秘密★啟用前2025-2026（上）10月月度質(zhì)量監(jiān)測高二數(shù)學(xué)本試卷滿分150分考試時間120分鐘第Ⅰ卷選擇題（共58分）一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題所給的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的）1.下列命題中，假命題是（）A.同平面向量一樣，任意兩個空間向量都不能比較大小B.是向量的必要不充分條件C.只有零向量的模等于0D.共線的單位向量都相等【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量概念逐項判斷即可.【詳解】選項A：由空間向量的定義知，空間向量具有大小和方向，所以任意兩個空間向量不能比較大小，故A為真命題；選項B：兩個向量模長相等，方向不一定相同，充分性不成立，兩個相等向量模長一定相等，必要性成立，故B為真命題；選項C：長度為0的向量叫做零向量，只有零向量的模長等于0，故C為真命題；選項D：共線的單位向量是相等向量或相反向量，故D為假命題；故選：D2.四面體中，，，，且，，則等于（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】結(jié)合圖形，根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則計算即得.【詳解】因為，，所以，所以，故選：B.3.已知向量與共線，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)表示和模的公式進(jìn)行計算即可.【詳解】由題意知，，又因為，所以，解得，所以∴.故選：A.4.已知空間三點(diǎn)，，共線，則實數(shù)的值為（）A.3 B.5 C. D.【答案】A【解析】【分析】利用空間向量共線定理列出方程組，求解即得.【詳解】由，，可得，因三點(diǎn)共線，故存在，滿足，即，則有，解得.故選：A.5.設(shè)是兩個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，則下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則與相交【答案】C【解析】【分析】利用空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，通過分析每個選項中所給條件，判斷直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系是否成立.【詳解】對于，已知,根據(jù)面面平行的性質(zhì)，直線可能與平面平行，也可能在平面內(nèi)，所以不能得出,故選項A錯誤；對于，已知，此時直線與可能平行、相交或異面，不一定垂直，故選項B錯誤；對于，已知，則直線所在的方向向量即分別為平面的法向量，兩法向量垂直，則兩面垂直，故選項C正確；對于，已知，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行，所以,故選項D錯誤.故選：.6.如圖，邊長為2的正方體的一個頂點(diǎn)A在平面內(nèi)，其余頂點(diǎn)在的同側(cè)，且點(diǎn)B和點(diǎn)D到平面的距離均為，則平面與平面的夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)到面的距離的性質(zhì)，結(jié)合面面垂直的判定定理，得到E，A，F(xiàn)三點(diǎn)共線，根據(jù)三角關(guān)系，得到，，到平面的距離，進(jìn)而得直線與平面的夾角正弦值，求出平面與平面的夾角的余弦值.【詳解】點(diǎn)B和點(diǎn)D到平面的距離相等，故平面，而為平面法向量，故平面平面，分別過C，作平面的垂線，垂足為E，F(xiàn)，如圖，則E，A，F(xiàn)三點(diǎn)共線，由，且與中點(diǎn)重合可知．因此，，故，進(jìn)而由易知點(diǎn)到平面的距離為，又因為與中點(diǎn)重合，且平面，因此點(diǎn)到平面的距離為，而點(diǎn)到平面的距離為，且，故直線與平面的夾角正弦值為，易知直線與平面垂直，故平面與平面的夾角的余弦值為．故選：A【點(diǎn)睛】7.17世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在給朋友的一封信中曾提出一個關(guān)于三角形的有趣問題：在三角形所在平面內(nèi)，求一點(diǎn)，使它到三角形每個頂點(diǎn)的距離之和最小.現(xiàn)已證明：在中，若三個內(nèi)角均小于，則當(dāng)點(diǎn)滿足時，點(diǎn)到三角形三個頂點(diǎn)的距離之和最小，點(diǎn)被人們稱為費(fèi)馬點(diǎn).根據(jù)以上知識，已知為平面內(nèi)任意一個向量，和是平面內(nèi)兩個互相垂直的向量，且，，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，將向量放在坐標(biāo)系中，將問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到，，三點(diǎn)的距離之和，再利用費(fèi)馬點(diǎn)的性質(zhì)即可求解.【詳解】，，和是平面內(nèi)兩個互相垂直的向量，不妨設(shè)，，，則，表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，，表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，，表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，表示點(diǎn)到，，三點(diǎn)的距離之和，由費(fèi)馬點(diǎn)性質(zhì)可知，當(dāng)時，點(diǎn)到三角形三個頂點(diǎn)的距離之和最小，點(diǎn)，關(guān)于軸對稱，點(diǎn)在軸上，如圖，在中，，又，，解得，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，此時，，的最小值是.故選：A.8.在平面直角坐標(biāo)系中，定義：，其中，.若，且，則下列結(jié)論錯誤是（）A.若關(guān)于x軸對稱，則B.若關(guān)于直線對稱，則C.若，則D.若，，則【答案】C【解析】【分析】利用給定定義，結(jié)合對稱點(diǎn)的特征，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷A，B，通過舉反例判斷C，利用子集的性質(zhì)結(jié)合給定條件判斷D即可.【詳解】對于A，因關(guān)于x軸對稱，且，，則，于是，，同理，，即，故A正確；對于B，因關(guān)于直線對稱，且，，則，則，同理，.取函數(shù)，顯然該函數(shù)在上為增函數(shù)，由，且，可得，則有，因，故有，即，故B正確；對于C，因，，由可得：，則有，若取，滿足上式，但此時，，，則，由上分析，，故，故C錯誤；對于D，設(shè)點(diǎn)，則，即，而，因，故得，即點(diǎn)，即得，故D正確.故選：C.二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題所給的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.如圖，已知四面體，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算逐項分析即可得解.【詳解】A：因為，故A正確；B：因為，故B正確；C：因為，故C正確；D:因為，故D錯誤.故選：ABC.10.已知點(diǎn)，，且點(diǎn)在直線上，則（）A.的最小值為 B.的最小值為C.存在點(diǎn)，使得 D.存在點(diǎn)，使得【答案】ABD【解析】【分析】A選項，將代入，化簡得到，得到最小值；B選項，求出關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，最小值為；C選項，結(jié)合，得到，從而得到方程，由根的判別式得到方程無解，C錯誤；D選項，由兩點(diǎn)間距離公式和得到方程，由根的判別式得到方程有解，D正確.【詳解】A選項，點(diǎn)在直線，故，故，故當(dāng)時，取得最小值，最小值為，A正確；B選項，設(shè)關(guān)于的對稱點(diǎn)為，則，解得，所以，連接，與相交于點(diǎn)，此時取得最小值，最小值，B正確；C選項，，又，故，令得，即，由于，方程無解，故不存在點(diǎn)，使得，C錯誤；D選項，由得，平方化簡得，又，故，即，，方程有解，故存在點(diǎn)，使得，D正確.故選：ABD11.中國結(jié)是一種手工編制工藝品，它有著復(fù)雜奇妙的曲線，卻可以還原（成單純的二維線條，其中的數(shù)字“8”對應(yīng)著數(shù)學(xué)曲線中的雙紐線.在xOy平面上，把與定點(diǎn)，距離之積等于的動點(diǎn)的軌跡稱為雙紐線.曲線C是當(dāng)時的雙紐線，P是曲線C上的一個動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是 B.的最大值是C.面積的最大值為2 D.的取值范圍是【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)雙紐線的定義求出曲線的方程，逐一判斷各選項的真假即可.【詳解】設(shè)是曲線上任意一點(diǎn)，根據(jù)雙紐線的定義可得：，當(dāng)時，曲線的方程為，對于A：整理可得：，則，可得，解得，故A錯誤；對于B，，因為，所以，所以，所以，即曲線上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最大值為，故B正確；對于C：，令，則，所以，所以當(dāng)時，，所以面積的最大值為，故C正確；對于D：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，，所以，所以的取值范圍是，故D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用雙紐線的定義求得曲線方程是關(guān)鍵，進(jìn)而利用不等式求得最值.第Ⅱ卷非選擇題（共92分）三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.設(shè)平面的法向量為，是平面內(nèi)的定點(diǎn)，是平面外一點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離____________【答案】【解析】【分析】根據(jù)空間點(diǎn)到平面的距離的定義即可求解.【詳解】過點(diǎn)作平面的垂線，交平面于點(diǎn)，則是直線的方向向量，也即平面的法向量，則點(diǎn)到平面的距離就是在直線上的投影長，即向量的長度，也即.故答案為：.13.設(shè)點(diǎn)和，在直線：上找一點(diǎn)，使取到最小值，則這個最小值為__________【答案】【解析】【分析】求出點(diǎn)關(guān)于直線：的對稱點(diǎn)為，連結(jié)，則交直線于點(diǎn)，點(diǎn)即為所求的點(diǎn)，此時，.【詳解】解：設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線：的對稱點(diǎn)為線段的中點(diǎn)在上則又，解得，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查線段和的最小值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意數(shù)形結(jié)合思想的合理運(yùn)用，屬于中檔題.14.是等腰直角三角形，∠A＝90°，，點(diǎn)D滿足，點(diǎn)E是BD所在直線上一點(diǎn)，若，則______；向量在向量上的投影向量記為，則實數(shù)m的取值范圍為______．【答案】①.2②.【解析】【分析】建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，可得點(diǎn)的坐標(biāo)（用中的參數(shù)表示），結(jié)合點(diǎn)E是BD所在直線上一點(diǎn)，即可得第一空答案；由題意，利用投影數(shù)量的幾何意義可求其范圍.【詳解】由題意以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，因為是等腰直角三角形，∠A＝90°，，點(diǎn)D滿足，所以，即，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，因為點(diǎn)在直線上面，所以，即，所以（這里的是指中的）；因為向量在向量上的投影向量記為，所以，如圖，于，過作直線平行于，過作該直線的垂線，垂足為，當(dāng)為銳角時，，當(dāng)且僅當(dāng)重合時等號成立；當(dāng)為直角時，；當(dāng)為鈍角時，即，綜上，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：第一空的關(guān)鍵是得點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合三點(diǎn)共線，第二空的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)換為方程有解即可順利得解.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知直線．（1）求證：直線l恒過定點(diǎn)；（2）已知兩點(diǎn)，，過點(diǎn)A的直線與線段有公共點(diǎn)，求直線的傾斜角的取值范圍．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）直線方程整理為關(guān)于的方程，由恒等式知識可得定點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求出直線的傾斜角，直線介于直線之間，由此可得結(jié)論．【小問1詳解】證明：由，得．由直線方程的點(diǎn)斜式可知，直線恒過定點(diǎn)．【小問2詳解】由題意可知，，由題意可知直線的傾斜角介于直線與的傾斜角之間，又的傾斜角是，的傾斜角是，點(diǎn)橫坐標(biāo)在兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之間，因此直線可能與軸垂直，傾斜角可以是，∴的取值范圍是．16.如圖，直三棱柱的體積為4，是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若的面積為，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）連接，交于點(diǎn)，連接，易得，再由線面平行的判定證明結(jié)論；（2）設(shè)的面積為，棱長的長度為，到平面的距離為，再應(yīng)用等體積法有求點(diǎn)面距.【小問1詳解】連接，交于點(diǎn)，連接，因為，分別是，的中點(diǎn)，所以是的中位線，所以，因為平面，平面，所以平面.【小問2詳解】設(shè)的面積為，棱長的長度為，到平面的距離為，因為直三棱柱的體積，因為是的中點(diǎn)，所以的面積為，所以三棱錐的體積，因為的面積為，由得，解得.所以到平面的距離為.17.如圖，在三棱錐P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=kPA，點(diǎn)O為AC中點(diǎn)，D是BC上一點(diǎn)，OP⊥底面ABC，BC⊥面POD．（1）求證：點(diǎn)D為BC中點(diǎn)；（2）當(dāng)k取何值時，O在平面PBC內(nèi)的射影恰好是PD的中點(diǎn)．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)證明；（2）做輔助線，利用圖中的幾何關(guān)系求解.【小問1詳解】連接OD，PD，平面POD，，又，O是AC的中點(diǎn)，所以O(shè)D是OC邊上的中位線，D是BC邊的中點(diǎn)；【小問2詳解】連接OB，是等腰直角三角形，，由題意平面ABC，，又O是AC的中點(diǎn)，是等腰三角形，，連接PD，取PD的中點(diǎn)G，連接OG，由題意平面PBC，，又G是PD的中點(diǎn)，是等腰直角三角形，，，，；綜上，當(dāng)時，O在平面PBC內(nèi)射影恰好是PD得中點(diǎn).18.如圖，在四棱錐中，.（1）求證：；（2）若，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，證明四邊形為平行四邊形，則且，利用余弦定理求出，從而可得，利用勾股定理證明，則平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證；（2）先利用余弦定理求出，再以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的法向量，再求出法向量夾角的余弦值，進(jìn)而可得出答案.【小問1詳解】取的中點(diǎn)，連接，則且，所以四邊形為平行四邊形，所以且，在中，由余弦定理得，，所以，所以，所以，所以，則，所以，又平面，，所以平面，又平面，所以；【小問2詳解】在中，由余弦定理得，，所以，如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，故，設(shè)平面的法向量為，平面PBD的法向量為則有，，令，則，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.19.人臉識別是基于人的臉部特征進(jìn)行身份識別的一種生物識別技術(shù)．主要應(yīng)用距離測試樣本之間的相似度，常用測量距離的方式有3種．設(shè)，，則歐幾里得距離；曼哈頓距離，余弦距離，其中（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．（1）若，，求，之間的曼哈頓距離和余弦距離；（2）若點(diǎn)，，求的最大值；（3）已知點(diǎn)，是直線上的兩動點(diǎn)，問是否存在直線使得，若存在，求出所有滿足條件的直線的方程，若不存在，請說明理由．【答案】（1），（2）（3）存在，和【解析】【分析】（1）代入和的公式，即可求解；（2）首先設(shè)，代入，求得點(diǎn)的軌跡，再利用數(shù)形結(jié)合，結(jié)合公式，結(jié)合余弦值，即可求解；（3）首先求的最小值，分和兩種情況求