(2021·桂林中考)如圖，已知拋物線y＝a(x－3)(x＋6)過(guò)點(diǎn)A(－1，5)和點(diǎn)B(－5，m)，與x軸的正半軸交于點(diǎn)C.(1)求a，m的值和點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)P是x軸上的點(diǎn)，連接PB，PA，當(dāng)eq\f(PB,PA)＝eq\f(2,5)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在拋物線上是否存在點(diǎn)M，使A，B兩點(diǎn)到直線MC的距離相等？若存在，求出滿足條件的點(diǎn)M的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】(1)將點(diǎn)A(－1，5)代入y＝a(x－3)(x＋6)，解得a＝－eq\f(1,4).將點(diǎn)B(－5，m)代入y＝－eq\f(1,4)(x－3)(x＋6)，解得m＝2.令y＝0，解得x1＝－6，x2＝3，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是(3，0).(2)∵點(diǎn)A(－1，5)，B(－5，2)，過(guò)A作AN⊥x軸于N，過(guò)B作BM⊥x軸于M，則N(－1，0)，M(－5，0)，BM＝2，AN＝5.∴eq\f(BM,AN)＝eq\f(2,5).∵∠ANP＝∠BMP＝90°，∴當(dāng)eq\f(PB,PA)＝eq\f(2,5)時(shí)，eq\f(PB,PA)＝eq\f(BM,AN)＝eq\f(2,5)，∴Rt△PAN∽R(shí)t△PBM.∴eq\f(PM,PN)＝eq\f(2,5).設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，當(dāng)t＜－5時(shí)，eq\f(－5－t,－1－t)＝eq\f(2,5)，解得t＝－eq\f(23,3)，符合題意；當(dāng)－5≤t≤－1時(shí)，eq\f(t－（－5）,－1－t)＝eq\f(2,5)，解得t＝－eq\f(27,7)，符合題意；當(dāng)t＞－1時(shí)，eq\f(t－（－5）,t－（－1）)＝eq\f(2,5)，解得t＝－eq\f(23,3)＜－1，不符合題意；∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23,3)，0))或Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(27,7)，0)).(3)存在．①連接AB，若MC與直線AB沒(méi)有交點(diǎn)，由平行線間的距離都相等可知，當(dāng)MC∥AB時(shí)，A，B兩點(diǎn)到直線MC的距離相等．由直線AB過(guò)A(－1，5)和B(－5，2)，易得直線AB的表達(dá)式為y＝eq\f(3,4)x＋eq\f(23,4).當(dāng)MC∥AB時(shí)，設(shè)直線MC的表達(dá)式為y＝eq\f(3,4)x＋n，代入C(3，0)，解得直線MC的表達(dá)式為：y＝eq\f(3,4)x－eq\f(9,4).聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,4)（x－3）（x＋6），,y＝\f(3,4)x－\f(9,4)，))解得x1＝－9，x2＝3(舍去).∴M點(diǎn)的橫坐標(biāo)是－9.②若MC與直線AB有交點(diǎn)，設(shè)MC交AB于Q，連接CA，CB.當(dāng)A，B兩點(diǎn)到直線MC的距離相等時(shí)，有S△CBQ＝S△CAQ，此時(shí)Q為AB中點(diǎn)．由A(－1，5)和B(－5，2)，易得Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，\f(7,2)))，設(shè)直線MC的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx＋p，∴將C(3，0)，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，\f(7,2)))代入直線MC表達(dá)式，解得y＝－eq\f(7,12)x＋eq\f(7,4)，聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,4)（x－3）（x＋6），,y＝－\f(7,12)x＋\f(7,4)，))解得x1＝－eq\f(11,3)，x2＝3(舍去).∴M點(diǎn)的橫坐標(biāo)是－e