第49講用樣本估計(jì)總體鏈教材夯基固本激活思維1．(人A必二P203例2改)某射擊運(yùn)動(dòng)員7次訓(xùn)練的成績(jī)分別為86,88,90,89,88,87,85，則這7次成績(jī)的第80百分位數(shù)為()A．88.5 B．89C．91 D．89.52．(2024·南通一調(diào))(多選)抽樣統(tǒng)計(jì)甲、乙兩位射擊運(yùn)動(dòng)員的5次成績(jī)(單位：環(huán))，得到如下數(shù)據(jù)：運(yùn)動(dòng)員第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892則()A．甲成績(jī)的樣本極差小于乙成績(jī)的樣本極差B．甲成績(jī)的樣本平均值等于乙成績(jī)的樣本平均值C．甲成績(jī)的樣本中位數(shù)等于乙成績(jī)的樣本中位數(shù)D．甲成績(jī)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差小于乙成績(jī)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差3．(人A必二P216習(xí)題T2)甲、乙兩臺(tái)機(jī)床同時(shí)生產(chǎn)一種零件，在10天中，兩臺(tái)機(jī)床每天生產(chǎn)的次品數(shù)分別為：甲乙2311021101分別計(jì)算這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差，從計(jì)算結(jié)果看，____機(jī)床的性能更好．4．(人A必二P216習(xí)題T4)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為seq\o\al(2,x)，sx，數(shù)據(jù)y1，y2，…，yn的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為seq\o\al(2,y)，sy．若y1＝ax1＋b，y2＝ax2＋b，…，yn＝axn＋b成立，a，b為常數(shù)，證明：seq\o\al(2,y)＝a2seq\o\al(2,x)，sy＝|a|sx．聚焦知識(shí)1．總體平均數(shù)與樣本平均數(shù)名稱(chēng)定義總體均值(總體平均數(shù))一般地，總體中有N個(gè)個(gè)體，它們的變量值分別為Y1，Y2，…，YN，則稱(chēng)eq\x\to(Y)＝eq\f(Y1＋Y2＋…＋YN,N)＝eq\f(1,N)eq\o(∑,\s\up6(N),\s\do4(i＝1))Yi為_(kāi)___，又稱(chēng)總體平均數(shù)若總體的N個(gè)變量值中，不同的值共有k(k≤N)個(gè)，不妨記為Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)為fi(i＝1,2，…，k)，則總體均值還可以寫(xiě)成加權(quán)平均數(shù)的形式eq\x\to(Y)＝eq\f(1,N)eq\o(∑,\s\up6(k),\s\do4(i＝1))fiYi樣本均值(樣本平均數(shù))若從總體中抽取一個(gè)容量為n的樣本，它們的變量值分別為y1，y2，…，yn，則稱(chēng)eq\x\to(y)＝eq\f(y1＋y2＋…＋yn,n)＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))yi為_(kāi)___，又稱(chēng)樣本平均數(shù)說(shuō)明：(1)在簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中，我們常用樣本平均數(shù)eq\x\to(y)去估計(jì)總體平均數(shù)eq\x\to(Y)；(2)總體平均數(shù)是一個(gè)確定的數(shù)，樣本平均數(shù)具有隨機(jī)性(因?yàn)闃颖揪哂须S機(jī)性)；(3)一般情況下，樣本量越大，估計(jì)越準(zhǔn)確2．百分位數(shù)一般地，一組數(shù)據(jù)的第k百分位數(shù)是這樣一個(gè)值pk，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有____的數(shù)據(jù)小于或等于pk，且至少有___的數(shù)據(jù)大于或等于pk．如果將樣本數(shù)據(jù)從小到大排列成一行，那么第k百分位數(shù)pk所處位置如圖所示．3．平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)(1)平均數(shù)：eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)．(2)中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按從小到大或從大到小的順序排列，處在最____的一個(gè)數(shù)據(jù)(當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí))或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的____(當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．(3)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)____的數(shù)據(jù)(即頻數(shù)最大值所對(duì)應(yīng)的樣本數(shù)據(jù))．4．標(biāo)準(zhǔn)差與方差設(shè)一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)為eq\x\to(x)，則這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差和方差分別是s＝eq\r(,\f(1,n)[x1－\x\to(x)2＋x2－\x\to(x)2＋…＋xn－\x\to(x)2])，s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]．5．常用結(jié)論平均數(shù)、方差的公式推廣(1)若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\x\to(x)，則mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)是meq\x\to(x)＋a．(2)若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為s2，則：①數(shù)據(jù)x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也為s2；②數(shù)據(jù)ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2．(3)s2＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－eq\x\to(x)2，即各數(shù)平方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方．研題型能力養(yǎng)成舉題說(shuō)法百分位數(shù)的估計(jì)例1(1)(2024·蘇州期末)棉花的纖維長(zhǎng)度是棉花質(zhì)量的重要指標(biāo)．在一批棉花中隨機(jī)抽測(cè)了20根棉花的纖維長(zhǎng)度(單位：mm)，按從小到大排序結(jié)果如下：252833505258596061628286113115140143146170則估計(jì)這批棉花的第45百分位數(shù)為_(kāi)__．(2)(2024·安慶二模)在一次學(xué)科核心素養(yǎng)能力測(cè)試活動(dòng)中，隨機(jī)抽取了100名同學(xué)的成績(jī)(評(píng)分滿(mǎn)分為100分)，將所有數(shù)據(jù)按[40,50]，(50,60]，(60,70]，(70,80]，(80,90]，(90,100]進(jìn)行分組，整理得到頻率分布直方圖如圖所示，則估計(jì)這次調(diào)查數(shù)據(jù)的第64百分位數(shù)為()A．80 B．78C．76 D．74計(jì)算一組n個(gè)數(shù)據(jù)第p百分位數(shù)的步驟：第一步，按從小到大的順序排列原始數(shù)據(jù)；第二步，計(jì)算i＝n×p%；第三步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(i＋1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)．變式1(2024·日照一模)有一組按從小到大順序排列的數(shù)據(jù)：3,5,7,8,9,10，則這組數(shù)據(jù)的40%分位數(shù)為_(kāi)___．總體集中趨勢(shì)估計(jì)例2(1)(2024·新高考Ⅱ卷)某農(nóng)業(yè)研究部門(mén)在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產(chǎn)量(單位：kg)并整理得下表：畝產(chǎn)量[900，950)[950，1000)[1000，1050)[1050，1100)[1100，1150)[1150，1200]頻數(shù)61218302410根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的是()A．100塊稻田畝產(chǎn)量中位數(shù)小于1050kgB．100塊稻田中的畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過(guò)80%C．100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間D．100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg之間(2)(2024·泰安三模)(多選)某燈具配件廠生產(chǎn)了一種塑膠配件，該廠質(zhì)檢人員某日隨機(jī)抽取了100個(gè)該配件的質(zhì)量指標(biāo)值(單位：分)作為一個(gè)樣本，得到如圖所示的頻率分布直方圖，則(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)()A．m＝0.03 B．樣本質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為75C．樣本質(zhì)量指標(biāo)值的眾數(shù)小于其平均數(shù) D．樣本質(zhì)量指標(biāo)值的第75百分位數(shù)為85頻率分布直方圖中的數(shù)字特征(1)眾數(shù)估計(jì)值：最高矩形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)．(2)中位數(shù)：中位數(shù)左邊和右邊的矩形的面積和應(yīng)該相等．(3)平均數(shù)：平均數(shù)在頻率分布直方圖中等于各組區(qū)間的中點(diǎn)值與對(duì)應(yīng)頻率之積的和．變式2(2023·新高考Ⅰ卷)(多選)有一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，則()A．x2，x3，x4，x5的平均數(shù)等于x1，x2，…，x6的平均數(shù)B．x2，x3，x4，x5的中位數(shù)等于x1，x2，…，x6的中位數(shù)C．x2，x3，x4，x5的標(biāo)準(zhǔn)差不小于x1，x2，…，x6的標(biāo)準(zhǔn)差D．x2，x3，x4，x5的極差不大于x1，x2，…，x6的極差總體離散程度估計(jì)例3(2023·全國(guó)乙卷理)某廠為比較甲、乙兩種工藝對(duì)橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進(jìn)行10次配對(duì)試驗(yàn)，每次配對(duì)試驗(yàn)選用材質(zhì)相同的兩個(gè)橡膠產(chǎn)品，隨機(jī)地選其中一個(gè)用甲工藝處理，另一個(gè)用乙工藝處理，測(cè)量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率．甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為xi，yi(i＝1,2，…10)，試驗(yàn)結(jié)果如下：試驗(yàn)序號(hào)i12345678910伸縮率xi545533551522575544541568596548伸縮率yi536527543530560533522550576536記zi＝xi－yi(i＝1,2，…，10)，記z1，z2，…，z10的樣本平均數(shù)為eq\x\to(z)，樣本方差為s2．(1)求eq\x\to(z)，s2；(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高(如果eq\x\to(z)≥2eq\r(\f(s2,10))，則認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高)．標(biāo)準(zhǔn)差(方差)反映了數(shù)據(jù)的離散與集中、波動(dòng)與穩(wěn)定的程度．標(biāo)準(zhǔn)差(方差)越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差(方差)越小，數(shù)據(jù)的離散程度越?。謱与S機(jī)抽樣的均值與方差視角1分層隨機(jī)抽樣中的均值例4－1記樣本x1，x2，…，xm的平均數(shù)為eq\x\to(x)，樣本y1，y2，…，yn的平均數(shù)為eq\x\to(y)(eq\x\to(x)≠eq\x\to(y))．若樣本x1，x2，…，xm，y1，y2，…，yn的平均數(shù)為eq\x\to(z)＝eq\f(1,4)eq\x\to(x)＋eq\f(3,4)eq\x\to(y)，則eq\f(m,n)的值為()A．3 B．4C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,3)(1)抽樣比＝eq\f(樣本容量,總體容量)＝eq\f(各層樣本容量,各層個(gè)體總量)．(2)如果第一層的樣本量為m，平均值為eq\x\to(x)；第二層的樣本量為n，平均值為eq\x\to(y)，則樣本的平均值為eq\f(m\x\to(x)＋n\x\to(y),m＋n)．視角2分層隨機(jī)抽樣中的方差例4－2(2024·荊州模擬節(jié)選)某果園產(chǎn)蘋(píng)果，其中一堆蘋(píng)果中大果與小果的個(gè)數(shù)比例為4∶1．若選擇分層隨機(jī)抽樣，抽出100個(gè)蘋(píng)果，其中大果的單果平均質(zhì)量為240克，方差為300，小果的單果平均質(zhì)量為190克，方差為320，則可估計(jì)果園蘋(píng)果的單果平均質(zhì)量為_(kāi)___克，方差為_(kāi)__．設(shè)樣本容量為n，平均數(shù)為eq\x\to(x)，其中兩層的個(gè)體數(shù)量分別為n1，n2，兩層的平均數(shù)分別為eq\x\to(x)1，eq\x\to(x)2，方差分別為seq\o\al(2,1)，seq\o\al(2,2)，則這個(gè)樣本的方差為s2＝eq\f(n1,n)[seq\o\al(2,1)＋(eq\x\to(x)1－eq\x\to(x))2]＋eq\f(n2,n)[seq\o\al(2,2)＋(eq\x\to(x)2－eq\x\to(x))2]．變式4－2(2024·汕頭一模)(多選)某次數(shù)學(xué)考試后，為分析學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，某校從某年級(jí)中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成績(jī)，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．為進(jìn)一步分析高分學(xué)生的成績(jī)分布情況，計(jì)算得到這100名學(xué)生中，成績(jī)位于[80,90)內(nèi)的學(xué)生成績(jī)方差為12，成績(jī)位于[90,100)內(nèi)的學(xué)生成績(jī)方差為10，則()A．a(chǎn)＝0.004B．估計(jì)該年級(jí)學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)約為77.14C．估計(jì)該年級(jí)成績(jī)?cè)?0分及以上的學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)為87.50D．估計(jì)該年級(jí)成績(jī)?cè)?0分及以上的學(xué)生成績(jī)的方差為30.25隨堂內(nèi)化1．(2024·蘇中蘇北八市三調(diào))某同學(xué)測(cè)得連續(xù)7天的最低氣溫(單位：℃)分別為1,2,2，m,6,2,8，若這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是中位數(shù)的2倍，則m＝()A．2 B．3C．6 D．72．(2025·蘇州期初)“綠水青山就是金山銀山”的理念深入人心，人民群眾的生態(tài)環(huán)境獲得感、幸福感、安全感不斷提升．某校高一年級(jí)舉行環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽，共500人參加，若參賽學(xué)生成績(jī)的第60百分位數(shù)是80分，則關(guān)于競(jìng)賽成績(jī)不小于80分的人數(shù)的說(shuō)法正確的是()A．至少為300人 B．至少為200人C．至多為300人 D．至多為200人3．(2024·福州質(zhì)檢)(多選)在一次射擊比賽中，甲、乙兩名選手的射擊環(huán)數(shù)如下表，則下列說(shuō)法正確的是()甲乙87909691869086928795A．甲選手射擊環(huán)數(shù)的極差大于乙選手射擊環(huán)數(shù)的極差B．甲選手射擊環(huán)數(shù)的平均數(shù)等于乙選手射擊環(huán)數(shù)的平均數(shù)C．甲選手射擊環(huán)數(shù)的方差大于乙選手射擊環(huán)數(shù)的方差D．甲選手射擊環(huán)數(shù)的第75百分位數(shù)大于乙選手射擊環(huán)數(shù)的第75百分位數(shù)4．(2024·新鄉(xiāng)二模)若一組數(shù)據(jù)a1，a2，a3，a4，a5的平均數(shù)為3，方差為eq\f(18,5)，則a1，a2，a3，a4，a5,9這6個(gè)數(shù)的平均數(shù)為_(kāi)___，方差為_(kāi)__．配套熱練一、單項(xiàng)選擇題1．(2024·臨沂二模)一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為1,4，m,12,14,21，若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是極差的eq\f(2,5)，則該組數(shù)據(jù)的第45百分位數(shù)是()A．4 B．6C．8 D．122．(2024·莆田四檢)已知數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)為eq\x\to(x)，方差為s2，數(shù)據(jù)3x1－1,3x2－1,3x3－1，…，3xn－1的平均數(shù)為eq\x\to(x)1，方差為seq\o\al(2,1)，則()A．eq\x\to(x)1＝3eq\x\to(x)，seq\o\al(2,1)＝9s2B．eq\x\to(x)1＝3eq\x\to(x)，seq\o\al(2,1)＝9s2－1C．eq\x\to(x)1＝3eq\x\to(x)－1，seq\o\al(2,1)＝9s2D．eq\x\to(x)1＝3eq\x\to(x)－1，seq\o\al(2,1)＝9s2－13．(2024·贛州二模)已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)分別為22,21,24,23,25,20和25,22，a,26,23,24．若乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)比甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)大2，則()A．甲、乙兩組數(shù)據(jù)的極差不同B．乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24C．甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差相同D．甲組數(shù)據(jù)的第一四分位數(shù)為21.54．(2024·鷹潭一模)某單位為了解職工體重情況，采用分層隨機(jī)抽樣的方法從800名職工中抽取了一個(gè)容量為80的樣本．其中，男性平均體重為64千克，方差為151；女性平均體重為56千克，方差為159，男、女人數(shù)之比為5∶3，則單位職工體重的方差為()A．166 B．167C．168 D．169二、多項(xiàng)選擇題5．(2025·惠州二調(diào))某公司為保證產(chǎn)品生產(chǎn)質(zhì)量，連續(xù)10天監(jiān)測(cè)某種新產(chǎn)品生產(chǎn)線的次品件數(shù)，得到關(guān)于每天出現(xiàn)的次品的件數(shù)的一組樣本數(shù)據(jù)：3,4,3,1,5,3,2,5,1,3，則關(guān)于這組數(shù)據(jù)的結(jié)論正確的是()A．極差是4B．眾數(shù)小于平均數(shù)C．方差是2D．?dāng)?shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為4.56．(2024·湛江二模)廣東省湛江市2017年到2022年常住人口變化圖如圖所示，則()A．湛江市2017年到2022年這6年的常住人口的極差約為38萬(wàn)B．湛江市2017年到2022年這6年的常住人口呈遞增趨勢(shì)C．湛江市2017年到2022年這6年的常住人口的第60百分位數(shù)為730.50萬(wàn)D．湛江市2017年到2022年這6年的常住人口的中位數(shù)為717.02萬(wàn)7．(2024·嘉興二模)已知一組數(shù)據(jù)1,3,5,7,9，其中位數(shù)為a，平均數(shù)為eq\x\to(x)，極差為b，方差為s2．現(xiàn)從中刪去某一個(gè)數(shù)，得到一組新數(shù)據(jù)，其中位數(shù)為a′，平均數(shù)為eq\x\to(x)′，極差為b′，方差為s′2，則下列說(shuō)法中正確的是()A．若刪去3，則a＜a′B．若刪去9，則eq\x\to(x)＜eq\x\to(x)′C．無(wú)論刪去哪個(gè)數(shù)，均有b≥b′D．若eq\x\to(x)＝eq\x\to(x)′，則s2＜s′2三、填空題8．(2024·三明三模)已知從小到大排列的一組數(shù)據(jù)：1,5，a,10,11,13,15,21,42,57，若這組數(shù)據(jù)的極差是其第30百分位數(shù)的7倍，則a＝____．9．(2024·深圳二模)已知樣本x1，x2，x3的平均數(shù)為2，方差為1，則xeq\o\al(2,1)，xeq\o\al(2,2)，xeq\o\al(2,3)的平均數(shù)為_(kāi)___．10．(2025·大同期初)中國(guó)跳水隊(duì)素有“夢(mèng)之隊(duì)”稱(chēng)號(hào)．單人跳水比賽的計(jì)分規(guī)則為：運(yùn)動(dòng)員做完一套入水動(dòng)作后，由7位專(zhuān)業(yè)裁判進(jìn)行打分，從打出的分?jǐn)?shù)中按照高低去掉前兩個(gè)和后兩個(gè)，剩余3個(gè)分?jǐn)?shù)的總和再乘以這套動(dòng)作的難度系數(shù)即為該運(yùn)動(dòng)員的最終得分．若某位運(yùn)動(dòng)員在一輪比賽中入水動(dòng)作的難度系數(shù)為3.2,7位裁判給他打出的分?jǐn)?shù)分別為9.5,9.5,9,8,9,9.5,8.5，則這7個(gè)數(shù)據(jù)的方差為_(kāi)___，該運(yùn)動(dòng)員本輪比賽的得分為_(kāi)___．四、解答題11．某工廠甲、乙兩名工人參加操作技能培訓(xùn)．現(xiàn)分別從他們?cè)谂嘤?xùn)期間參加的若干次測(cè)試成績(jī)中隨機(jī)抽取8次，數(shù)據(jù)如下表所示(單位：分)．甲9582888193798478乙8375808090859295(1)試計(jì)算這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)；(2)現(xiàn)要從中選派一人參加操作技能比賽，從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度考慮，選派哪名工人參加合適？請(qǐng)說(shuō)明理由．12．隨著老年人消費(fèi)需求從“生存型”向“發(fā)展型”轉(zhuǎn)變．消費(fèi)層次不斷提升，“銀發(fā)經(jīng)濟(jì)”成為社會(huì)熱門(mén)話題之一，被各企業(yè)持續(xù)關(guān)注．某企業(yè)為了解該地老年人消費(fèi)能力情況，對(duì)該地年齡在[60,80)的老年人的年收入按年齡[60,70)，[70,80)分成兩組進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣調(diào)查，已知抽取了年齡在[60,70)的老年人500人，年齡在[70,80)的老年人300人．現(xiàn)作出年齡在[60,70)的老年人年收入的頻率分布直方圖(如圖所示)．(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)該地年齡在[60,70)的老年人年收入的平均數(shù)及第95百分位數(shù)；(2)已知年齡在[60,70)的老年人年收入的方差為3，年齡在[70,80)的老年人年收入的平均數(shù)和方差分別為3.75和1.4，試估計(jì)年齡在[60,80)的老年人年收入的方差．第49講用樣本估計(jì)總體激活思維1.B【解析】因?yàn)?次訓(xùn)練的成績(jī)從小到大排列為85，86，87，88，88，89，90，且7×80%＝5.6，所以第80百分位數(shù)為從小到大排列的數(shù)據(jù)中的第6個(gè)數(shù)據(jù)，即89.2.BC【解析】甲成績(jī)的極差為93－87＝6，乙成績(jī)的極差為92－88＝4，故A錯(cuò)誤；甲成績(jī)的平均值為eq\f(87＋91＋90＋89＋93,5)＝90，乙成績(jī)的平均值為eq\f(89＋90＋91＋88＋92,5)＝90，故B正確；甲成績(jī)的中位數(shù)為90，乙成績(jī)的中位數(shù)為90，故C正確；甲成績(jī)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差為eq\r(,\f(9＋1＋0＋1＋9,5))＝2，乙成績(jī)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差為eq\r(,\f(1＋0＋1＋4＋4,5))＝eq\r(,2)，故D錯(cuò)誤．3.乙【解析】甲機(jī)床的平均數(shù)x甲＝eq\f(0＋1＋0＋…＋4,10)＝1.5，標(biāo)準(zhǔn)差s甲＝eq\r(\f(1,10)[（0－1.5）2＋（1－1.5）2＋…＋（4－1.5）2])≈1.28；乙機(jī)床的平均數(shù)x乙＝eq\f(2＋3＋…＋1,10)＝1.2，標(biāo)準(zhǔn)差s乙＝eq\r(\f(1,10)[（2－1.2）2＋（3－1.2）2＋…＋（1－1.2）2])≈0.87.比較發(fā)現(xiàn)乙機(jī)床的平均數(shù)較小而且標(biāo)準(zhǔn)差也較小，說(shuō)明乙機(jī)床生產(chǎn)的次品數(shù)比甲機(jī)床生產(chǎn)的次品數(shù)少，而且更為穩(wěn)定，所以乙機(jī)床的性能較好．4.【解答】設(shè)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為x，數(shù)據(jù)y1，y2，…，yn的平均數(shù)為y，則y＝ax＋b.seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(x))＝eq\f(1,n)[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]，seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(y))＝eq\f(1,n)[(y1－y)2＋(y2－y)2＋…＋(yn－y)2]＝eq\f(1,n)[(ax1－ax)2＋(ax2－ax)2＋…＋(axn－ax)2]＝a2·eq\f(1,n)·[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]＝a2seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(x))，所以sy＝|a|sx.聚焦知識(shí)1.總體均值樣本均值2.k%(100－k)%3.(2)中間平均數(shù)(3)最多舉題說(shuō)法例1(1)61.5【解析】由題意知20×45%＝9，所以這批棉花的第45百分位數(shù)為從小到大排列的第9個(gè)數(shù)與第10個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即eq\f(61＋62,2)＝61.5.(2)B【解析】由0.005×10＋0.015×10＋0.020×10＝0.4，0.005×10＋0.015×10＋0.020×10＋0.030×10＝0.7，故這次調(diào)查數(shù)據(jù)的第64百分位數(shù)位于(70，80]，設(shè)這次調(diào)查數(shù)據(jù)的第64百分位數(shù)為x，則有eq\f(x－70,10)＝eq\f(0.64－0.4,0.7－0.4)，解得x＝78.變式17【解析】因?yàn)樵摻M數(shù)據(jù)共6個(gè)，且6×40%＝2.4，所以這組數(shù)據(jù)的40%分位數(shù)為第三個(gè)數(shù)，即為7.例2(1)C【解析】對(duì)于A，根據(jù)頻數(shù)分布表知，6＋12＋18＝36<50，所以100塊稻田畝產(chǎn)量中位數(shù)不小于1050kg，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，畝產(chǎn)量不低于1100kg的稻田頻數(shù)為24＋10＝34，所以畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例為eq\f(100－34,100)＝66%，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，畝產(chǎn)量的極差最大值為1200－900＝300，最小值為1150－950＝200，所以極差介于200kg至300kg之間，故C正確；對(duì)于D，估計(jì)平均數(shù)為x＝eq\f(1,100)×(6×925＋12×975＋18×1025＋30×1075＋24×1125＋10×1175)＝1067，故D錯(cuò)誤．(2)ACD【解析】由題意知(0.010＋0.015＋0.035＋m＋0.010)×10＝1，解得m＝0.030，故A正確；樣本質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為55×0.1＋65×0.15＋75×0.35＋85×0.3＋95×0.1＝76.5，故B錯(cuò)誤；樣本質(zhì)量指標(biāo)值的眾數(shù)是eq\f(70＋80,2)＝75<76.5，故C正確；前3組的頻率之和為(0.010＋0.015＋0.035)×10＝0.60，前4組的頻率之和為0.60＋0.030×10＝0.90，故第75百分位數(shù)位于第4組，設(shè)其為t，則(t－80)×0.030＋0.60＝0.75，解得t＝85，即第75百分位數(shù)為85，故D正確．變式2BD【解析】對(duì)于A，設(shè)x2，x3，x4，x5的平均數(shù)為m，x1，x2，…，x6的平均數(shù)為n，則n－m＝eq\f(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6,6)－eq\f(x2＋x3＋x4＋x5,4)＝eq\f(2（x1＋x6）－（x2＋x3＋x4＋x5）,12)，因?yàn)闊o(wú)法確定2(x1＋x6)，x2＋x3＋x4＋x5的大小關(guān)系，所以無(wú)法判斷m，n的大小，如1，2，3，4，5，6，可得m＝n＝3.5；如1，1，1，1，1，7，可得m＝1，n＝2；如1，2，2，2，2，2，可得m＝2，n＝eq\f(11,6)，故A錯(cuò)誤．對(duì)于B，不妨設(shè)x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6，可知x2，x3，x4，x5的中位數(shù)等于x1，x2，…，x6的中位數(shù)，均為eq\f(x3＋x4,2)，故B正確．對(duì)于C，因?yàn)閤1是最小值，x6是最大值，則x2，x3，x4，x5的波動(dòng)性不大于x1，x2，…，x6的波動(dòng)性，即x2，x3，x4，x5的標(biāo)準(zhǔn)差不大于x1，x2，…，x6的標(biāo)準(zhǔn)差，如2，4，6，8，10，12，則平均數(shù)n＝eq\f(1,6)×(2＋4＋6＋8＋10＋12)＝7，標(biāo)準(zhǔn)差s1＝eq\r(\f(1,6)×[（2－7）2＋（4－7）2＋（6－7）2＋（8－7）2＋（10－7）2＋（12－7）2])＝eq\f(\r(105),3)，4，6，8，10的平均數(shù)m＝eq\f(1,4)×(4＋6＋8＋10)＝7，標(biāo)準(zhǔn)差s2＝eq\r(\f(1,4)×[（4－7）2＋（6－7）2＋（8－7）2＋（10－7）2])＝eq\r(5)，顯然eq\f(\r(105),3)>eq\r(,5)，即s1>s2，故C錯(cuò)誤．對(duì)于D，不妨設(shè)x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6，則x6－x1≥x5－x2，當(dāng)且僅當(dāng)x1＝x2，x5＝x6時(shí)，等號(hào)成立，故D正確．例3【解答】(1)x＝eq\f(1,10)×(545＋533＋551＋522＋575＋544＋541＋568＋596＋548)＝552.3，y＝eq\f(1,10)×(536＋527＋543＋530＋560＋533＋522＋550＋576＋536)＝541.3，z＝x－y＝552.3－541.3＝11，zi＝xi－yi的值分別為9，6，8，－8，15，11，19，18，20，12，故s2＝eq\f(1,10)×[(9－11)2＋(6－11)2＋(8－11)2＋(－8－11)2＋(15－11)2＋0＋(19－11)2＋(18－11)2＋(20－11)2＋(12－11)2]＝61.(2)由(1)知z＝11，2eq\r(\f(s2,10))＝2eq\r(6.1)＝eq\r(24.4)，故有z≥2eq\r(\f(s2,10))，所以認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高．例41D【解析】由題意知x1＋x2＋…＋xm＝mx，y1＋y2＋…＋yn＝ny，z＝eq\f(（x1＋x2＋…＋xm）＋（y1＋y2＋…＋yn）,m＋n)＝eq\f(mx＋ny,m＋n)＝eq\f(mx,m＋n)＋eq\f(ny,m＋n)＝eq\f(1,4)x＋eq\f(3,4)y，所以eq\f(m,m＋n)＝eq\f(1,4)，eq\f(n,m＋n)＝eq\f(3,4)，可得3m＝n，所以eq\f(m,n)＝eq\f(1,3).例4【解析】因?yàn)榇蠊c小果的個(gè)數(shù)比例為4∶1，所以100個(gè)蘋(píng)果中，大果的個(gè)數(shù)為eq\f(4,5)×100＝80，小果的個(gè)數(shù)為eq\f(1,5)×100＝20.設(shè)大果的單果平均質(zhì)量為eq\x\to(x)1克，方差為seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))，小果的單果平均質(zhì)量為eq\x\to(x)2克，方差為seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))，設(shè)100個(gè)蘋(píng)果的單果平均質(zhì)量為w克，方差為s2，則x1＝240，seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＝300，x2＝190，seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝320，所以100個(gè)蘋(píng)果的單果平均質(zhì)量w＝eq\f(80×240＋20×190,100)＝230(克)，100個(gè)蘋(píng)果質(zhì)量的方差s2＝eq\f(80,100)×[300＋(240－230)2]＋eq\f(20,100)×[320＋(190－230)2]＝704，故估計(jì)果園蘋(píng)果的單果平均質(zhì)量為230克，方差為704.變式42BCD【解析】對(duì)于A，在頻率分布直方圖中，所有直方圖的面積之和為1，則(2a＋3a＋7a＋6a＋2a)×10＝200a＝1，解得a＝0.005，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，前兩個(gè)矩形的面積之和為(2a＋3a)×10＝50a＝0.25<0.5，前三個(gè)矩形的面積之和為(2a＋3a＋7a)×10＝120a＝0.6>0.5，設(shè)該年級(jí)學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)為m，則m∈(70，80)，根據(jù)中位數(shù)的定義可得0.25＋(m－70)×0.035＝0.5，解得m≈77.14，所以估計(jì)該年級(jí)學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)約為77.14，B正確；對(duì)于C，估計(jì)成績(jī)?cè)?0分及以上的同學(xué)的成績(jī)的平均數(shù)為eq\f(6a,6a＋2a)×85＋eq\f(2a,6a＋2a)×95＝87.5(分)，C正確；對(duì)于D，估計(jì)該年級(jí)成績(jī)?cè)?0分及以上的學(xué)生成績(jī)的方差為eq\f(3,4)[12＋(85－87.5)2]＋eq\f(1,4)[10＋(95－87.5)2]＝30.25，D正確．隨堂內(nèi)化1.D【解析】這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\f(1＋2＋2＋m＋6＋2＋8,7)＝eq\f(21＋m,7)，除m外，將數(shù)據(jù)按升序排列可得1，2，2，2，6，8，結(jié)合m的任意性可知中位數(shù)為2，則eq\f(21＋m,7)＝2×2，解得m＝7.2.D【解析】由題意，500×60%＝300，因此競(jìng)賽成績(jī)不小于80分的人數(shù)至多為500－300＝200.3.ABC【解析】甲選手射擊環(huán)數(shù)從小到大排列：86，87，90，91，96，則甲選手射擊環(huán)數(shù)的極差等于96－86＝10；平均數(shù)等于eq\f(1,5)×(86＋87＋90＋91＋96)＝90；方差等于eq\f(1,5)×[(86－90)2＋(87－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(96－90)2]＝12.4；第75百分位數(shù)等于91.乙選手射擊環(huán)數(shù)從小到大排列：86，87，90，92，95，則乙選手射擊環(huán)數(shù)的極差等于95－86＝9；平均數(shù)等于eq\f(1,5)×(86＋87＋90＋92＋95)＝90；方差等于eq\f(1,5)×[(86－90)2＋(87－90)2＋(90－90)2＋(92－90)2＋(95－90)2]＝10.8；第75百分位數(shù)等于92.4.48【解析】依題意，這6個(gè)數(shù)的平均數(shù)為eq\f(5×3＋9,6)＝4，又eq\f(1,5)(eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))aeq\o\al(2,i)－5×32)＝eq\f(18,5)，得eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))aeq\o\al(2,i)＝63，所以這6個(gè)數(shù)的方差為eq\f(1,6)(eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))aeq\o\al(2,i)＋92－6×42)＝eq\f(1,6)(63＋92－6×42)＝8．配套精煉1.A【解析】根據(jù)中位數(shù)的定義，該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是eq\f(m＋12,2).根據(jù)極差的定義，該組數(shù)據(jù)的極差是21－1＝20.依題意得eq\f(m＋12,2)＝20×eq\f(2,5)，解得m＝4，6×0.45＝2.7?Z，根據(jù)百分位數(shù)的定義，該組數(shù)據(jù)的第45百分位數(shù)是從小到大排列的第3個(gè)數(shù)，即4.2.C3.C【解析】由乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)比甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)大2，設(shè)甲、乙兩組數(shù)據(jù)平均數(shù)分別為x1，x2，方差分別為seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))，seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))，則x1＝eq\f(22＋21＋24＋23＋25＋20,6)＝22.5，x2＝eq\f(25＋22＋a＋26＋23＋24,6).由x2＝x1＋2，即eq\f(25＋22＋a＋26＋23＋24,6)＝22.5＋2＝24.5，解得a＝27，所以?xún)山M數(shù)據(jù)極差均為5，故A錯(cuò)誤；乙組數(shù)據(jù)按從小到大排列為22，23，24，25，26，27，則中位數(shù)為eq\f(24＋25,2)＝24.5，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＝eq\f(1,6)[(22－22.5)2＋(21－22.5)2＋(24－22.5)2＋(23－22.5)2＋(25－22.5)2＋(20－22.5)2]＝eq\f(35,12)，seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝eq\f(1,6)[(25－24.5)2＋(22－24.5)2＋(27－24.5)2＋(26－24.5)2＋(23－24.5)2＋(24－24.5)2]＝eq\f(35,12)，所以seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＝seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))，所以甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差相同，故C正確；對(duì)于D，甲組數(shù)據(jù)按從小到大排列為20，21，22，23，24，25，由i＝6×eq\f(1,4)＝1.5，知第一四分位數(shù)為21，所以D錯(cuò)誤．4.D【解析】依題意，單位職工平均體重為x＝eq\f(5,8)×64＋eq\f(3,8)×56＝61(千克)，則單位職工體重的方差為s2＝eq\f(5,8)[151＋(64－61)2]＋eq\f(3,8)[159＋(56－61)2]＝169.5.AD【解析】數(shù)據(jù)從小到大排列為1，1，2，3，3，3，3，4，5，5.對(duì)于A，該組數(shù)據(jù)的極差為5－1＝4，故A正確；對(duì)于B，眾數(shù)為3，平均數(shù)為eq\f(1×2＋2＋3×4＋4＋5×2,10)＝3，所以眾數(shù)與平均數(shù)相等，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，方差為eq\f(1,10)[(1－3)2×2＋(2－3)2×1＋(3－3)2×4＋(4－3)2×1＋(5－3)2×2]＝1.8，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由10×80%＝8，8是整數(shù)，則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為第8個(gè)數(shù)和第9個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即eq\f(4＋5,2)＝4.5，故D正確．6.ACD【解析】由圖可知，湛江市2017年到2022年這6年的常住人口的極差約為736.00－698.12≈38(萬(wàn))，A正確；這6年的常住人口前3年呈遞增趨勢(shì)，后三年也遞增，但后三年的常住人口低于前3年，B錯(cuò)誤；湛江市2017年到2022年這6年的常住人口按照從小到大的順序排列為698.12，703.09，703.54，730.50，732.20，736.00，6×0.6＝3.6，所以第60百分位數(shù)為730.50萬(wàn)，中位數(shù)為eq\f(703.54＋730.50,2)＝717.02(萬(wàn))，C，D均正確．7.ACD【解析】對(duì)于A，若刪去3，根據(jù)中位數(shù)的定義，a＝5，a′＝eq\f(5＋7,2)＝6，滿(mǎn)足a<a′，故A正確；對(duì)于B，若刪去9，根據(jù)平均數(shù)的定義，x＝eq\f(1＋3＋5＋7＋9,5)＝5，x′＝eq\f(1＋3＋5＋7,4)＝4，x>x′，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，根據(jù)極差的定義，若刪去的數(shù)是3，5，7中的一個(gè)，顯然去掉前后極差都是9－1＝8，滿(mǎn)足b＝b′，若去掉1，b′＝9－3＝6<b＝8，若去掉9，b′＝7－1＝6<b＝8.綜上，b′≤b，故C正確；對(duì)于D，原數(shù)據(jù)平均數(shù)x＝5，去掉一個(gè)數(shù)后平均數(shù)保持不變，即x′＝5，則剩下的四個(gè)數(shù)之和為5×4＝20，顯然去掉的數(shù)只能是5，由方差的定義，s2＝eq\f(1,5)[(1－5)2＋(3－5)2＋(5－5)2＋(7－5)2＋(9－5)2]＝8，s′2＝eq\f(1,4)[(1－5)2＋(3－5)2＋(7－5)2＋(9－5)2]＝10，滿(mǎn)足s2<s′2，故D正確．8.6【解析】由題知這組數(shù)據(jù)的極差是57－1＝56.由于10×30%＝3，故第30百分位數(shù)為eq\f(a＋10,2)，故56＝7×eq\f(a＋10,2)，所以a＝6.9.5【解析】由題知eq\f(x1＋x2＋x3,3)＝2，所以x1＋x2＋x3＝6，由eq\f(（x1－2）2＋（x2－2）2＋（x3－2）2,3)＝1，得xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＝15，所以eq\f(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋xeq\o\al(\s\up