.平年有52個星期多1天，閏年有52個星期多2天。

6.大月有4個星期多3天，小月有4個星期多2天。

7.平年的二月有4個星期，閏年的二月有4個星期多1天。

二、日期問題的基本題型

?？嫉娜掌趩栴}基本題型為可以運用日期問題中基本常識做的

題。

【例題1】7月1日是星期五，那么7月1日是星期幾？

A.星期三B.星期四C.星期五D.星期二

【答案】D。解析：，，都是平年（365天），是閏年（366天）；

365=52*7+1,因此，經(jīng)歷一種平年（365天），星期往后推一天；

366=52*7+2,因此，經(jīng)歷一種閏年（366天），星期往后推兩天；由于

7月1日是星期五，因此7月1日是星期五+1+1+2=星期9二星期二。

【例題2】某月有31天，有4個星期三和4個星期六，那么這

個月的15號是星期幾？

A.星期日B.星期六C.星期五D.星期四

【答案】A。解析：假如一種月有31天，則這個月就有4個星期

多3天，同步假如這個月只有4個星期三和星期六，那么多出來的三

天只也許是星期日、星期一、星期二并且只也許是在月初1、2、3號，

因此可以判斷出這個月的1號是星期日，2號是星期一，3號是星期

二，因此15號為星期日，選擇A。

三、有關(guān)日期的一種神奇的結(jié)論

1.每一年當(dāng)中的4月4日、6月6日、8月8日、10月10日、

12月12日為相似的星期。

2.每一年當(dāng)中的3月3日、5月5日、7月7日、9月8日、11

月10日為相似的星期。

【例題3】的5月1日為星期一，則的10月1日為星期幾？

A.星期日B.星期三C.星期五D.星期四

【答案】Ao解析：5月1日為星期一，則5月5日為星期五，

則9月8日為星期五，再過23天即3周多2天為10月1日，因此

10月1日為星期日，因此選A。

雞兔同籠問題

一、雞兔同籠知識點回憶

判斷一道題目是不是雞兔同籠問題，要從它的題型特性入手，這

里面我們重要研究兩者雞兔同籠的題型特性。

兩者雞兔同籠題型特性：已知某兩種事物的兩個屬性的指標(biāo)數(shù)和

指標(biāo)總數(shù)，分別求個數(shù)的問題。

例：有一種籠子里有雞和兔子兩種動物，從上面看有10個頭，

從下面看有30只腳，則雞和兔子各有多少只？

①兩種事物是指：雞和兔子

②兩個屬性是指：頭和腳

③指標(biāo)數(shù)是指：每只動物頭的數(shù)量和腳的數(shù)量，即：一只雞有一

種頭兩只腳，一只兔子有一種頭四只腳。

④指標(biāo)總數(shù)是指：頭和腳的總數(shù)量

二、假設(shè)法處理雞兔同籠問題：

假設(shè)法重要根據(jù)如下三個環(huán)節(jié)，即可處理大部分題目。

環(huán)節(jié)一：先看問題，再設(shè)對立的另一種事物

環(huán)節(jié)二：兩者以上雞兔同籠問題需要先轉(zhuǎn)化為兩者雞兔同籠再用

假設(shè)法。

環(huán)節(jié)三：基本公式：指標(biāo)總數(shù)之間的差小指標(biāo)數(shù)之間的差

例題1：某工廠，張師傅一天可以做120個零件，他徒弟一天可

以做90個零件，兩人在這個月共工作25天，完畢了2730個零件，

問師傅工作多少天？

答案：16天。

解析：假設(shè)25天都是徒弟做，應(yīng)當(dāng)做90X25=2250個，根據(jù)公

式，師傅做的二指標(biāo)總數(shù)之間的差?指標(biāo)數(shù)之間的差

=(2730-2250)4-(120-90)=16天

例題2：班主任張老師帶五年級(2)班50名同學(xué)栽樹，張老師一

人栽5棵，男生一人栽3棵，女生一人栽2棵，總共栽樹120棵，問幾名

男生，幾名女生？

答案：15名男生，35名女生

解析：去掉張老師，轉(zhuǎn)化成兩者雞兔同籠，指標(biāo)總數(shù)二120-5二115,

男女生人數(shù)還是50人。假設(shè)都是男生，一共栽樹：3X50=150棵，

根據(jù)公式，女生人數(shù)二(女0-人5)?(3-2)=35人,男生人數(shù)：50-35=15

人。

例題3：甲乙兩人參與奧數(shù)比賽，若答對，甲得8分，乙得10

分；若答錯，甲扣2分，乙扣3分，每人各答10題，共答對13題，

結(jié)算分?jǐn)?shù)時，甲比乙多25分，問甲、乙各對幾題？

答案：甲對2題，乙對5題。

解析：假設(shè)甲10題全對，一共得分：8X10=80分，乙對3題,

得分：3X10-3X7=9分。甲乙相差80-9=71分，實際相差25分，指

標(biāo)總數(shù)之差=71-25二46分。甲多對一道多得：8+2=10,乙少對一道少

得：10+3=13分，根據(jù)公式：甲答錯的題目=46+(10+13)=2題，因此

甲做對10-2=8題，乙做對13-8=5題。

抽屜問題

抽屜問題，又叫狄利克雷原則。此類題型有兩個原則。

原則一：把多于n個的元素，按任意確定的方式提成n個集合,

那么一定至少有一種集合中，具有至少兩個元素。

原則二：把多于mXn個元素放入n個抽屜中，那么，一定有一

種抽屜里有m+1個或者m+1個以上的元素。抽屜原則是證明符合某種

條件的對象存在性問題有力工具。應(yīng)用抽屜原則處理問題的關(guān)鍵是怎

樣構(gòu)造抽屜。

對于抽屜問題，各位考生學(xué)習(xí)的重點有兩個：1、根據(jù)題目特性

迅速判斷出此題為抽屜問題;2、其對應(yīng)的解題措施要可以立即浮目前

腦海中。

要想處理第一種重點，各位考生只需記住抽屜問題的題型特性,

即出現(xiàn)“至少……才能保證(一定)……”的字眼，即可迅速判斷出該

題為抽屜問題。

要想處理第二個重點，各位考生需懂得處理此類題目最迅速最關(guān)

鍵的措施為最不利原則，即題目規(guī)定到達(dá)某個目的，我們就想盡措施

不滿足它，這樣的話就可以考慮最不利的、最晦氣的的狀況，最終在

此狀況的基礎(chǔ)上加1即恰好滿足了題干的規(guī)定。

例1.從一副抽掉大小王的撲克牌中，至少抽出（）張牌，才能保

證至少有2張牌的花色相似。

A.2B.3C.4D.5

【答案】D。解析：此題包括了“至少……才能保證（一定）……”

的字眼，故屬于抽屜問題。此題中的目的是2張花色相似的牌，而一

副無大小王的撲克牌由4種花色那么最晦氣最不利的狀況莫過于將

每種花色各抽1張牌，即一共抽4X1=4張，最終再抽1張，無論抽

到什么樣的牌都可以保證此牌的花色與之前抽出的四張牌中的某一

張為相似花色，即至少抽出4+1=5張牌，才能保證至少有2張牌的花

色相似，故選D。

例2.從一副完整的撲克牌中。至少抽出（）張牌，才能保證至少

有2張牌的花色相似。

A.5B.6C.7D.8

【答案】C。解析：最晦氣的狀況為每種花色各抽1張牌，必時

還不能忘了大小王，即共抽4義1+2=6張牌，最終再抽1張，即至少

抽出6+1=7張牌，才能保證至少有2張牌的花色相似，故選C。

例3.從一副完整的撲克牌中。至少抽出（）張牌，才能保證至少

有6張牌的花色相似。

A.21B.22C.23D.24

【答案】C。解析：最晦氣的狀況為每種花色各抽5張牌，不忘

大小王，即共抽5X4+2=22張牌，最終再抽1張，即至少抽出23張

牌，才能保證至少有6張牌的花色相似，故選C。

行程問題

行程問題是數(shù)量關(guān)系里面常常會考一種類型。有些考生在這種題

目面前是遇一次錯一次，而另一部分考生雖然作對了，不過卻花費了

大量的時間。

例題1、甲乙兩輛賽車在20公里的環(huán)形公里賽賽道上練習(xí)，甲

出發(fā)1分鐘后乙同向出發(fā)，乙出發(fā)2分鐘后第一次追上甲，又過了8

分鐘，乙第二次追上甲，此時乙比甲多行駛了12.5公里，問兩車出

發(fā)地相隔多少公里?填入劃橫線部分最恰當(dāng)?shù)囊豁検牵?/p>

A、10

B、7.5

C、5

D、2.5

【權(quán)威解析】

作為追擊問題，其實列方程解方程是通用措施，設(shè)甲速度為x公

里/分鐘，乙速度為y公里/分鐘，乙出發(fā)地在甲出發(fā)地前s公里。

第一次相遇：3x=2y+s

第二次相遇：8x+20=8y

總共行駛：llx+12.5=10y

方程2轉(zhuǎn)換，帶入方程3,加減乘除等式兩邊，移項，合并同類

項，系數(shù)化為一，...，然后得到x=、y.......

所謂的通用的往往效率低，計算量大。此時想一想我們老祖先的

雞兔同籠問題的解法，思辨的方式。

第一次相遇，乙比甲少（或者多）行駛了的距離就是出發(fā)地相隔的

距離。

第二次相遇，乙比甲多行駛了20公里。

題目說，乙僅僅比甲多行駛了12.5公里。

那么兩車出發(fā)地相聚|20-12.5|=7.5公里。

故選B。

例題2、甲乙兩人在長50米的跑道上來回跑，甲每分鐘62.5米,

乙每分鐘87.5米，兩人同步分別從兩端出發(fā)，抵達(dá)終點后原路返回，

如是來回.假如不計轉(zhuǎn)向的時間，則從出發(fā)開始計算的1分50秒內(nèi)兩

人共相遇多少次？

A、5

B、2

C、4

D、3

【權(quán)威解析】

既然是相遇問題，因此兩人時間相似，旅程和相等，也就是

第一次相遇：62.5x+87.5x=50

第二次相遇：62.5x+87.5x=50+100

第三次相遇：……

估計又要花去大量的時間了。思辨的方式：

兩人相向而行，假設(shè)以乙為參照物靜止，那么這道題不就成了甲

以62.5m/min+87.5m/min=150m/min的速度跑步，在1分50秒內(nèi)可以

抵達(dá)幾次對面終點？

這樣看來，計算就輕易多了。1分50秒甲總共可以跑：

lmin50sX150m/min=275mo

那么設(shè)共可以相遇n次，就有：

275=(50X2)X(n-l)+50

算出n=3

故選D。

題3、某快遞企業(yè)自行車送貨的速度比電瓶車送貨慢50%,電瓶

車送貨的速度比汽車送貨慢50%.假如有個貨品汽車收快遞送到總站,

發(fā)現(xiàn)地址未填清晰再騎自行車送回客戶手中要1小時，問該快遞企業(yè)

再次用電瓶車從總站去客戶那里取件需要()分鐘.

A、45

B、24

C、48

D、60

【權(quán)威解析】

經(jīng)典的一次分?jǐn)?shù)方程，設(shè)總旅程為1,設(shè)自行車速度為X。設(shè)騎

車速度為x,則跑步的速度為(l-50%)x,步行的速度為

(1-50%)(1-50%)x,根據(jù)題意列方程得

不過這樣算下來當(dāng)然復(fù)雜，我們還是用思辨的方式。

電瓶車是1;自行車是電瓶車二分之一，也就是自行車所需時間

是2；電瓶車是汽車速度的二分之一，也就是汽車所需時間是0.5。而

自行車和汽車一來回花了1小時，因此1小時+2.5=0.4小時二24分

鐘。故選Bo

極值問題

一、同色抽取的極值問題

該類問題一般表述為：有若干種不一樣顏色的紙牌，彩球等，從

中至少抽出幾種，才能保證在抽出的物品中至少有n個顏色是相似的。

解題常用通法：先對每種顏色抽?。╪T）個，假如某種顏色的

個數(shù)不夠（n-1）的，就對這種顏色全取光，然后再將多種顏色的個

數(shù)加起來，再加1,即為題目所求。

【例1】從一副完整的撲克牌中，至少抽出（）張牌，才能保

證至少6張牌的花色相似。