拓展拔高練(時(shí)間:45分鐘分值:50分)1.(5分)已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A(-4,0),B(2,0),點(diǎn)P滿足|PA||PB|=2,則點(diǎn)A.(4,0) B.(0,4) C.(-4,0) D.(2,0)【解析】選A.令P(x,y),則(x+4)2+y2=2(x-2)2+2.(5分)若平面內(nèi)兩定點(diǎn)A(-1,0),B(1,0),動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA||PB|=2,當(dāng)P,A,B不共線時(shí),△A.4 B.2 C.23 D.【解析】選D.設(shè)P(x,y),因?yàn)锳(-1,0),B(1,0),且|PA||PB|=2,所以(x+1)2+y即圓的方程為(x-53)2+y2=169,半徑為所以|y|≤43,則△PAB面積的最大值是12×2×433.(5分)阿波羅尼斯證明過這樣一個(gè)命題:平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)k(k>0且k≠1)的點(diǎn)的軌跡是圓,后人將這個(gè)圓稱為阿氏圓,現(xiàn)有△ABC,AC=6,sinC=2sinA,則當(dāng)△ABC的面積最大時(shí),|BC|等于()A.12 B.20 C.25 D.52【解析】選C.如圖所示,以AC的中點(diǎn)為原點(diǎn),AC邊所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,因?yàn)閨AC|=6,所以A(-3,0),C(3,0),設(shè)B(x,y),因?yàn)閟in∠ACB=2sinA,由正弦定理可得|AB|=2|BC|,所以(x+3)2+y2=4(x-3)2+4y2,化簡得(x-5)2+y2=16,且x≠1,x≠9,圓的位置如圖所示,圓心為(5,0),半徑r=4,觀察可得,在三角形底邊長|AC|不變的情況下,當(dāng)B點(diǎn)位于圓心D的正上方或正下方時(shí),高最大,此時(shí)△ABC的面積最大,B點(diǎn)坐標(biāo)為(5,4)或(5,-4),所以|BC|=(5-34.(5分)在平面直角坐標(biāo)系Oxy中,已知點(diǎn)A(1,0),B(4,0),若直線x-y+m=0上存在點(diǎn)P使得|PA|=12|PB|,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(A.[-2,2]B.(-∞,-2]∪[2,+∞)C.(-∞,-22]∪[22,+∞)D.[-22,22]【解析】選D.設(shè)P(x,y),則|PA|=(x|PB|=(x因?yàn)閨PA|=12|PB所以(x-1化簡得x2+y2=4,故點(diǎn)P的軌跡為圓心為(0,0),半徑為2的圓,又點(diǎn)P在直線x-y+m=0上,故圓x2+y2=4與直線x-y+m=0必須有公共點(diǎn),所以|m|1+1≤2,解得-22≤m5.(5分)已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A(-2,0),動(dòng)點(diǎn)M滿足|MA|=2|MO|,動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為C.若對(duì)任意實(shí)數(shù)k,直線l:y=k(x-1)+b與C恒有公共點(diǎn),則b的取值范圍是()A.[-5,5] B.[-6,6]C.[-7,7] D.[-22,22]【解析】選C.設(shè)M(x,y),由A(-2,0),且|MA|=2|MO|,得|MA|2=2|MO|2,即(x-2)2+y2=8,直線l:y=k(x-1)+b恒過定點(diǎn)(1,b),把x=1代入(x-2)2+y2=8,解得y=±7,要使對(duì)任意實(shí)數(shù)k,直線l:y=k(x-1)+b與圓C恒有公共點(diǎn),則-7≤b≤7,即b的取值范圍是[-7,7].6.(5分)(多選題)若兩定點(diǎn)A(-2,0),B(2,0),動(dòng)點(diǎn)M滿足|MA|=2|MB|,則下列說法正確的是()A.點(diǎn)M的軌跡所圍成區(qū)域的面積為32πB.△ABM面積的最大值為82C.點(diǎn)M到直線x-y+4=0距離的最大值為52D.若圓C:(x+1)2+(y-1)2=r2(r>0)上存在滿足條件的點(diǎn)M,則r的取值范圍為[2,92]【解析】選ABD.如圖,設(shè)M(x,y),由|MA|=2|MB|得,|MA|2=2|MB|2,所以(x+2)2+y2=2[(x-2)2+y2],整理可得(x-6)2+y2=32,所以點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)S(6,0)為圓心,42為半徑的圓.對(duì)于A,點(diǎn)M軌跡圍成的區(qū)域面積為π·(42)2=32π,A正確;對(duì)于B,因?yàn)閨AB|=4,所以若△ABM的面積取得最大值,則點(diǎn)M到直線AB的距離最大,即到x軸的距離最大,因?yàn)辄c(diǎn)M到直線AB的距離的最大值為42,所以△ABM面積的最大值為12×4×42=82,B正確對(duì)于C,因?yàn)閳A心S(6,0)到直線x-y+4=0的距離d=|6-0+4|12+(-1)2=52,所以點(diǎn)M到直線x-y+4=0距離的最大值為d對(duì)于D,由題意知點(diǎn)M的軌跡與圓C有公共點(diǎn),即兩圓有公共點(diǎn),因?yàn)閳AC的圓心為(-1,1),半徑為r,所以兩圓的圓心距為(6+1)2+(0-1)2=52,所以|r-42|≤52≤r+42,解得2≤r≤92,7.(5分)(多選題)(2024·保定模擬)古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯(約公元前262年至前190年)與歐幾里得、阿基米德齊名,著有《圓錐曲線論》八卷.他發(fā)現(xiàn)平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值λ(λ≠1)的點(diǎn)所形成的圖形是圓.后來人們將這個(gè)圓以他的名字命名,稱為阿波羅尼斯圓.已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A(-1,0),B(1,0).點(diǎn)P滿足|PA||PB|=12,設(shè)點(diǎn)P所構(gòu)成的曲線為A.曲線E的圓心坐標(biāo)為(-53,0B.43≤|PBC.曲線E的周長為πD.曲線E上的點(diǎn)到直線x+y-1=0的最小距離為43(2【解析】選ABD.設(shè)P(x,y),由|PA||PB|=1整理可得x2+103x+y2+1=0,化簡為(x+53)2+y2=169,所以曲線E的圓心坐標(biāo)為(-53,0),半徑為43圓心(-53,0)到點(diǎn)B(1,0)的距離為8所以83-43≤|PB|≤83+43,即43≤|PB圓的周長為2πr=8π3,故C錯(cuò)誤圓心到直線x+y-1=0的距離為|-53+0-1|2=423,所以曲線E上的點(diǎn)到直線x+y-1=0的最小距離為4238.(5分)(多選題)在平面直角坐標(biāo)系中,A(-1,0),B(2,0),動(dòng)點(diǎn)C滿足|CA||CB|=12,直線l:mx-y+A.動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程為(x+2)2+y2=4B.直線l與動(dòng)點(diǎn)C的軌跡一定相交C.動(dòng)點(diǎn)C到直線l距離的最大值為2+1D.若直線l與動(dòng)點(diǎn)C的軌跡交于P,Q兩點(diǎn),且|PQ|=22,則m=-1【解析】選ABD.對(duì)于A選項(xiàng),設(shè)C(x,y).因?yàn)閨CA||CB|=12整理得x2+y2+4x=0,即(x+2)2+y2=4,所以動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為以N(-2,0)為圓心,2為半徑的圓,軌跡方程為(x+2)2+y2=4,故A正確;對(duì)于B選項(xiàng),因?yàn)橹本€l過定點(diǎn)M(-1,1),而點(diǎn)M(-1,1)在圓N內(nèi),所以直線l與圓N相交,故B正確;對(duì)于C選項(xiàng),當(dāng)直線l與NM垂直時(shí),動(dòng)點(diǎn)C到直線l的距離最大,且最大值為r+|NM|=2+2,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D選項(xiàng),記圓心N到直線l的距離為d,則d=|1因?yàn)閨PQ|2=4(r2-d2)=8.又r=2,所以d=2.由(1-m)2m2+19.(5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A(0,3),直線l:y=2x-4.設(shè)圓C的半徑為1,圓心在l上.若圓C上存在點(diǎn)M,使|MA|=2|MO|,則圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為________.

【解析】點(diǎn)C在直線l:y=2x-4上,故設(shè)C的坐標(biāo)為(a,2a-4).因?yàn)榘霃絩1=1,所以圓C的方程是(x-a)2+[y-(2a-4)]2=1.設(shè)點(diǎn)M(x,y),則由|MA|=2|MO|可得x2+(化簡整理得x2+(y+1)2=4.所以點(diǎn)M在以點(diǎn)D(0,-1)為圓心,r2=2為半徑的圓上,又點(diǎn)M在圓C上,所以兩圓有公共點(diǎn),則|r1-r2|≤|DC|≤|r1+r2|,即1≤5a2-12a+9≤9,解得0≤a≤125即a的取值范圍是[0,125]答案:[0,12510.(5分)若平面內(nèi)兩定點(diǎn)A,B間的距離為4,動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA||PB|=3,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所圍成的圖形的面積為________;·【解析】以經(jīng)過A,B的直線為x軸,線段AB的垂直平分線為y軸,