第四章圖形的相似（高效培優(yōu)單元測試·提升卷）（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：120分）選擇題（本題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1．下列各組線段中，能成比例的是（

）A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，【答案】D【分析】本題考查了線段成比例．如果四個(gè)數(shù)、、、滿足，那么這四個(gè)數(shù)就稱為成比例的數(shù)，記作或者或者；因此判斷四條線段是否成比例，需驗(yàn)證是否存在兩對線段的乘積相等即可，對選項(xiàng)一一分析，排除錯(cuò)誤答案．【詳解】解：A、，故錯(cuò)誤；B、，故錯(cuò)誤；C、，故錯(cuò)誤；D、，故正確．故選D．2．已知（，），下列變形錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．利用內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積可對各選項(xiàng)進(jìn)行判斷，即可求解．【詳解】解：∵，∴，故選項(xiàng)C中的變形錯(cuò)誤，選項(xiàng)D中的變形正確；若，則，故選項(xiàng)A中的變形正確；若，則，故選項(xiàng)B中的變形正確．故選：C．3．如圖，點(diǎn)P在的邊上，若只添加一個(gè)條件，就可以判定，則添加的條件可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵．根據(jù)相似三角形的判定逐一判斷即可．【詳解】解：在，中，，不是夾角的兩邊對應(yīng)成比例，不能判定，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；，即：，不是夾角的兩邊對應(yīng)成比例，不能判定，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；，不是夾角的兩邊對應(yīng)成比例，不能判定，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；，即，兩邊對應(yīng)成比例,且夾角相等的兩個(gè)三角形相似，故能判定，故選項(xiàng)D正確；故選D．4．如圖，直線，直線，與這組平行線依次交于點(diǎn)，，，，，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題主要考查平行線分線段成比例的性質(zhì)，直接利用平行線分線段成比例定理進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】解：，故B正確；，故C正確；，即，故D正確；A選項(xiàng)的，即，不符合平行線分線段成比例定理，故A錯(cuò)誤；故選：A．5．如圖，是菱形的對角線，于點(diǎn)，并交于點(diǎn)，若，，那么的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)．根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，設(shè)，則，在中，利用勾股定理可求出x的值，從而得到，，再由，即可求解．【詳解】解：∵四邊形是菱形，∴，∵，∴可設(shè)，則，在中，，，∴，解得：，∴，，∵，∴，∴．故選：B6．如圖，在中，是上一點(diǎn)，與交于點(diǎn)，如果，，那么的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得到，，得到，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比，求出的長，再根據(jù)線段的和差關(guān)系求出的長即可．【詳解】解：∵，∴，，∴，∵，∴，∴，∴；故選C．7．如圖，在中，，F(xiàn)為上一點(diǎn)，M為線段上一點(diǎn)，作，交于點(diǎn)H，若，則的長為（）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】設(shè)，則，延長交于點(diǎn)D，利用三角形相似的判定和性質(zhì)解答即可．本題考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，熟練掌握判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，設(shè)，則，如圖，延長交于點(diǎn)D，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴∵，∴，∴，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故選：C．8．如圖，已知與位似，點(diǎn)為位似中心，，下列結(jié)論不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了位似的性質(zhì)，根據(jù)位似圖形的性質(zhì)判斷解答即可，掌握位似的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：、∵與位似，點(diǎn)為位似中心，∴，原選項(xiàng)正確，不符合題意；、∵與位似，點(diǎn)為位似中心，∴，∴，∴，∴，∴，原選項(xiàng)正確，不符合題意；、∵與位似，點(diǎn)為位似中心，∴，∴，原選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；、∵，∴，∴，原選項(xiàng)正確，不符合題意；故選：．9．的邊上有D，E，F(xiàn)三點(diǎn)，各點(diǎn)位置如圖所示．若，，，，，則根據(jù)圖中標(biāo)示的各線段的長度，可求得陰影部分與空白部分的面積之比是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題．證明，推出，推出，可得，推出，同理得到，由此可得結(jié)論．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∵，，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，同法可證，∵，∴，∴，設(shè)，則，∴陰影部分與空白部分的面積之比是：，故選：A．10．如圖，在正方形網(wǎng)格圖中，與是位似圖形，則位似中心是（

）A．點(diǎn)Q B．點(diǎn)P C．點(diǎn)N D．點(diǎn)M【答案】D【分析】本題主要考查了確定位似中心，理解位似圖形的概念是解題的關(guān)鍵．連接對應(yīng)點(diǎn)，交點(diǎn)即是位似中心，據(jù)此即可解答．【詳解】解：如圖：連接，易得交點(diǎn)為M，即位似中心是點(diǎn)M．故選：D．11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形與正方形是位似圖形，原點(diǎn)為位似中心，且相似比為，點(diǎn)，，均在x軸上．若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了位似變換、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．根據(jù)位似變換的性質(zhì)得出，求出，，再根據(jù)位似變換的性質(zhì)得出，得出，從而得出，求出、的長即可．【詳解】解：正方形與正方形是位似圖形，原點(diǎn)為位似中心，，相似比為，，，，正方形與正方形是位似圖形，原點(diǎn)為位似中心，相似比為，，即，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為故選：B．12．如圖所示，已知四邊形是矩形，延長到點(diǎn)E，使，連接．點(diǎn)F為的中點(diǎn)，分別連接，，交于點(diǎn)G．觀察下列結(jié)論：①；②；③；④其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】連接，設(shè)的交點(diǎn)為，證明，判斷①；過作，判斷出，利用面積公式判斷②；證明，判斷③；證明，推出平分，利用同（等）高的三角形的面積比等于底邊比，得到，等量代換，判斷④．【詳解】解：連接，設(shè)的交點(diǎn)為，∵，F(xiàn)為的中點(diǎn)，∴，∵矩形，∴，，∴，∴，∴，∴，又，∴，∴，∴；故①正確；過作，在中：，在中：，∵，∴，∵，∴；故②正確；∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴；故③正確；∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴平分，∴點(diǎn)到的距離相等，∴∵，∴；故④正確；綜上所述：①②③④正確.故選：D．二、填空題（本題共6小題，每小題2分，共12分．）13．已知，則的值為．【答案】1【分析】本題可先根據(jù)已知條件得出與的關(guān)系，再將其代入所求式子進(jìn)行計(jì)算．本題主要考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的基本性質(zhì)并能靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，將代入可得：，故答案為：．14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將以點(diǎn)為位似中心，為位似比作位似變換，得到，已知，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．【答案】【分析】本題考查的是位似圖形的概念、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，位似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或－k．根據(jù)位似變換的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：∵將以原點(diǎn)O為位似中心，為位似比作位似變換得到，且，∴點(diǎn)的坐標(biāo)是，即．故答案為：．15．已知，則．【答案】【分析】本題考查了比例的性質(zhì)，利用比例的性質(zhì)可得，代入已知條件即可求解，掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，∴，故答案為：．16．如圖，在中，，，的平分線交于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，，垂足為．若，則的長分別為．【答案】，【分析】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，熟練掌握這些定理是解題的關(guān)鍵．由平分，得到，由，得到內(nèi)錯(cuò)角，等量代換后可證得，即是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)得出，而在中，由勾股定理可求得的長，然后證明，即可得到．【詳解】解：∵平分，∴；又∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，∵，垂足為，∴，在中，∵，，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴．故答案為：，．17．如圖，中，E、D是邊上的三等分點(diǎn)，F(xiàn)是的中點(diǎn)，交、于G，H，則．【答案】【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定、全等三角形的性質(zhì)與判定、比例的性質(zhì)，結(jié)合圖形添加平行線的輔助線構(gòu)造全等三角形和相似三角形是解題的關(guān)鍵．過點(diǎn)作交延長線于點(diǎn)，通過證明，得到，，則有，根據(jù)三等分點(diǎn)的定義以及等量代換可得，，再通過證明，，再利用相似三角形的性質(zhì)以及線段的和差即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作交延長線于點(diǎn)，∵F是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，，∴，∴，，∴，∵E、D是邊上的三等分點(diǎn)，∴，，∴，，∵，∴，，∴，，∴，，∴，，∴，，∴．故答案為：．18．如圖，在中，，，，點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊上，連接，將沿翻折得到，連接，，若，則的面積是．【答案】【分析】本題考查了翻折問題，平行線分線段成比例，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，正確求出長度是解題的關(guān)鍵．設(shè)與交點(diǎn)為M，過M作于點(diǎn)N，過D作于點(diǎn)G，延長交于點(diǎn)H，由折疊可知，，所以，推出四邊形是矩形，根據(jù)，設(shè)，所以，得到，解出x的值，即可求出的長度，再進(jìn)一步求出的長，從而求出最后結(jié)果．【詳解】解：如圖，設(shè)與交點(diǎn)為M，過M作于點(diǎn)N，過D作于點(diǎn)G，延長交于點(diǎn)H．由折疊可知，，，，點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，，，，四邊形是矩形，，，，，，，設(shè)，，，即，解得：，，，是中點(diǎn)，，，，，故答案為：．三、解答題（本題共8小題，共72分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）19．（8分）如圖，，B是線段AD上的一點(diǎn)，且．求證：．【答案】見解析【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，本題利用兩角相等的兩個(gè)三角形相似，再利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可求證．【詳解】解：如圖，，且．∴，∴，∴，∴，∴．20．（8分）如圖，在網(wǎng)格圖中，已知和點(diǎn)．(1)以點(diǎn)M為位似中心，在y軸右側(cè)畫出，使它與位似，且位似比為2；(2)寫出各頂點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)圖見詳解(2)【分析】本題考查了位似圖形的性質(zhì)和位似比、畫位似圖形，掌握理解位似圖形的性質(zhì)和位似比是解題關(guān)鍵．（1）延長到使，則點(diǎn)為的對應(yīng)點(diǎn)，同樣方法作出、的對應(yīng)點(diǎn)、，從而得到；（2）利用（1）所畫圖形可得到的各頂點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】（1）解：延長到使，則點(diǎn)為的對應(yīng)點(diǎn)，同樣方法作出、的對應(yīng)點(diǎn)、，連接，即為所求作的；（2）解：由圖可得：21．（8分）如圖，小虎自制了一個(gè)小孔成像裝置，其中，紙筒的長度為，他準(zhǔn)備了一支長為的蠟燭，想要得到高度為的像，求此時(shí)蠟燭與紙筒的距離的長度．【答案】【分析】本題主要考查了相似三角形的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意可證明，再利用相似三角形的性質(zhì)列出比例式求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴，∴此時(shí)蠟燭與紙筒的距離的長度為．22．（8分）已知線段，，滿足．(1)求的值．(2)當(dāng)線段是線段，的比例中項(xiàng)，且時(shí)，求的值．【答案】(1)的值為(2)的值為【分析】本題考查了比例的性質(zhì)，比例中項(xiàng)的定義．熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)比例的性質(zhì)求解即可；（2）根據(jù)比例中項(xiàng)的定義，即可得到，再根據(jù)即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)，，則原式．（2）解：當(dāng)時(shí)，，∵是線段，的比例中項(xiàng)，∴∵線段，∴．23．（10分）如圖，在中，，平分交于點(diǎn)D．

(1)在邊上求作一點(diǎn)E，使得；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了尺規(guī)作圖―作垂線以及相似三角形的性質(zhì)．熟記相關(guān)性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵．（1）過點(diǎn)作的垂線，即可確定點(diǎn)；（2）設(shè)，則，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，點(diǎn)E即為所求；

（2）解：由（1）在作圖可得，∵，平分∴，∴，∴，設(shè)，則，，∵∴，即，解得，∴．24．（10分）在中，，E是邊上一點(diǎn)，將沿著翻折到．如圖，若E、F、D三點(diǎn)共線．(1)求證：；(2)若，求的長．【答案】(1)見詳解(2)【分析】本題考查了平行四邊形的綜合應(yīng)用，涉及翻折變換，相似三角形判定與性質(zhì)等知識，掌握翻折的性質(zhì)和平行四邊形性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）利用翻折的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)，得到即可得到結(jié)論；（2）利用翻折的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)得出相等的角和邊，證明，利用對應(yīng)線段成比例求出，然后利用線段的和差進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，將沿著翻折到，，，；（2）解：將沿著翻折到，，，，，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，，由（1）知，，，，．25．（10分）在中，，兩條高，交于點(diǎn)H，F(xiàn)是的中點(diǎn)，連接并延長交邊于點(diǎn)G．(1)如圖1，若是等邊三角形．①求證：；②求的長．(2)如圖2，若，，求的面積．【答案】(1)①見解析；②(2)【分析】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，從而得到，，即可；②過點(diǎn)作交于點(diǎn)，可得，，從而得到，，進(jìn)而得到，即可；（2）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，可得，，從而得到，進(jìn)而得到，再證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】（1）①證明：，是等邊三角形的高，，，，分別