期末檢測(cè)綜合壓軸題分類專題（考點(diǎn)梳理與分類講解）第一部分【考點(diǎn)目錄】選擇填空題（常考綜合題）【考點(diǎn)1】求代數(shù)式的值.......................................................2【考點(diǎn)2】尺規(guī)定作圖求角或線段長(zhǎng).............................................2【考點(diǎn)3】勾股定理解直角三角形...............................................3【考點(diǎn)4】數(shù)據(jù)的分析（中位數(shù)、眾數(shù)、方差）...................................3【考點(diǎn)5】二元一次方程中的特殊解法...........................................4【考點(diǎn)6】列方程（選擇）.....................................................4【考點(diǎn)7】一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)綜合...........................................5二、解答題（常考綜合題）【考點(diǎn)8】計(jì)算或解方程組.....................................................6【考點(diǎn)9】平行線的證明.......................................................7【考點(diǎn)10】數(shù)據(jù)的分析........................................................8【考點(diǎn)11】一次函數(shù)綜合題....................................................9【考點(diǎn)12】一次函數(shù)與二元一次方程組實(shí)際應(yīng)用..................................9三、選擇填空題（常考?jí)狠S題）【考點(diǎn)13】勾股定理與完全平方公式...........................................10【考點(diǎn)14】規(guī)律問題.........................................................10【考點(diǎn)15】幾何折疊問題.....................................................11【考點(diǎn)16】最值問題.........................................................12【考點(diǎn)17】一次函數(shù)與幾何綜合問題...........................................13四、解答題（?？?jí)狠S題）【考點(diǎn)18】與勾股定理有關(guān)探究題.............................................14【考點(diǎn)19】坐標(biāo)與圖形探究題.................................................15【考點(diǎn)20】一次函數(shù)幾何探究題...............................................16第二部分【考點(diǎn)展示與方法點(diǎn)撥】【考點(diǎn)1】求代數(shù)式的值【1-1】（2023·遼寧朝陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)），．【1-2】（23-24九年級(jí)上·貴州遵義·期中）已知，，則代數(shù)式的值是．【1-3】（22-23八年級(jí)下·安徽淮南·期末）若為的小數(shù)部分，則的值為．【1-4】（23-24八年級(jí)上·四川達(dá)州·期中）如果，那么．【考點(diǎn)2】尺規(guī)定作圖求角或線段長(zhǎng)【2-1】（23-24八年級(jí)下·河南漯河·期中）如圖，在中，，，，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交于點(diǎn)M，N，分別以M，N為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線交于點(diǎn)D，再用尺規(guī)作圖作出于點(diǎn)E，則的長(zhǎng)為．【2-2】（2024·重慶長(zhǎng)壽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為和0,4，連接，以點(diǎn)為圓心、的長(zhǎng)為半徑畫弧，與軸正半軸相交于點(diǎn)，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)是．【2-2】（24-25八年級(jí)上·內(nèi)蒙古包頭·期中）如圖，已知直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，為半徑畫弧，交軸于點(diǎn)，則．

【2-3】（2024·四川成都·三模）如圖，在,，D為中點(diǎn)，按下列步驟作圖：①以點(diǎn)D為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)E，F(xiàn)；②分別以E，F(xiàn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在的外部交于點(diǎn)；③作直線交于點(diǎn)H．若,，則．【考點(diǎn)3】勾股定理解直角三角形【3-1】（23-24八年級(jí)下·廣東江門·期末）如圖，正方形紙片的四個(gè)頂點(diǎn)分別在四條平行線、、、上，這四條直線中相鄰兩條之間的距離依次為、、，，，若，，則正方形的面積等于．【3-2】（23-24八年級(jí)下·江蘇南通·期末）明朝數(shù)學(xué)家程大位在他的著作《算法統(tǒng)宗》中寫了一首計(jì)算秋千繩索長(zhǎng)度的詞《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺離地，送行二步恰竿齊，五尺板高離地…”翻譯成現(xiàn)代文為：如圖，秋千靜止的時(shí)候，踏板離地高一尺（尺），將它往前推進(jìn)兩步（尺），此時(shí)踏板升高離地五尺（尺），則秋千繩索（或）的長(zhǎng)度為尺【考點(diǎn)4】數(shù)據(jù)的分析（中位數(shù)、眾數(shù)、方差）【4-1】（23-24七年級(jí)下·北京房山·期末）為傳承發(fā)展中國(guó)優(yōu)秀語(yǔ)言文化，厚植青少年家國(guó)情懷，某校開展了“誦讀中國(guó)”經(jīng)典誦讀大賽．校學(xué)生會(huì)隨機(jī)對(duì)該校20名同學(xué)一周內(nèi)誦讀中華經(jīng)典的時(shí)間進(jìn)行了調(diào)查，統(tǒng)計(jì)如下：誦讀時(shí)間/分鐘3540a50人數(shù)/人4673若20名同學(xué)誦讀時(shí)間的眾數(shù)為45，則a為，中位數(shù)為．【4-2】（2022九年級(jí)·浙江杭州·專題練習(xí)）若一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6，眾數(shù)為5，則這組數(shù)據(jù)的方差為．【4-3】（23-24八年級(jí)上·山東菏澤·期末）為計(jì)算某樣本數(shù)據(jù)的方差，列出如下算式據(jù)此判斷：①樣本容量是；②樣本的平均數(shù)是；③樣本的眾數(shù)是；④樣本的中位數(shù)是．上面說法錯(cuò)誤的是．【4-4】（23-24八年級(jí)下·湖北鄂州·期末）甲、乙、丙、丁四名同學(xué)數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(jī)分別為90分，90分，90分，分，80分，若這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)與平均數(shù)恰好相等，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是分．【考點(diǎn)5】二元一次方程（組）的解法【5-1】（23-24七年級(jí)下·海南海口·期末）已知a、b滿足，，則的值為．【5-2】（23-24七年級(jí)下·山西臨汾·期末）若方程組的解滿足，則等于．【5-3】（23-24七年級(jí)下·四川德陽(yáng)·期末）若關(guān)于、的二元一次方程無論實(shí)數(shù)取何值，此二元一次方程都有一組相同的解，則這個(gè)解是．【5-4】（23-24七年級(jí)下·重慶·期中）若關(guān)于x，y的二元一次方程組的解是，則關(guān)于m，n的二元一次方程組的解是．【考點(diǎn)6】列方程（選擇）【6-1】（2022九年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·學(xué)業(yè)考試）《孫子算經(jīng)》是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作，其中記載：今有三人共車，二車空；二人共車，九人步．問人與車各幾何？譯文：今有若干人出行，如果三人同乘一輛車，兩車空；二人同乘一輛車，有九人步行．問人與車各是多少？設(shè)人數(shù)為x人，車數(shù)為y輛，可列方程組為（

）A． B． C． D．【6-2】（23-24七年級(jí)下·云南昭通·期末）為了“踐行垃圾分類?助力雙碳目標(biāo)”的活動(dòng)，昭通市某學(xué)校的小宇和小琪一起收集了一些廢電池，小宇說：“我比你多收集了9節(jié)廢電池”小琪說：“如果你給我5節(jié)廢電池，我的廢電池?cái)?shù)量就是你的3倍．”如果他們說的都是真的，設(shè)米樂收集了節(jié)廢電池，琪琪收集了節(jié)廢電池，根據(jù)題意可列方程組為（）A． B．C． D．【6-3】（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·期末）如圖1，一個(gè)正方體鐵塊放置在圓柱形水槽內(nèi)，現(xiàn)以一定的速度往水槽中注水，時(shí)注滿水槽，水槽內(nèi)水面的高度與注水時(shí)間之間的函數(shù)圖象如圖2所示．如果將正方體鐵塊取出，又經(jīng)過秒恰好將水槽注滿，此水槽的底面面積為．【6-4】（23-24七年級(jí)下·山東泰安·期末）《九章算術(shù)》中有一道闡述“盈不足術(shù)”的問題，原文如下：今有人共買物，人出十一，盈八；人出九，不足十二．問物價(jià)幾何？譯文為：現(xiàn)有一些人共同買一個(gè)物品，每人出11元，還盈余8元；每人出9元，則還差12元．設(shè)共有x人，這個(gè)物品的價(jià)格是y元，根據(jù)題意，列出的二元一次方程組是．【考點(diǎn)7】一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)綜合【7-1】（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·期末）直線與x軸交于點(diǎn)，下列說法正確的是（）A．B．直線上兩點(diǎn)，若，則C．直線經(jīng)過第四象限D(zhuǎn)．關(guān)于x的方程的解為【7-2】（23-24八年級(jí)上·河北保定·期末）如圖，關(guān)于一次函數(shù)與的圖象，下列說法正確的有（

）個(gè)．①，；②圖象，隨自變量的增大而減??；③不論為何值，一次函數(shù)的圖象都經(jīng)過定點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為；④方程組的解是．A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④【7-3】（23-24八年級(jí)下·廣東廣州·期末）已知一次函數(shù)圖象上兩點(diǎn)和，下列結(jié)論：①圖象過定點(diǎn)；②若一次函數(shù)圖象與函數(shù)的圖象平行，則；③若，則；④若函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)在正半軸，則或．正確的是（填寫正確結(jié)論的序號(hào)）．【7-4】（23-24八年級(jí)上·四川巴中·期末）關(guān)于的一次函數(shù)（為常數(shù)且）．①當(dāng)時(shí)，此函數(shù)為正比例函數(shù)；②若函數(shù)圖象同時(shí)經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)（，為常數(shù)），則；③無論取何值，該函數(shù)圖象都不可能經(jīng)過第二、三、四象限；④若該函數(shù)圖象與直線關(guān)于軸對(duì)稱，則．上述結(jié)論中正確的是（填序號(hào)）．【考點(diǎn)8】計(jì)算或解方程組【8-1】（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·期末）計(jì)算及解方程組：(1)；(2)；(3)解方程組：；(4)解方程組：．【8-2】（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·期末）（1）計(jì)算：；（2）求x的值：；（3）解方程組：．【8-3】（22-23七年級(jí)下·浙江·期末）已知關(guān)于，的方程組(1)若方程組的解滿足，求的值；(2)無論實(shí)數(shù)取何值，方程總有一個(gè)固定的解，請(qǐng)求出這個(gè)解？(3)若方程組的解中為整數(shù)，且是自然數(shù)，求的值．【考點(diǎn)9】平行線的證明【9-1】（24-25八年級(jí)上·廣西南寧·期中）已知：如圖，點(diǎn)B，F(xiàn)，C，E在一條直線上，，，．(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)【9-2】（21-22八年級(jí)上·四川成都·期末）（1）如圖，于點(diǎn)D，于點(diǎn)G，，試判斷與的位置關(guān)系，并說明理由．（2）如圖，王鵬將升旗的繩子拉到旗桿底部，并在繩子上打了一個(gè)結(jié)，然后將繩子拉到離旗桿底端6米處，發(fā)現(xiàn)此時(shí)繩子底端距離打結(jié)處約2米，求旗桿的高度．【考點(diǎn)10】數(shù)據(jù)的分析【10-1】（21-22八年級(jí)上·陜西咸陽(yáng)·期末）某校組織慈善愛心捐款活動(dòng)，圖①是各年級(jí)捐款人數(shù)占總捐款人數(shù)的百分比，圖②是對(duì)部分學(xué)生捐款金額的隨機(jī)抽樣調(diào)查．根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)在隨機(jī)抽取的樣本中，捐款金額的中位數(shù)為______，眾數(shù)為______；(2)求隨機(jī)抽樣調(diào)查的學(xué)生捐款金額的平均數(shù)；(3)已知該校九年級(jí)共有180人捐款，請(qǐng)你估計(jì)全校捐款的總金額為多少元？【10-2】（23-24八年級(jí)下·河北保定·期末）某班老師要求每生每學(xué)期讀本書，并隨機(jī)抽查了本學(xué)期學(xué)生讀課外書冊(cè)數(shù)的情況，繪制成如下不完整的條形圖和不完整的扇形圖，其中條形圖被墨跡遮蓋了一部分，回答下列問題：(1)老師隨機(jī)抽查了______名學(xué)生，閱讀6冊(cè)書的人數(shù)為_______人；(2)已知冊(cè)數(shù)的中位數(shù)是5，并且閱讀7冊(cè)的人數(shù)多于2人；小明說：條形圖中閱讀5冊(cè)的人數(shù)為5．小亮說：條形圖中閱讀5冊(cè)的人數(shù)為6．①你認(rèn)為小明和小亮誰說的對(duì)，請(qǐng)說明原因；②求出閱讀7冊(cè)的人數(shù)；隨后又進(jìn)行了補(bǔ)查，得知最少的讀了6冊(cè)，將其與之前的數(shù)據(jù)合并后，發(fā)現(xiàn)中位數(shù)還是5，則最多又補(bǔ)查了_________人．【考點(diǎn)11】一次函數(shù)綜合題【11-1】（24-25八年級(jí)上·遼寧沈陽(yáng)·期中）如圖，直線與軸、軸分別交于兩點(diǎn)．(1)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為；(2)若點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，求CA的長(zhǎng)．【11-2】（23-24八年級(jí)下·廣東云浮·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B，C，與直線相交于點(diǎn)．

(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)．(2)求的面積．(3)在直線上是否存在一點(diǎn)M，使的面積是面積的？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【考點(diǎn)12】一次函數(shù)與二元一次方程組實(shí)際應(yīng)用【12-1】（23-24八年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·期末）在期中考試總結(jié)會(huì)議上，學(xué)校決定購(gòu)買A，B兩種獎(jiǎng)品共120件，對(duì)表現(xiàn)優(yōu)異的學(xué)生進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)．已知A種獎(jiǎng)品的價(jià)格為32元/件，B種獎(jiǎng)品的價(jià)格為15元/件．(1)請(qǐng)直接寫出購(gòu)買兩種獎(jiǎng)品的總費(fèi)用y（元）與購(gòu)買A種獎(jiǎng)品的數(shù)量x（件）之間的關(guān)系式；(2)當(dāng)購(gòu)買了30件A種獎(jiǎng)品時(shí)，總費(fèi)用是多少元？(3)若購(gòu)買的A種獎(jiǎng)品不多于50件，則總費(fèi)用最多是多少元？【12-2】（24-25八年級(jí)上·遼寧沈陽(yáng)·階段練習(xí)）某校八年級(jí)學(xué)生外出研學(xué)，為了提前做好準(zhǔn)備工作，學(xué)校安排小轎車送志愿者前往，同時(shí)其余學(xué)生乘坐大客車前往目的地，小轎車到達(dá)目的地后立即返回學(xué)校，大客車在目的地等候，如圖是兩車距學(xué)校的距離與行駛時(shí)間之間的函數(shù)圖象．(1)目的地距離學(xué)校________，小轎車出發(fā)去目的地的行駛速度是________．(2)當(dāng)兩車行駛后在途中相遇，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在第（2）題的條件下，大客車與小轎車相距如時(shí)，行駛時(shí)間為________．【考點(diǎn)13】勾股定理與完全平方公式【13-1】（2021·貴州·一模）如圖，矩形中，，，將矩形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形，邊與交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為．【13-2】（20-21八年級(jí)上·北京順義·期末）已知中，，，則的面積為．【考點(diǎn)14】規(guī)律問題【14-1】（23-24八年級(jí)上·四川達(dá)州·期中）問題探究：因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以?qǐng)你根據(jù)以上規(guī)律，結(jié)合你的經(jīng)驗(yàn)化簡(jiǎn)下列各式：．【14-2】（23-24七年級(jí)下·湖北恩施·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有若干個(gè)橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)，其順序按圖中“→”方向排列，如1,0，，2,1，2,0，，，根據(jù)這個(gè)規(guī)律，第個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為．【14-3】（23-24八年級(jí)下·新疆烏魯木齊·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在直線圖象上，過點(diǎn)作軸平行線，交直線于點(diǎn)，以線段為邊在右側(cè)作正方形，所在的直線交的圖象于點(diǎn)，交的圖象于點(diǎn)，再以線段為邊在右側(cè)作正方形依此類推．按照?qǐng)D中反映的規(guī)律，則點(diǎn)的坐標(biāo)是；第個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是．【考點(diǎn)15】幾何折疊問題【15-1】（19-20八年級(jí)上·遼寧錦州·期末）如圖所示，一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，是軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將沿所在的直線折疊，當(dāng)點(diǎn)落在軸上時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．【15-2】（20-21八年級(jí)上·湖北武漢·期末）如圖，將長(zhǎng)方形紙片對(duì)折后再展開，形成兩個(gè)小長(zhǎng)方形，并得到折痕，是上一點(diǎn)，沿著再次折疊紙片，使得點(diǎn)恰好落在折痕上的點(diǎn)處，連接，．設(shè)，，，用含的式子表示的面積是．【15-3】（23-24八年級(jí)上·浙江衢州·期末）在直角三角形紙片中，，折疊紙片使得點(diǎn)落在邊上點(diǎn)處，折痕是（如圖1），將紙片復(fù)原，再次折疊紙片，使得點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，折痕是（如圖2），繼續(xù)折疊紙片，使得點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕是，得到多邊形（如圖3），將若干個(gè)全等的多邊形交叉重疊便可得到棒棒糖的糖果部分（如圖4）．

（1）圖1中的長(zhǎng)為．（2）圖3中的長(zhǎng)為．【考點(diǎn)16】最值問題【16-1】（22-23八年級(jí)下·安徽阜陽(yáng)·期末）如圖，在四邊形中，于點(diǎn)O，，，點(diǎn)P為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）的長(zhǎng)是；（2）過點(diǎn)P分別作于點(diǎn)M，作于點(diǎn)H．連接，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，的最小值為．【16-2】（22-23八年級(jí)上·河北張家口·期末）如圖，在等腰直角三角形中，，點(diǎn)分別為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A做，且.（1）的最小值為；（2）的最小值為.

【16-3】（2024·江蘇徐州·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、，點(diǎn)C在x軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D在直線上運(yùn)動(dòng)，則四邊形周長(zhǎng)的最小值是．

【考點(diǎn)17】一次函數(shù)與幾何綜合問題【17-1】（24-25八年級(jí)上·廣東深圳·期中）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知直線上一點(diǎn)，為軸上一點(diǎn)，連接，以為邊做等腰直角三角形，，，過點(diǎn)作線段軸，垂足為，直線與直線交于點(diǎn)，且，連接，直線與直線交于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．【17-2】（23-24八年級(jí)下·天津·期末）已知直線：與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，直線也經(jīng)過點(diǎn)，位置如圖所示，且與直線所夾銳角為，則直線的函數(shù)表達(dá)式為．【17-3】（23-24八年級(jí)上·浙江嘉興·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，交軸于，且，（1）的坐標(biāo)為：．（2）若為射線上一點(diǎn)，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【考點(diǎn)18】與勾股定理有關(guān)探究題【18-1】（23-24八年級(jí)上·安徽淮南·期末）如圖，用一副三角板擺放三種不同圖形．在中，，；中，，．(1)如圖，當(dāng)頂點(diǎn)擺放在線段上時(shí)，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D中找出一對(duì)全等三角形，并說明理由；(2)如圖，當(dāng)頂點(diǎn)在線段DE上且頂點(diǎn)在線段上時(shí)，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，猜想線段、、的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)如圖，當(dāng)頂點(diǎn)在線段DE上且頂點(diǎn)在線段上時(shí)，若，，連接CE，則的面積為．【18-2】（23-24八年級(jí)上·遼寧本溪·期末）如圖，分別以的兩邊為腰向外作等腰直角和等腰直角，其中．(1)如圖1，連接．若，求的長(zhǎng)；(2)如圖2，M為的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)M作與的反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N，連接，試猜想之間有何等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【考點(diǎn)19】坐標(biāo)與圖形探究題【19-1】（23-24八年級(jí)上·湖南長(zhǎng)沙·期中）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，且x，y滿足．(1)求的面積；(